数学成才之路必修四1-4-1
《成才之路》2018-2019学年高一人教A版数学必修4课件
90° ，我们就说向量 a (2)垂直：如果向量 a 和 b 的夹角是_______ a⊥b ． 与 b 垂直，记作_______
第二章 2.3 2.3.1
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●预习自测
1．已知向量 e1，e2 不共线，则下列各对向量可以作为平面内 的一组基底的是( ) 3 B．2e2－3e2 与 e－2e2
●自主预习
1．平面向量基本定理 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个 __________ 不共线 向量，那么对 于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1、 λ2 ，使 a＝ λ1e1＋λ2e2 ，其中不共线的向量e 、e 叫做表示这一平面内 _____________
1 2
基底 ． 所有向量的一组__________
●知识衔接 1 ．上节课已经学习过向量的数乘，所谓向量的数乘为
________，记为________，它的长度与方向规定如下： (1)________＝|λ||a|； (2)当________时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a的方向________． [答案] 实数λ与向量a的积 λa |λa| λ>0 相反
第二章
2.3
2.3.1
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2．向量的夹角 → → (1)定义：两个非零向量 a 和 b，且OA＝a，OB＝b，则∠AOB
0°≤θ≤180° 当 ＝θ 叫做向量 a 和 b 的夹角(如图所示)，范围是_____________. 同向 ； 反向 ． θ＝0° 时， 向量 a 和 b_______ 当 θ＝180° 时， 向量 a 和 b_______
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：1-3-2 诱导公式五、六
1．3.2 诱导公式五、六
第一章 三角函数
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课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
第一章 1.3 1.3.2
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课前自主预习
第一章 1.3 1.3.2
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第一章 1.3 1.3.2
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3．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( )
A．1
B．2
C．0
D．2sin2α
[答案] B
[解析] 原式＝sin2α＋cosα·cosα＋1＝1＋1＝2.
第一章 1.3 1.3.2
3 2.
第一章 1.3 1.3.2
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5．化简cos－siαn·πta＋nα7π＋α等于________． [答案] －1 [解析] 原式＝cosα－tasninπα＋α＝co－sαs·itnaαnα＝－1.
第一章 1.3 1.3.2
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A．m
B．－m
C．m2
D. 1－m2
[答案] A
第一章 1.3 1.3.2
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已知cos10°＝a，则sin100°＝________. [答案] a
第一章 1.3 1.3.2
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高一数学必修4课件：1-4-1正弦函数、余弦函数的图象
第一章
1.4 1.4.1
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[解析]
(1)列表： x u＝sinx y＝2－u 0 0 2 π 2 1 1 π 0 2 3π 2 －1 3 2π 0 2
第一章
1.4 1.4.1
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(2)描点、连线：(图形如下)
第一章
1.4 1.4.1
第一章
1.4 1.4.1
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π 2 π 4．求sin ( －x)＋sin ( ＋x)的值． 3 6
2
[解析]
2
π x x π 原式＝sin2[2－(6＋x)]＋sin2(6＋x)＝cos2(6＋x)＋
π sin (6＋x)＝1.
第一章
1.4 1.4.1
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成才之路· 数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．4 三角函数的图象与性质
第一章 三角函数
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第一章
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
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规律总结：利用三角函数的图象或三角函数线，可解简 单的三角不等式，但需注意诱导公式一的应用，确保解的完 整性．
第一章
1.4 1.4.1
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函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且 仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
2014《3页全成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：1-5-1 画函数y=Asin(ωxφ)的
般有两个途径：
途径一：先相位变换，再周期变换
先将y＝sinx的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长
度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的
1 ω
倍(纵坐标
不变)，得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
第一章 1.5 1.5.1
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第一章 1.5 1.5.1
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4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象常见画法 (1)五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，2π，π，32π，2π这五个 值)；②描点；③ 连线 ． (2)变换法： ①(相位变换)先把y＝sinx的图象上所有的点 向左(当φ>0时) 或 向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度，得函数y＝sin(x＋φ) 的图象；
坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不 变)，得函数y＝ Asin(ωx＋φ) 的图象．
第一章 1.5 1.5.1
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函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得函数y＝
1 2
sin
2x－π4
的图象？
第一章 1.5 1.5.1
第一章 1.5 1.5.1
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[拓展]函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把 函数y＝f(x)的图象上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到 原来的A倍(横坐标不变)而得到的．
第一章 1.5 1.5.1
《成才之路》高一数学(人教A版)必修4能力提升：1-1-1 任意角
能 力 提 升一、选择题1．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] D[解析] 由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.2．如果角α与x ＋45°具有同一条终边，角β与x －45°具有同一条终边，则α与β的关系是( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝k ·360°(k ∈Z )D ．α－β＝k ·360°＋90°(k ∈Z )[答案] D[解析] ∵α＝(x ＋45°)＋k ·360°(k ∈Z )，β＝(x －45°)＋k ·360°(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°＋90°(k ∈Z )．3．(山东潍坊模块达标)已知α与120°角的终边关于x 轴对称，则α2是( ) A ．第二或第四象限角 B ．第一或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角[答案] A[解析] 由α与120°角的终边关于x 轴对称，可得α＝k ·360°－120°，k∈Z，∴α2＝k·180°－60°，k∈Z，取k＝0,1可确定α2终边在第二或第四象限．4．若角θ是第四象限角，则90°＋θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[答案] A[解析]如图所示，将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°＋θ的终边，则90°＋θ是第一象限角．5．下列说法中，正确的是()A．第二象限的角是钝角B．第二象限的角必大于第一象限的角C．－150°是第二象限角D．－252°16′，467°44′，1187°44′是终边相同的角[答案] D[解析]第二象限的角中，除包含钝角以外，还包含与钝角相差k·360°(k∈Z)的角，如460°是第二象限的角但不是钝角，故选项A错；460°是第二象限的角，730°是第一象限角，显然460°小于730°，故选项B错；选项C中－150°应为第三象限角，故选项C错；选项D 中三个角相差360°的整数倍，则它们的终边相同．6．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}[答案] C[解析]当k＝－1时，α＝－126°∈B；当k＝0时，α＝－36°∈B；当k＝1时，α＝54°∈B；当k＝2时，α＝144°∈B.二、填空题7．(2011～2012·黑龙江五校联考)与－2013°终边相同的最小正角是________．[答案]147°8．(2011～2012·镇江高一检测)将分针拨快10分钟，则分针所转过的度数为________．[答案]－60°9．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈________.[答案]{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}[解析]在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k ＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．三、解答题10．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解析](1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)同理，得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．11．如图，已知直线l1：y＝33x及直线l2：y＝－3x，请表示出终边落在直线l1或l2上的角．[解析]由题意知，终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α|α＝30°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝210°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；终边落在直线l2上的角的集合为M2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}．所以终边落在直线l1或l2上的角的集合为M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·90°，n∈Z}．12．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则α共有多少个？[解析](1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有四种，分别是与45°，135°，－135°，－45°终边相同的角．(2)令－360°<k·90°＋45°<360°，得－92<k<72.又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3. ∴满足条件的角共有8个．。
【成才之路】2021学年高中数学 本册综合测试1 北师大版必修4(1)
【成才之路】2021-2021学年高中数学 本册综合测试1 北师大版必修4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份．总分值150分．考试时刻120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．假设点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，那么y x的值为( )A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－33[答案] B[解析] 由三角函数的概念知y x＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.2．(2021·陕西文，2)函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] T ＝2π2＝π，选B.y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω>0，A >0的最小正周期为2πω.3．已知四边形ABCD 的三个极点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，那么极点D 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－12C ．(3,2)D ．(1,3)[答案] A[解析] 此题要紧考查平面向量的坐标运算．BC →＝(3＋1,1＋2)＝(4,3)，2AD →＝2(x ，y －2)＝(2x,2y －4)∵BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x3＝2y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，应选A.4．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 此题考查了正弦型函数图像的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z.当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.要清楚函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin(ωx ＋φ)＝±1时解出的． 5．设向量a 和b 的长度别离为4和3，夹角为60°，那么|a ＋b |等于( ) A ．37 B ．13 C ．37D ．13 [答案] C [解析]|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a ||b |cos60°＋|b |2＝16＋2×4×3×12＋9＝37，|a ＋b |＝37，应选C.6．设0≤α<2π，假设sin α>3cos α，那么α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，3π2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3[答案] D[解析] 当α∈[0，π2)时，由sin α>3cos α，得sin αcos α＝tan α>3，解得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2；当α∈[π2，π]时，cos α≤0，显然原式成立；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，易患tan α<3，解得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π时，sin α<0，cos α≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，那么ω的最小值为( )A ．13B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意得：π3为函数f (x )＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N ＋)， ∴ω＝6k (k ∈N ＋)，∴ω的最小值为6.8．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，那么CA →·CB →的值为( ) A ．32B ． 3C ．3D ．23[答案] C[解析] 如下图，取BC 边中点M ，由2OA →＋AB →＋AC →＝0，可得2AO →＝AB →＋AC →＝2AM →， 那么点M 与点O 重合．又由|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝|AB →|＝1，可得|AC |＝|BC |·sin60°＝2×32＝3，则CA →·CB →＝|CA →||CB →|·cos C ＝|CA →|2＝3.9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)(ω>0)，以2为最小正周期，且能在x ＝2时取得最大值，那么φ的一个值是( )A ．74πB ．－54πC ．－34πD ．π2[答案] C[解析] f (x )＝12sin(2ωx ＋2φ) T ＝2π2ω＝2∴ω＝π2，∴f (x )＝12sin(πx ＋2φ)，当x ＝2时，πx ＋2φ＝2π＋2φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－3π4，k ∈Z.10．已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π2)，那么以下结论中不正确的选项是( )A ．函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值为12C ．函数y ＝f (x )g (x )的图像关于点(π4，0)成中心对称D ．将函数f (x )的图像向右平移π2个单位后取得函数g (x )的图像[答案] C[解析] f (x )＝cos x ，g (x )＝sin x ， y ＝f (x )g (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，∴最小正周期T ＝π，最大值为12，∴选项A ，B 正确．当x ＝π4时，y ＝12sin(2×π4)＝12≠0，∴y ＝f (x )g (x )的图像不关于点(π4，0)对称，选项C 错误．将f (x )的图像向右平移π2个单位后得y ＝cos(x －π2)，即g (x )的图像，选项D 正确．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知α为直线x ＋3y ＝0的倾斜角，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[答案] 12[解析] 因为直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，因此tan α＝－13，因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan α·ta n π4＝－13＋11＋13＝12.12．(2021·重庆文，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，那么a ·b ＝________.[答案] 10[解析] 此题考查向量数量积的运算． ∵a ＝(－2，－6)，∴|a |＝4＋36＝210，∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.13.下图是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像，那么其解析式为________．[答案] y ＝3sin(2x ＋π3)[解析] 由图知T ＝11π6＋π6＝2π，∴ω＝1且A ＝2.由图像过(－π6，0)，得1×(－π6)＋φ＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴y ＝2sin(x ＋π6)．14．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，那么cos2α＝__________.[答案] －725[解析] 由cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°， 因此sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，因此cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β) ＝－45×45－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－725.15．设f (x )＝cos xcos 30°－x ，那么f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝________.[答案]5932[解析] f (x )＋f (60°－x )＝cos xcos 30°－x ＋cos 60°－xcos x －30° ＝cos x ＋cos 60°－x cos 30°－x＝3sin 60°＋x cos 30°－x＝3，∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (29°)＋f (31°)]＋f (30°)＝5932.三、解答题(本大题共6个小题，总分值75分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤) 16．(本小题总分值12分)已知π6<α<2π3，sin(α－π3)＝m ，求tan(4π3－α)的值．[解析] ∵π6<α<2π3，∴－π6<α－π3<π3.∴cos(α－π3)＝1－m 2. ∴tan(α－π3)＝sin α－π3cos α－π3＝m1－m 2.∴tan(4π3－α)＝tan[π－(α－π3)]＝－tan(α－π3)＝－m1－m 2.17．(本小题总分值12分)OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在OC →上是不是存在点M ，使MA →⊥MB →？假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由．[解析] 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)． ∴45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM →＝(2,1)或OM →＝(225，115)．∴存在M (2,1)或M (225，115)知足题意．18．(本小题总分值12分)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos2x －1sinπ4＋x sin π4－x .(1)求f (－11π12)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝1＋cos2x2－2cos2x －1sin π4＋x sin π4－x＝cos 22xsin π4＋x cos π4＋x＝2cos 22x sinπ2＋2x＝2cos 22xcos2x＝2cos2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝3.(2)g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g max (x )＝2，当x ＝0时，g min (x )＝1.19．(本小题总分值12分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |；②|4a －2b |. (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )? [解析] 由已知可得a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)①|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋2×(－16)＋64＝48，因此|a ＋b |＝4 3.②|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64 ＝3×162， 因此|4a －2b |＝163.(2)假设(a ＋2b )⊥(ka －b )，那么 (a ＋2b )·(ka －b )＝0，因此ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 16k －16(2k －1)－2×64＝0， 故k ＝－7.20．(本小题总分值13分)(2021·重庆理，17)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)假设f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．[解析] (1)因f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，因此f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2，又因f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，因此2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ<π2得k ＝0， 因此φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34.因此sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2.因此cos(α－π6)＝1－sin 2α－π6＝1－142＝154. 因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14·32＋154·12＝3＋158.21．(本小题总分值14分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R.(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)函数y ＝f (x )的图像可由函数y ＝sin x 的图像通过如何转变得出？ (3)假设不等式|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由题意得f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝2＋2sin(2x ＋3π4)．由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)．故f (x )的单调减区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z)．(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点向左平移3π4个单位，再将所得的图像上所有点横坐标紧缩到原先的12，然后再将所得的图像上所有点纵坐标伸长到原先的2倍，最后将所得图像上所有点向上平移2个单位即可得y ＝f (x )的图像．(3)∵|f (x )－m |<2在x ∈[π8，π2]上恒成立， ∴f (x )－2<m <f (x )＋2，∴m >[f (x )]max －2且m <[f (x )]min ＋2， 即m >0且m <4－2，∴0<m <4－ 2.。
《成才之路》2018-2019学年高一人教A版数学必修4课件： 第2章 平面向量 2.1
→ → 向量AB的长度记作|AB|. (2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母 a、b、c、„ → → → 表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母 a 、 b 、 c ，„. 还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以 A → 为起点，以 B 为终点及基本概念
第二章
2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课 时 作 业
第二章
2.1
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优效预习
第二章
2.1
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成才之路 ·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
平面向量
第二章 平面向量
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帆船运动是借风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上 运动.1900 年第二届奥运会开始列为正式比赛项目，帆船的最 大动力来源是“伯努利效应”，如果一帆船所受“伯努利效应” 产生力的效果可使船向北偏东 30°以20 km/h的速度行驶，而
●知识衔接 1．数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．
2 ．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们 既具有大小又具有方向的量． 的特点吗？特点为_________________________ 3 ．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了， 你还记得吗？ 可以看作带有方向的线段 ，三角函数 所谓有向线段就是 _______________________ 有向线段 线都是______________ ．
成才之路·北师大版数学必修1-4.2
1 1 2 (2)令 y1＝y2，即5x＋29＝2x，则 x＝963. 2 当 x＝963时，y1＝y2，两种卡收费一致； 2 当 x<963时，y1>y2，即“便民卡”便宜； 2 当 x>963时，y1<y2，即“如意卡”便宜．
第一章 第四章 § § 12
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第一章 第四章 § § 12
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预习效果展示 1.一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示， 那么图像所对应的函数模型是( A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 )
[解析] 散点图如图所示：
由散点图可知，此函数图像不是直线，排除A；此函数图 像是上升的，是增函数，排除C，D，故选B.
第一章 第四章 § § 12
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x 4．长为 3，宽为 2 的矩形，当长增加 x，宽减少2时，面积 达到最大，此时 x 的值为________．
第一章 第四章 § § 12
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[思路分析] (1)月租金增加时，未租出的车辆数也随之增
加，只需求出现在有多少辆车未租出，就可求出能租出多少辆 车． (2)公司的月收益＝租出的车辆数×(租金－租出车辆的维 护费)－未租出的车辆数×未租出的车辆维护费．
【成才之路】高中数学-1
2．描点法：在要求不太高的情况下可用五点法作图，函数 y ＝ sinx ， x ∈ [0,2π] 的 图 象 上 有 五 点 起 决 定 作 用 ， 它 们 是 _(_0_,0_)____、__π2_，__1_____、_(_π_, _0_)___、__32_π_，__－__1__、_(2_π_,_0_)___，
[点评] 讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性的一般步骤: (1)若ω<0，利用诱导公式二把y＝Asin(ωx＋φ)中x的系数化 为大于0的数； (2)引入变量u＝ωx＋φ(ω>0)； (3)讨论函数y＝sin u的单调性； (4)解关于x的不等式得出y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．
下列关系式中正确的是( ) A. sin11°<cos10°<sin168° B. sin168°<sin11°<cos10° C. sin11°<sin168°<cos10° D. sin168°<cos10°<sin11° [答案] C
(2)cos115°＝cos(90°＋25°)＝－sin25°, cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80°＝－sin10°, ∵sin10°<sin25°, ∴－sin10°>－sin25°, 即cos260°>cos115°. (3)sin194°＝－sin14°, cos160°＝－cos20°＝－sin70°, ∵sin14°<sin70°, ∴－sin14°>－sin70°, ∴sin194°>cos160°.
3．下列函数不是奇函数的是( )
A．y＝sinx
B．y＝sin2x
C．y＝sinx＋2
D．y＝12sinx
数学必修四成才之路完整版本
D．△A1B1C1为锐角三角形，△A2B2C2为钝角三角形
[答案] D
[解析] 由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大 于0，所以△A1B1C1为锐角三角形，不妨假设△A2B2C2也为锐 角三角形，
第一章 基本初等函数（II）
sinA2＝cosA1＝sin(π2－A1)
由sinB2＝cosB1＝sin(π2－B1)
数
学
第一章 基本初等函数（II）
人 教 B 版 数 学
第一章 基本初等函数（II）
[ 例 5]
若
sinθ ＝
3 3
，
求
cos(π－θ) cosθ[sin(32π－θ)－1]
＋
cos(π＋θ)scino(sπ2(2＋π－θ)－θ)sin(32π＋θ)的值．
人 教 B 版
数
[误解] 原式＝cosθ(－cossiθnθ－1)＋cosθsicnoθs＋θ cosθ
第二，角 α 的终边 OP 关于直线 y＝x 对称的射线为 OM，
关于 y 轴对称的射线为 ON，∵24π－α＋2α＝2π，π4是 y＝x
的倾角，又 P(cosα，sinα)关于 y＝x 对称的点为 M(sinα，cosα)，
人 教
B
版
点 M 关于 y 轴对称点为 N(－sinα，cosα)．由 N 点坐标相等
＝cos120°＝cos(90°＋30°)
人 教
B
＝－sin30°＝－12；
版 数 学
(3)原式＝－tan152π＝－tan8π－π2＝tanπ2无意义；
(4)原式＝－tan176π＝－tan3π－π6＝tan6π＝
3 3.
第一章 基本初等函数（II）
[点评] 注意观察角，将角化成 2kπ±α，π±α，π2±α 等形
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1.4 第1课时
一、选择题
1．如果sin α·tan α<0，且sin α＋cos α∈(0,1)，那么角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
[答案] B
[解析] ∵sin α·tan α<0，∴α是第二或第三象限角， 又∵sin α＋cos α∈(0,1)，
∴α不是一和三象限角，∴α为第二象限角．
2．某扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则该扇形面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16
D ．32 [答案] C
[解析] 设扇形半径为r ，则弧长为2r ，∴4r ＝16， ∴r ＝4，∴S ＝12l ·r ＝12
×2r ×r ＝r 2＝16.
3．已知sin(490°＋α)＝－4
5，则sin(230°－α)的值为( )
A ．－45
B.4
5 C ．－35
D.35[答案] B
[解析] ∵sin(490°＋α)＝－45，∴sin(490°＋α－720°)＝－45，即sin(α－230°)＝－4
5，
∴sin(230°－α)＝4
5
4．已知角α的终边上有一点P ⎝⎛⎭
⎫sin 2π3，cos 2π3，则最小正角α的值为( ) A.5π
6 B.2π3 C.5π
3
D.
11π
6
[答案] D [解析] ∵sin
2π3＝32，cos 2π3＝－12
，
∴点P 在第四象限， ∵tan α＝－
33，∴α＝2π－π6＝11π6
. 5．如果－π
2α<0，则直线x cos α＋y sin α＝sin α的倾斜角为( )
A ．－α B.π2＋α C ．π＋α
D.π2
α [答案] B
[解析] 取α＝－π3，则cos α＝12，sin α＝－32，∴斜率k ＝33，∴直线倾斜角θ＝π
6，排
除A ，C ，D ，∴选B.
6．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－sin x 的图象，则m ＝( )
A.π
2
B ．π C.
3π
2
D.3π4
[答案] C
[解析] 根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －3π2，故欲得到y ＝－sin x 的图象，须将y ＝cos x 的图象向右至少平移3π
2
个单位长度．
7．由y ＝sin x 变换成y ＝－2sin x ，则( ) A ．各点右移π个单位，纵坐标伸长到原来2倍 B ．各点左移π个单位，纵坐标缩短到原来的1
2
C ．各点右移π个单位，纵坐标缩短到原来的1
2
D ．各点左移π
2个单位，纵坐标伸长到原来的2倍
[答案] A
8．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )
[答案] B
9．函数y ＝cos x ＋|cos x | x ∈[0,2π]的大致图象为( )
[答案] D
[解析] y ＝cos x ＋|cos x |
＝⎩⎨⎧
2cos x x ∈[0，π2∪[3π
2，2π]0 x ∈[π2，3π
2
]，故选D.
10．函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 图象的交点有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
[答案] B
[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图象可见有3个交点．
二、填空题 11．化简
cos(180°－α)·sin(α－360°)
sin(－α－180°)·cos(180°＋α)
＝________.
[答案] 1
[解析] 原式＝(－cos α)·sin α
－sin(180°＋α)·(－cos α)
＝1.
12．求值sin 27π
4
＝________. [答案]
22
[解析] sin
27π4＝sin ⎝⎛⎭⎫6π＋3π4＝sin 3π
4
＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π4＝sin π4＝2
2
. 13．观察函数y ＝sin x 的图象可知y ＝sin x 的奇偶性为________函数． [答案] 奇
14．下列点中不在函数y ＝3－cos x 的图象上的序号是________． ①⎝⎛⎭⎫π2，3 ②(π，4) ③(0,3) ④⎝⎛⎭⎫－
π2，2 ⑤(2π，2) [答案] ③④ 三、解答题
15．画出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3的图象．
[解析] 列表略，图形如图．
16．作出函数y ＝sin x
tan x
在定义域内且x ∈[0,2π]的图象． [解析] ∵y ＝sin x tan x ＝cos x ，由tan x 有意义知，x ≠π2，3π
2
tan x ≠0知，x ≠0，π，2π，图象如图．
17．作出函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫
x －
π4的图象，观察图象回答． (1)此函数的最大值是多少？
(2)此函数图象关于哪些点中心对称(至少写出2个)．
[解析] 描点作出图象如图． (1)最大值为2. (2)⎝⎛⎭⎫－
π4，0，⎝⎛⎭⎫3π4，0.。