平面向量的坐标表示(课堂PPT)

C x
B
学生练习 P52 练习1,2,3.
课堂小结：
1.向量的坐标形式 2.向量的坐标表示 3.向量的模计算公式
作业布置
练习册 7.3节
平面向量的坐标运算
rr
r r r rr
思 考 ： 已 知 ： a ＝ ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) , 求 向 量 a b , a b ， a .
-2
2
4
6
uuur r r OP3i2j
-3
向量的坐标表示4
3
2
uuur r r OPxiyj(x,y)
P（ x， y）
1
j
-2
2
4
6
Oi
-1
u uur
O 向量 P
-2
一 一 对 应P（x ，y）
-3
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标
原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的 平移，将向量的起点 移到坐标的原点O处.
E
3
5
x
（3）向量
u C
u ur D
能否uu由ur
r i
,
rjuur表示u出ur 来？
CD 2 i 3 j
探索1:
以O为起点， P为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？
yP a
o
x
4
注意观察，发现一个位置向量,只要它的终点确定了,那这个位置向量也就确定了.
3
P（ 3，2）
2
1
j
-2
Oi
-1
a (x1, y1 )
例1:已知
r
r
a (2 ,1 ),b ( 3 ,4 )
r rr r r r
求 a b ,a b ,3 a 4 b的坐标。
解求：uAu A u例u BurB ur2 的.如O u 坐图uB ur标， 。这已O uu知A 是r A 一(x个1,y重1),要By(结x2论,y2！)
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).
uur ruuu r r
7
D
设 O Ai,O B，j 填空：
r
r
（1）|i|__1___,| j|1______,
F4
C
B
（2）|O u O 若uu C uu r Cur用 |_ 3ri u_ _,iur_ _5rj_ _来_ 4__ u_u表j_ r__ ;示, O u u D u r Ouu Cur5,_ Ou_ uiuur_ Dur_ _ ，7_ _ u则_ ujr_ j：o.i A
QAB(1,3)(2,1)(1,2)
D
uuur
A
DC(3,4)(x, y) (3x,4y) uuur uuur
O
x
且AB DC
13 x
(1,2)(3x,4y)
24 y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
r 平面向量共线的坐标表r 示
a 1.
向量 与非零向量 只有一个实数 ,
使b 得平a行r (共线br)的等价条件是有且
(x2,y2)(x1,y1) A
B
(x2x1,y2y1)
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
Y 例3.如图，已知 A B C D 的三个顶点A、B、C的
坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
试求顶点D的坐标。
y
解法１：设点D的坐标为（x,y） B
C
uuur
rr r r
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rr
解： ab=（rx1i+ry1j） r +（rx2i+y2j）
=x1i+y1j+xr2i+y2j r
r r=（x1+x2） i+（y1+y2） j
rr
即 r： ab＝r(x1+rx2,y1+yr2); 同理 r 可得： ar b＝(x1-x2,y1-y2)
a（x1i+y1j）x1i+y1j;即：a(x1,y1)
向量 a 的（直角）坐标，记作
r a (x, y) ①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在
y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
1 、把 a=x i+y j 称为向量坐标形式.
2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标表示.
3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件?
会得r到什么样的重r要结论? 设 a(x1,y1), b(x2,y2)
r ,b
即 x2 , y2 中,至少有一个r不为0 ,则由
r
r 0 a
r
b
得
(交 x1, y叉 1)相 (x乘 2, y2)(ax2,y(2x) 1 , y1 )
xy11
x2……(1) y2……(2)
a j
Oi
x
例1 写出下列向量的坐标表示：
rrr (1) a 5 i 3 j
rr (2)b 4i
rr (3)c j
y
例2 如图，已知 A(-1,3),B(1,-3)u，ur Cu(ur4,1)，A D(3,4)，求向量OA,OB, uAuOr,OuuDur,CuuOuv的坐标。
O
D
yA a
a
ox
y
r rr
axi +yj y
r a
A
uur r r
O A xi +y j
r j
r
Oi x
x
平面向量的坐标表示
y
如图，ri ,
r j
是分别与x轴、y轴方向相同
a
C
D
的单位向量，则
rA
对于该平面内的任一向量a ，j
x
有且只有一对实数x、y，可使 o i B
rr r a=xi +yj
这里，我们把（x,y）叫做
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标
的和与差
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向
量的相应坐标．
19
向量的坐标运算法则
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y 2 ) 则：a b ( x1 x2 , y1 y 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
复习回顾
向量的加法 A
O
向量的减法
如图所示：
OA+AB= OB
B
OA-OB= BA
力的正交分解
F1
F2
F3
那么是否任意向量也能表示为 一个水平方向向量和一个竖直方
向向量之和呢
思考1:
X轴正方向上的单位向量为i，y轴正方向上的单位向量为j，
任一向量a ，用这组单位向量 能不能表示?
y
a
j
Oi
x
思考：如图，在直角坐标系中， y
5单. 位a r = 向x i 量r i y =r j （的 1求 ，模 0）公 ，式 j =为 （： 0，a r1 ） x 2 y 2 .
思考:
1．以原点O为起点作 OA=a
，点A的位置由谁确定?
由a 唯一确定
2．点A的坐标与向量a
的坐标的关系？
y
若a以为原点起点,两者相同
a
A(x, y)
向量a 一 一 对 应 A（x ，y）