第四讲 正态分布及其它分布资料
(课件)概率论与数理统计：正态分布
(1) 0.6664
(2) 2 (1.8) 1
2 0.9641 1 0.9282 (3) 1 0.6664 0.3336
(4) 2 (1.8) 1=0.9282 (5) (0) 0.5
将上述结论推广到一般的正态分布,
X N ( , 2 ) 时，
Y
X
~N(0,1)
P (|Y | ) 0.6826
Φ (0) = 0 .5 , Φ (1) = 0.8413 , Φ(2) = 0.9772 ,
Φ (3) = 0.9987
(1) (0.43) ? (2) (1.8) (1.8) ?
(3) P{0.43 X 4.3} ? (4) P{1.8 X 1.8} ? (5) P{ X 0} ?
正态分布在十九世纪前叶由高斯 加以推广，所以通常称为高斯分布。
谢谢聆听！
CONTENTS
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
(1) 曲线关于 x μ 对称;
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
正态分布ppt课件统计学
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
正态分布的主要内容
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。
正态分布概念是由法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre）于1733年首次提出的，后由德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
[1] 但德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。
后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。
正态分布完整ppt课件
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布，它在自然科学、社会科学、工程技术等众多领域都有着广泛的应用。
下面，让我们一起来深入了解正态分布。
一、什么是正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
它的概率密度函数呈现出一种独特的“钟形”曲线，具有对称性。
从数学表达式上看，正态分布的概率密度函数为：＼ f(x) ＝＼frac{1}｛＼sigma ＼sqrt{2\pi}｝ e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＼其中，＼（＼mu\）是均值，决定了曲线的位置；＼（＼sigma\）是标准差，决定了曲线的“胖瘦”程度。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线以均值\（＼mu\）为对称轴，左右两侧对称。
这意味着在均值两侧相同距离处，出现观测值的概率相等。
2、集中性大部分数据集中在均值附近，离均值越远，数据出现的概率越小。
3、均值和中位数、众数相等这三个统计量在正态分布中是重合的，反映了数据的中心趋势。
4、标准差的作用标准差\（＼sigma\）越大，曲线越“胖”，数据的分散程度越大；标准差越小，曲线越“瘦”，数据越集中。
三、正态分布的产生原因为什么在现实世界中会有如此多的现象符合正态分布呢？1、大量独立随机因素的综合作用许多自然和社会现象受到众多微小、相互独立的随机因素的影响。
例如，人的身高受到遗传、营养、环境等多种因素的影响，当这些因素的数量足够多且相互独立时，最终的结果往往呈现正态分布。
2、中心极限定理根据中心极限定理，当从一个总体中抽取大量独立同分布的随机样本，并计算其均值时，这些均值的分布将近似于正态分布。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，通过对产品质量特征的测量，如果其符合正态分布，可以设定合理的控制界限，来监控生产过程是否处于稳定状态。
2、考试成绩评估考试成绩通常近似服从正态分布。
教师可以根据正态分布来确定合理的分数段，评估学生的学习情况。
-正态分布及其性质精品PPT课件
该区域的面积表示？
A
又该如何计算呢
5.标准正态分布 (1) ~ N (0,1)， 则的分布函数通常 用( x)表示， 且( x) = P( ≤ x) 对于x ≥0， ( x)的值可在标准正态
分布表中查到, 而x < 0的( x)的值
可用 : ( x) = 1 - ( x)
(2)若 ~ N (u, 2 )， 则的分布函数 用F ( x)表示， 且有P( ≤ x) = F ( x)
=
(
x-
u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1).若 ~ N(, 2 ),则 ~ N(0,1).
(2). ~ N(, 2 ),
P(a b) (b ) (a ),
然后，通过查标准正态 分布表中
x
a
,x
b
的(x)值.(课本P58页)
从而，可计算服从 (, 2 )的正态分布
例3、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
y
例4、如图，为某地成年男
1
性体重的正态曲线图，请写 10 2
出其正态分布密度函数，并
求P（|X-72|<20）.
x
72(kg)
x (, )
例6.(2).设 ~ N (0,1), 借助于标准
正态分布的函数表计算 :
(1) p( > 1.24);
(2) p( < -1.24); (3) p( < 1).
曲线不断地降低，呈现 出“中 间高、两边低”的钟形 曲线.
并且当曲线向左、向右 两边无限延伸时，
以x轴为渐进线，向x轴无限的靠近 .
(5).当一定时，曲线的形状由 确定Y，f (x)
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义一、什么是正态分布在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布。
它就像是自然界和人类社会中许多现象的“常客”，无处不在。
想象一下，我们测量一群人的身高，或者记录一段时间内某地区的气温，这些数据往往会呈现出一种特定的规律，这就是正态分布。
正态分布的形状就像一个钟形，中间高，两边逐渐降低并且对称。
这意味着大部分数据集中在平均值附近，而离平均值越远，数据出现的频率就越低。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线是关于均值对称的。
也就是说，如果均值是μ，那么在μ 左侧和右侧相同距离处的数据出现的频率是相等的。
2、集中性大部分数据都集中在均值附近。
这反映了在许多情况下，一个典型的或者最常见的值是存在的。
3、均匀变动性从均值向两侧，曲线的下降是均匀的。
这意味着数据的变化是相对平稳和有规律的。
三、正态分布的数学表达式正态分布的概率密度函数可以用下面的公式来表示：f(x) ＝（1 ／（σ √（2π)）） e^（（（x μ)＾2 ／（2σ^2)））在这里，μ 是均值，σ 是标准差，π 是圆周率，e 是自然常数。
这个公式看起来可能有点复杂，但它精确地描述了正态分布的形状和特征。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，例如制造零件，产品的某些质量指标往往服从正态分布。
通过对这些指标的监控和分析，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整。
2、考试成绩学生的考试成绩通常也近似符合正态分布。
这有助于教师评估教学效果，确定合理的分数段和等级划分。
3、金融领域股票价格的波动、收益率等常常呈现正态分布的特征。
投资者可以利用这一特点进行风险评估和投资决策。
4、医学研究例如人体的生理指标，如血压、身高体重指数等，很多都符合正态分布。
这对于疾病的诊断和预防具有重要意义。
五、如何计算正态分布的概率为了计算给定区间内的概率，我们通常需要借助数学表或者使用统计软件。
例如，要计算某个值 x 以下的概率，可以通过将 x 标准化为 z 分数：z ＝（x μ) ／σ然后，查找标准正态分布表来获取对应的概率。
正态分布完整课件
正态分布完整课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学六年级下册第117页至119页，主要学习了正态分布的概念及其图形表示。
通过本节课的学习，让学生能够理解正态分布的特点，学会绘制正态分布图，并能够运用正态分布解决实际问题。
二、教学目标1. 理解正态分布的概念，掌握正态分布图的绘制方法。
2. 能够运用正态分布解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点重点：正态分布的概念及其图形表示。
难点：正态分布图的绘制方法和在实际问题中的运用。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔、正态分布图模板。
学具：笔记本、尺子、圆规、剪刀、彩笔。
五、教学过程1. 情景引入：教师通过展示一组身高数据，引导学生观察数据的分布情况，引发学生对分布图的兴趣。
2. 自主学习：学生自主阅读教材，了解正态分布的概念，并尝试绘制正态分布图。
3. 课堂讲解：教师通过PPT讲解正态分布的特点，演示正态分布图的绘制方法，并解释正态分布在实际生活中的应用。
4. 动手操作：学生分组合作，根据给定的数据绘制正态分布图，并交流分享绘制心得。
5. 例题讲解：教师通过PPT展示典型例题，讲解解题思路，引导学生运用正态分布解决实际问题。
6. 随堂练习：学生独立完成随堂练习题，巩固所学知识。
8. 课后作业：学生完成课后作业，进一步巩固正态分布的知识。
六、板书设计板书内容：正态分布的特点、正态分布图的绘制方法、正态分布的应用。
七、作业设计数据：一组学生的身高（单位：cm）：140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180。
答案：略答案：略八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过引导学生观察实际数据，激发学生对正态分布的兴趣。
在课堂讲解过程中，注意运用PPT和黑板辅助教学，使学生更好地理解正态分布的概念和图形表示。
同时，通过分组合作和动手操作，培养学生的团队协作能力和观察能力。
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标准值公式
此时的正态分布的图形只受到一个变量Z的 影响，因而图形是唯一的。
正态曲线下包含的每一块面积，可以表示 对应的个案数占总数的比例的大小。
（二）标准正态分布
由于不同的变量会用不同的度量单位(如身高用米， 体重用千克，收入用人民币元)，即使是同一变量 也可能用不同的度量单位(如收入可以用一元、一 百元或一千元等为单位)，结果形成了不同大小和 不同形状的正态分准值 在比较若干数值在各自数据组中的相 对位置方面发挥着重要作用。
由于类似这样的比较在现实生活中经 常要遇到，因此，标准值具有非常广 泛的运用价值。
二、其他常用的统计学分布
除了正态分布以外，统计学中还有一些概 率分布也需要关注，下面仅对其中三个常 用的分布做简要的介绍。它们在本书后面 的章节中将会遇到并有重要的应用。
（一）t分布
布
数学表达式
特性
（二）
特性
x2分布是一个正偏态(右偏态)分布。自由度 不同，其分布曲线的形状不同：df越小，分 布越偏斜；df越大，分布越接近正态分布。
x2值都是正值，这与前面介绍的正态分布和 t分布不同。
(三）F分布
特性
三、运用SPSS检验正态分布
（一）直方图
前面曾提到直方图还可以添加拟合的 正态曲线，由直方图及这条拟合的正 态曲线可以直观地得出研究数据是否 符合正态分布。
知识回顾
请说出适用于不同层次变量的集中趋势值 和离散趋势值。（定类变量、定序变量和 定距变量）
什么是相关关系？相关的性质？ 下列层次的变量在进行相关分析时，采用
的相关测量法有哪些？ 定类-定类； 定序-定序 定距-定距
第四讲 正态分布及其它常 用分布
一、正态分布
正态分布(normal distribution)在统计学中 极其重要。
依次单击“GraPhs” --Histogram，弹出一个 对话框，如图2所示
将要分析的变量“放置在variable框中；
在“histogram”对话框中选择Display normal curve;
单击“OK”按钮，提交运行，SPSS将输出 统计图；
图2
（二）P-P图
在概率分布中，概率代表各个变量值出现 的可能性大小，类似于频数分布中的百分 比或频率。
正态分布的数学表达式
特性
正态分布曲线下的面积
为了利用正态分布解决实际问题，必须熟 悉并掌握正态曲线下的面积。显然位于正 态曲线和横轴之间的总面积可以表示一个 单位的整体，即包含了总体中的全部(100 ％)的个案。
许多自然现象和社会现象都可以用正态分 布来描述，如人们的身高、体重、智商等 都比较接近正态分布
事实上大样本的抽样分布都可以看作是正 态分布
正态分布是推论统计的基础
由正态分布出发可以导出一系列重要分布： 如t分布、F分布、X2分布等。
（一）、频数分布与正态分布
前述的频数分布可以用直方图来表示（当 然是定距变量层次）
事实上，当直方图中的矩形数量不断增多 并趋于无穷时，原先对应的折线图就近似 为一个平滑的曲线图，此种情况又称为极 限频数分布。此时，矩形的总面积就接近 于平滑曲线下的面积，如图1所示 ·
图1：直方图与平滑曲线的比较
所谓正态曲线是一种对称平滑的钟形曲线。 它是一种非常重要的理论性曲线，可以反 映变量的概率分布的情况，许多自然现象 和社会现象都可近似看成正态分布，即可 以用正态曲线来描述。正态分布(又称为常 态分布或高斯分布)最早是由德国数学家高 斯在研究误差理论时所发现的