对偶习题课

由于(1)和(4)是矛盾约束，故对偶问题无可 行解。所以原问题目标函数值无界。
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例 题
max z x1 2 x2 x3
x1 x2 x3 2 给出线性规划问题 x1 x2 x3 1 s.t. 2 x1 x2 x3 2 （1）写出其对偶问题（2）利用对 x 0, x 0, x 无约束 z 1 2 3 1 偶问题性质证明原问题目标函数值 解：对偶问题为 min 2 y1 y2 y3
i 1 j 1
maxW ai yi b j y j m
对偶问题： yi y j m cij (i 1,, m, j 1,, n) st. yi 无限制，i 1,, n m
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x11 , x12 , , x1n ; x 21 , x 22 , x 2 n , , , , , x m1 , x m 2 , x mn
max 3 y1 5 y2 2 y3 y1 0 y2 2 y3 3 2 y1 y2 3 y3 2 s.t. 3 y1 3 y2 7 y3 3 4 y 4 y 4 y 4 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
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(1)对偶问题： min W 8 y1 6 y2 6 y3 9 y4 y1 2 y2 y4 2 3 y y y y 4 1 2 3 4 y3 y4 1 y1 y3 1 , 4) y j 0, ( j 1,
m行
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
n行
矩阵的元素均为1或0； 每一列只有两个元素为1，其余元素均为0；
j 1
（2）
* a x ij j bi j 1 * j
n

m
* yi 0
（3 ） x 0
m

* a y ij i c j i 1
（4）
* a y ij i bi i 1

x* j 0
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例 题
给出线性规划问题Βιβλιοθήκη min Z 2 x1 3x2 5 x3 6 x4 x1 2 x2 3x3 x4 2 st. 2 x1 x2 x3 3x4 3 x 0, ( j 1,,4) j
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判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问 题也一定存在可行解； 答：不对！如原问题是无界解，对偶问题无可行 解。 (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也 一定无可行解； 答：不对！原问题也可能是无界解。
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(3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原 问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数 值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；
x3
1 1 -1
x4
1 1 -2
x5
0 1 0
23
1 0 0
cj z j
试说明分别发生下列变化时，新 的最优解是什么？
max z 2x1 3x2 x3 （a）目标函数变为：
6 3 （b）约束条件右端项由 变为 4 4
②.一个问题无界，则另一个问题无可行解； ③.两个都无可行解。
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5、互补松弛性：在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零， 则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条 件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为 零，也即 n * （ 1 ） y* 0 a x ij j bi i
其最优解为 x1 5, x2 0, x3 1
（a）写出并求其对偶问题的最优解 （b）求k的值 解：先写出其对偶问题如下： 由 及互补松弛性质 z max 4 y1 6 y2 得 y y 1 2 2
y1 y2 2 y y 1 1 2 s.t. y1 ky2 2 y1无约束，y2 0
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对偶问题的基本性质
为了便于讨论，下面不妨总是假设
原问题（P） 对偶问题（D）
T
max z c x s.t. Ax b, x0
min bT y T s.t. A y c, y0
1、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
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2、弱对偶原理（弱对偶性）：设 X __ 和 Y__ 分别是问题 （P）和（D）的可行解，则必有 C X Y b
(2) 最优解是：y1=8/5,y2=-1/5,目标函数值19/5。
(3)由于 y1=8/5,y2=-1/5都不等于零，原问题中的约束取
等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，再加上 目标值相等，就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5， x3=0，x4=0。
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例 题
给出线性规划问题
4 y 6 y 1 2 12 解得 y1 0, y2 2
代入求得 k 1
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线性规划的对偶单纯形方法
对偶单纯形法的适用范围 适合于解如下形式的线性规划问题
min f c j x j c j 0
j 1
n
n i 1, 2, aij x j bi j 1 x 0, j 1, 2, , n j
灵 敏 度 分析
max z 2 x1 x2 x3 已知线性规划问题： x x x 6 1 2 3 s . t . x1 2 x2 4 用单纯性法求得最终 x , x , x 0 单纯形表如下： 1 2 3
例题
x1 x5
x1
6 10
x2
1 3 -3
max Z 2 x1 4 x2 x3 x4 x1 3 x2 x4 8 2 x1 x2 6 st . x2 x3 x4 6 x x x 9 2 3 1 x j 0, ( j 1, ,4)
要求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解 为X*=(2，2，4，0)，试根据对偶理论，直接求出 对偶问题的最优解。
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与 原 问 题 的 相 互 转 化 关 系
原问题（或对偶问题） 目标函数 max m个 约 束 ≤ 条 ≥ 件 = n个 变 ≥0 量 ≤0 无约束
对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 变 ≥0 量 ≤0 无约束 n个 约 束 ≥ 条 ≤ 件 =
约束条件右端项
目标函数变量的系 数
目标函数变量的系 数 约束条件右端项
函数值 z 1
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3、最优性判别定理 若X*和Y*分别是P 和D的可行解且CX* = Y* b， 则X*，Y*分别是问题P和D的最优解。 4、强对偶性（对偶定理） 如果原问题和对偶问题都有可行解，则它们 都有最优解，且它们的最优解的目标函数值相等。
综述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一出现： ①.都有最优解，分别设为X*和Y* ，则必有CX* =Y*b ；
y1 y2 2 y3 1 y y y 2 1 2 3 s.t. y1 y2 y3 1 y1 0, y2无约束，y3 0
T Y (0,1,0) 容易看出 是其对偶问题的一个可行解，代入 目标函数得 1 ，因为有 max z ，故原问题目标

__
__
原问题的任何可行解目标函数值是其对偶问题目标 函数值的下界；反之对偶问题的任何可行解目标函 数值是其原问题目标函数值的上界。 如果原max(min)问题具有无界解，则其对偶 min(max)问题无可行解 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min(max) 问题无可行解，则原问题为无界解 注：存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况
试根据对偶问题性质证明上述线性规划问 题目标函数值无界。
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解：x1=1,x2=x3=0是原问题的可行解。原问题的 对偶问题为：
minW 2 y1 y2 y1 2 y2 1 (1) y y 1 (2) 1 2 st. (3) y1 y2 0 (4) y1 , y2 0
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例题 写出下面线性规划的对偶问题
min z cij xij
i 1 j 1 m n
n xij ai (i 1,..., m) j 1 m s.t. xij b j ( j 1,..., n) i 1 xij 0(i 1,..., m; j 1,..., n) m n
,m
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对偶单纯形法的优点
1、初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时，就可以 进行基的变换，这时不需要加入人工变量，因此可以简化 计算。 2、当变量多于约束条件，对这样的线性规划问题，用对偶 单纯形法计算可以减少计算工作量，因此，对于变量较少， 而约束条件很多的线型规划问题，可先将它变换成对偶问 题，然后用对偶单纯形法求解。 3、在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中，有时需要 用对偶单纯形法，这样可使问题处理简化。对偶单纯形法 的局限性主要是，对大多数线型规划问题，很难找到一个 初始可行基，因而这种方法在求解线型规划问题时很少单 22 独使用。
答：不对！如果原问题是求极小，结论相反。
(4)任何线性规划问题具有惟一的对偶问题。
答：结论正确！
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例 题 已知线性规划问题
max Z x1 x2 5 x3 6 x4 x1 x2 x3 2 st . 2 x1 x2 x3 1 x 0, ( j 1, ,3) j
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例 题
写出下面线性规划的对偶问题
min z 3 x1 2 x2 3x3 4 x4 x1 2 x2 3 x3 4 x4 3 x2 3x3 4 x4 5 s.t. 2 x1 3 x2 7 x3 4 x4 2 x1 0, x4 0, x2 , x3无约束