2015-2016年上海市华师大二附中高一上学期期中数学试卷带答案
2015-2016学年上海市华师大二附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A={x|x≤a}，B={x|﹣2≤x＜1}，若A∪B=A，则实数a的取值范围是．2．（4分）命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是．3．（4分）已知函数，则f（x）•g（x）=．4．（4分）已知四组函数：①与；②f（x）=x0与；③与；④f（x）=2x，D={0，1，2，3}与．表示同一函数的是．（写出所有符合要求的函数组的序号）5．（4分）设集合M={x|5﹣|2x﹣3|∈N*}，则M的所有真子集的个数是．6．（4分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为．7．（4分）已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＞0），若p 是q的充分不必要条件，则实数m的范围是．8．（4分）已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是．9．（4分）若函数，则不等式的解集为．10．（4分）我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①；②．11．（4分）设a+b=2，b＞0，则当a=时，取得最小值．二、选择题（每小题3分，共12分）12．（3分）若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．313．（3分）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．ab=0 B．a+b=0 C．a2+b2=0 D．a=b14．（3分）若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．15．（3分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S三、解答题（共48分，写出必要的解答过程）16．（8分）已知命题P：|1﹣a|＜6，命题Q：{x|x2+（a+2）x+1=0}∩R+=∅．命题P真Q假，求实数a的取值范围．17．（8分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．18．（10分）解关于x的不等式x2+a（a+1）x+a3＞0．19．（10分）已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．20．（12分）已知函数（m为实常数）．（1）若函数y=f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；（2）若函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．2015-2016学年上海市华师大二附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A={x|x≤a}，B={x|﹣2≤x＜1}，若A∪B=A，则实数a的取值范围是a≥1．【解答】解：∵A∪B=A，∴B⊆A∵A={x|x≤a}，B={x|﹣2≤x＜1}，∴a≥1故答案为：a≥1．2．（4分）命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3．【解答】解：命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是“若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3”，故答案为：若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠33．（4分）已知函数，则f（x）•g（x）=﹣，x∈（﹣1，3）．【解答】解：由3+2x﹣x2＞0得：x∈（﹣1，3），∵函数，∴f（x）•g（x）=﹣（3+2x﹣x2）•=﹣，x∈（﹣1，3），故答案为：﹣，x∈（﹣1，3）4．（4分）已知四组函数：①与；②f（x）=x0与；③与；④f（x）=2x，D={0，1，2，3}与．表示同一函数的是②③．（写出所有符合要求的函数组的序号）【解答】解：①中，=|x|﹣1，=x﹣1，解析式不一致，不是同一函数；②中，f（x）=x0=1（x≠0），=1（x≠0），定义域，解析式均一致，是同一函数；③中，=|x|，（x≠0），，定义域，解析式均一致，是同一函数；④中，f（x）=2x，D={0，1，2，3}与，解析式不一致，不是同一函数．故表示同一函数的是：②③，故答案为：②③5．（4分）设集合M={x|5﹣|2x﹣3|∈N*}，则M的所有真子集的个数是15．【解答】解：M={x|5﹣|2x﹣3|∈N*}，当x≥时，M={x|8﹣2x∈N*}，x=2，3当x＜时，M={x|2+2x∈N*}，x=1，0∴M={0，1，2，3}真子集的个数为24﹣1=15，故答案为：15．6．（4分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．【解答】解：当x≥0时，|x|=x，原不等式变形为：（1+x）（1﹣x）＞0，可化为或，解得：﹣1＜x＜1，不等式的解集为[0，1）；当x＜0时，|x|=﹣x，原不等式变形为：（1+x）（1+x）＞0，解得x≠﹣1，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）7．（4分）已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＞0），若p 是q的充分不必要条件，则实数m的范围是（2，+∞）．【解答】解：由命题得|x﹣1|≤2，解得﹣1≤x≤3，即p：﹣1≤x≤3．由x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＞0），得1﹣m＜x＜1+m，即q：1﹣m＜x＜1+m，m＞0，∵p是q的充分不必要条件，∴，即，∴m＞2，故答案为：（2，+∞）．8．（4分）已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是．【解答】解：∵，且2∈A，3∉A，∴，解得：≤a或2＜a≤3故答案为．9．（4分）若函数，则不等式的解集为．【解答】解：由题意可得x＞0，由基本不等式可得f（x）≥2，再根据函数f（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，令x+=，求得x=，或x=2，故不等式的解集为（，2），故答案为：（，2）．10．（4分）我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①若a|b，b|c，则a|c；②若a|b，c|d，则ac|bd．【解答】解：类比课本中不等关系的基本性质，①传递性a＜b，b＜c，则a＜c；②0＜a＜b，0＜c＜d，则ac＜bd．写出整除关系的两个性质：①若a|b，b|c，则a|c；②若a|b，c|d，则ac|bd；故答案为：①若a|b，b|c，则a|c；②若a|b，c|d，则ac|bd．11．（4分）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．【解答】解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a＜2）设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）==，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a=时，取得最小值．综合，则当a=﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．二、选择题（每小题3分，共12分）12．（3分）若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由，可得0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，故选：C．13．（3分）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．ab=0 B．a+b=0 C．a2+b2=0 D．a=b【解答】解：由奇函数的性质可得：f（0）=b=0，∴f（x）=x|x+a|，则f（﹣x）+f（x）=0，∴﹣x|﹣x+a|+x|x+a|=0，x≠0时，|x﹣a|=|x+a|恒成立，则a=0．∴函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，即a2+b2=0．故选：C．14．（3分）若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：当a=1，b=﹣1时，选项A、B、C中的不等式都不成立，只有D成立，故选：D．15．（3分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S【解答】解：方法一：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D 均错误；只有B成立，故选B．直接法：根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x ＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立；z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后有四种情况成立，第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．故选：B．三、解答题（共48分，写出必要的解答过程）16．（8分）已知命题P：|1﹣a|＜6，命题Q：{x|x2+（a+2）x+1=0}∩R+=∅．命题P真Q假，求实数a的取值范围．【解答】解：根据命题Q知，方程x2+（a+2）x+1=0无解，或实根小于0；∴△=（a+2）2﹣4＜0，或；解得﹣4＜a＜0，或a≥0；∴a＞﹣4；解|1﹣a|＜6得﹣5＜a＜7；∵P真Q假；∴；∴﹣5＜a≤﹣4；∴实数a的取值范围为（﹣5，﹣4]．17．（8分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣）×2=200（5x+1﹣）根据题意，200（5x+1﹣）≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0∴x≥3或x≤﹣∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣）×=90000（）=9×104[+]∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．18．（10分）解关于x的不等式x2+a（a+1）x+a3＞0．【解答】解：x2+（a2+a）x+a3＞0，即（x+a）（x+a2）＞0．当a=0时，原不等式化为x2＞0，不等式的解集为{x|x≠0}；当a=1时，原不等式化为（x+1）2＞0，不等式的解集为{x|x≠﹣1}；当0＜a＜1时，a2＜a，解得：﹣a＜x＜a2．所以，原不等式的解集为{x|﹣a＜x ＜﹣a2}；当a＜0或a＞1时，a＜a2，解得：﹣a2＜x＜﹣a，所以，原不等式的解集为{x|﹣a2＜x＜a}．综上：当a=0原不等式的解集为{x|x≠0}；a=1时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣a＜x＜﹣a2}；当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|﹣a2＜x＜a}．19．（10分）已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．【解答】解：（Ⅰ）解：（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+kx①当x2﹣1≥0时，即x≥1或x≤﹣1时，方程化为2x2+2x﹣1=0解得，因为，故舍去，所以．②当x2﹣1＜0时，﹣1＜x＜1时，方程化为2x+1=0解得由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以或．（II）解：不妨设0＜x1＜x2＜2，因为所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，若1＜x1＜x2＜2，则x1x2=＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．由f（x1）=0得，所以k≤﹣1；由f（x2）=0得，所以；故当时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解．当0＜x1≤1＜x2＜2时，，2x22+kx2﹣1=0消去k得2x1x22﹣x1﹣x2=0即，因为x2＜2，所以．20．（12分）已知函数（m为实常数）．（1）若函数y=f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；（2）若函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．【解答】解：（1）设P （x ，y ），则，=， 当m ＞0时，解得；当m ＜0时，解得， ∴或．（2）由题意，任取x 1、x 2∈[2，+∞），且x 1＜x 2， 则=＞0，∵x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，所以x 1x 2﹣m ＞0，即m ＜x 1x 2，由x 2＞x 1≥2，得x 1x 2＞4，所以m ≤4．∴m 的取值范围是（﹣∞，4]；（3）由f （x ）≤kx ，得， ∵，∴， 令，则t ∈[1，2]，所以k ≥mt 2+2t +1，令g （t ）=mt 2+2t +1，t ∈[1，2]， 于是，要使原不等式在有解，当且仅当k ≥g （t ）min （t ∈[1，2]）． ∵m ＜0， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∵t ∈[1，2]， ∴当，即时，g （t ）min =g （2）=4m +5； 当，即时，g （t ）min =g （1）=m +3， 综上，当时，k ∈[4m +5，+∞）； 当时，k ∈[m +3，+∞）．。
华师大二附中2016-2017学年高一上学期12月月考数学试卷 含解析
2016—2017学年上海市华师大二附中高一（上）12月月考数学试卷一.填空题1．已知2a=3，log35=b，则log1520= （用a，b表示）2．已知lg(x﹣y)+lg（x+2y）=lg2+lgx+lgy，则= ．3．已知a，b∈R，命题p：，命题q：|a+b｜=|a｜+｜b｜，则p是q成立的条件．4．函数的单调递增区间是：．5．借助计算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解x0= （精确到0。
01）6．设x∈R，［x］表示不大于x的最大整数，如，则使[｜x﹣1|］=3成立的x的取值范围．7．函数f（x）=﹣x2+2x的定义域和值域分别是［m，n]和[3m，3n］,则m+n= ．8．已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立,则a的取值范围是．9．已知函数y=f（x)和y=g(x)在[﹣2，2]的图象如，给出下列四个命题：（1）方程f[g(x）]=0有且仅有6个根（2）方程g[f(x)］=0有且仅有3个根（3）方程f[f（x）］=0有且仅有5个根（4）方程g［g（x)］=0有且仅有4个根其中正确命题是．10．设x，y为实数，且满足,则x+y= ．11．不等式（x+1)（x2﹣4x+3）＞0有多种解法,其中有一种方法如下,在同一直角坐标系中作出y1=x+1和y2=x2﹣4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设a,b∈Z，若对任意x≤0，都有(ax+2）(x2+2b）≤0，则a+b= ．12．已知函数若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是．二。
选择题13．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割(M，N），下列选项中，不可能成立的是（）A．M没有最大元素,N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素14．若函数f（x）对任意x，y∈R满足f（x+y）+f（x﹣y）=2f(x)f （y），则下列关于函数奇偶性的说法一定正确的是（)A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．是非奇非偶函数D．可能是奇函数也可能是偶函数15．在同一坐标系中，函数y=ax+1与y=a｜x﹣1｜（a＞0且a≠1)的图象可能是（)A．B．C．D．16．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD 边的中点,则当P沿着A﹣B﹣C﹣M运动时，以点P经过的路程x 为自变量，三角形APM的面积为y，函数y=f(x）的图象大致是（）A．B．C．D．三.解答题17．已知关于x的方程k•9x﹣3k•3x+6（k﹣5）=0，x∈［0，2］；分别求满足下列条件的实数k的取值范围:（1）有解;（2)有唯一解；（3）有两个解．18．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0。
上海市华东师大二附中2016届高三数学上学期期中试卷(含解析).
2015-2016学年上海市华东师大二附中高三(上)期中数学试卷一、填空题(本题满分56分)本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1 •已知全集U=R集合卩二二则？u M ____________________________.2.设乙=1 - i , Z2=a+2ai (a € R),其中i是虚数单位，若复数Z1+Z2是纯虚数，则a= _______________________3 .经过圆(x - 1) 2+y2=1的圆心M且与直线x - y=0垂直的直线方程是_____________________________ .4. A ABC 中，a, b, c 分别是角A, B, C 的对边，十：「= . ，则A ___________5. ____________________________________________________________________ 已知数列｛a n｝是等差数列，且a1+a7+a13=2 n，贝U tan (a2+a12)一________________________________________________ .6 .若命题"？ x € R,使得X+ (a - 1) x+1v 0”是真命题，则实数a的取值范围是 ______________________________ .7.对任意非零实数a、b，定义一种运算：a?b,其结果y=a?b的值由如图确定，贝U「，1 1: : '= _______________ ..开始.9•一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于11 •从集合A={ - 1, 1, 2}中随机选取一个数记为 k ，从集合B={ - 2, 1 , 2}中随机选取一个数记为b ,则直线y=kx+b 不经过第三象限的概率为 _________________________ •22 i i12 .不等式sin x+acosx+a > 1+cosx 对一切x € R 成立，则实数 a 的取值范围为 __________________________13. 如图已知每条棱长都为 3的直平行六面体 ABCt > ABCD 中，/ BAD=60，长为 2的线段MN 的一个端点M 在DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与直平行六面体的 面所围成的几何体的体积为 _____________________ . Di Ci4l Z ——Z& （理科）极坐标系中两点'-'：,则线10•若关于 x .y 的二元至多有 组解，则实数m 的取值范围左视團次方程组-i 2m丿14. 在平面直角坐标系中，定义，肮+1巩71(n€N*为点P n (X n, y n)到点P n+1 (X n+1 , y n+1 )的一个变换，我们把它称为点变换.已知P1 ( 0, 1), P2 (X2, 丫2),…，P n ( X n, y n), P n+1 (X n+1, y n+1)T・ J是经过点变换得到的一列点.设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n,那么’的值为TH—> QC 日15 .若X是一个集合，T是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于T , ?属于T ；②T中任意多个元素的并集属于T ；③T中任意多个元素的交集属于T .则称T是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a, b, c}，对于下面给出的四个集合T :①T ={?, {a} , {c} , {a , b, c}};②T ={?, {b} , {c} , {b , c} , {a , b, c}};③T ={?, {a} , {a , b}, {a , c}};④T ={?, {a , c} , {b, c} , {c} , {a , b , c}}.其中是集合X上的拓扑的集合T的序号是_________________________ .二、选择题(本题满分16分)本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分.16. A, B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2n ,则A, B两点间的球面距离为( )7T 2KA. nB. 2 nC.D.——3 317. 已知函数J'：；.. 〔二二、；,则“ f ( 2)V f ( 3)” 是“ f ( x)在区间(-2 , +s)上单调x+2递增”的什么条件.( )A.“充要” B .“充分不必要”C.“必要不充分”D.“既不充分也不必要”18.设直线系 M ： xcos 0 + (y - 2) sin 0 =1(0< 0 <2 n ),则下列命题中是真命题的个数是()① 存在一个圆与所有直线相交； ② 存在一个圆与所有直线不相交； ③ 存在一个圆与所有直线相切； ④M 中所有直线均经过一个定点；⑤ 不存在定点P 不在M 中的任一条直线上；⑥ 对于任意整数n (n >3),存在正n 边形，其所有边均在 M 中的直线上； ⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.A . 3B. 4C. 5D. 619. ( 2015秋?上海校级期中)在约束条件大值变化范围是( )A . [6 , 8]B . [6 , 15] C. [7, 8]2、x 、x 、x 、x 、x 的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是(三、解答题y+a. 221.关于x 的不等式「V 0的解集为(-1, b ).1 丸(1) 求实数a 、b 的值；TT(2) 若 Z 1=a+bi , Z 2=cos a +isin a ，且 zz 为纯虚数，求 二二：I 刁-i 的值.22. 如图，在四棱柱 ABC — ABCD 中，侧棱 AA 丄底面 ABCD AB// DC AA=1, AB=3K AD=4K BC=5k,彳下，若3<S <5,则目标函数 z=3x+2y 的最D [7 , 15]D. x > 120.长度分别为DC=6k, ( k > 0)(1)求证：CDL平面ADDA1(2)若直线AA与平面ABC所成角的正弦值为*求k的值(3) 现将与四棱柱 ABCD ABCD 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定: 若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在 这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f (k )，写出f (k )的解析式.(直接写出答案,不必说明理由)23. 如图，△ ABC 的内切圆与三边 ABBCCA 的切点分别为 D 、E 、F,已知「，C ■:, 内切圆圆心I (1, t ).设A 点的轨迹为L(1) 求L 的方程；(2) 过点C 作直线m 交曲线L 于不同的两点 M N,问在x 轴上是否存在一个异于点 C 的定点Q.使24.设S 是各项均为非零实数的数列 ｛a n ｝的前n 项和，给出如下两个命题上：命题 p : ｛a n ｝是等差数列；命题q ：等式| '' 对任意n (n € N*)恒成立，其中k , b 是常数. a i a2 a 2a 3a n an+l a l a n+](1) 若p 是q 的充分条件，求k , b 的值；(2) 对于(1)中的k 与b ，问p 是否为q 的必要条件，请说明理由； (3)若p 为真命题，对于给定的正整数 n(n > 1)和正数M 数列｛a n ｝满足条件 试求S 的最大值.Di Ci1QMI _ 1^1对任意的直线m 都成立？若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由.25•已知f(x) = ■,(1) 求f (f (x))；垃+](2) 对参数a的哪些值，方程|x|+| . ”|=a正好有3个实数解；~ 19 芨m "7 )(+7，X3，并且X i+X2+X3=b.(3) 设b为任意实数，证明：x+一…-…=b共有3个不同的实数解x i,i+l J2015-2016学年上海市华东师大二附中高三(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本题满分56分)本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1 •已知全集U=R 集合u-:，则?u M= {x|x V 1}.【考点】函数的定义域及其求法；补集及其运算.【专题】计算题.【分析】由题意全集U=R再根据函数的定义域写出集合M然后根据交集的定义和运算法则进行计算即可.【解答】解：因为集合M={x|x - 1> 0}={x|x > 1},全集U=R/•C u M={x|x V 1}.故答案为：{x|x V 1}.【点评】本题考查集合的补集运算和求函数的定义域，属容易题.2.设Z1=1 - i , Z2=a+2ai (a€ R),其中i是虚数单位，若复数Z1+Z2是纯虚数，则a= - 1【考点】复数的基本概念.【专题】计算题.【分析】首先把两个复数相加，实部和虚部分别相加，得到复数的标准形式，根据所给的复数是一个纯虚数，得到实部等于0，虚部不等于0,解出结果.【解答】解：Tz 1=1 - i , Z2=a+2ai ,/•z 1+Z2=a+1+ (2a- 1) i ,•••复数Z1+Z2是纯虚数，--a+1=0, 2a —1 工0,•/ a= —1,故答案为：-1.【点评】本题考查复数的基本概念和加减运算，是一个基础题，解题的关键是看清题目中的要求，注意一定要上虚部不等于0.3 .经过圆（x - 1） 2+y 2=1的圆心 M 且与直线x - y=0垂直的直线方程是x+y - 1=0【考点】圆的切线方程.【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】易得圆心坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可. 【解答】解：圆（x - 1） 2+y 2=1的圆心皿为（1, 0）, 又直线x - y=0的斜率为1, 由垂直关系可得要求直线的斜率为-1,•••直线方程为 y — 0= -（ x - 1） ,即卩 x+y - 1=0. 故答案为：x+y -仁0.【点评】 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及圆的标准方程，属基础题. 数.【解答】解：••• a= T , b=二 B=60°, •由正弦定理：=丄得：sinA==^= IsinA sinB b 2又 T < 一, 即 a < b ,• A < B ? 则 A=45 . 故答案为：45°【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理 是解本题的关键.5.已知数列｛ad 是等差数列，且 a 1+a ?+a 13=2n ，贝U tan （a z +aQ —_【考点】等差数列的性质.4.A ABC 中，a , b , c 分别是角 A, B , C 的对边,【考点】正弦定理. 【专题】计算题.【分析】由a , b 及sinB 的值，利用正弦定理求出J二匸、「「匚-_i.n '则A= _____sinA 的大角得到A 小于B,确定出A 的范围，进而由sinA 的值，利用特殊角的三角函数值即可求出【专题】等差数列与等比数列.【分析】由等差数列的性质易得a?二亠一，进而可得tan (a z+aQ =tan (2a?)，代值计算可得.3【解答】解：由等差数列的性质可得a i+a7+a i3=3a7=2n,「.a 7='',• tan ( a2+a12) =tan (2a7)=tan 上一=\故答案为：—【点评】本题考查等差数列的性质，涉及正切的运算，属基础题.6 .若命题"？ x € R,使得X+ (a - 1) x+1v 0”是真命题，则实数a的取值范围是(_8,_ 1)U(3, +s)【考点】二次函数的性质.【专题】计算题.【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“？ x € R,使得x2+ ( a- 1) x+1v0”，则相应二次方程有不等的实根.【解答】解：•••“ ? x€ R,使得x2+ (a - 1) x+1v 0•••x2+ (a - 1) x+1=0有两个不等实根2• △ = ( a - 1) - 4 > 0•. a v- 1 或a > 3故答案为：(-8,- 1 )U( 3, +m)【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面.7.对任意非零实数a、b，定义一种运算：a?b，其结果y=a?b的值由如图确定，则:宀V」=1 .【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图.【分析】通过程序框图判断出新运算S=a?b的解析式，化简-■皿.一 ,1—1再利用新运算法则求出值.【解答】解：由程序框图知S=a?b=b-1 / ------- a<ba或b>aI b-4 -1=3?4= =1故答案为：1.【点评】本题考查判断程序框图的功能即判断出新运算法则•利用运算法则求值，属于基础题.& （理科）极坐标系中两点：—-:，则线段AB的长等于6 L【考点】由三视图求面积、体积.【专题】数形结合；定义法；坐标系和参数方程.【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段AB的长即可.【解答】解：极坐标系中「3「一7〉•••线段AB的长为|AB|= 二•：一：厶工 | =".故答案为：r:.【点评】 本题考查了极坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目.【专题】计算题.【分析】由三视图知，原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，再根据三视图得到球的半径 和正方体的棱长，即可求体积【解答】解：由三视图知原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，球的直径为 2,半径为1,正方体的棱长为2•••原几何体的体积为： 「二.■ ' J. <■' 'J -<4K故答案为：一:【点评】本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，能根据三视图找到原几何体的长度关系，要求有较好的空间想象力.属简单题【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组；二元一次方程组的矩阵形式. 【专题】计算题.【分析】先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后消去 y 得(卅-1) x=m(m- 1),组解,则实数m 的取值范围是(-俯视图【考点】由三视图求面积、体积.10.若关于x, y 的二元一次方程组严］至多有当m r 1工0时(mf- 1) x=m (m- 1)至多有一组解，从而求出m的范围.【解答】解：关于x, y的二元一次方程组(加1沪］孑时*1朗八y丿I血丿即二元一次方程组俨+尸趾①①x m-②得(m - 1) x=m (m- 1)当m- 1工0时(mi - 1) x=m (m- 1)至多有一组解/• nm^l故答案为：(-g, 1)U( 1, +s)【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解的个数，以及矩阵的乘法运算，属于中档题.11.从集合A={ - 1, 1, 2}中随机选取一个数记为k，从集合B={ - 2, 1, 2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为 _「_.■J【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】计算题；概率与统计.【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件( k, b)的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的( k, b)有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果.【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k € A={ - 1, 1, 2} , b € B={ - 2, 1, 2},得到(k, b)的取值所有可能的结果有：(- 1, - 2); (- 1, 1); (- 1, 2);( 1,- 2);(1, 1)；( 1, 2);(2,- 2);( 2, 1);( 2 , 2)共9 种结果.fk<0而当' 时，直线不经过第三象限，符合条件的( k , b)有2种结果，•••直线不过第四象限的概率P=,故答案为'.【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事 件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到， 属于基础题.12.不等式sin 2x+acosx+a 2> 1+cosx 对一切x € R 成立，则实数a 的取值范围为 a 》l 或a w - 2【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用. 【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质. 【分析】不等式进行等价转化为关于 cosx 的一元二次不等式，禾U 用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案.【解答】 解；不等式等价于 1 - cos 2x+acosx+a 2- 1 - cosx >0,恒成立， 整理得-cos 2x+ (a - 1) cosx+a 2>0, 设 cosx=t ，则-1 w t w 1,2 2 __g (t ) =- t + (a - 1) t+a ，要使不等式恒成立需fg ⑴=~ 1+a^ 1+ a 2>0\，求得 a >1 或 a w - 2,I g ( -1)二-]-时1+/故答案为：a >1或a w - 2.【点评】 本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质.注重了对数形结合思想的运用 和问题的分析.3的直平行六面体 ABCD- ABCD 中，/ BAD=60，长为 2的线段 MN 的一个端点M 在DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与直平行六面体的 面所围成的几何体的体积为—一 9 —【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征. 【专题】计算题.13.如图已知每条棱长都为 £>i ___ Ci【分析】先推导点P 的轨迹，从而确定点 P 与平行六面体所围成的几何体的形状，然后求几何体的 体积 【解答】 解：取AB 的中点E 连接DE 由题意知 DEL AB DEL CD以DE 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 所在直线为z 轴建立如图空间直角坐标系 设 M(0, 0, z ), N (x , y , 0),则 P (-二-■i -i u■_MN= J] ..：；： ； —.•.x 2+y 2+z 2=4(专)2=i• oP=1即 0P=1又•••/ BAD=60 •••/ ADC=120 •••点P 的轨迹是球的,6【点评】 本题考查几何体的体积，须先用代数法确定点的轨迹，然后熟练应用体积公式即可•属中 档题•••点P 的轨迹是以原点 D 为球心，以1为半径的球的.•.几何体的体积为一®十］-y“*14.在平面直角坐标系中，定义*(n € N 为点P n (X n , y n )到点F n+1 (X n+1, y n+1)的一mrt个变换，我们把它称为点变换.已知P 1 ( 0, 1), F 2 (X 2, y 2),…，F n ( X n , y n ),F n+1 (X n+1, y n+1)T ・ J是经过点变换得到的一列点.设a n =|P n P n+1|，数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,那么 ’的值为=心汪n—2+ J.【考点】数列的极限.【专题】 新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列.【分析】 由题设知 a 1=| (0, 1) ? (1, 1) |=1 ,a 2=| (1, 1) ? (0, 2)1=二，a 3=|(0, 2) ? (2,此可求出解：由题设知 P 1 (0, 1), Pa ( 1, 1), a 1=|P 1P 2|=1 ,且当 n 》2 时，a n =|P n P n+1| = ( X n+1 - X n )一( y n+1 - y n )=[(y n - X n ) - X n ]2+[ ( y n +X n )- y n ] 2=5X n 2 - 4X n y n +y n?a n — 12=|P n —1P n | 2= ( X n 一 X n - 1) 2_(『n -『n -1)2 ①2)1=2 a 4= | (2, 2) ? ( 0, 4) |=2■•,…，a n = (、.：.「•)" 1, S n =a 1+a 2+a 3a n =【解答】 由定义■31 y n ® 5",得，S+l 二拓+打X n =^n-1 ~ 17n =y n-l +l n-l ?代入①计算化简得 a n2 2 ：咒匸 _ 〒 2 丁一二 2 -22 ' 21=|P n -1P n | = (' ) + C ) =( 5X n - 4X n Y n +y n ) = & .2 2 二 £亠「心2),•••数列｛a n ｝是以二为公比的等比数列，且首项 a 1=1,V2-1_________________________ 1~（vi ）V2 -1故答案为：1【点评】本题考查集合的性质和运算，解题时要注意等比数列前 题.15 .若X 是一个集合，T 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于T , ?属于T ；② T 中任意多个元素的并集属于 T ；③T 中任意多个元素的交集属于T .则称T 是集合X 上的一个拓扑.已知集合 X={a , b , c}，对于下面给出的四个集合 T :① T ={?, {a} , {c} , {a , b , c}}; ②T ={?, {b} , {c} , {b , c} , {a , b , c}};③ T ={?, {a} , {a , b}, {a , c}};④ T ={?, {a , c} , {b , c} , {c} , {a , b , c}}. 其中是集合X 上的拓扑的集合T 的序号是 ②④.【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】 压轴题；新定义.【分析】根据集合X 上的拓扑的集合 T 的定义，逐个验证即可：①{a} U {c}={a , c}? T ,③{a , b} U {a , c}={a , b , c}? T ,因此①③都不是；②④满足：①X 属于T , ?属于T ；②T 中任意多个元素的并集属于 T ；③T 中任意多个元素的交集属于T ,因此②④是，从而得到答案.【解答】解：① T ={?, {a} , {c} , {a , b , c}}； 而{a} U {c}={a , c}?T ，故①不是集合 X 上的拓扑的集合 T ；②T ={?, {b} , {c} , {b , c} , {a , b , c}}，满足：①X 属于T , ?•・S n=81+82+83+…+a n=（V2）'"I 雄亠1-丄—-_?% 应- 1-「 !,n 项和公式的合理运用，属于中档属于T ;②T中任意多个元素的并集属于T ；③T中任意多个元素的交集属于T因此②是集合X上的拓扑的集合T；③T ={?, {a} , {a , b}, {a , c}};而{a , b} U {a , c}={a , b, c} ? T ,故③不是集合X上的拓扑的集合T ;④T ={?, {a , c} , {b, c} , {c} , {a , b, c}}.满足：①X属于T , ?属于T ;②T中任意多个元素的并集属于T;③T中任意多个元素的交集属于T因此④是集合X上的拓扑的集合T；故答案为②④.【点评】此题是基础题.这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意.本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高.、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分•16. A, B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2n，则A, B两点间的球面距离为（）K 2冗A. nB. 2 nC. 一.D.3 3【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题.【专题】数形结合；数形结合法；立体几何.【分析】求出球的半径，利用等边三角形求出/ AOB的大小，再求球面距离弧AB【解答】解：根据题意画出示意图，如图所示：•••球的半径为R=2,且以线段AB为直径的小圆周长为2 n ,•••小圆直径为AB=2;•••在三角形AOB中, A0=AB=B0=2AOB=,3R= • A, B两点间的球面距离为:故选：D.【点评】本题考查了球面距离的应用问题，也考查了圆的周长与弧长的计算问题，是基础题目.17. 已知函数f ：「空丄；二二三|，则“ f ( 2 )V f (3)”是“ f ( x)在区间(-2, +R)上x+2单调递增”的什么条件.( )A.“充要” B .“充分不必要”C.“必要不充分”D.“既不充分也不必要”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】先求出函数f ( x)的导数，求出“ f ( x)在区间(-2, +R)上单调递增”的充要条件，从而得到答案.(ax+1)"(聲+2) - (ax+1) tx+2)72a~ 1【解答】解：f'( x)= =一.,(计2)2(x+2)2如f (x)在区间(-2, +8)上单调递增，则2a- 1 >0,解得：a> ,由f (2)v f (3),得："'，解得：a> ,4 5 2故f (2)v f (3)”是“ f ( x)在区间(-2, +8)上单调递增”的充要条件，故选：A.【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道基础题.18. 设直线系M：xcos 0 + (y- 2) sin 0 =1(0< 0 <2 n ),则下列命题中是真命题的个数是()①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；⑥ 对于任意整数n (n >3),存在正n 边形，其所有边均在 M 中的直线上； ⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.【考点】直线的斜截式方程.【分析】根据已知可知直线系 M 都为以（0, 2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以①对；存在圆心为（0, 2），半径为「的圆与直线都不相交，所以②对；③显然对；④错；2⑤错，存在可取一点（0，2）即可验证；⑥可去三角形的外接正三角形所有边均在 M 中的直线上且面积相等，所以⑥都正确•⑦可以举反例.【解答】解：根据直线系 M ： xcos 0 + （ y - 2） sin 0 =1 （0< 0 <2 n ）得到所有直线都为圆心为（0,2）,半径为1的圆的切线；可取圆心为（0, 2）,半径分别为2, , 1得到①②③正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定 点，④错；存在（0, 2）不在M 中的任一条直线上，所以⑤错；存在等边三角形的三边都在 M 中的直线上，⑥对，可取圆的外接正三角形其所有边均在M 中的直线上且面积相等；⑦可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可知⑦错误；故①②③⑥正确，④⑤⑦ 错，所以真命题的个数为 4个 故选：B【点评】考查学生利用直线的斜截式方程得到直线系M 为平面内除过一个圆的区域.19.（ 2015秋?上海校级期中）在约束条件 2x+y<4 下，若3<S <5,则目标函数 z=3x+2y 的最大值变化范围是（ ）A . [6 , 8]B . [6 , 15] C. [7, 8] D. [7 , 15]【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】先根据约束条件画出可行域， 设z=3x+2y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过可行域内的点时，从而得到z=3x+2y 的最大值即可.【解答】解：先根据约束条件画出可行域，A . 3B. 4C. 5D. 6将z的值转化为直线z=3x+2y在y轴上的截距，当S=3时，对应的平面区域为四边形OCAD当直线z=3x+2y经过点A （1, 2）时，z最大，最大值为7.当S=5时，对应的平面区域为三角形OBD当直线z=3x+2y经过点B （0, 4）时，z最大，最大值为8,故当3< S W5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[7, 8].故选：C【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想, 利用数形结合是解决本题的关键.20. 长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（）A. B . 匚 D.x> 13 3 3 3【考点】棱锥的结构特征.【专题】压轴题；探究型.【分析】用极限的角度考虑，可求x接近最小的数值，得不到最大值，求出结果.【解答】解：用极限的角度考虑，四面体趋近于在一个平面内的菱形时x最小，不能低于二丄，最大可以无穷大（就是两个等边三角形的二面角可以无限趋于0）,【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题.x+a 221 .关于x的不等式v 0的解集为（-1, b）1 兄（1）求实数a、b的值；(2)若 z i =a+bi , Z 2=cos a +isin a ，且 zz 为纯虚数，求 ..一丨.丄1 的值.3【考点】二阶矩阵；两角和与差的余弦函数. 【专题】计算题.【分析】(1)将原不等式转化为(x+a ) x - 2v 0,即x 2+ax - 2v 0，根据解集为(-1, b )得到-1, b 是方程x 2+ax - 2=0的两个根，结合根与系数的关系即可列出关于 a , b 的方程组，并利用解二元一次方程组的方法即可求解(2)根据Z 1Z 2为纯虚数，得知实部为0，虚部不为0，即可得到关于a 的条件式・tan a =-」，再利用两角差的余弦，倍角公式和同角的三角关系将解：(1)原不等式等价于(x+a ) x - 2v 0,2即 x +ax - 2v 0解得 a=- 1, b=2.(2) Z 1= - 1+2i , Z 1Z 2= (- cos a - 2sin a ) +i (2cos a - sin a )cos a +2sinCl~0 2cos^ -吕in 。
上海大学附中2015-2016学年高一上学期12月段考数学试卷 含解析
2015-2016学年上海大学附中高一（上）12月段考数学试卷一.填空题(本大题满分36分）本大题共有12题,只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分. 1．若f（x）=，则f（x)•g（x）= ．2．对于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的条件．3．集合A={y｜y=﹣x2﹣3｝，B={y|y=x2+2x﹣4}，则A∩B=．4．函数f(x）=x+(a＞0）在（0，3］上单调递减，则实数a的取值范围是．5．已知f（x)=｜x+1｜+｜x﹣a|为偶函数，则a= ．6．函数的值域是．7．若函数f（x）=ax+b（a≠0）有一个零点是1，则g （x）=bx2﹣ax的零点是．8．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x)=﹣x2+x，则当x∈（0，+∞)时，f(x）．9．已知函数f(x）=在区间［0,2]上单调递减，则a的取值范围是．10．若函数y=f（x）的值域是，则函数y=f（x）﹣2的最小值是．11．若不等式m2﹣2km≥0对所有k∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是．12．对于函数f(x），若存在x0∈R，使f(x0）=x0，则称x0是f（x)的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在［1，3]恒有两个不同的不动点,则实数a的取值范围．二．选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的,选对得4分，否则一律得零分。
13．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是( ）A． B．C．a2＜b2D．|a｜＞|b| 14．下列函数中，与y=x﹣1为同一函数的是（）A．y=B．y=C．y=D．15．设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题:①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x)≤M，则M是函数f(x）的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；③若存在x0∈R,使得对任意x∈R，有f(x）≤f(x0），则f（x0）是函数f（x)的最大值．这些命题中，真命题的个数是（)A．0 B．1 C．2 D．316．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0）,x2∈（x0,+∞），则（)A．f（x1）＜0,f(x2）＜0 B．f(x1）＜0,f（x2）＞0 C．f （x1）＞0,f（x2）＜0 D．f（x1）＞0,f(x2）＞0三、解答题（本大题满分48分)本大题有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.(6+8+10+10+14）17．已知关于x的方程有非负根，求实数a 的取值范围．18．若集合A=，若B⊆A，求实数m的取值范围．19．已知幂函数（m∈Z)的图象关于y轴对称，且g（2）＜g(3）(1）求m的值和函数g（x）的解析式；(2)函数f（x)=ag（x)+a2x+3(a∈R）在区间［﹣2，﹣1]上是单调递增函数，求实数a的取值范围．20．设函数f（x)=2x﹣1﹣1．(1）分别作出y=f（|x｜)和y=｜f(x）|的图象，（2）求实数a的取值范围，使得方程f（｜x|）=a与|f(x）|=a都有且仅有两个实数解．21．对于函数f1(x）,f2（x）,h（x）,如果存在实数a，b 使得h（x）=a•f1(x)+b•f2（x），那么称h（x）为f1(x），f2（x)的生成函数．（1)函数f1（x）=x2﹣x，f2（x)=x2+x+1，h(x）=x2﹣x+1，h(x）是否为f1（x），f2(x)的生成函数？说明理由;（2）设f1(x)=1﹣x，f2（x)=，当a=b=1时生成函数h(x),求h(x）的对称中心（不必证明）;（3）设f1（x）=x，(x≥2）,取a=2,b＞0,生成函数h（x），若函数h（x）的最小值是5，求实数b的值．2015—2016学年上海大学附中高一（上）12月段考数学试卷参考答案与试题解析一。
上海市高一第一学期期中数学试卷(共3套)
上海市华师大二附中高一上学期期中考试试题数学一、填空题：（每空3分，共42分）1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则B A =2、不等式032≥+-x x 的解集为_____________（用区间表示） 3、已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P ＝4、已知全集U=R ，集合}065|{2≥--=x x x P ，那么U C P =5、已知集合A={1，3，2m+3}，B={3, 2m }，若A B ⊆，则实数m=_____6、设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =7、满足{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是8、已知R x ∈，命题“若52<<x ，则01072<+-x x ”的否命题是9、设0>x ，则13++x x 的最小值为 10、若关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集是11、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是12、若关于x 的不等式123222--≤+-a a x x 在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是 。
13、设实数b a ,满足302=++b ab a ，且0,0>>b a ，那么ab1的最小值为 14．定义满足不等式(,0)x A B A R B -<∈>的实数x 的集合叫做A 的B 邻域。
若a b t +-（t 为正常数）的a b +邻域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为二、选择题：（每题3分，共12分）15、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则( )（A ）M N =∅ （B ） M N M = （C ）M N M = （D ）M N R =16、下列命题中正确的是：（ ）（A ）若bc ac >，则b a >(B) 若a 2>b 2，则b a > （C ）若b a 11>，则b a < (D) 若b a <，则b a <17、设命题甲为“0<x<5”，命题乙为“|x-2|<3”，那么甲是乙的：（ ）（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件18、对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若,,1a b R a b +∈+=且，则122a b --的上确界为（ ） A ．92 B ．92- C ．41 D ．4- 三、解答题：（6＋6＋8＋6＋8＋12分，共46分）19、解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--≤++0862132x x x x 20、记关于x 的不等式0111<++-x a 的解集为P ，不等式3|2|<+x 的解集为Q （1）若3a =，求P ；（2）若Q Q P = ，求正数a 的取值范围。
2016-2017年上海市华东师大二附中高一上学期数学期中试卷带答案
．
9．（3 分）已知函数
为 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围
是
．
10．（ 3 分）函数 y=f（x）定义域是 D，若对任意 x1， x2∈D，当 x1＜x2 时，都有
f（x1）≤ f（x2），则称函数 f（ x）在 D 上为非减函数，设函数 y=f（ x）在 [ 0，1]
上为非减函数，满足条件：① f（0）=0；② f （ ）= f（ x）；③ f（ 1﹣ x） =1﹣f
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2016-2017 学年上海市华东师大二附中高一（上）期中数 学试卷
参考答案与试题解析
一 .填空题 1．（3 分）已知全集 U={ 1，2，3，4，5，6，7，8} ， M={ 1，3，5，7} ， N={ 5， 6，7} ，则 Cu（ M ∪N）= { 2，4，8} ． 【解答】 解：∵ M={ 1，3，5， 7} ，N={ 5， 6， 7} ， ∴ M∪N={ 1，3，5，6，7} ， 又全集 U={ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8} ， 则 Cu（ M∪N） ={ 2，4，8} ． 故答案为： { 2， 4，8}
【解答】 解：命题 p：（ x﹣ m）（ x﹣m ﹣2）≤ 0? m≤ x≤m+2， 命题 q：| 4x﹣3| ≤1? ﹣1≤4x﹣3≤1? ≤x≤1，
∵ p 是 q 的必要非充分条件 ∴ [ ， 1] ? [ m，m+2]
∴
（等号不能同时成立） ? ﹣1≤m≤
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故答案为：
）
A．xy＞yz B．xz＞ yz C．xy＞ xz D．x| y| ＞z| y|
13．（ 3 分）下列判断中正确的是（
）
A．
2015-2016年上海市华师大二附中高一(上)数学期中试卷和答案
2015-2016学年上海市华师大二附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A={x|x≤a}，B={x|﹣2≤x＜1}，若A∪B=A，则实数a的取值范围是．2．（4分）命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是．3．（4分）已知函数，则f（x）•g（x）=．4．（4分）已知四组函数：①与；②f（x）=x0与；③与；④f（x）=2x，D={0，1，2，3}与．表示同一函数的是．（写出所有符合要求的函数组的序号）5．（4分）设集合M={x|5﹣|2x﹣3|∈N*}，则M的所有真子集的个数是．6．（4分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为．7．（4分）已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＞0），若p 是q的充分不必要条件，则实数m的范围是．8．（4分）已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是．9．（4分）若函数，则不等式的解集为．10．（4分）我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①；②．11．（4分）设a+b=2，b＞0，则当a=时，取得最小值．二、选择题（每小题3分，共12分）12．（3分）若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．313．（3分）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．ab=0 B．a+b=0 C．a2+b2=0 D．a=b14．（3分）若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．15．（3分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S三、解答题（共48分，写出必要的解答过程）16．（8分）已知命题P：|1﹣a|＜6，命题Q：{x|x2+（a+2）x+1=0}∩R+=∅．命题P真Q假，求实数a的取值范围．17．（8分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．18．（10分）解关于x的不等式x2+a（a+1）x+a3＞0．19．（10分）已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．20．（12分）已知函数（m为实常数）．（1）若函数y=f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；（2）若函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．2015-2016学年上海市华师大二附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合A={x|x≤a}，B={x|﹣2≤x＜1}，若A∪B=A，则实数a的取值范围是a≥1．【解答】解：∵A∪B=A，∴B⊆A∵A={x|x≤a}，B={x|﹣2≤x＜1}，∴a≥1故答案为：a≥1．2．（4分）命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3．【解答】解：命题“若实数a，b满足a+b＜7，则a=2且b=3”的否命题是“若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠3”，故答案为：若实数a，b满足a+b≥7，则a≠2或b≠33．（4分）已知函数，则f（x）•g（x）=﹣，x∈（﹣1，3）．【解答】解：由3+2x﹣x2＞0得：x∈（﹣1，3），∵函数，∴f（x）•g（x）=﹣（3+2x﹣x2）•=﹣，x∈（﹣1，3），故答案为：﹣，x∈（﹣1，3）4．（4分）已知四组函数：①与；②f（x）=x0与；③与；④f（x）=2x，D={0，1，2，3}与．表示同一函数的是②③．（写出所有符合要求的函数组的序号）【解答】解：①中，=|x|﹣1，=x﹣1，解析式不一致，不是同一函数；②中，f（x）=x0=1（x≠0），=1（x≠0），定义域，解析式均一致，是同一函数；③中，=|x|，（x≠0），，定义域，解析式均一致，是同一函数；④中，f（x）=2x，D={0，1，2，3}与，解析式不一致，不是同一函数．故表示同一函数的是：②③，故答案为：②③5．（4分）设集合M={x|5﹣|2x﹣3|∈N*}，则M的所有真子集的个数是15．【解答】解：M={x|5﹣|2x﹣3|∈N*}，当x≥时，M={x|8﹣2x∈N*}，x=2，3当x＜时，M={x|2+2x∈N*}，x=1，0∴M={0，1，2，3}真子集的个数为24﹣1=15，故答案为：15．6．（4分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．【解答】解：当x≥0时，|x|=x，原不等式变形为：（1+x）（1﹣x）＞0，可化为或，解得：﹣1＜x＜1，不等式的解集为[0，1）；当x＜0时，|x|=﹣x，原不等式变形为：（1+x）（1+x）＞0，解得x≠﹣1，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）7．（4分）已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＞0），若p 是q的充分不必要条件，则实数m的范围是（2，+∞）．【解答】解：由命题得|x﹣1|≤2，解得﹣1≤x≤3，即p：﹣1≤x≤3．由x2﹣2x+1﹣m2＜0（m＞0），得1﹣m＜x＜1+m，即q：1﹣m＜x＜1+m，m＞0，∵p是q的充分不必要条件，∴，即，∴m＞2，故答案为：（2，+∞）．8．（4分）已知集合，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是．【解答】解：∵，且2∈A，3∉A，∴，解得：≤a或2＜a≤3故答案为．9．（4分）若函数，则不等式的解集为．【解答】解：由题意可得x＞0，由基本不等式可得f（x）≥2，再根据函数f（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，令x+=，求得x=，或x=2，故不等式的解集为（，2），故答案为：（，2）．10．（4分）我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①若a|b，b|c，则a|c；②若a|b，c|d，则ac|bd．【解答】解：类比课本中不等关系的基本性质，①传递性a＜b，b＜c，则a＜c；②0＜a＜b，0＜c＜d，则ac＜bd．写出整除关系的两个性质：①若a|b，b|c，则a|c；②若a|b，c|d，则ac|bd；故答案为：①若a|b，b|c，则a|c；②若a|b，c|d，则ac|bd．11．（4分）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．【解答】解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a＜2）设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）==，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a=时，取得最小值．综合，则当a=﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．二、选择题（每小题3分，共12分）12．（3分）若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由，可得0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，故选：C．13．（3分）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．ab=0 B．a+b=0 C．a2+b2=0 D．a=b【解答】解：由奇函数的性质可得：f（0）=b=0，∴f（x）=x|x+a|，则f（﹣x）+f（x）=0，∴﹣x|﹣x+a|+x|x+a|=0，x≠0时，|x﹣a|=|x+a|恒成立，则a=0．∴函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，即a2+b2=0．故选：C．14．（3分）若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：当a=1，b=﹣1时，选项A、B、C中的不等式都不成立，只有D成立，故选：D．15．（3分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S【解答】解：方法一：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D 均错误；只有B成立，故选B．直接法：根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x ＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，∴x＜y＜z…①，y＜z＜x…②，z＜x＜y…③三个式子中恰有一个成立；z＜w＜x…④，w＜x＜z…⑤，x＜z＜w…⑥三个式子中恰有一个成立．配对后有四种情况成立，第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S；第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S．故选：B．三、解答题（共48分，写出必要的解答过程）16．（8分）已知命题P：|1﹣a|＜6，命题Q：{x|x2+（a+2）x+1=0}∩R+=∅．命题P真Q假，求实数a的取值范围．【解答】解：根据命题Q知，方程x2+（a+2）x+1=0无解，或实根小于0；∴△=（a+2）2﹣4＜0，或；解得﹣4＜a＜0，或a≥0；∴a＞﹣4；解|1﹣a|＜6得﹣5＜a＜7；∵P真Q假；∴；∴﹣5＜a≤﹣4；∴实数a的取值范围为（﹣5，﹣4]．17．（8分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣）×2=200（5x+1﹣）根据题意，200（5x+1﹣）≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0∴x≥3或x≤﹣∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣）×=90000（）=9×104[+]∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．18．（10分）解关于x的不等式x2+a（a+1）x+a3＞0．【解答】解：x2+（a2+a）x+a3＞0，即（x+a）（x+a2）＞0．当a=0时，原不等式化为x2＞0，不等式的解集为{x|x≠0}；当a=1时，原不等式化为（x+1）2＞0，不等式的解集为{x|x≠﹣1}；当0＜a＜1时，a2＜a，解得：﹣a＜x＜a2．所以，原不等式的解集为{x|﹣a＜x ＜﹣a2}；当a＜0或a＞1时，a＜a2，解得：﹣a2＜x＜﹣a，所以，原不等式的解集为{x|﹣a2＜x＜a}．综上：当a=0原不等式的解集为{x|x≠0}；a=1时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣a＜x＜﹣a2}；当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|﹣a2＜x＜a}．19．（10分）已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．【解答】解：（Ⅰ）解：（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+kx①当x2﹣1≥0时，即x≥1或x≤﹣1时，方程化为2x2+2x﹣1=0解得，因为，故舍去，所以．②当x2﹣1＜0时，﹣1＜x＜1时，方程化为2x+1=0解得（II）解：不妨设0＜x1＜x2＜2，因为所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，若1＜x1＜x2＜2，则x1x2=＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．由f（x1）=0得，所以k≤﹣1；由f（x2）=0得，所以；故当时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解．当0＜x1≤1＜x2＜2时，，2x22+kx2﹣1=0消去k得2x1x22﹣x1﹣x2=0即，因为x2＜2，所以．20．（12分）已知函数（m为实常数）．（1）若函数y=f（x）图象上动点P到定点Q（0，2）的距离的最小值为，求实数m的值；（2）若函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（3）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在有解，求k的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y），则，=，当m＞0时，解得；当m＜0时，解得，∴或．（2）由题意，任取x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则=＞0，∵x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以x1x2﹣m＞0，即m＜x1x2，（3）由f（x）≤kx，得，∵，∴，令，则t∈[1，2]，所以k≥mt2+2t+1，令g（t）=mt2+2t+1，t∈[1，2]，于是，要使原不等式在有解，当且仅当k≥g（t）min（t∈[1，2]）．∵m＜0，∴图象开口向下，对称轴为直线，∵t∈[1，2]，∴当，即时，g（t）min=g（2）=4m+5；当，即时，g（t）min=g（1）=m+3，综上，当时，k∈[4m+5，+∞）；当时，k∈[m+3，+∞）．。
2024届上海市华东师大二附中高一化学第一学期期中学业水平测试试题含解析
2024届上海市华东师大二附中高一化学第一学期期中学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、下列示意图中，白球代表氢原子，黑球代表氦原子，方框代表容器，容器中间有一个可以上下滑动的隔板(其质量可忽略不计)。
其中能表示等质量的氢气与氦气的是A．B．C．D．2、设N A表示阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A．将1 L 2 mol/L的FeCl3溶液制成胶体后，其中含有氢氧化铁胶粒数为2N AB．常温常压下，23 g NO2和N2O4的混合气体一定含有N A个氧原子C．1 L 0.1 mol/L NaHSO4溶液中含有0.1 N A个HSO4-D．向某无色溶液中滴加BaCl2溶液，产生白色沉淀，原溶液中一定含有SO42-3、用10mL的0.1mol·L-1BaCl2溶液恰好可使相同体积的硫酸铁、硫酸锌和硫酸钾三种溶液中的硫酸根离子完全转化为硫酸钡沉淀，则三种硫酸盐溶液的物质的量浓度之比是A．3∶1∶1 B．3∶2∶2 C．1∶2∶3 D．1∶3∶34、实验室用足量的锌粒和100mL稀硫酸制备氢气，当收集到标准状况下1.12L H2时，反应停止，下列说法不正确的是A．稀硫酸中H+的浓度是0.5mol/L B．消耗硫酸物质的量是0.05 molC．消耗锌的质量是3.25g D．氢气中可能混有水蒸气5、下列应用利用了氧化还原反应原理的是A．用酒精擦去衣服上的油迹B．用生石灰作干燥剂C．食品包装袋中放置铁粉包防止食品变质D．用稀盐酸除去铁锈6、设阿伏伽德罗常数的符号为N A，标准状况下某种O2和N2的混合气体mg含有b个分子，则ng该混合气体在相同状况下所占的体积（L）是A ．A22.4nb N B ．A22.4mb n N C ．A22.4n mbN D ．A22.4nb m N7、2018年10月3日瑞典皇家科学院宣布，将授予美国科学家弗朗西斯·阿诺德(Frances H. Arnold)、美国科学家乔治·史密斯(George P. Smith)及英国科学家格雷戈里· 温特尔(Sir Gregory P. Winter)三位科学家2018诺贝尔化学奖，以表彰他们在酶的定向演化以及用于多肽和抗体的噬菌体展示技术方面取得的成果。
上海市华东师大二附中高一(上)10月月考数学试卷含答案(1)
上海市华东师大二附中高一（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（4分）设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若A∩B=B，则实数a组成的集合是．2．（4分）设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|≥1}，则图中阴影部分所表示集合是．3．（4分）用集合的描述法表示：除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点组成的集合．4．（4分）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根x1＞2且x2＞2的充要条件是．5．（4分）不等式组的解集为．6．（4分）关于x的不等式的解集为．7．（4分）若|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m对一切x∈R恒成立，则实数m 的取值范围为．8．（4分）已知点H是正三角形ABC内部一点，△HAB，△HBC，△HCA的面积值构成一个集合M，若M的子集有且只有4个，则点H需满足的条件为．9．（4分）已知集合A={x|﹣2k+6＜x＜k2﹣3}，B={x|﹣k＜x＜k}，若A⊊B，则实数k的取值范围为．10．（4分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，﹣4≤f（﹣1）≤﹣1，2≤f（1）≤5，4≤f（2）≤9，则f（3）的取值范围为．11．（4分）使不等式x2+（a﹣6）x+9＞0（|a|≤1）恒成立的x的取值范围是．12．（4分）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是．13．（4分）集合M={6666，﹣11135，2333，10，99111，﹣1，﹣198，1000，0，π}有10个元素，设M的所有非空子集为M i（i=1，2，…，1023），每一个M i中所有元素乘积为m i（i=1，2，…，1023），则m1+m2+m3+…+m1023=．14．（4分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义，若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=．二.选择题15．（5分）某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时，该命题不成立B．当n=6时，该命题成立C．当n=4时，该命题不成立D．当n=4时，该命题成立16．（5分）若非空集合A、B、C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则“x∈C”是“x ∈A”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．4个18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2三.解答题19．（12分）你能从“盐水加盐变得更咸了”这一生活常识中提炼出一个不等式吗？若能，请写出这个不等式并证明；若不能，此题你将没有分．20．（14分）解关于x的不等式：．21．（14分）已知△ABC的三边为a，b，c，求证：二次方程与x2+2ax+b2=0与x2+2cx ﹣b2=0有一个公共根的充要条件是∠A=90°．22．（16分）对于x∈R，f（x）表示x﹣1与|x2﹣4x+3|中较大的一个值；（1）求f（0）、f（1）、f（2）、f（3）；（2）作出函数y=f（x）的图象；（3）若方程f（x）=k（x﹣1）在[0，2]内有两个解，求实数k的取值范围．23．（18分）已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*）．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由．（Ⅱ）若n=1000时①若集合S具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．上海市华东师大二附中高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（4分）设A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若A∩B=B，则实数a组成的集合是．【分析】由题意：A∩B=B，可得B⊆A，那么有B可能是空集，B是A的真子集．【解答】解：∵A={x|x2﹣8x+15=0}={3，5}．当B=∅时，即ax﹣1=0无解，得：a=0．当B≠∅时，即ax﹣1=0有解，解得x=由题意：A∩B=B，可得：或解得：a═或那么实数a组成的集合为．故答案为：．【点评】本题的考点是集合的包含关系，考查两个集合的子集关系，解题的关键是正确判断集合的含义．属于基础题2．（4分）设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|≥1}，则图中阴影部分所表示集合是{x|1＜x≤2}．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：题图中阴影部分可表示为（∁U M）∩N，集合M={x|x＞2或x＜﹣2}，集合N={x|1＜x≤3}，由集合的运算，知（∁U M）∩N={x|1＜x≤2}，故答案为：{x|1＜x≤2}．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．3．（4分）用集合的描述法表示：除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点组成的集合{（x，y）|x≠3且y≠4}．【分析】除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点是指平面上所有点中去掉（3，4）外的所有点的集合．【解答】解：除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点是指平面上所有点中去掉（3，4）外的所有点的集合，∴除（3，4）这个点之外，坐标平面上的所有点组成的集合为：{（x，y）|x≠3且y≠4}．故答案为：{（x，y）|x≠3且y≠4}．【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合的表示方法的合理运用．4．（4分）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根x1＞2且x2＞2的充要条件是a（4a+b）＜0且b2﹣4ac≥0且a（4a+2b+c）＞0．【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根x1＞2且x2＞2的充要条件是，或，【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根x1＞2且x2＞2的充要条件是，或，化为：a（4a+b）＜0且b2﹣4ac≥0且a（4a+2b+c）＞0，故答案为：a（4a+b）＜0且b2﹣4ac≥0且a（4a+2b+c）＞0．【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（4分）不等式组的解集为{﹣1}∪[1，6]．【分析】解一元二次不等式，再求解集的公共部分即可．【解答】解：不等式组化为，解得，即x=﹣1或1≤x≤6，∴原不等式组的解集为{﹣1}∪[1，6]．故答案为：{﹣1}∪[1，6]．【点评】本题考查了一元二次不等式组成的不等式组的问题，是基础题．6．（4分）关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪{﹣1}∪（1，2]．【分析】将分式不等式转化为二次不等式，然后求解高次不等式即可求得最终结果．【解答】解：原不等式等价于：，结合高次不等式奇穿偶不穿的性质求解不等式组可得原不等式的结论为：（﹣∞，﹣3]∪{﹣1}∪（1，2]．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪{﹣1}∪（1，2]．【点评】本题考查分式不等式的解法及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．7．（4分）若|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m对一切x∈R恒成立，则实数m 的取值范围为（﹣∞，18]．【分析】分段去绝对值，求出|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|的最小值即可．【解答】解：|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|=，可得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥18，若|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣10|+|x﹣11|≥m对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为（﹣∞，18]．故答案为：（﹣∞，18]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．8．（4分）已知点H是正三角形ABC内部一点，△HAB，△HBC，△HCA的面积值构成一个集合M，若M的子集有且只有4个，则点H需满足的条件为H在△ABC的三条高上且H不为△ABC重心．【分析】若M的子集有且只有4个，则M的元素有且只有2个，进而得到答案．【解答】解：若M的子集有且只有4个，则M的元素有且只有2个，∵点H是正三角形ABC内部一点，△HAB，△HBC，△HCA的面积值构成一个集合M，故△HAB，△HBC，△HCA的面积有且只有两个相等，故：H在△ABC的三条高上且H不为△ABC重心故答案为：H在△ABC的三条高上且H不为△ABC重心（注等边三角形三线合一，四心合一，其它合理的答法也给分）【点评】本题考查的知识点是子集的个数与元素个数的关系，根据已知得到M的元素有且只有2个，是解答的关键．9．（4分）已知集合A={x|﹣2k+6＜x＜k2﹣3}，B={x|﹣k＜x＜k}，若A⊊B，则实数k的取值范围为（﹣1+，]．【分析】当A=∅时，得﹣1﹣≤k≤﹣1+，当A≠∅时，k＜﹣1﹣，或k＞﹣1+，由A⊊B，得﹣k≤﹣2k+6＜x＜k2﹣3≤k，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|﹣2k+6＜x＜k2﹣3}，B={x|﹣k＜x＜k}，A⊊B，∴当A=∅时，k2﹣3≤﹣2k+6，解得﹣1﹣≤k≤﹣1+，当A≠∅时，k＜﹣1﹣，或k＞﹣1+，∵A⊊B，∴﹣k≤﹣2k+6＜x＜k2﹣3≤k，∴﹣k≤﹣2k+6且k2﹣3≤k，且两个等号不能同时取到，即k≤6且k2﹣k﹣3≤0，且k＜﹣1﹣或，k＞﹣1+，解得﹣1+＜k≤．综上实数k的取值范围为（﹣1+，]．故答案为：（﹣1+，]．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类与整合思想、子集定义的合理运用．10．（4分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，﹣4≤f（﹣1）≤﹣1，2≤f（1）≤5，4≤f（2）≤9，则f（3）的取值范围为．【分析】利用待定系数法求解即可．【解答】解：二次函数f（x）=ax2+bx+c，则f（3）=9a+3b+c．∵﹣4≤f（﹣1）≤﹣1，2≤f（1）≤5，4≤f（2）≤9，∴﹣4≤a﹣b+c≤﹣12≤a+c+b≤54≤4a+2b+c≤9令9a+3b+c=am﹣bm+cm+an+cn+bn+4at+2bt+ct，（m，n，t≠0）可得：解得：，n=﹣2，m=那么：≤9a+3b+c≤﹣4+24即≤9a+3b+c≤故答案为：．【点评】本题考查了待定系数法求解不等式范围问题．考查了计算能力．属于中档题，11．（4分）使不等式x2+（a﹣6）x+9＞0（|a|≤1）恒成立的x的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）．【分析】根据题意，设f（a）=x2+（a﹣6）x+9，其中﹣1≤a≤1；不等式恒成立转化为，求出x的取值范围即可．【解答】解：设f（a）=x2+（a﹣6）x+9，其中﹣1≤a≤1；则不等式x2+（a﹣6）x+9＞0恒成立，∴，即，解得：x＜或x＞；∴不等式x2+（a﹣6）x+9＞0（|a|≤1）恒成立的x的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）．故答案为：．【点评】本题考查了函数的恒成立问题，关键在于合理转化，是中档题．12．（4分）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是．【分析】由关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，故不等式一定为二次不等式，且对应的函数图象开口方向朝上，且与X轴一定有两个交点，且夹在两个交点间的整数点恰好有3个，由此构造出关于a的不等式，解不等式即可得到结论．【解答】解：∵不等式等价于（﹣a+4）x2﹣4x+1＜0，当a≥4时，显然不满足要求，故4﹣a＞0且△=4a＞0，故0＜a＜4，不等式的解集为，则一定有1，2，3为所求的整数解集．所以，解得a的范围为，故答案：．【点评】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用．考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力．其中根据已知条件，判断4﹣a＞0且△=4a＞0，是解答本题的关键．13．（4分）集合M={6666，﹣11135，2333，10，99111，﹣1，﹣198，1000，0，π}有10个元素，设M的所有非空子集为M i（i=1，2，…，1023），每一个M i中所有元素乘积为m i（i=1，2，…，1023），则m1+m2+m3+…+m1023=﹣1．【分析】这1023个子集分成以下几种情况：①含0的子集有512个，这些子集均满足m i=0；②不含0，含﹣1且还含有其它元素的子集有255个，③不含0，不含﹣1但含有其它元素的子集有255个，④只含﹣1的子集一个{﹣1}，满足m i=﹣1；根据②③中的集合是一一对应的，且满足m i对应成相反数，可得答案．【解答】解：∵M的所有非空子集为M i（i=1，2，…，1023），这1023个子集分成以下几种情况：①含0的子集有512个，这些子集均满足m i=0；②不含0，含﹣1且还含有其它元素的子集有255个，③不含0，不含﹣1但含有其它元素的子集有255个，④只含﹣1的子集一个{﹣1}，满足m i=﹣1；其中②③中的集合是一一对应的，且满足m i对应成相反数，故m1+m2+m3+…+m1023=512×0+255×0﹣1=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，分类讨论思想，难度较大．14．（4分）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义，若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=3．【分析】根据新定义建立关系讨论即可．【解答】解：∵A={1，2}，有两个元素；B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，由A*B=1，当B有一个元素时，满足题意，此时方程（x2+ax）（x2+ax+2）=0有一个解，∴可得a=0．当B有3个元素时，满足题意，此时方程（x2+ax）（x2+ax+2）=0有3个解，可得：x1=0，x2=﹣a（a≠0），那么x2+ax+2=0有一个解，∴△=0，可得a=±．综上可知实数a的取得为0，，2，够成集合S个数为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了集合中元素的判断，新定义的理解，属于基础题．二.选择题15．（5分）某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时，该命题不成立B．当n=6时，该命题成立C．当n=4时，该命题不成立D．当n=4时，该命题成立【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．【解答】解：由题意可知，P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）．同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立．故选：C．【点评】当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．16．（5分）若非空集合A、B、C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则“x∈C”是“x ∈A”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】本题即判断“x∈A”⇒“x∈C”和“x∈C”⇒“x∈A”是否成立，由A∪B=C，且B不是A的子集易判．【解答】解：因为A∪B=C，所以“x∈A”⇒“x∈C”；反之，若“x∈C”，即“x∈A∪B”因为B不是A的子集，故不能得到x∈A，所以“x∈C”是“x∈A”的必要但不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充要条件的判断和集合之间的关系，属基本题型的考查．17．（5分）在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．4个【分析】分别写出原命题与它的逆命题、否命题和逆否命题，再判断真假性．【解答】解：原命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”，它是真命题；逆命题是“若A∩B≠A，则A∪B≠B”，它是真命题；否命题是“若A∪B=B，则A∩B=A”，它是真命题；逆否命题是“若A∩B=A，则A∪B=B”，它是真命题．所以，以上假命题的个数为0．【点评】本题考查了四种命题的真假性问题，是基础题．18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选：C．【点评】本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．三.解答题19．（12分）你能从“盐水加盐变得更咸了”这一生活常识中提炼出一个不等式吗？若能，请写出这个不等式并证明；若不能，此题你将没有分．【分析】（1）b克盐水中有a克盐（b＞a＞0），若再添m克盐（m＞0），浓度发生了变化，只要分别计算出添盐前后的浓度进行比较即得．（2）利用作差法比较大小即可，【解答】解（1）：∵b克盐水中有a克盐，盐水的浓度为：；b克盐水中有a克盐（b＞a＞0），若再添m克盐（m＞0），则盐水的浓度为，又盐水变咸了，说明浓度变大了，∴＜，a＞0，b＞0，b＞a，m＞0，（2）综合法证明：因为﹣==，因为b＞a，所以a﹣b＜0，所以＜0，因此＜，问题得证．【点评】本小题主要考查不等式、不等式的应用等基础知识，考查运算理解能力，建模能力、化归与转化思想．20．（14分）解关于x的不等式：．【分析】分别画出函数y=，y=﹣x+2a的图象．由x2﹣2ax+1=0，当△=4a2﹣4a≥0时，解得a≥1，或a≤0．解得x=．对a分类讨论，结合图象即可得出不等式的解集．【解答】解：分别画出函数y=，y=﹣x+2a的图象．由x2﹣2ax+1=0，当△=4a2﹣4a≥0时，解得a≥1，或a≤0．解得x=．①当a≥1时，x∈∪时，满足＞2a﹣x．②当﹣1≤a＜1时，x∈（0，+∞）时，满足＞2a﹣x．③当a＜﹣1时，x∈∪（0，+∞）时，满足＞2a﹣x．【点评】本题考查了通过画出函数的图象解不等式的方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知△ABC的三边为a，b，c，求证：二次方程与x2+2ax+b2=0与x2+2cx ﹣b2=0有一个公共根的充要条件是∠A=90°．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，先求出方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx﹣b2=0有公共根的条件，然后证明充分性即可．【解答】证明：必要性：设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx﹣b2=0的公共根为m，则，两式相加得m=﹣（a+c）．（m=0舍去），将m=﹣（a+c）代入m2+2am+b2=0，得[﹣（a+c）]2+2a•[﹣（a+c）]+b2=0，整理得a2=b2+c2．所以A=90°．充分性：当A=90°时，a2=b2+c2．于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2﹣c2=0⇔[x+（a+c）][x+（a﹣c）]=0，该方程有两根x1=﹣（a+c），x2=﹣（a﹣c）．同样，x2+2cx﹣b2=0⇔[x+（c+a）][x+（c﹣a）]=0，该方程亦有两根x3=﹣（c+a），x4=﹣（c﹣a）．显然x1=x3，两方程有公共根．故方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx﹣b2=0有公共根的充要条件是A=90°．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（16分）对于x∈R，f（x）表示x﹣1与|x2﹣4x+3|中较大的一个值；（1）求f（0）、f（1）、f（2）、f（3）；（2）作出函数y=f（x）的图象；（3）若方程f（x）=k（x﹣1）在[0，2]内有两个解，求实数k的取值范围．【分析】（1）结合题意计算函数值即可；（2）结合函数的定义绘制函数图象即可；（3）利用（2）中的函数图象数形结合即可求得最终结果．【解答】解：（1）当x=0时，x﹣1=﹣1，|x2﹣4x+3|=3，故f（0）=3，当x=1时，x﹣1=0，|x2﹣4x+3|=0，故f（1）=0，当x=2时，x﹣1=1，|x2﹣4x+3|=1，故f（2）=1，当x=3时，x﹣1=2，|x2﹣4x+3|=0，故f（3）=2．（2）分段函数解析式为：．函数图象如实线部分所示：（3）f（x）=k（x﹣1）表示过点（1，0），斜率为k的直线，满足题意时，该直线在区间[0，2]上与函数f（x）的图象有2个交点，结合（2）中的图象可得：实数k的取值范围是[﹣3，﹣2）∪[1，2）．【点评】本题考查函数图象的绘制及其应用，数形结合的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．23．（18分）已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*）．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由．（Ⅱ）若n=1000时①若集合S具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．【分析】（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}，根据性质P的定义可知其不具有性质P；C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}，令m=1＜10，利用性质P的定义即可验证|c1﹣c2|≠1；（Ⅱ）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}，①根据T={2001﹣x|x∈S}，任取t=2001﹣x0∈T，其中x0∈S，可得1≤2001﹣x0≤2000，利用性质P的定义加以验证即可说明集合T={2001﹣x|x∈S}具有性质P；②设集合S有k个元素．由第①问知，任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001﹣x中必有一个不超过1000，从而得到集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P的定义进行分析即可求得k+t≤2000，即，解此不等式得k≤1333．【解答】解：（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P．（1分）因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1﹣b2|=m成立．（2分）集合C={x∈A|x=3k﹣1，k∈N*}具有性质P．（3分）因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1﹣1，c2=3k2﹣1，k1，k2∈N*都有|c1﹣c2|=3|k1﹣k2|≠1．（4分）（Ⅱ）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}①若集合S具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x∈S}一定具有性质P．（5分）首先因为T={2001﹣x|x∈S}，任取t=2001﹣x0∈T，其中x0∈S，因为S⊆A，所以x0∈{1，2，3，…，2000}，从而1≤2001﹣x0≤2000，即t∈A，所以T⊆A．（6分）由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m．对于上述正整数m，从集合T={2001﹣x|x∈S}中任取一对元素t1=2001﹣x1，t2=2001﹣x2，其中x1，x2∈S，则有|t1﹣t2|=|x1﹣x2|≠m，所以集合T={2001﹣x|x∈S}具有性质P．（8分）②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001﹣x|x∈S}一定具有性质P．任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001﹣x中必有一个不超过1000，所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，不妨设S中有t个元素b1，b2，…，b t不超过1000．由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，使得对S中任意两个元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，所以一定有b1+m，b2+m，…，b t+m∉S．又b i+m≤1000+1000=2000，故b1+m，b2+m，…，b t+m∈A，即集合A中至少有t个元素不在子集S中，因此k+t≤2000，所以，得k≤1333，当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠667，即集合S具有性质P，而此时集合S中有1333个元素．因此集合S元素个数的最大值是1333．（14分）【点评】此题是中档题．考查集合之间的包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析．。
上海市华师大二附中2015-2016学年高一(下)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（共10小题）.1．求值arctan（cot）=．2．函数f（x）=的定义域是．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为．8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是．9．已知，且，则cos（x+2y）=．10．设函数f（x）=，关于f（x）的性质，下列说法正确的是．①定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；②值域是R；③最小正周期是π；④f（x）是奇函数；⑤f（x）在定义域上单调递增．二、选择题（4*4=16分）11．为了得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向右平移D．向左平移12．α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜D．α+β＞13．下列函数中以π为周期，在（0，）上单调递减的是（）A．y=（cot1）tanx B．y=|sinx|C．y=﹣cos2x D．y=﹣tan|x|14．下列命题中错误的是（）A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立三、解答题（8+10+12+14=44分）15．已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos （π+β），求α，β的值．16．若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a 的取值范围及相应的α+β的值．17．已知函数y=．（1）设变量t=sinθ+cosθ，试用t表示y=f（t），并写出t的范围；（2）求函数y=f（t）的值域．18．用a，b，c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．（1）R=2，a=2，B=45°，求AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a，b，R，其中b≤a，问a，b，R满足怎样的关系时，以a，b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a，b，R表示c．2015-2016学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（4*10=40分）1．求值arctan（cot）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用特殊角的三角函数，反正切函数的定义和性质，求得arctan（cot）的值．解：arctan（cot）=arctan（）=，故答案为：．2．函数f（x）=的定义域是{x|x=2kπ，k∈z} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到cosx=1，解出即可．解：由题意得：cosx﹣1≥0，cosx≥1，∴cosx=1，∴x=2kπ，k∈Z，故答案为：{x|x=2kπ，k∈z}．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：∵tanθ=﹣3，∴sinθ（sinθ﹣2cosθ）====，故答案为：．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是[]．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式，由已知等式可得sinx≥cosx，再由已知x的范围求得x的具体范围．解：∵===sinx﹣cosx，∴sinx≥cosx，又x∈（0，2π），∴x∈[]．故答案为：∈[]．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．【考点】反三角函数的运用．【分析】由题意可得arcsinx与arccosx=均为锐角，x＞0，求得cos（arcsinx﹣arccosx）的值，可得x的值．解：∵arcsinx∈（﹣，），arccosx∈（0，π），arcsinx﹣arccosx=，∴arcsinx与arccosx 均为锐角，x＞0．又cos（arcsinx﹣arccosx）=cos=，即cos（arcsinx）•cos（arccosx）+sin（arcsinx）sin（arccosx）=•x+x•=，∴•x=，∴x2（1﹣x2）=，∴x2=，或x2=，∴x=，或x=．经检验，x=不满足条件，故舍去．故答案为：．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由0＜cos1＜1，得外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，再求出内函数t=sinx的减区间，取使t大于0的部分得答案．解：令t=sinx，∵0＜cos1＜1，∴外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，又sinx＞0，∴当x∈[）（k∈Z）时，内函数t=sinx大于0且单调递减，∴函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z），故答案为：[）（k∈Z）．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；．【考点】三角函数线．【分析】观察知道，利用x＞0时，sinx＜x，结合余弦函数的单调性解答．解：因为sinx＜x，所以0＜θ＜，sinθ＜θ，所以cos（sinθ）＞cosθ，令x=cosθ，所以cosθ＞sin（cosθ），故答案为：cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是{ω|ω≥1或ω≤﹣}．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象特征，正弦函数的最大值，分类讨论求得ω的取值范围．解：∵关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，∴当ω＞0时，由ω•≥，ω≥1，当ω＜0时，由ω•（﹣）≥，求得ω≤﹣，故答案为：{ω|ω≥1或ω≤﹣}．9．已知，且，则cos（x+2y）=1．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】设f（u）=u3+sinu．根据题设等式可知f（x）=2a，f（2y）=﹣2a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y）=1．解：设f（u）=u3+sinu．由①式得f（x）=2a，由②式得f（2y）=﹣2a．因为f（u）在区间上是单调增函数，并且是奇函数，∴f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．∴x=﹣2y，即x+2y=0．∴cos（x+2y）=1．故答案为：1．10．设函数f（x）=，关于f（x）的性质，下列说法正确的是②④．①定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；②值域是R；③最小正周期是π；④f（x）是奇函数；⑤f（x）在定义域上单调递增．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式化简函数解析式，根据正切函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．解：f（x）===tanx（cosx），对于①，函数f（x）的定义域是{x|x≠2kπ+，x≠kπ+，x≠2kπ+，k∈Z}，故错误；对于②，函数f（x）的值域是R，故正确；对于③，由于f（x+π）===tanx（其中cosx ≠），故错误；对于④，由于f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故正确；对于⑤，由正切函数的图象可知函数在整个定义域上不单调，有无数个单调增区间，故错误．故答案为：②④．二、选择题（4*4=16分）11．为了得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向右平移D．向左平移【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把函数y=3sin（2x+）变形为y=3sin[2（x+）]即可得到答案．解：∵y=3sin（2x+）=3sin[2（x+）]．∴要得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象向左平移个单位．故选：D．12．α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜D．α+β＞【考点】正切函数的图象．【分析】由题意可得α+β∈（π，2π），再根据tan（α+β）=＞0，可得α+β∈（π，），从而得出结论．解：α，β∈（，π），且tanα＜cotβ=＜0，∴tanα•tanβ＞1，α+β∈（π，2π），∴tan（α+β）=＞0，∴α+β∈（π，），故选：C．13．下列函数中以π为周期，在（0，）上单调递减的是（）A．y=（cot1）tanx B．y=|sinx|C．y=﹣cos2x D．y=﹣tan|x|【考点】正弦函数的图象．【分析】利用三角函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：由于y=tanx的周期为π，0＜cot1＜1，故y=（cot1）tanx的周期为π，且在（0，）上单调递减，故A满足条件．由于y=|sinx|在（0，）上单调递增，故排除B．由于在（0，）上，2x∈（0，π），函数y=﹣cos2x在（0，）上单调递增，故排除C．由于函数y=﹣tan|x|不是周期函数，故排除D，故选：A．14．下列命题中错误的是（）A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．【分析】利用二倍角公式、三倍角公式，函数的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：令x=cosy∈[﹣1，1]，则对任意实数y，有等式f（cosy）=cos2y成立，即f（x）=2x2﹣1成立，故A成立．对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y=4cos3y﹣3cosy 成立，即f（x）=4x3﹣3x成立，故B 正确．令t=siny∈[﹣1，1]，则对任意实数y，有等式f（siny）=sin2y=2sinycosy=2t•（±）成立，即f（x）=2•（±）成立，故B错误．则对任意实数y，有等式f（sin3y）=sin3y=3siny﹣4sin3y 成立，即f（t）=3t﹣4t3成立，故D成立，故选：B．三、解答题（8+10+12+14=44分）15．已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos （π+β），求α，β的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简已知可得sinα=sinβ，cosα=cosβ，将两式平方后利用同角三角函数基本关系式解得或，结合角的范围即可得解α，β的值．解：∵由sin（5π﹣α）=cos（π+β），可得：sinα=sinβ，两边平方可得：sin2α=2sin2β，①由cos（﹣α）=﹣cos（π+β），可得：cosα=cosβ，两边平方可得：3cos2α=2cos2β，②∴①+②可得：sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2，又∵sin2α+cos2α=1，∴解得：cos2α=，即：或，∵α，β∈（0，π），∴解得或．16．若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a 的取值范围及相应的α+β的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由sinx+cosx+a=0，得sinx+cosx=﹣a，画出函数y=sinx+cosx=的图象，数形结合得答案．解：由sinx+cosx+a=0，得sinx+cosx=﹣a，令y=sinx+cosx=，∵x∈（0，2π），∴x+∈（，），作出函数的图象如图：若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，则﹣2，或，即或．当a∈（﹣2，﹣）时，；当a∈（﹣，2）时，．17．已知函数y=．（1）设变量t=sinθ+cosθ，试用t表示y=f（t），并写出t的范围；（2）求函数y=f（t）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由t=sin（t+）利用正弦函数的性质可求t的范围，平方后利用同角三角函数基本关系式可求sinθcosθ=，进而即可用t表示y=f（t）．（2）由y== [（t+2）+﹣4]，利用基本不等式即可求其最小值，进而求得最大值即可得解函数y=f（t）的值域．解：（1）∵t=sinθ+cosθ，∴t=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[﹣，]，∴t2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ，∴sinθcosθ=，∴y===，t∈[﹣，]．（2）∵y==（）= [（t+2）+﹣4]，∵t∈[﹣，]．∴t+2∈[2﹣，2+]．∴（t+2）+=2，当且仅当（t+2）=，即t+2=时取等号．∵t+2∈[2﹣，2+]．∴函数的最小值为 [2﹣4]=．当t=﹣时，f（﹣）=，t=时，f（）=，∴函数的最大值为，故函数y=f（t）的值域为：[，]．18．用a，b，c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．（1）R=2，a=2，B=45°，求AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a，b，R，其中b≤a，问a，b，R满足怎样的关系时，以a，b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a，b，R表示c．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可sinA，b，利用大边对大角可得A为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用正弦定理即可得解AB的值．（2）利用余弦定理推出a2+b2＜c2，利用正弦定理推出a2+b2＜4R2．（3）分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即可．解：（1）∵R=2，a=2，B=45°，∴由正弦定理可得：，解得：sinA=，b=2，又∵a＜b，可得：A＜B，可得cosA==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==，∴AB=c=4sinC=4×=．证明：（2）由余弦定理得cosC=，∵C为钝角，可得cosC＜0，∴a2+b2＜c2又∵由正弦定理得c=2RsinC＜2R，∴c2＜4R2，∴a2+b2＜4R2．解：（3）①a＞2R≥b或a≥b≥2R时，不存在；②当a=2R且b＜2R时，A=90°，存在一个，c=；③当a=b＜2R，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个，c=2RsinC=；④当b＜a＜2R，存在两个，c=．。
上海市华师大二附中2016届高三上学期周测1数学试卷 Word版含答案
上海市华师大二附中高三年级综合练习[1] 数学一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数))((R x x f y ∈=图象恒过定点)1,0(，若)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，则1)(1+=-x f y 的图象必过定点 。
2．已知集合{}Rx y y A x∈-==,12，集合{}Rx x x y y B ∈++-==,322，则集合{}B x A x x ∉∈且=3．若角α终边落在射线)0(043≤=-x y x 上，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)22arccos(tan α 。
4．关于x 的方程)(01)2(2R m mi x i x ∈=+++-有一实根为n ，则=+ni m 1。
5．数列{}n a 的首项为21=a ，且))((21211N n a a a a n n ∈+++=+ ，记n S 为数列{}n a 前n 项和，则n S = 。
6．（文）若y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≤-≥+≤+1315y x y x y x y x ，则目标函数y x s 23-=取最大值时=x 。
（理）若)(13N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第项。
7．已知函数)20,0)(2sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f ，若对任意R x ∈有)125()(πf x f ≥成立，则方程0)(=x f 在[]π,0上的解为 。
8．某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为 。
（结果用分数表示）9．将最小正周期为2π的函数)2,0)(sin()cos()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x g 的图象向左平移4π个单位，得到偶函数图象，则满足题意的ϕ的一个可能值为 。