3-2对偶问题的基本定理与性质_2
运筹学对偶问题和性质
❖ 目旳函数 min
m个
变
≥0
量
≤0
无约束
n个
约
束
≥
条
≤
件
=
❖ 例2.2 写出下列线性规划问题旳对偶问题.
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无约束
2y1y1 22y2y234
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题旳最优解为： Y＊=(1,1)，最优值w=26。
作业:第88-89页: 3.3(1),(2) 3.8
思索题：3.2 3.4
❖ 当B为最优基时，应有
CN CB B1N 0 C CB B1 A 0 CB B1 0
❖ 令Y=CBB-1, 则 YA C
Y 0
且 w Yb CB B1b z
项目
基变量
非基变量
CB XB B-1b cj-zj
XB I 0 -Ys1
XN
Xs
B-1N
B-1
CN-CBB-1N -CBB-1
性质6 (互补松弛性)：在线性规划问题旳最优解中，假如相 应某一约束条件旳对偶变量值为非零，则该约束条件取严格 等式；反之假如约束条件取严格不等式，则其相应旳对偶变 量一定为零. 即Y*XS=0，YSX*=0
n
yˆi 0 aij xˆ j bi j 1 n
aij xˆ j bi yˆi 0
1/4
y3 j 1/2
15/2 15/2
0 0
1 0
1/2 7/2
-3/2 3/2
运筹学课程讲义
运筹学课程讲义第一部分线性规划第一章线性规划的基本性质1.1 线性规划的数学模型一、线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。
桌子售价50 元/个，椅子售价30 元/个。
生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工1 小时。
该厂每月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？max z 50x1 30x24x1 3x2 1202x1 x2 50x1,x2 0 例：某工厂生产某一种型号的机床。
每台机床上需要 2.9m、2.1m、1.5m的轴，分别为1根、2根和1根。
这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m。
如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、数学模型的标准型1. 繁写形式2. 缩写形式3. 向量形式4. 矩阵形式若原模型中变量 x j 有上下界，如何化为非负变量？三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量 x k 是自由变量，如何化为非负变量？1. 2 图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。
使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。
一、 图解法步骤1. 由全部约束条件作图求出可行域2. 作出一条目标函数的等值线3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值 max z 5x 1 6x 2 7x 3x 1 5x 23x 3 15 5x 1 6x 210x 3 20 x 1 x 2 x 3 5x 1 0,x 2 0,x 3无约束令 x 1' x 1,x 3 x 3' x 3'',x 3' ,x 3'' 0, Z 1Z ' 1 1 min z ' 5x 1' 6x 2 7x 3' 7x 3'' 0x 5 Mx 6 1 x 1' 5x 2 1 11 3x 3' 3x 3'' x 4 x 6 15 1 5x 1' 6x 2 10x 3' 10x 3'' x 5 20 1 x ' x 1 ' II '' 54.Mx 7 x 1, x 2 , x 3, x 3, x 4 , x 5 ,x 6, x 7 0从图解法看线性规划问题解的几种情况1. 有唯一最优解2. 有无穷多组最优解3. 无可行解4. 无有限最优解（无界解）min z 6x1 4x?2x〔X2 13 最优解（1,0），最优值33x14x2 22x1, x20直观结论：1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（但有有限个顶点）或空集；2）线性规划问题若有最优解，一定可以在其可行域的顶点上得到。
运筹学课件第二章对偶问题
第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析一、学习目的与要求 1、掌握对偶理论及其性质 2、掌握对偶单纯形法3、熟悉灵敏度分析的概念和内容4、掌握限制常数与价值系数、约束条件系数的变化对原最优解的影响5、掌握增加新变量和增加新的约束条件对原最优解的影响，并求出相应因素的灵敏度范围6、了解参数线性规划的解法 二、课时 6学时第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题，在求出一个问题的解时，也同时给出了另一问题的解。
应用：在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易；对偶变量有重要的经济解释(影子价格)；作为灵敏度分析的工具；对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)；避免使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法则增加一倍的计算量)。
例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。
加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。
生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。
问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？(2)假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。
他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。
他就要考虑付给该车间每个工时的价格。
他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。
解(1)：设该车间每日安排生产木门x1扇，木窗x2扇，则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x zX*=(15,20)’ Z*=1440元解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 21212121y y y y y y y wY*=(2,24)’ W*=1440元将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的联系与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。
对偶问题的性质
（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩--，--，0MinS Yb YA C Y =≤≥证明：变换对偶问题模型ax 0M S YbYA C Y =−⎧−≤−⎨≥⎩MinZ CX AX b X =−⎧−≥−⎨≥⎩MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩2.3 对偶问题的性质b Y X C ≤（2）弱对偶性：若是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，则存在有XY 证明：MaxZ CXAX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩因是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，所以有：XY ;Y AX Yb Y AX C X≤≥b Y X C ≤•弱对偶性的图形解释MinS=b Y最优目标MaxZ=XC（3）可行解是最优解的性质：若是原、对的可行解，当Y Xˆ,ˆ b Y X C ˆˆ= 则：是最优解Y X ˆ,ˆ b Y MinS =最优XC MaxZ =b Y XC ˆˆ=（4）对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且原问题与对偶问题最优目标函数值相等。
1ˆ−=B C Y B01≤−−A B C C B()()XA B C C b B C X B C C X N B C C X B B C C b B C X B C C X N B C C b B C X C X C X B C NX B C b B C X C X C X C X X X C C C CX Z X B NX B b B X b X X X I N B AX B B S B S N B N B B B B SB S N B N B SS N N S B N B B S S N N B B S N B S N B SN B S N B )()()()()()(111111111111111−−−−−−−−−−−−−−−−+=−+−+−+=−+−+=++−−=++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==−−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01≤−−A B C C B•检验数的推导：（5）互补松弛性：若分别是原问题和对偶问题的可行解，那么当且仅当为最优解Y Xˆ,ˆ 0ˆ0ˆ==X Y X Y S S和Y X ˆ,ˆ 11ˆˆˆ0,0ˆˆˆ,0,0若则有即若即则有==>==<>=∑∑ni ijj i si j nijj i si i j yaxb x ax b xy⚫对偶变量的经济含义----影子价格资源的单位改变量引起目标函数值（Z ）的改变量，通常称为影子价格（shadow price ）或边际价格（marginalprice ）。
对偶理论2
Q Ax + x s = b ∴ w = y( Ax + x s ) = yAx + yx s
⇐: 若
则 则
y xs = 0
− −
−
和
ys x = 0
−
z = w = yAx
为最优解. x, y 为最优解 为最优解 x, y 为最优解. 所以 y xs = 0
−
− −
⇒:
则 z = w = yAx
运 筹 学 课 件
运 筹 帷 幄 之 中
决 胜
对偶理论
千 里 之 外
第1页 页
对 偶 理 论
对偶问题 对偶问题 对偶理论 对偶单纯形算法
第2页 页
对偶问题的提出
例：设某企业有m种资源，用于生产n种不同的产品， 设某企业有m种资源，用于生产n种不同的产品， 各种资源的拥有量为b i=1,2,…m） 各种资源的拥有量为bi（i=1,2,…m）,又知生产单位 种产品（j=1,2,…n）消费第i种资源a 单位， 第j种产品（j=1,2,…n）消费第i种资源aij单位，产 值为c 若用x 表示第j种产品的生产量， 值为cj元。若用xj表示第j种产品的生产量，求产值最 任意线性规划问题都存在 LP模型为 模型为： 大，LP模型为：
和
ys x = 0 第14页 页
−
求原问题的最优解。 例：已知对偶问题最优解 y1*=4/5, y2*=3/5 求原问题的最优解。 已知对偶问题最优解
Min ω=2x1＋3x2＋5x3＋2x4＋ 3x5 原问题（ ） 原问题（L） x1＋x2＋2x3＋x4＋3x5≥4 2x1－x2＋3x3＋x4＋x5 ≥3 xj ≥0, j=1,2, …,5
一个与之伴随的对偶问题 M = c x + c x +L+ c x axz
第二章对偶理论
3 5
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原式变形
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3 x1 x2 7 x3 3
x1 4 x2 6 x3
5
x1 , x2 , x3 0
注意：以后不强调等式右段项 b≥0，原因在对偶单
纯型表中只保证 而j 不0 保证
=（1.1），分别是
（P_）_ 和__（D）的可行解。Z=10 ，W=40，故有
C X ＜ Y b ，弱对偶定理成立。由推论⑴可知，W 的最
小值不能小于10，Z 的最大值不能超过40。
例二、已知
p : max Z x1 2x2
D : minW 2 y1 y2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
n
j 1
aij
yi
cj
（对偶问题）
yi 0
目标函数 约束条件
原问题
对偶问题
max
min
≤
≥
变量数量 约束条件个数
约束条件个数 变量数量
例三、
23
x1
x2
原问题
12 y1 2
2
≤ 12
8
y2
1
2
≤
8
16 y3 4 0 ≤ 16 12 y4 0 4 ≤ 12
对偶问题 2 3
二、线性规划的对偶理论
原问题 问题无界
无可 行解
对偶问题 无可 行解
问题无界
（对）
y1 y1
y1
y2 y2 0, y2
2 1 0
无可 行解
推论⑶.在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可 行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的 问题无界。
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
第三章线性规划的对偶定理
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
二、原问题与对偶问题的数学模型
❖ 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束
时，称为对称形式的对偶。
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
b max w (Y 1,Y 2 ) -b
(Y
1,Y
2
)
A A
C
Y1 0 ,Y2 0
max w (Y 1 Y 2 ) b
(Y
1
Y
2
)
A
C
Y 1 0, Y 2 0
令 Y Y，1 Y得2对偶问题为：
max w Yb
❖ （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
❖ （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。
❖ （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。
❖ （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX Yb
原问题
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6 x1 2 x2 24
4.2_对偶性质
例： max Z x1 2x2 3x3 4x4
试估计它们目
（P）2xx11
2x2 2x3 3x4 20 x2 3x3 2x4 20
标函数的界。
x14 0 解：minW 20 y1 20 y2
__
可知：__X =（1，1，1，
1），Y =（1，1），
分别是（P）和（D）
y1 2 y2 1
st
x1 2x2 x1 x2
10 0
x1 5, x2 0
（1）用图解法求解上述问题； （2）写出它的对偶问题； （3）指出对偶最优解中的基变量。
对偶最优解 中的基变量是
y2和y4!
21
6、解的对应性定理
LP （ max ） 的 初 始 基 变 量 的 检 验 数 的 相 反 数 对 应 于 DP （min）的一组基本解。
24
可行解（0，1）， 目标函数值：24
9
4、对偶性定理
若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的 目标函数值必相等。
例：
原始问题
对偶问题
MinZ 6x1 3x2
2 s.t.4
x1 x1
4 x2 3x2
16 24
x1, x2 0
MaxW 16 y1 24 y2
2 y1 4 y2 6 s.t.4 y1 3 y2 3
y1, y2 0
原始问题的最 优解（0，8）
目标函数 值都为24
对偶问题的最优 解（0，1）
10
5、互补松弛性
原问题和对偶问题达到最优时的充分必要条件是YsX*=0， Y*Xs=0。
即在LP的最优解中，若某一约束的对偶变量值为非零，则该 约束条件取严格的等式；反之，如果约束条件取严格不等式， 则其对应的对偶变量一定为零。
对偶问题的基本定理
对偶问题的基本定理
对偶问题的基本定理是优化理论中的一个重要结论，它描述了原问题与对偶问题之间的关系。
对于线性规划问题，它的对偶问题是将原问题的约束条件和目标函数进行转置后得到的问题。
基本定理指出，原问题和对偶问题的最优解总是相等的，并且如果一个问题有最优解，那么它的对偶问题也一定有最优解。
这个定理在优化算法的设计中有着广泛的应用，例如可以通过求解对偶问题来加速原问题的求解，或者利用对偶问题的解来获得原问题的有用信息等。
- 1 -。
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U se
O
n
最优解的互读性指的是原问题的最优解可以从 对偶问题的最优单纯形表中读出。原问题即可 以是最大化问题，也可以是最小化问题。 最优解的互读性指的是最初线性规划模型中决 策变量值的互读，而不包括加入的人工变量。
nl y
两点说明
一点启示
分析下列线性规划模型的求解问题: min z = 5 x 1 + 4 x 2 ì x1 + 2 x 2 ³ 6 ï ï 2 x1 - x 2 ³ 4 s .t . í 5 x 1 + 3 x 2 ³ 15 ï ï î x j ³ 0 , j = 1, 2
ìATY ³ CT s.t.í îY ³ 0
nl y
max z = CX
min w = bTY
In
推论3.4 若对偶问题可行，而原问题不可行，则对偶问题的 目标函数值无界。
郭茜 交通运输系 2014年9月
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te
推论3.2的逆推论：若原问题不可行，则对偶问题目标函数 值无界。 推论3.3 若原问题可行，而对偶问题不可行，则原问题的目 标函数值无界。
郭茜 交通运输系 2014年9月
nl y
x4 5/4 1/4 -1/4 -1/4
原问题变量
原问题松弛变量
x5
-15/2 -1/2 3/2 -1/2
原问题
对偶问题
min w = bTY ìATY ³ CT s.t.í îY ³ 0
max z = CX
In
te
对偶问题的最优解就是原问题最优单纯形表中多余变量对 应的zs的负值，即原问题最优单纯形表中多余变量对应的检 验数cs-zs的值。
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rn
al
郭茜 交通运输系 2014年9月
U se
O
ìAX £ b s.t.í îX ³ 0
nl y
原问题变量 y1 y2 y3 1/4 1/2 cj-zj -5/4 15/2 15/2 x3 y2 1 0 0 y3 0 1 0
nl y
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rn
二
弱对偶性
C X £ bT Y
郭茜 交通运输系 2014年9月
al
U se
一
对称性 定理3.1 对偶问题的对偶是原问题。 可以把对称中的两个模型任选一个作为原问题 另外一个就成为它的对偶问题。
O
ìAX £ b s.t.í îX ³ 0
te
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rn
al
郭茜 交通运输系 2014年9月
U se
要对此对偶模型求解，引入两个松弛变量把约束条件方程 化为等式，而松弛变量本身就构成了单位矩阵，然后直接用单 纯形法求解，这样变量很少，计算量也很小，最后利用对偶问 题的最优单纯形表读出原问题的最优解即可。
rn
表中清楚地看出两个问题变量之间的对应关系： x2 = s m + 2 = - z3+ 2 = - z5 = 6
al
郭茜 交通运输系 2014年9月
n
In
te
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rn
郭茜 交通运输系 2014年9月
al
U se
x2 0 0 1 0 x3 1 0 0 0 y5 y1
O
原问题松弛变量 x4 5/4 1/4 -1/4 -1/4 对偶问题变量 y2 y3 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
In
te
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rn
y4
对偶问题剩余变量
al
郭茜 交通运输系 2014年9月
rn
al
郭茜 交通运输系 2014年9月
U se
O
ìATY ³ CT s.t.í îY ³ 0
nl y
五、最优解的互读性
max z = 2x1 + x2 ì 5x2 + x3 = 15 ï6x + 2x + x = 24 ï 1 2 4 s.t. í ï x1 + x2 + x5 = 5 ï x j ³ 0, j = 1,L,5 î
对应关系
O al U se
In
te
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rn
郭茜 交通运输系 2014年9月
nl yΒιβλιοθήκη 对偶问题无可行解 有可行解，但无界 无可行解 有可行解，但无界
三
可行解是最优解的性质
定理3.3 设是 X 原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解， 当C X = bT Y 时， X 和 Y 就分别是各自问题的最优解。
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In
te
rn
al
U se
一、对偶问题的对称性 二、对偶问题的弱对偶性 三、可行解是最优解的性质 四、对偶定理 五、最优解的互读性
O
对偶问题的基本定理与性质
nl y
原问题
对偶问题
In
te
定理3.2 设 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解， 则原问题的目标函数值不超过对偶问题的目标函数值，即：
te
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rn
al
郭茜 交通运输系 2014年9月
U se
O
nl y
In
从以上的求解分析可以看出，对目标函数是min型，约束 条件方程存在“≥”的形式，就不必引入人工变量，而对它的对 偶问题进行求解即可。这也为这类线性规划问题的求解提供了 另一种策略。 这种策略不是一个最优的求解思路，最优的求解思路之一 就是下一节介绍的对偶单纯形法。
max z = CX ìAX £ b s.t.í îX ³ 0
min w = bTY
由定理3.4的证明过程及线性规划模型典式的生成过程可知：
对偶问题的最优解就是原问题最优单纯形表中松弛变量xs对应zs的值； 即原问题最优单纯形表中松弛变量xs对应的检验数cs-zs的负值。
In
te
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rn
al
U se
推论： 推论3.1 若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶问 题不可行。 也可以这样描述：若原问题为无界解，则对偶问题就无可 行解。 推论3.2 若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原问题 不可行。也可以这样描述：若对偶问题为无界解，则原问题 就无可行解。
O
nl y
原问题
有可行解，但无界 无可行解 有可行解，但无界 无可行解
In
若要对此模型求解，必须先引入三个多余变量化为等式， 另外还要引入三个人工变量才能构造出单位矩阵，然后才能用 大M法或两阶段法求解，这样就造成变量大量增加，而且计算 量也加大。 如果基于前面叙述的最优解互读性，先对对偶问题进行处 理和求解，再确定原问题的最优解，这就简化了求解麻烦的问 题，下面写出对偶问题的模型：
y4 -1/4 1/2 7/2 x1
原问题剩余变量 y5 1/4 -3/2 3/2 x2
对偶问题松弛变量
U se
x4
O
x5
对偶问题变量
x1 = s m +1 = - z3+1 = - z4 = 7 / 2
In
只需求解出其中一个问题，从最优解的单纯形表可中同时得到另一个问 题的最优解。
te
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nl y
x1 x3 x1 x2 15/2 7/2 3/2 cj-zj 0 1 0 0
x2 0 0 1 0
x3 1 0 0 0
O
y1
U se
y5
对偶问题剩余变量
对偶问题变量 y2 y3
te
In
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rn
al
y4
y1 = -s m+1 = zm+1 = z3 = 0 y2 = -s m + 2 = zm+ 2 = z4 = 1 / 4 y3 = -s m +3 = zm+ 3 = z5 = 1 / 2
原问题变量 x1 x3 x1 x2 15/2 7/2 3/2 cj-zj 0 1 0 0
min w = 15 y1 + 24 y2 + 5 y3 ì 6 y2 + y3 - y4 = 2 ï s.t. í5 y1 + 2 y2 + y3 - y5 = 1 ï y ³ 0, i = 1,L ,5 i î
原问题
最优解
rn
al
对应关系 对偶问题
最优解
In
te
郭茜 交通运输系 2014年9月
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U se
四
对偶定理 定理3.4 若原问题有最优解，那么对偶问题也一定有最优 解，而且原问题与对偶问题的最优目标函数值相等。
O
nl y
原问题
对偶问题
O
max w = 6 y1 + 4 y 2 + 15 y 3 ì y1 + 2 y 2 + 5 y 3 £ 5 ï s.t.í2 y1 - y 2 + 3 y 3 £ 4 ï y j ³ 0 , j = 1,2,3 î
nl y