对偶问题的基本性质
初中数学对偶式
初中数学对偶式
【原创实用版】
目录
1.初中数学对偶式的概念
2.对偶式的性质
3.对偶式的应用
4.结论
正文
一、初中数学对偶式的概念
初中数学对偶式是指两个代数式，它们互为对偶，即它们的各项次数相同，且对应项的系数互为相反数。
例如，x - y和 x + y就是一对对偶式。
对偶式在数学中有着广泛的应用，它是代数学、几何学等数学领域的基本概念之一。
二、对偶式的性质
对偶式具有以下几个基本性质：
1.对偶式中的各项次数相同。
2.对偶式中，对应项的系数互为相反数。
3.对偶式可以通过加减消去项，得到另一个对偶式。
三、对偶式的应用
对偶式在初中数学中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：
1.代数式的简化：对偶式可以用来消去代数式中的项，简化代数式。
2.几何中的应用：对偶式在几何学中也有着广泛的应用，例如，它可以用来求解两个矩形的面积差等。
3.数学建模：对偶式在建立数学模型时也有重要的作用，它可以帮助我们更好地理解问题，并找到解决问题的方法。
四、结论
对偶式是初中数学中的一个重要概念，它具有广泛的应用，是学习代数和几何等数学领域的基础。
线性规划的对偶问题
(二)非对称型对偶问题
max z c1x1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a11x1 a12 x2 a13x3 a13x3 b1
a21x1 a22 x2 a23x3 a23x3 b2 a2a1x21x1 a2a2 x222x2 a2a3x233x3 a2a3x233x3 b2b2 a31x1 a32x2 a33x3 a33x3 b3
min w b1y1 b2 y2 b3 y3 s.t. a11 y1 a21 y2 a31 y3 c1
a12 y1 a22 y2 a32 y3 c2
a13 y1 a23 y2 a33 y3 c3 y1 0，y2无约束，y3 0
第11页
(二)非对称型对偶问题
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
目标函数的系数
3个
≥0
变
≤0
量
无符号限制
23个
约
≥
束
≤
条 件
=
第13页
二、原问题与对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题）
目标函数 max
目标函数的系数
约束条件右端常数
约 m个
束≤
条 件
≥
=
n个
变
≥0
量
≤0
无符号限制
对偶问题（原问题）
目标函数 min
约束条件右端常数
第8页
(二)非对称型对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 分析：化为对称形式。令 x2 x2，x3 x3 x3 (x3 0, x3 0)
对偶问题的性质
（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩--，--，0MinS Yb YA C Y =≤≥证明：变换对偶问题模型ax 0M S YbYA C Y =−⎧−≤−⎨≥⎩MinZ CX AX b X =−⎧−≥−⎨≥⎩MaxZ CX AX b X =⎧≤⎨≥⎩2.3 对偶问题的性质b Y X C ≤（2）弱对偶性：若是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，则存在有XY 证明：MaxZ CXAX b X =⎧≤⎨≥⎩MinS Yb YA C Y =⎧≥⎨≥⎩因是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，所以有：XY ;Y AX Yb Y AX C X≤≥b Y X C ≤•弱对偶性的图形解释MinS=b Y最优目标MaxZ=XC（3）可行解是最优解的性质：若是原、对的可行解，当Y Xˆ,ˆ b Y X C ˆˆ= 则：是最优解Y X ˆ,ˆ b Y MinS =最优XC MaxZ =b Y XC ˆˆ=（4）对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且原问题与对偶问题最优目标函数值相等。
1ˆ−=B C Y B01≤−−A B C C B()()XA B C C b B C X B C C X N B C C X B B C C b B C X B C C X N B C C b B C X C X C X B C NX B C b B C X C X C X C X X X C C C CX Z X B NX B b B X b X X X I N B AX B B S B S N B N B B B B SB S N B N B SS N N S B N B B S S N N B B S N B S N B SN B S N B )()()()()()(111111111111111−−−−−−−−−−−−−−−−+=−+−+−+=−+−+=++−−=++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==−−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01≤−−A B C C B•检验数的推导：（5）互补松弛性：若分别是原问题和对偶问题的可行解，那么当且仅当为最优解Y Xˆ,ˆ 0ˆ0ˆ==X Y X Y S S和Y X ˆ,ˆ 11ˆˆˆ0,0ˆˆˆ,0,0若则有即若即则有==>==<>=∑∑ni ijj i si j nijj i si i j yaxb x ax b xy⚫对偶变量的经济含义----影子价格资源的单位改变量引起目标函数值（Z ）的改变量，通常称为影子价格（shadow price ）或边际价格（marginalprice ）。
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
运筹学第3章 对偶问题
x1 > 0, x2 > 0
联立求解得： y1 = 0, y2 = 0.5, y3 = 0.5
三、影子价格
设 x* ( j = 1,L, n) 和 yi* (i = 1,L, n) 分别是原问题和 j 对偶问题的最优解，则由对偶性质，有
=b
BX B + NX N + IX S = b X ≥ 0, X ≥ 0 N B
S S
max z = C B X B + C N X N + 0 X s
将XB的系数 矩阵化为单 位矩阵
原来 BX B + NX N + IX IX B + B − 1 NX N + B − 1 X
= b = B
注 上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量
二、对偶问题的基本性质
1、对偶问题的对偶问题是原问题
max z=CX s.t. AX≤b X ≥0 对偶的定义 min w=b’Y s.t. A’Y≥C Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C Y ≥0
−1
b
项目
原问题变量
原问题松弛变量
原问 题最 终单 纯形 表
x1
x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 -σj 0 1 0 0
x2
0 0 1 0
x3
1 0 0 0
x4
5/4 1/4 -1/4 1/4
x5
15/2 -1/2 3/2 1/2
对偶问题课程设计
对偶问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握对偶问题的基本概念，理解线性规划问题与对偶问题之间的关系。
2. 能够运用对偶理论分析实际问题的对偶关系，并正确建立对偶模型。
3. 了解对偶问题的应用领域，如经济学、工程管理等。
技能目标：1. 培养学生运用数学语言描述对偶问题的能力，提高逻辑思维和表达能力。
2. 能够运用对偶方法解决实际问题，提高解决线性规划问题的能力。
3. 培养学生运用数学软件求解对偶问题的能力，提高实际操作技能。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情，形成积极的学习态度。
2. 培养学生合作交流的意识，学会倾听、尊重他人意见，形成良好的团队协作精神。
3. 使学生认识到对偶问题在现实生活中的应用价值，提高社会责任感和使命感。
课程性质分析：本课程为数学学科选修课程，旨在让学生掌握对偶问题的基本理论和应用，提高解决实际问题的能力。
学生特点分析：学生为高中二年级学生，具备一定的数学基础，具有一定的逻辑思维和分析能力，但对对偶问题的了解较少。
教学要求：1. 结合实际案例，激发学生学习兴趣，提高课堂参与度。
2. 采用启发式教学，引导学生主动探索，培养学生的创新意识。
3. 注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
二、教学内容1. 对偶问题基本概念：介绍线性规划问题的对偶问题，解释对偶问题的定义及性质，包括对偶问题的构造方法、对偶问题的基本定理等。
教材章节：第三章第三节《线性规划的对偶问题》2. 对偶问题的建立：通过实例分析，让学生学会如何从原问题建立对偶问题，掌握对偶问题的建模方法。
教材章节：第三章第四节《对偶问题的建立与应用》3. 对偶问题的求解：介绍对偶问题的求解方法，包括单纯形法、对偶单纯形法等，并运用数学软件进行求解。
教材章节：第三章第五节《对偶问题的求解方法》4. 对偶问题的应用：分析对偶问题在实际问题中的应用，如经济学、工程管理等领域的案例。
教材章节：第三章第六节《对偶问题的应用案例分析》5. 对偶问题的拓展：探讨对偶问题的拓展知识，如对偶问题的灵敏度分析、多目标规划的对偶问题等。
4.2_对偶性质
例： max Z x1 2x2 3x3 4x4
试估计它们目
（P）2xx11
2x2 2x3 3x4 20 x2 3x3 2x4 20
标函数的界。
x14 0 解：minW 20 y1 20 y2
__
可知：__X =（1，1，1，
1），Y =（1，1），
分别是（P）和（D）
y1 2 y2 1
st
x1 2x2 x1 x2
10 0
x1 5, x2 0
（1）用图解法求解上述问题； （2）写出它的对偶问题； （3）指出对偶最优解中的基变量。
对偶最优解 中的基变量是
y2和y4!
21
6、解的对应性定理
LP （ max ） 的 初 始 基 变 量 的 检 验 数 的 相 反 数 对 应 于 DP （min）的一组基本解。
24
可行解（0，1）， 目标函数值：24
9
4、对偶性定理
若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的 目标函数值必相等。
例：
原始问题
对偶问题
MinZ 6x1 3x2
2 s.t.4
x1 x1
4 x2 3x2
16 24
x1, x2 0
MaxW 16 y1 24 y2
2 y1 4 y2 6 s.t.4 y1 3 y2 3
y1, y2 0
原始问题的最 优解（0，8）
目标函数 值都为24
对偶问题的最优 解（0，1）
10
5、互补松弛性
原问题和对偶问题达到最优时的充分必要条件是YsX*=0， Y*Xs=0。
即在LP的最优解中，若某一约束的对偶变量值为非零，则该 约束条件取严格的等式；反之，如果约束条件取严格不等式， 则其对应的对偶变量一定为零。
3.2 对偶问题的基本性质
MinW
与 与
s.t 变量
一致 相反
s.t 变量无约束 s.t为等号
MinZ 2
s.t 为等号 变量无约束
例2：试求下述LP问题的对偶问题
x
1
1
x
2
2
3
x
3
1
3
4
x
3
x
4
5 .......... .......... ...( 1)
x
2
5
x
3
x
4
2x
2
x
x
4 .......... .......... ..( 2 )
B b
1
时
y
0,
s1
y
s2
c
N
c B
B
1
N
MaxZ 例1：
2
x
1
x
2
s .t
6
5
1
x
2
1
x
2
15
2
x
1
x
24
化成标准形式
x
2
2
5
0
x ,x
MaxZ
5
6
2
x
1
x
2
0
x
3
0
x
4
0
x
5
x x
1
2 x2 x2 1
x
2
x
3
i
c x ˆ
j j 1
n
j
ˆ b y,
2.2运筹学 对偶问题的基本性质
y1*
x
* s1
0
y2*xs2* 0
ym*
x
s
* m
0
若y
* 1
0则x
* s1
0
若x
* s1
0则y
* 1
0
对偶变量不为0 ，原问题相应 约束式是等式
原问题约束为
已知线性规划问题
不等式，相应
min 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5
对偶变量为0
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 4
(2)
2 y1 3 y2 5
(3)
y1 y2 2
(4)
3 y1 y2 3
(5)
y1 , y2 0
将
y* 1
,
y* 2
的值代入约束条件，得(2)，(3)，(4)为严格不等式；由互
补松弛性得 x*2 x*3 x4* 0。因 y1，y2 0；原问题的两个约束条
件应取等式，故有
x1* 3 x5* 4
B 1b C B B 1b
与-原原问问问题令题题的Y的的基=检C检解验B验(B差数数-1一对,故比负应较可号对-得-)偶---对- 偶问题YS的2=一CB个B-基1N解-C.N
YS1=0
原 问 题
对偶 问题
变量性质
检验数 基解
变量性质
基变量
非基变量
XB 0
-YS2 非基变量
XN
XS
CN-CBB-1N -CBB-1
机械设备
甲 1
原材料A 4
影子价格
原材料B 0
经济意义பைடு நூலகம் 在其它条件 不变的情况 下， 单位资源变 化所引起的 目标函数的 最优值的变 化。
运筹学基础及应用第2章-线性规划的对偶问题(胡运权版)教程文件
2 x 1 2 x 2 12
s
.t
x 4
1
x
1
2
x2 16
8
4
x2
12
x 1 , x 2 0
反过来问：若厂长决定不生 产甲和乙型产品，决定出租 机器用于接受外加工，只收 加工费，那么４种机器的机 时如何定价才是最佳决策？
1.对偶问题的提出
在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：
对偶问题的基本性质minmax的某个约束条件的右端项常数bi第i种资源的拥有量增加一个单位时所引起目标函数最优值z的改变量称为第i种资源的影子价格其值等于d问题中对偶变量y影子价格的经济意义1影子价格是一种边际价格在其它条件不变的情况下单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化
运筹学基础及应用
Operations Research
1 . min Z 2 x 1 2 x 2 4 x 3
2x1 3x 2 5x 3 2
3
x
1
x 2 7x 3 3
x1 4x 2 6x 3 5
x 1 , x 2 , x 3 0
2 . min Z 3 x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4
x1 2x 2 3x 3 4x 4 3
4
0
0
4
16
12
2
3
minω
max z
对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每一个线性规划（ LP ） 必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP都 有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原问题”，记为“P”，另一个 称为“对偶问题”，记为“D”。
2.原问题与对偶问题
2. 原问题与对偶问题的对应关系
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第二节对偶问题的基本性质
•引例 •对称性 •弱对偶性 •最优性 •对偶性（强对偶性） •互补松弛性
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引例
对 偶 问 题
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max z 2 x1 x 2 5 x 2 15 原 s.t. 6 x1 2 x 2 24 问 题 x1 x 2 5 x1, x 2 0 min w 15 y 24 y 5 y
对偶问题 剩余变量
原问题 最优解
原问ห้องสมุดไป่ตู้ 的变量
原问题松弛变量
对偶问题的变量
对 偶 问 题
• 两个问题作一比较:
1.两者的最优值相同 z w 8.5 2.变量的解在两个单纯形表中互相包含 原问题最优解（决策变量）
x1 7 / 2 , x 2 3 / 2
对偶问题的松弛变量
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五、互补松弛性：
对 偶 问 题
ˆ ˆ ——若 X , Y 分别是原问题（1） X 与对偶问题（2）的可行解， , Y 分别为（1）、（2）的松弛变量，则： ˆ ˆ ˆ ˆ 即： YX 0, Y X 0 X , Y 为最优解
S S
S
S
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ˆ ˆ ˆ Y X S 0 Y ( b A X ) 0 y i x si 0 ˆ ˆ ˆ y 0 x 0 A X a x b , ˆ si ˆj ˆi i ij i j 1 ˆ x si 0 A i X b i y i 0 ˆ ˆ
对偶问题最优解（决策变量）
y1 0, y 2 1 / 4, y 3 1 / 2
原问题的松弛变量
从引例中可见：
对 偶 问 题
原问题与对偶问题在某种意义上 来说，实质上是一样的，因为第二个 问题仅仅在第一个问题的另一种表达 而已。 理论证明：
原问题与对偶问题解的关系
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对偶问题的基本性质
n
A的第i行
原问题第i条约束
另一方面：
对 偶 问 题
ˆ ˆ Y X 0 (YˆA C ) X 0 (YˆP c ) x 0 ˆ
S j j j
x 0 YˆP c ˆ YˆP c x 0 ˆ
j j j j j j
对偶问题的第j条约束
上页
对 偶 问 题
返回
以上性质同样适用于非对称形式。
对 偶 问 题
对偶问题的基本性质
上页 下页 返回
返回
AX 证明： b Y A X Y b CX Y AX Y b
Y A C Y AX CX
从弱对偶性可得到以下重要结论：
对 偶 问 题
上页 下页 返回
• （1）极大化问题（原问题）的任一可行 解所对应的目标函数值是对偶问题最优 目标函数值的下界。 • （2）极小化问题（对偶问题）的任一可 行解所对应的目标函数值是原问题最优 目标函数值的上界。 • （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
对 偶 问 题
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• （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。 • （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。 • （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX
原问题
Yb
对偶问题
CX
Y b
对偶问题的基本性质
原问题松弛变量
原问题的变量
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
对 偶 问 题
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化为极小问题
x1 x 2 x 3 x4 x5 x 3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2 x 1 7 / 2 1 0 0 1 / 对偶问题/ 2 4 1 最优解 x2 3 / 2 0 1 0 1 / 4 3 / 2 0 0 0 1/ 4 1/ 2 （ c j z） j y 4 y 5 y1 y2 y3
对 偶 问 题
设原问题（1）
max z CX s .t . AX b X 0
对偶问题（2）
min w Yb s .t . YA C Y 0
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一、对称定理： 定理对偶问题的对偶是原问题。 返回
对偶问题的基本性质
对 偶 问 题
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二、弱对偶性定理： ——若 X 和 Y 分别是原问题 （1）及对偶问题（2）的可行解， 则有 CX Y b
对偶问题的基本性质
对 偶 问 题
四、对偶定理（强对偶性）： ——若原问题及其对偶问题均具有可 行解，则两者均具有最优解，且它们最 优解的目标函数值相等。
证明：
原问题与对偶问题的解一般有三种情况： 一个有有限最优解 另一个有有限最优解。 一个有无界解 另一个无可行解。 两个均无可行解。
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1 2
厂 家
3
s .t
收 购
1
6y y 2
2 3 2 3
5y 2y y 1 y ,y ,y 0
1 2 3
对 偶 问 题
原问题化为极小问题，最终单纯形表：
对 偶 问 题
原问题 的变量
原问题松弛变量
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化为极小问题
x1 x 2 x 3 x4 x5 x 3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2 x1 7 / 2 1 0 0 1 / 4 1/ 2 x2 3 / 2 0 1 0 1 / 4 3 / 2 （c j z ） 0 0 0 1/ 4 1/ 2 j y 4 y 5 y1 y2 y3
对 偶 问 题
三、最优性定理： ——若 X 和 Y 分别是（1）和（2） 的可行解，且有 CX Y b, 则 , Y X 分别是（1）和（2）的最优解 。
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证明：因为（1）的任一可行解
C X Y b, CX
X
均满足
Y b
则 X 为（1）的最优解， 反过来可知： 也是（2）的最优解。 Y
对偶问题 剩余变量
对偶问题的变量
对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表
对 偶 问 题
对偶问题的变量 对偶问题剩余变量
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y1 y2 y3 y4 y5 y2 1 / 4 5 / 4 1 0 1 / 4 1 / 4 y 3 1 / 2 15 / 2 0 1 1 / 2 3 / 2 3/2 c j z j 15 / 2 0 0 7 / 2 x3 x4 x5 x1 x2
说明：在线性规划问题的最优解中，如果对 下页 应某一约束条件的对偶变量值为非零，则 返回该约束条件为严格等式；反之如果约束条 件为严格不等式，则其对应的对偶变量一 定为零。
• 互补松弛定理应用：
– （1）从已知的最优对偶解，求原问题 最优解，反之亦然。 – （2）证实原问题可行解是否为最优解。 – （3）从不同假设来进行试算，从而研 究原始、对偶问题最优解的一般性质。 上页 下页 – （4）非线性的方面的应用。