2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-课件ppt
j x
O
X
i
向量表示方法：字母表示，几何表示，坐标表 示。
基本单位向量，位置向量，向量坐标。
对任一向量a 可表示成 a OA xi y j
记作 a = (x, y)
其中 i 、j为基本单位向量，
x、y为实数
例1
如图，用基底 i 、j
分别表示向量
a 、b 、c、d
5
b
4
3
2
1 j -4 -3 -2 -1 o i
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
2.3.3 平面向量的坐标运算
例5 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为
（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
对定理的理解:
1)基底: 不共线的向量e1 e2。
同一平面可以有不同基底
2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的 方向分解成两个向量的和的形式；
3)分解是唯一的
思考:一天,1只住在正西方向的大猴子和住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往正北运动,要几只小猴子?
A2
a
A 123
B
A1 4x
并求出它们的坐标。
-1
解：由图可知
a =AA1+AA2
-2
c
-3
d
-4
= 2i 3 j∴a =(2,3)
-5
同理，b =(-2,3) c =(-2,-3) d =(2,-3)
课堂小结：
1.平面向量的基本定理 （课本94页）
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于 这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 １、２使
30° 30°
？
向量的夹角
B
已知两个非零向量a和b如图，
则∠AOB=θ （0 ° ≤θ≤180°）
b
叫做向量的夹角
当θ =0° 时，a与b同向 当θ =180°时， a与b反向
o
a
共起点
A
a与b的夹角是90 °，则a与b垂直，记作a ⊥ b
A
思考:正△ABC中,向量
AB与BC的夹角为几度? B
C
D
2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )， b (x2 , y2 )，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
A(x1, y1 )
y
(x2 , y2 ) (x1, y1)
(x2 x1, y2 y1 )
O
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．
2.3.3 平面向量的坐标运算
例4 已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，
a-b，3a+4b的坐标．
特别地: ()a (a) (a)
(a
b)
a
b
问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动?
问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往哪边运动?
a = １ e1+ ２e2
2.向量的夹角：共起点的两个向量形成的角
3.基本定理的应用 x
e1+ μe2= xe1+ ye2 y 4.向量的坐标表示
把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解。
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底，任一向
量a ，用这组基底可表示为a =xi + yj， （x，y）叫做向量a的坐标
2.3.2 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向 量，叫作把向量正交分解
如图，在直角坐标系内，以
Y
原点O为起点作OA= a，则点
A的位置由a 唯一确定。
y
a
A(x,y)
a
OA = xi y j，则向 量OA j
的坐标(x,y)就是点A的坐标； O
x
X
反过来，点A的坐标(x,y)也
C
E
M
a
N
F
o
例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 .
作法：(1)任取一点o, 作OA=-2.5e1,OB=3e2
(2)作 OACB.
于是OC就是所求作的向量.
e1
e2
C
B
3e2 A -2.5e1 Oe2 ae1Ne2 e1 o
C
a
M
OC=OM+ON = xe1+y e2
平行四边形做法唯一，所以实数对x,y存在唯一
2.3.1平面向量的基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解
及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
温故知新 向量的加法(三角形法则)
a
b
a+b
向量的加法(平行四边形法则)
a a+b
向量的减法(三角形法则） a
b
a-b
向量的数乘运算
b
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
如果是1只大猴子和4只小猴子呢?
如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动,如何改 变大小猴子的数量?
C
M
a
e2 e1
N
a B e1
A
o e2
OC=OM+ON = xe1+y e2
给定平面内任意两个不共线向量e1 、 e2，其他任 一向量是否都可以表示为xe1+y e2的形式？
C
M
a
e2 e1
N
a B e1
作业布置
课本P101A组1,2,3,4
解法1：设顶点D的坐标为（x，y）
y
C
AB (1 （ 2），3 1）（1，2） B
DC (3 x,4 y) 由AB DC，得 (1,2) (3 x,4 y)
A O
2 1
3 4
x y
x y
2 2
D x
顶点D的坐标为（2，2）
补充1 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （2，1）、（ 1，3）、（-3，4），求顶点D的坐标．
i
就是向量OA的坐标。
即 OA= xi y j
A(x,y)
平面向量的坐标表示：
对任一向量 a，可表示成 a xi y j ，
记作 a = (x, y) 其中 i 、j为基本单位向量， x、y为实数
以下三个特殊向量的坐标是：
Y
i = (1,0) j= (0,1) 0= (0,0) y
a
两个向量相等的充要条件 是两个向量坐标相等
A
o e2
OC=OM+ON = xe1+y e2
平面向量的基本定理
如果 e1，e 2 是同一平面内的两个不共线的
向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,
有且只有一对实数 １、２使
a ＝ １e1＋２e 2
其中不共线的向量 e1 , e 2 叫做表示这一平
面内的所有向量的一组基底。
思考:平面内,向量的基底是否唯一？
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应 坐标的和（差）
2.3.3平面向量的坐标运算
a (x, y)
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
例3 已知A(x1, y1 )，B(x2 , y2 ) ．求 AB
解：AB OB OA
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平面向量的正交分解及坐标表示学习教材PPT课件
平面向量的坐标表示及运算
y
M ( x, y)
O
x
课前复习:
1 向量坐标定义. 2 加、减法法则.
4 向量坐标：
则
3 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy) 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)
1 5、若 a ( ,sin ) 为单位向量，则符合 2
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
Байду номын сангаас
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
2 2
a (6,8)或a (6,8)
课堂练习:
1、已知两点A(0,2)，B(2,0)，则与向量AB 同向量的单位向量是（ B）
2 2 A.( , ) 2 2
平面向量的正交分解极坐标表示ppt课件
（填写正确的序号）．
①
14 3
，3
；②
7
，9 2
； ③
-
14 3
，-
3
；④
( - 7 ，9 )
.
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新课引入
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为Gu r
，下滑力为uF
ur
1
，木块对斜面的压力为
u F
ur
2
，
这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
ur uur uur G=F1+F2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作 把向量正交分解.
.
平面向量的坐标表示
如的单图位，ri向, rj 量是，分若别以与ri x, r轴j 为、基y轴底方，向则相同
§2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
丽水学院附中高一数学组
.
பைடு நூலகம்
知识回顾
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 有且只有一对实数λ1，λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2
(1)基底不唯一，关键是不共线； (2) 基底给定时，分解形式唯一.
.
.
uuur 例2.如图，已知 A(x1,y1),B(x2,y2)，求 A B 的坐标。
解：
uuu r uuu r uuu r A BO BO A
y
(x2,y2)(x1,y1)
A
(x2x1,y2y1)
B
O
x
小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段
人教版第二章平面向量的正交分解及坐标表示(共24张PPT)教育课件
《
《
我
是
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同学们加油！
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就是如果我 Nhomakorabea告
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没
有
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有 怎
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么
头
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就
胆
怯
，
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作
这
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东
西
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，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
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弄
费
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影
一
五
分
钟
男
女
实
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拍
个
就
弄
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摄
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所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
(2, 3)
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
它们的坐标表示为：
→ OA
＝(6,2)，
→ OB
＝(2,4)，
→ AB
＝(－
4,2)．
规律总结：向量的坐标表示实质上是向量的代数表示， 引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形紧 密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算．
探索延拓创新
设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋ b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
名师辨误作答
已知平行四边形的三个顶点坐标为 A(0,0)，B(0，b)， C(a，c)．求第四个顶点 D 的坐标．
[错解] 设第四个顶点的坐标为 D(x，y)，如图所示．则A→C ＝(a，c)，
B→D＝(x，y－b)， 由A→C＝B→D，得(a，c)＝(x，y－b)． ∴ac＝＝yx－b ⇒xy＝＝ab＋c ， 即 D 点坐标为：(a，b＋c)．
建模应用引路
已知点 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)若A→P＝A→B＋λA→C(λ ∈R)，试求 λ 取何值时，点 P 在第三象限内？
[分析] 要判断点 P 所在的象限，须知 P 点坐标，为此需求 O→P＝O→A＋A→P的坐标．或由A→P＝A→B＋λA→C找出坐标的关系，求出 P 点坐标．
(2)当四顶点按逆时针 ACBD 排列时， 由A→C＝(a，c)，D→B＝(－x，b－y)，及A→C＝D→B得，(a，c) ＝(－x，b－y)． ∴ac＝＝b－－xy ，∴xy＝ ＝－ b－ac ， 则此时 D 点坐标为(－a，b－c)．
(3)当四顶点按逆时针 ADCB 排列时，由A→D＝(x，y)，B→C＝ (a，c－b)，及A→D＝B→C，得(x，y)＝(a，c－b)．
规律总结：准确、熟练掌握向量的加法、减法、数乘的 坐标运算公式．牢记公式、细心计算．
人教版数学第二章2-3《平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算》(共27张PPT)教育课件
d 4i 2 j d (4,2)
3.（2014·北京高考）已知向量 a =（2,4），b =（-1,1），
则 2 a - b =（ A ） A.（5,7） C.（3,7）
B.（5,9） D.（3,9）
【解析】选Ａ. 2 a - b =2（2,4）-（-1,1）=（5,7）。
4.已知点A(3,1),a(x 2 ,2 xy 5 )，若向量 a OA, O为坐标原点，则x=___5_____,y=___-_4_____.
5 . 已 知 A ( - 1 ， - 5 ) 和 向 量 a = （ 2 ， 3 ） ， 若 A B = 3 a ， 则点B的坐标为_（__5_，__4__）_.
6.已知：点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)， 若 AP=AB+λAC(λ R) ，试求λ为何值时, （1）点P在一、三象限角平分线上? （2）点P在第三象限内?
， ，所
以
x
y
5 5 ，
4 7 .
所以P(5+5λ,4+7λ)，
（1）若点P在一、三象限角平分线上, 则 5+5λ=4+7λ，
所以 1. 2
（2）若点P在第三象限内，
则
5 4
5 7
0， 0，
所以
1 ， 4．
7
所以λ＜-1,即只要λ＜-1,点P就在第三象限内.
一、知识技能
1.平面向量的坐标表示 a xi y j (x, y).
——兰斯顿•休斯
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事 看开了 ，就 会有 个好 心情。 让聚 散离 合犹 如月 缺月 圆那样 寻常 ，
数学必修四课件 2.3.2、3 平面向量的正交分解及坐标表示
1
• 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 • 2.3.3 平面向量的坐标运算
2
目标定位 1.掌握平面向量的正交 分解及其坐标表示 2.掌握平面向量的坐标 运算，能准确运用向 量的加法、减法、实 数与向量的积的坐标 运算法则进行有关的 运算
重点难点 重点：掌握平面向量 的坐标运算，能准确 运用向量的加法、减 法、实数与向量的积 的坐标运算法则进行 有关的运算 难点：准确运用向量 的加法、减法、实数 与向量的积的坐标运
【答案】(－8,6)
9
•
• • • •
• 平面向量的坐标表示 【例1】 如图所示，若向量e1，e2是一组单 位正交向量，则向量a＋b在平面直角坐标系 中的坐标为( ) A．(3,4) B．(2,4) C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4)
10
【解题探究】以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立坐 标系，可得向量 a＝(2,1)，b＝(1,3)，结合向量坐标的线性运算 性质，即可得到向量 a＋b 在平面直角坐标系中的坐标．
3
• 1．平面向量的正交分解 互相垂直 • 把一个向量分解为两个 ____________的向 量，叫做把向量正交分解．
4
• 2．平面向量的坐标表示
相同 单位
有且只有
a＝xi＋yj
(x，y)
x
a＝(x，y)
y
5
• 3．平面向量的坐标运算
向量的 加、 减法 实数与 向量的 积 向量的 坐标
(x1＋x2，y1＋y2) 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝___________ ， (x1－x2，y1－y 2) a－b＝__________ ，即两个向量和 (差)的坐标分别等
• 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 • 2.3.3 平面向量的坐标运算
2
目标定位 1.掌握平面向量的正交 分解及其坐标表示 2.掌握平面向量的坐标 运算，能准确运用向 量的加法、减法、实 数与向量的积的坐标 运算法则进行有关的 运算
重点难点 重点：掌握平面向量 的坐标运算，能准确 运用向量的加法、减 法、实数与向量的积 的坐标运算法则进行 有关的运算 难点：准确运用向量 的加法、减法、实数 与向量的积的坐标运
【答案】(－8,6)
9
•
• • • •
• 平面向量的坐标表示 【例1】 如图所示，若向量e1，e2是一组单 位正交向量，则向量a＋b在平面直角坐标系 中的坐标为( ) A．(3,4) B．(2,4) C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4)
10
【解题探究】以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立坐 标系，可得向量 a＝(2,1)，b＝(1,3)，结合向量坐标的线性运算 性质，即可得到向量 a＋b 在平面直角坐标系中的坐标．
3
• 1．平面向量的正交分解 互相垂直 • 把一个向量分解为两个 ____________的向 量，叫做把向量正交分解．
4
• 2．平面向量的坐标表示
相同 单位
有且只有
a＝xi＋yj
(x，y)
x
a＝(x，y)
y
5
• 3．平面向量的坐标运算
向量的 加、 减法 实数与 向量的 积 向量的 坐标
(x1＋x2，y1＋y2) 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝___________ ， (x1－x2，y1－y 2) a－b＝__________ ，即两个向量和 (差)的坐标分别等
人教版高中数学 第二章 2平面向量的正交分解及坐标表示 教学(共24张PPT)教育课件
4与.已A知B 平A、行B的的向坐量标的分坐别标为可A以(4，是6)，__B①__②_3，_③23___，___.
（填写正确的序号）．
①
14 3
，3
；②
7，9 2
； ③
-
134，- 3
；④
(-7，9)
5.如图，在直角坐标系中， 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设OA = i,OB = j ，填空：
•
•
•
•
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
针对练习
1、已知四边形ABCD的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 BC 2AD，则顶点D 的坐标为（ A ）
7
A. （2，2 ） C. （3，2）
B.（2，
1 2
）
D.（ 1，3）
解析：
设D（x, y），
BC (4, 3), AD ( x, y 2),由BC 2AD
F1 G F2
重力 G产生两个效果，一是木块受平行于 斜面的力的作用F1，沿斜面下滑；一是木块产 生垂直于斜面的压力 F2.也就是说，重力G 的
效果等价于F1和F2 得合力效果，即 G F1 F2.
在物理中，力是一个向量，力的合成就 是向量的加法运算.力也可以分解，任何一 个大小不为零的力，都可以分解成两个不同 方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向 量中来，就会形成一个新的数学理论.