平面向量的坐标运算及共线坐标表示完整版.ppt
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高一数学人教B版必修4课件：2-2-3 用平面向量坐标表示向量共线条件
[解析]
由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b 与 a＝3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
2x＋2＝－3x 所以 2y－4＝－6－3y
，
2 x＝－5 解得 y＝－2 5 故D
.
2 2 点坐标为－5，－5.
(2)要注意用坐标表示两向量平行的条件， a1b2－a2b1＝0 具 a1 a2 有一般性，而 ＝ 只有当 b1≠0，b2≠0 时才适用． b1 b2
• [例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为
何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们 是同向还是反向？ • [分析] 由a，b可以用坐标表示ka＋b，a －3b，然后由向量共线的条件便可以求出 k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号 确定．
• 2．2.3 用平面向量坐标表示
向量共线条件
• 1．向量共线条件的坐标表示： • 选择基底{e1，e2}，如果a＝(a1，a2)，b＝
b2－ (b1，b2)，a a1∥ ba ，则有 ； 2b1＝0 a∥b a1b2－a2b1＝0，则 反之，若 . • 当b不与坐标轴平行时，条件a1b2－a2b1＝0 可化为 ，即两个向量平行的条 件是相应坐标成比例． • 2．向量长度的坐标表示 • 设a＝(a1，a2)的位置向量 ，则由两点 间距离公式有|a|＝| |＝ .
，
[例 4]
已知 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋b 与 a－2b
平行，则 m＝________. 9 A．－ 10 1 C.2 2 B. 11 1 D．－2
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
2.3.4平面向量共线的坐标表示课件人教新课标
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
x1 y2 x2 y1 0
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝(－1，0)与 b＝(1，0)的夹角是 0°.( × ) (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则xx12＝yy21.( × ) (3)a＝(－2，3)，b＝(4，6)共线.( × )
判断向量(或三点)共线的三个步骤
1．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C
点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，
因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
a (x, y)
若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 AB (x2 x1, y2 y1).
3.平面向量共线定理： a//
b
b
0
a
b
2.3.4平面向量共线的坐标表示
a 1.
向量 与非零向量 唯一一个实数 ,
b使平得 行(a共 线)当b且(仅b当有0)
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
8.平面向量的坐标运算ppt
∴顶点D的坐标为（2,2）
变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1),
B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构
成平行四边形四个顶点。
y
D2
解由：uAuBur当 uD平uuCr得行D四1边=(2形, 为2)ADCB时，B
C
当平行四边形为ACDB时， A
D1
得D2=(4, 6)
x=1+3t ∴
,∴
1+3t＜0
y=2+3t
2+3t＞0,
∴ 2 t 1.
3
3
（2）因为 OA =（1，2），PB OB OP （3-3t，3-
3t），
若四边形OABP为平行四边形，则OA PB.
∴ 3-3t=1 3-3t=2,无解，
∴四边形OABP不可能为平行四边形.
总结提高： （1）要加强对向量的坐标与该向量起
解：设Bx,y,
uuur
Q AB 1,2 x, y 2,1,
即12xy21
x3 y 1
即B3,-1.
练习：（2009·辽宁文，13）在平面直角坐标系xOy中，四 边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A（-2，0）, B （6，8），C（8，6），则D点的坐标为(0,-2). 解析 设D点的坐标为（x,y）,由题意知BC AD , 即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2,∴D(0,-2).
即 a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
探究 ： 若已知 点A、B的坐标分别为 （（1，x1，3）y1，）
2.3.4平面向量共线的坐标表示
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：课本P101习题2.3.4：6、7 B组1~4
《聚焦课堂》
再见!
聚焦作业手册P80: 8T
已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB＋λAC (λ∈R),试求λ为何值时,点P在第三象限内? 解:设P(x,y). AP =(x－2,y－3), AB =(3, 1), x－2=3＋5λ y－3=1＋7λ AC =(5, 7), (x－2, y－3) =(3, 1)＋λ(5, 7) =(3＋5λ, 1＋7λ) x=5＋5λ <0 y=4＋7λ <0
∴只能有:
(1)k 1 : ke1 e2 e 1 ke2 ,同向共线. (2)k 1 : ke1 e2 (e 1 ke2 ) ,反向共线.
{ k 1 0
k 0
λ 1 k 1.
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ).
B( x 2 , y 2 )
x1=x2,且y1=y2
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 )
探究：
向量平行的坐标表示
向量平行的向量表示
设a=(x1,y1), b=(x2,y2), 其中a≠0, b // a b = λa (x2,y2) =λ(x1,y1) = (λx1,λy1)
(x , y ) λa 3.两个结论 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) a b x1=x2,且y1=y2 4.共线向量的充要条件:(a≠0) x1y2-x2y1=0 向量a与b共线 b=λa
a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ), a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ),
高一数学平面向量共线的坐标表示(中学课件201911)
例题讲解
例1、已知a (4, 2),b (6, y),且a // b,求y.
例2、已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)， 试判断A、B、C三点是否共线？
问题探究
设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标 分别为(x1, y1),(x2 , y2 ).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标. (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点 P的坐标.
复习巩固
（1）两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
a b (x1 x2, y1 y2 )
（2）两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
a b (x1 x2, y1 y2)
复习巩固
（3）实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标.
a (x1, y1)
(3)当P1P= PP2时，求点P的坐标.
例题讲解
《学海》习题讲解
布置作业
作业： 1、P101习题A组：6、7. B组：2； 2、学海第7课时
4.任意一个向量的坐标等于表示该向 量的有向线段的终点坐标减去始点坐 标.
复习巩固
5.a (x1, y1),b (x2 , y2 ),(b 制作 武汉做网站 武汉网站制作 武汉做网站
；
贫守道 子肃之 论所谓’逗极无二’者 "潜也何敢望贤？何谓其同？欲举为秀才 示形神于天壤 亲老家贫 武帝北伐 濮阳鄄城人也 彦之诫曰 素琴 以供祭祀 景翳翳其将入 临沧洲矣 "既没不须沐浴 征辟一无所就 应感之法 "吴差山中有贤士 别有风猷 服寒食散 老全其生 宋国初建 凝之曰 昔有鸿 飞天首 时往游焉 "仆著已败 命为谘议参军 若夫陶潜之徒 人不能测 辄当申譬 身处卿佐 &
6.3平面向量及运算的坐标表示课件(人教版)
（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关。（ ） （4）向量（2，3）与向量（-4，-6）同向。（ ）
【提示】（1）×。对于同一个向量，无论位置在哪里， 坐标都一样。 （2）√。根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终 点与始点坐标之差等于终点坐标。 （3）×。根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两 向量的顺序有关。
2
线，则C的坐标可以是（ ）
A.（-9，1） B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1）
【思维·引】设出点C的坐标，因为A，B，C三点共线， 写出向量 AB,AC（或 BC），由向量共线的条件结合选项 求解。
【解析】选C。设点C的坐标是（x，y），
【内化·悟】 1.由共线的坐标条件求参数的解题步骤是怎样的？ 提示：（1）分别写出共线的两个向量的坐标。 （2）通过共线条件列出方程（组）。 （3）解方程（组）求出参数。
2.如何判断共线的向量u与v是同向还是反向？ 提示：写成u=λv的情势，若λ>0，同向，若λ<0，反向。
角度3 三点共线问题 【典例】已知A（1，-3），B (8，1 )，且A，B，C三点共
量 AB共线的单位向量是（ ）
A.(3， 4) C.(6，8)
B.( 3，4 ) 55
D.( 4， 3 ) 55
【思维·引】利用向量共线的坐标表示判断。 【解析】选B。因为AB =（7，-3）-（4，1）=（3，-4）， 由向量共线的条件可知，A，B，C选项中的向量均与AB共 线，但A，C中向量不是单位向量。
因为A（0，1），AC=（-3，-3），
所以
x y
3, 1 3,
解得
x y
3, 2,
所以点C的坐标为（-3，-2）。又B（3，2），所以BC=（-
高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [答案] 2
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
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uuur uuur uuur BD BA BC
B
的 (2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) A
坐 标 而运
uuur (u3u,ur1) OD OB
uuur BD
O
算 (1,3) (3, 1)
(2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
C D
x
11
小结回顾
请回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些知识吗？
证明：∵AB=(3-1,13-3)=(2,10)
BC=(6-3,28-13)=(3,15)
∴ 2×25=5×10
∴AB∥BC
又∵ 直线AB、直线BC有公共点B
∴ A、B、C三点共线
16
例8:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
标
运 3.平面向量坐标
算 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
则 AB=(x2 - x1 , y2 – y1 )
12
平面向量共线的坐标表示
4、a→=(x1 ,y1)，→b=(x2 ,y2) 其中a→≠ 0→,
a→∥∥
→b
有且只有一个实数λ，使得
→
b=λ
a→
即：（x2 , y2) =λ(x1 , y1) =(λx1 , λy1)
x
运
－1
算
－2
9
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
平
y
C
面 向 量
解u：uur设点D的坐标为（x,y） Q AB (1,3) (2,1) (1, 2)
uuur
B A
的 DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x, y)
rr r
r rr
r
y
r
a
A(x, y)
(2) i i 0 j (1, 0) j 0i j (0,1) r 0 (0, 0)
ra
j
r r i （3）相两等个的向充量要a条件(x：1, ary1),
r
br (x2,
b
uuur r
x1
y2
)O
x2且y1
r r 1.平面向量坐标的加.减运算法则
ra br 平
面
=( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)
a b 向
量
=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)
的 2.平r面向量坐标实数与向量相乘的运算法则
坐：AB OB
y1
)，B(
uuur
x2
OA
,
y2
)
．求
AB
A(x1, y1 )
y
(x2 , y2 ) (x1, y1)
(x2 x1, y2 y1 )
O
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐 标减去起点坐标．
r
r
3、已知a= (x, y)和 R,求a.
r
a (x, y)
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的 相应坐标．
6
平面向量坐标运算法则应用
平 面 向 量
r
r
例 1.已知a (2,1),b (3, 4),
r rr r r r
求a b, a b,3a 4b的坐标。
的
坐
（-1，5）
标
运
（5，-3）
算
（-6，19）
7
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
如图,在平面直角坐r标r系中,分别取与x轴、y轴正方向
同向的两个单位向量 ri、j 作基底.
平面内的任一向量 a , r r r 有且只有一对实数x,y,使r a xi y j 成立，
则称（x，y）是向量 a的坐标。
记作：
r a
(
x,
y)
r
r
a ya
r ra j
O
r i
x
3
平面向量的坐标表示
注意： r
坐
uuur uuur
O
标 且AB DC
D x
运 (1, 2) (3 x, 4 y) 1 3 x
算
24 y
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
10
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
平
y
面 向 量
另解：由平行四边形法则可得
平 标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
面 向
求顶点D的坐标。
量
的
坐
标
运
算
8
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、y (－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
6 5
平 面 向
4
C
B3
量 的 坐
2
A
1
D
标
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
y2
x
(4)被如图ar 唯以一原确点定O为. 此起时点点作AO的A坐 a标，即点为Aar的的位坐置标
（5）区别点的坐标和向量坐标
相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
r
(6) a x2 y2
4
平面向量的坐标运算
r
r
r rr r
1.已知
r
a
r
(x1,
y1)
，b
r
(x2
r
,
y2
)
，求
r
(2) a ∥Pb(a 0)
a→=(x1 ,y1)，→b=(x2 ,y2)
x1y2- x2 y1=0
14
典型例题
例6 已知 a =（4，2）,b=（6，y）
且a ∥b，求y的值. 解：∵ a ∥b
∴4y-2×6=0
解得y=3
a (1, x), b (x,2)
15
典型例题
例7 已知点A(1，3)， B(3，13)，C(6，28) 求证：A、B、C三点共线.
a
b,
r
a
b
解： a b (x1i y1r j) (x2i ry2 j)
r
r
(x1
x2
)i
(
y1
y2
)
j
a
b r
(rx1
x2
,
y1
y2
)
同理可得：a b (x1 x2, y1 y2)
两个向量的和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐 标的和（差）
5
平面向量的坐标运算
uuur
例3．已知
uuur
所以 x2=λx1 y2=λy1
消去λ得： x1y2- x2 y1=0
a→∥
→
b
r (a
r 0)
x1y2- x2 y1=0
其中
a→=(x1
→
,y1)，b=(x2
,y2)
13
向量共线的充要条件的两种表示形式:
r rr r
(1) a ∥Pb(a 0)
有且只有一个实数λ,使得 →b=λ a→
r rr r
2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1
复习引入
平面向量基本定理
rr
如果e1, e2 是同一平面r内的两个不共线向量,那么
对这一平面内的任一向量
使 ar 1er1 2er2
a,有且只有一对实数1, 2
,
对于确定的一组基底,平面内的任一向量会和 一对实数对应
2
平面向量的坐标表示
B
的 (2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) A
坐 标 而运
uuur (u3u,ur1) OD OB
uuur BD
O
算 (1,3) (3, 1)
(2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
C D
x
11
小结回顾
请回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些知识吗？
证明：∵AB=(3-1,13-3)=(2,10)
BC=(6-3,28-13)=(3,15)
∴ 2×25=5×10
∴AB∥BC
又∵ 直线AB、直线BC有公共点B
∴ A、B、C三点共线
16
例8:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
标
运 3.平面向量坐标
算 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
则 AB=(x2 - x1 , y2 – y1 )
12
平面向量共线的坐标表示
4、a→=(x1 ,y1)，→b=(x2 ,y2) 其中a→≠ 0→,
a→∥∥
→b
有且只有一个实数λ，使得
→
b=λ
a→
即：（x2 , y2) =λ(x1 , y1) =(λx1 , λy1)
x
运
－1
算
－2
9
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
平
y
C
面 向 量
解u：uur设点D的坐标为（x,y） Q AB (1,3) (2,1) (1, 2)
uuur
B A
的 DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x, y)
rr r
r rr
r
y
r
a
A(x, y)
(2) i i 0 j (1, 0) j 0i j (0,1) r 0 (0, 0)
ra
j
r r i （3）相两等个的向充量要a条件(x：1, ary1),
r
br (x2,
b
uuur r
x1
y2
)O
x2且y1
r r 1.平面向量坐标的加.减运算法则
ra br 平
面
=( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)
a b 向
量
=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)
的 2.平r面向量坐标实数与向量相乘的运算法则
坐：AB OB
y1
)，B(
uuur
x2
OA
,
y2
)
．求
AB
A(x1, y1 )
y
(x2 , y2 ) (x1, y1)
(x2 x1, y2 y1 )
O
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐 标减去起点坐标．
r
r
3、已知a= (x, y)和 R,求a.
r
a (x, y)
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的 相应坐标．
6
平面向量坐标运算法则应用
平 面 向 量
r
r
例 1.已知a (2,1),b (3, 4),
r rr r r r
求a b, a b,3a 4b的坐标。
的
坐
（-1，5）
标
运
（5，-3）
算
（-6，19）
7
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
如图,在平面直角坐r标r系中,分别取与x轴、y轴正方向
同向的两个单位向量 ri、j 作基底.
平面内的任一向量 a , r r r 有且只有一对实数x,y,使r a xi y j 成立，
则称（x，y）是向量 a的坐标。
记作：
r a
(
x,
y)
r
r
a ya
r ra j
O
r i
x
3
平面向量的坐标表示
注意： r
坐
uuur uuur
O
标 且AB DC
D x
运 (1, 2) (3 x, 4 y) 1 3 x
算
24 y
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
10
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
平
y
面 向 量
另解：由平行四边形法则可得
平 标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
面 向
求顶点D的坐标。
量
的
坐
标
运
算
8
思考1已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、y (－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
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平 面 向
4
C
B3
量 的 坐
2
A
1
D
标
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
y2
x
(4)被如图ar 唯以一原确点定O为. 此起时点点作AO的A坐 a标，即点为Aar的的位坐置标
（5）区别点的坐标和向量坐标
相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
r
(6) a x2 y2
4
平面向量的坐标运算
r
r
r rr r
1.已知
r
a
r
(x1,
y1)
，b
r
(x2
r
,
y2
)
，求
r
(2) a ∥Pb(a 0)
a→=(x1 ,y1)，→b=(x2 ,y2)
x1y2- x2 y1=0
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典型例题
例6 已知 a =（4，2）,b=（6，y）
且a ∥b，求y的值. 解：∵ a ∥b
∴4y-2×6=0
解得y=3
a (1, x), b (x,2)
15
典型例题
例7 已知点A(1，3)， B(3，13)，C(6，28) 求证：A、B、C三点共线.
a
b,
r
a
b
解： a b (x1i y1r j) (x2i ry2 j)
r
r
(x1
x2
)i
(
y1
y2
)
j
a
b r
(rx1
x2
,
y1
y2
)
同理可得：a b (x1 x2, y1 y2)
两个向量的和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐 标的和（差）
5
平面向量的坐标运算
uuur
例3．已知
uuur
所以 x2=λx1 y2=λy1
消去λ得： x1y2- x2 y1=0
a→∥
→
b
r (a
r 0)
x1y2- x2 y1=0
其中
a→=(x1
→
,y1)，b=(x2
,y2)
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向量共线的充要条件的两种表示形式:
r rr r
(1) a ∥Pb(a 0)
有且只有一个实数λ,使得 →b=λ a→
r rr r
2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1
复习引入
平面向量基本定理
rr
如果e1, e2 是同一平面r内的两个不共线向量,那么
对这一平面内的任一向量
使 ar 1er1 2er2
a,有且只有一对实数1, 2
,
对于确定的一组基底,平面内的任一向量会和 一对实数对应
2
平面向量的坐标表示