对偶原理
对偶原理
分别考察n=3和n=4的情形
平面对偶原则
简单n点(线)形：n=3 简单三点形 ABC 简单三线形 abc
简单n点(线)形：n=4
简单四点形 ABCD 简单四线形 abcd
显然，简单n点(线)形与其顶点(边)的顺序有关
平面对偶原则
(5) 完全n点形：n个点(其中 无三点共线)及其每两点连线 构成的图形. 顶点：n个；
(2) 点 (3) 点
(0 , 0 ,1)
u3 0.
( A, B , 0)
A u1 B u 2 0 .
(3)' 直线
A x1 B x 2 0 .
注：在上述(2), (3)及其对偶中, 为什么不提“原点”, “无穷远 点”等术语？ 请在课后尽可能多地练习画出已知图形的对偶图形、写出已知 命题的对偶命题，并从对偶原则出发，重新审视前面所学知识.
注2 对偶原则是一个双射
பைடு நூலகம்
F：
点几何
线几何
因此, 对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化, 可以起到事半功倍的作用.
平面对偶原则 二、代数对偶
规定 令坐标相同的点与直线为一对相互对偶的代数对偶元素. 得代数对偶原则 注1 上述规定实际上是RP2与(RP2)*之间的恒同映射. 注2 事实上, 可以有许多种不同的代数对偶映射. 比如将在第四 章学习的配极变换.
平面对偶原则
重要原理！ 贯穿全书！
一、平面对偶原则
1. 基本概念 (1) 对偶元素 (2) 对偶运算
(3) 对偶变换 点 直线 过一点作一直线
在一直线上取一点
互换对偶元素地位、作对偶运算
(4) 对偶图形 在射影平面上, 设已知由点、直线及其关联关系 构成的图形, 若对作对偶变换，则得到另一个图形'. 称、' 为一对对偶图形. 图形 作对偶变换 互为对偶图形 图形'
对偶原理的应用实例
对偶原理的应用实例1. 什么是对偶原理？对偶原理是计算机科学中的一种思想方法，它认为存在一种对应关系，即任何一个概念或问题，都可以找到一个与之对偶的概念或问题。
对偶原理认为，通过对问题进行转化，我们可以更好地理解问题本质，得到更好的解决方案。
2. 对偶原理的应用实例2.1. 对偶原理在逻辑电路中的应用对偶原理在逻辑电路中的应用非常广泛。
逻辑电路通常包括与门、或门、非门等基本门电路，通过对门电路的输入输出进行转换，可以得到对偶电路，从而更好地理解电路工作原理。
对偶原理可以帮助我们简化电路设计，提高电路的可靠性和效率。
2.2. 对偶原理在数据库查询中的应用对偶原理在数据库查询中也有重要应用。
数据库查询通常基于关系代数，通过关系代数中的操作，可以得到与之对偶的操作。
例如，选择操作对应于投影操作，而连接操作对应于并操作。
对偶原理的应用可以帮助我们更好地理解查询语言的运作方式，提高查询效率。
2.3. 对偶原理在编程中的应用对偶原理在编程中也有广泛的应用。
例如，对偶原理可以用于优化代码中的逻辑，通过对问题进行转化，可以得到与之对偶的问题，从而提高代码的可读性和效率。
对偶原理还可以用于解决一些复杂的问题，例如图论中的最短路径问题，通过对问题进行转化，可以得到与之对偶的问题，从而简化求解过程。
2.4. 对偶原理在数学中的应用对偶原理在数学中也有重要的应用。
例如，在线性规划中，对偶问题是原始问题的一种变形，通过对原始问题进行转化，可以得到对偶问题，从而简化求解过程。
对偶原理在几何学中也有应用，例如，在几何证明中，通过对问题进行转化，可以得到与之对偶的问题，从而简化证明过程。
3. 总结对偶原理作为一种思想方法，在计算机科学、数学和工程等领域中有着广泛的应用。
通过对问题进行转化，我们可以更好地理解问题的本质，得到更好的解决方案。
无论是在逻辑电路、数据库查询、编程还是数学中，对偶原理都起到了重要的作用。
对偶原理的运用不仅可以简化问题的求解过程，还可以优化代码和设计，提高系统的可靠性和效率。
电路定理III-特勒根定理、互易定理、对偶原理
由特勒根定理，得 10 ix 0 i2 ukiˆk 0 3b 0 i1 (5) 1 uˆkik 0 3
ukiˆk ik Rkiˆk ikuˆk
10ix 5 ix 0.5A
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互易定理 (Reciprocity Theorem)
电路定理
第三讲（总第十四讲）
特勒根定理 互易定理 对偶原理
特勒根定理(Tellegen’s Theorem)
一、具有相同拓扑结构的电路
2
2
+
-
1
4
1
4
3
3
N
+–
2
N 2
2
2
13
13
14
5 3
4 14
5 3
4
6
6
2
2
例:
2
2
13
13
14
5 3
4
14
5 3
4
N6
6
N
*对应支路取相同的参考方向
*各支路电压、电流均取关联的参考方向
(G1+G2)un1- G2 un2 = is1 -(G2 - gm )un1+(G2+G3) un2 = 0
对应元素 网孔电阻阵 CCVS T形
节点导纳阵 VCCS 形
两个电路互为对偶电路。
二、对偶原理 两个对偶电路N，N，如果对电路N有命题
（或陈述）S成立，则将S中所有元素分别以其对应的对偶
k 3
k 3
k 3
a
iˆ2 c
线性电
+
iˆ1 阻网络 uˆS
N
–
b
(b)
运算的对偶原理
运算的对偶原理运算的对偶原理（Duality Principle）是指在逻辑代数中，对于每个基本运算，存在一个与之对偶的基本运算，通过互换运算中的“与（AND）”和“或（OR）”以及“真（True）”和“假（False）”的位置就可以得到对应的对偶运算。
对偶原理可以用来分析和简化逻辑表达式，通过将逻辑运算符换成对偶的运算符，可以找到等价的表达式，从而简化求解过程。
它在逻辑电路设计、布尔代数、逻辑推理等领域具有重要的应用。
首先来看AND（与）和OR（或）的对偶关系。
对偶原理告诉我们，对于任意的两个逻辑表达式E1和E2，如下等式成立：E1 AND E2 = NOT（NOT E1 OR NOT E2）E1 OR E2 = NOT（NOT E1 AND NOT E2）其中，NOT表示取反操作。
这个对偶关系可以通过化简真值表来证明。
以AND为例，假设有两个逻辑变量A和B，其真值表如下：A B AND0 0 00 1 01 0 01 1 1根据对偶原理，可以通过将真值表中的0和1互换位置，同时取反，得到AND 的对偶：A B OR1 1 11 0 10 1 10 0 0可以看到，对偶的真值表与原始表相比，0和1互换位置，并且整个表取反。
这就是AND和OR之间的对偶关系。
类似地，对偶原理也适用于其他的逻辑运算符。
例如，对于逻辑非（NOT）运算符，其对偶关系为：NOT NOT E = E这意味着连续两次对一个逻辑表达式取反，等价于不取反。
以上是基本运算符的对偶原理，但是对偶原理还有更广义的定义。
对于任意的逻辑运算符，都有对偶运算符与之对应。
例如，对于异或（XOR）运算符，其对偶运算符为同或（XNOR）。
对偶原理对于简化逻辑表达式非常有用。
通过应用对偶原理，我们可以将复杂的逻辑表达式转化为等价的简化形式。
例如，可以使用对偶原理将一个较长的逻辑表达式转换成一个更简单的形式，从而简化电路设计或计算过程。
此外，对偶原理还可以应用于逻辑推理。
对偶原理的应用场景
对偶原理的应用场景1. 逻辑推理与分析•对偶原理是逻辑学中重要的概念，可以应用于逻辑推理和分析中。
通过对偶原理，可以将一个命题的否定转化为其对偶命题的积极描述，从而更容易进行推理和分析。
•在逻辑推理和分析中，对偶原理常用于证明或推导逻辑命题的等价性。
通过对偶原理，可以将一个逻辑公式转化为与之等价的形式，从而更好地理解和解决问题。
•对偶原理的应用场景不仅局限于逻辑推理和分析，在计算机科学、人工智能等领域也得到了广泛的应用。
例如，在编程语言的设计中，对偶原理可以用于设计和优化程序逻辑。
2. 电路设计•对偶原理在电路设计中起着关键作用。
通过对偶原理，可以将一个逻辑门的输入和输出互换，从而实现输入和输出信号的互换，方便电路设计师进行设计和优化。
•例如，在数字电路中，与门和或门是最常用的逻辑门。
通过对偶原理，可以将一个与门的输入和输出互换得到一个或门，从而实现了逻辑门的互换和优化。
•对偶原理还可以应用于多层逻辑门的设计和优化。
通过对偶原理，可以将一个多层逻辑门的输入和输出互换，从而简化电路结构，提高电路的性能和效率。
3. 数据压缩与加密•对偶原理在数据压缩和加密中也有重要的应用。
在数据压缩中，对偶原理可以用于将一个大规模的数据集转化为一个小规模的数据集，从而减少存储空间和传输成本。
•在数据加密中，对偶原理可以用于将一个明文的加密算法转化为一个解密算法，从而实现数据的加密和解密。
•对偶原理的应用使得数据压缩和加密逻辑更加简单和直观，减少了实现的复杂性和成本。
4. 语言翻译与转换•对偶原理在语言翻译和转换中也发挥着重要的作用。
通过对偶原理，可以将一个源语言的表达式转化为目标语言的等价表达式，从而实现不同语言之间的翻译和转换。
•对偶原理的应用使得语言翻译和转换更加简单和高效，减少了翻译过程中可能出现的错误和偏差。
•例如，在编译器的设计中，对偶原理可以用于源代码和目标代码之间的转换，从而实现不同平台上的程序编译和执行。
电与磁对偶性原理的应用
电与磁对偶性原理的应用1. 介绍电与磁对偶性原理是一个重要的物理原理，它指出电场和磁场之间存在对称关系。
根据这一原理，我们可以利用电场的特性推导出磁场的特性，反之亦然。
在实际应用中，电与磁对偶性原理被广泛运用于多个领域，包括电磁波传播、天线设计、电磁感应等。
2. 电与磁对偶性原理在电磁波传播中的应用电与磁对偶性原理在电磁波传播中起到重要的作用。
通过对电场和磁场的关系进行研究，我们可以推导出电磁波的传播特性。
例如，根据对偶性原理，我们可以推导出电场和磁场之间的波动方程，并得到电磁波的传播速度和传输特性。
这些推导为电磁波技术的应用提供了理论基础。
3. 电与磁对偶性原理在天线设计中的应用天线是将电能转换成电磁波能量的装置。
在天线设计中，电与磁对偶性原理可以帮助我们理解天线的辐射和接收特性。
例如，通过分析天线的电场分布和磁场分布，我们可以确定天线的辐射方向和辐射功率。
利用对偶性原理，我们可以将电场的特性应用于磁场，以确定天线的磁场分布。
这对于优化天线设计和提高天线性能至关重要。
4. 电与磁对偶性原理在电磁感应中的应用电与磁对偶性原理在电磁感应中也有广泛的应用。
根据对偶性原理，我们可以推导出在磁场变化时产生的感应电场和感应磁场。
这些感应场可以用于能量传输、传感器设计等应用。
例如，利用对偶性原理，我们可以设计感应电磁线圈来实现无线电能传输。
这可以应用于无线充电、无线通信等领域。
5. 其他应用领域除了上述应用领域外，电与磁对偶性原理还可以应用于电磁屏蔽、电能传输、电磁传感等领域。
它为我们理解和应用电磁现象提供了一个统一的框架。
通过对偶性原理的应用，我们可以更好地理解电场和磁场之间的关系，从而推导出一系列的应用。
结论电与磁对偶性原理的应用广泛，涵盖了电磁波传播、天线设计、电磁感应等多个领域。
它为我们理解和应用电磁现象提供了有力支持。
通过充分利用电与磁对偶性原理，我们可以优化设计、提高性能，并推动电磁技术的不断发展。
电磁学对偶原理的应用
电磁学对偶原理的应用1. 引言电磁学对偶原理是电磁学中的基本原理之一，它描述了电场和磁场之间的关系。
在实际应用中，电磁学对偶原理被广泛运用于各种领域，包括通信、雷达、天线设计等。
本文将介绍电磁学对偶原理的基本概念，并探讨其在实际应用中的一些例子。
2. 电磁学对偶原理概述电磁学对偶原理是从麦克斯韦方程组中导出的，它表明在电场和磁场之间存在一种对称关系。
简而言之，对于一组满足麦克斯韦方程组的电场解，存在一个相应的磁场解，而两者满足相同的方程组。
这意味着通过对电场解进行某种变换，可以得到相应的磁场解，反之亦然。
3. 电磁学对偶原理在通信领域的应用电磁学对偶原理在通信领域有着广泛的应用。
其中一个例子是天线设计。
通过运用电磁学对偶原理，可以将一种适用于电场的天线转换为相应的适用于磁场的天线。
这种转换可以扩展天线的应用范围，提高天线的性能。
另一个例子是天线阵列设计。
天线阵列是一种将多个天线组合在一起使用的系统，通过电磁学对偶原理，可以根据电场解设计一个天线阵列，并通过相应的变换得到适用于磁场的天线阵列。
这种设计方法可以提高天线阵列的方向性和性能。
4. 电磁学对偶原理在雷达系统中的应用雷达系统是一种利用电磁波进行探测和测量的设备。
电磁学对偶原理在雷达系统中也有着重要的应用。
其中一个例子是天线旋转机构的设计。
通过运用电磁学对偶原理，可以设计一种能够同时适用于电场和磁场的天线旋转机构，从而实现雷达系统的全向探测。
另一个例子是波束形成技术。
波束形成是一种将雷达信号聚焦在特定方向的技术，通过电磁学对偶原理，可以设计一种同时适用于电场和磁场的波束形成系统。
这种系统可以实现更高的方向性和灵敏度，提高雷达系统的探测效果。
5. 其他领域中的电磁学对偶原理应用除了通信和雷达领域，电磁学对偶原理在其他领域中也有广泛应用。
一个例子是光学中的偏振器和波片设计。
通过电磁学对偶原理，可以将电场中的偏振器和磁场中的波片进行相互转换，从而扩展光学器件的应用范围。
皮亚杰对偶故事法
皮亚杰对偶故事法引言：皮亚杰（Jean Piaget）是瑞士的心理学家和儿童发展研究者，以他的认知发展理论而闻名。
在他的研究中，他提出了一种叫做对偶故事（Dual Representation）的方法，用以研究儿童的思维和认知发展。
本文将介绍皮亚杰对偶故事法的背景、原理以及应用，并探讨其对儿童发展研究的重要性。
一、对偶故事法的背景：皮亚杰的对偶故事法是基于他的认知发展理论的。
他认为，儿童的认知能力在不同的阶段中发展，并且这种发展受到儿童对现实世界和符号世界的不同认知方式的影响。
对偶故事法则是通过将现实世界和符号世界相互关联，来探究儿童在这两个层面上的认知能力。
二、对偶故事法的原理：对偶故事法的原理基于对现实世界和符号世界的理解，以及对儿童思维和认知发展的观察。
它通过将故事情节中的现实世界和符号世界相互联系，在儿童的认知发展中起到重要的作用。
具体而言，对偶故事法主要包括以下几个步骤：1. 故事设计：根据研究的目的，设计一个故事情节，其中包含现实世界和符号世界的元素。
故事要足够具体和富有情节，以吸引儿童的注意力。
2. 故事讲述：将设计好的故事情节以生动的方式讲给儿童听，让他们能够理解故事中的现实世界和符号世界之间的关系。
3. 任务设置：根据故事中的情节，给儿童提供一些任务或问题，让他们用符号世界的知识来解决现实世界的问题。
4. 观察记录：观察儿童在解决问题过程中的行为和思考，记录下他们使用符号世界的能力以及对现实世界的理解。
5. 结果分析：通过观察记录和分析，得出关于儿童认知发展的结论，并进一步研究和探索。
三、对偶故事法的应用：1. 儿童认知发展研究：通过对偶故事法，研究者可以深入探索儿童认知能力的发展过程。
例如，他们可以通过观察儿童在解决任务时的思考过程，了解他们对符号世界的理解以及将其应用于现实世界的能力。
2. 教育实践：对偶故事法也可以应用于教育实践中，帮助儿童更好地理解和应用所学的知识。
通过将现实世界与符号世界相互关联，教师可以设计有趣的学习活动，激发儿童的学习兴趣和主动性。
对偶问题的原理和应用
对偶问题的原理和应用1. 对偶问题的概述对偶问题是线性规划领域的一个重要概念，它通过将原始问题转化为对偶形式，从另一个角度来解决问题。
对偶问题在优化领域有着广泛的应用，尤其在线性规划中起到了重要的作用。
2. 对偶问题的原理对偶问题的转化是基于线性规划的标准形式进行的。
假设我们有一个原始线性规划问题：最小化：c T x约束条件：$Ax \\geq b$ 变量约束：$x \\geq 0$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束条件的右侧常数向量。
对于原始问题，我们可以定义一个对偶问题。
对偶问题的定义如下：最大化：b T y约束条件：$A^Ty \\leq c$ 变量约束：$y \\geq 0$其中，y是对偶问题的变量向量。
对偶问题的目标函数和约束条件是原始问题的线性组合，并且满足一定的对偶性质。
3. 对偶问题的求解方法对偶问题的求解方法有两种：一种是通过求解原始问题得到对偶问题的最优解，另一种是通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。
这两种方法都可以有效地解决线性规划问题。
3.1 原始问题到对偶问题的转换原始问题到对偶问题的转换可以通过拉格朗日对偶性定理来实现。
该定理表明，原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解原始问题的对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
3.2 对偶问题到原始问题的转换对偶问题到原始问题的转换可以通过对偶定理来实现。
该定理表明，对偶问题的最优解与原始问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
4. 对偶问题的应用对偶问题在实际应用中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
4.1 线性规划问题对偶问题在线性规划中得到了广泛的应用。
通过将原始问题转化为对偶形式，我们可以使用对偶问题的求解方法来求解线性规划问题。
对偶问题可以提供原始问题的最优解，并且可以帮助我们理解原始问题的性质和结构。
4.2 经济学和管理学对偶问题在经济学和管理学中也有重要的应用。
电路对偶原理
电路对偶原理电路对偶原理是电路分析中的一种重要方法，它可以帮助我们在分析电路时，通过对电路中元件的对偶变换，得到等效的电路，从而简化电路分析的过程。
在电路对偶原理中，我们可以通过对电路中的电阻、电容和电感等元件进行对偶变换，得到等效的电路，从而更加方便地进行分析和计算。
首先，我们来看一下电路中电阻的对偶变换。
在电路中，我们可以将电阻对偶变换为导纳，即电阻的对偶是导纳。
对于一个电阻为R的元件，其对偶导纳为1/R。
通过这种对偶变换，我们可以将电路中的电阻网络转换为等效的导纳网络，从而简化电路分析的过程。
接下来，我们再来看一下电路中电容的对偶变换。
在电路中，我们可以将电容对偶变换为电感，即电容的对偶是电感。
对于一个电容为C的元件，其对偶电感为C。
通过这种对偶变换，我们可以将电路中的电容网络转换为等效的电感网络，从而更加方便地进行电路分析。
除了电阻和电容，电路中的电感也可以进行对偶变换。
在电路中，我们可以将电感对偶变换为电容，即电感的对偶是电容。
对于一个电感为L的元件，其对偶电容为L。
通过这种对偶变换，我们可以将电路中的电感网络转换为等效的电容网络，从而简化电路分析的过程。
通过对电路中的电阻、电容和电感等元件进行对偶变换，我们可以得到等效的电路，从而更加方便地进行电路分析。
在实际的电路分析中，电路对偶原理可以帮助我们简化电路分析的过程，提高分析的效率。
因此，掌握电路对偶原理对于电路分析来说是非常重要的。
总的来说，电路对偶原理是电路分析中的一种重要方法，通过对电路中元件的对偶变换，可以得到等效的电路，从而简化电路分析的过程。
通过对电路中的电阻、电容和电感等元件进行对偶变换，可以得到等效的电路，提高分析的效率。
因此，掌握电路对偶原理对于电路分析来说是非常重要的。
希望本文对大家理解电路对偶原理有所帮助。
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CX≤Y*b 但 CX*=Y*b ， 故对原问题（P）的所有可行解X，有
CX≤CX* 所以，X*为原问题（P）的最优解。 同理可证Y*是对偶问题（D）的最优解。
例Leabharlann min W 20 y1 20 y2
max Z x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 2x3 3x4 20
C)X
*
0
根据这一定理，在一对对偶问题中，我们可以把其 中任何一个称为原问题，则另一个就是其对偶问题.
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
证明：对于问题（D）
minW Yb
(D)
s.t.
YA C Y 0
将问题(D)改写对称形 式(D)’ ：
maxW (bT )Y T
s.t.
( AT
xj 0( j 1, 2,3)
解：此问题的对偶问题为 max Z x1 2x2
min W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
s.t.
s.t.
y1 y2 2 y1 3y2 0
y1, y2 0
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1 xj 0( j 1, 2,3)
Y
T
)Y 0
T
CT
记对偶变量为XT，
则(D)’的对偶规划为
min z' ( X TCT )
即
s.t.
X X
T T
(
AT 0
)
bT
max Z CX
AX b
s.t.
X
0
这就是原问题(P),证毕.
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
CX Yb
中一个问题有可行解，但目标函数无界，则另一个
问题无可行解.
注：推论2不存在逆.
推论3：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，而另一个无可行解，则该问题无界.
定理3(最优性判别定理) 若X*和Y*分别是问题(P)和(D)的可行解，且
CX*=Y*b， 则X*，Y*分别是问题(P)和(D)的最优解.
minW Yb (D) s.t.YYA0C
由弱对偶性，有下面推论：
CX Yb
推论1：若 X0 和Y0 分别是问题(P)和(D)的可行解，则 （1） CX0是问题(D)的目标函数的一个下界； （2） Y0 b是问题(P)的目标函数的一个上界。
推论2：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，但目标函数无界，则另一个问题无可行解.
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
CX Yb
推论1：若 X0 和Y0 分别是问题(P)和(D)的可行解，则 （1） CX0是问题(D)的目标函数的一个下界； （2） Y0 b是问题(P)的目标函数的一个上界。
推论2(无界性)：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其
(DP)
y1 2 y2 1
s.t.
2 y1 y2 2 2y1 3y2 3
3y1 2 y2 4
y1, y2 0
max Z x1 2x2 _ 3x3 4x4
解： 由观察可知
s.t.
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20
s.t. 2x1 x2 3x3 2x4 20
x j 0( j 1,2,3,4)
y1 2 y2 1
s.t.
2 y1 y2 2 2y1 3y2 3
3y1 2 y2 4
试估计它的目标函数值的界,并验证弱对偶定理.
max Z x1 2x2 3x3 4x4
解：
s.t.
问题(LP)的对偶问题(DP)为
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20 x j 0( j 1,2,3,4)
min W 20 y1 20 y2
定理4（对偶定理） 若一对对偶问题（P）和（D）一个有最优解，则 另一个也有最优解，且目标函数的最优值必相等.
定理5（互补松弛定理）
设 X* 和Y* 分别是问题（P）和（D）的可行解， 则它们分别是最优解的充要条件是 同时成立：
Y * X S 0
YS
X*
0
Y *(b AX * ) 0
(Y
*A
证明：因 X 是问题(P)的可行解，故必有
AX b; X 0
(1)
同理,由于 Y 是问题(D) 的可行解，故必有
YA C;Y 0
(2)
用 Y 左乘不等式（1）两边得
YAX Yb
(3)
用 X 右乘不等式（2）两边得
max Z CX
(P)
s.t.
AX X 0
b
YAX CX
(4)
由（3）和（4）式可知 CX YAX Yb 证毕.
3y1 2 y2
4
W Yb 40
y1, y2 0
故 CX Yb ，弱对偶定理成立。
且由推论1知，对偶问题目标函数W的下界为10， 原问题目标函数Z的上界为40。
例：利用对偶性质判断下面问题有无最优解
max Z x1 2x2
s.t.
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1
由观察可知 X (0,0,0)T 是原问题的一个可行解。
因 y1, y2 0 而其对偶问题的第一个约束条件 y1 2y2 1
不能成立，因此对偶问题不可行。故由推论3知原 问题无界。
定理3 (最优性判别定理) 若X*和Y*分别是问题(P)和(D)的可行解，且 CX*=Y*b， 则X*，Y*分别是问题(P)和(D)的最优解.
xj 0( j 1, 2,3, 4)
X (1,1,1,1)T ,Y (1,1)
min W 20 y1 20 y2
分别是原问题和对偶问题的可行解。 y1 2 y2 1
且原问题的目标函数值为
Z CX 10
s.t.
2 y1 y2 2 2y1 3y2 3
对偶问题的目标函数值为
注：推论2不存在逆.
推论3：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，而另一个无可行解，则该问题无界.
例 已知原问题(LP)，
max Z x1 2x2 3x3 4x4
s.t.
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20
x j 0( j 1,2,3,4)