三铰拱的压力线和合理拱轴
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结构力学课件 第三节压力线
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x (l x )
由此可知，三铰拱在沿水平线均 匀分布的竖向荷载作用下，合理 拱轴为一抛物线。
2、确定拱内弯矩不超过某一限值的拱轴线。 譬如，若要求拱的各个截面不出现拉应力， 则压力线应通过拱截面的核心。
四.三铰拱的合理拱轴线
除了通过压力线求合理拱轴线外，对于竖向荷载作用下的三铰拱， 还可由解析法求合理拱轴线。由式（4-2）中的弯矩表达式
M M Hy =0
0
得
y( x)
M ( x) H
（4-3）
0
上式表明，在给定的竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线 与相当梁弯矩图的竖标成正比。
例 试求图示三绞拱在均布荷载作用下的合理拱轴线。
解: 相应简支梁（图b）的弯 矩方程为 ：
M ( x)
0
q 2
x (l x )
ql
2
拱的推力
FH f
0
MC
0
8f
所以
y
M ( x) FH
4f l
§4-3 三铰拱的压力线和合理拱轴
一.压力线的定义
三铰拱任意截面K上 的内力M、V、N（图47b）有一合力R，其作用 点如图4-7a所示。拱各个 截面内力的合力作用点 的连线，称为该拱在所 给荷载作用下的压力线。
二.压力线的作法
设三铰拱所承受荷载如图4-8a所示，现作其压力线。
第一步，作合力多边形。
第二步，确定各截面合力 的作用线。 第三步，确定压力线。 多边形AHIJB是由拱 各段的合力作用线构成的， 称为三铰拱在所给荷载作 用下的压力多边形，简称 压力线 。 压力线应通过A、B、C三个铰的铰心。
三.压力线的用途
x (l x )
由此可知，三铰拱在沿水平线均 匀分布的竖向荷载作用下，合理 拱轴为一抛物线。
2、确定拱内弯矩不超过某一限值的拱轴线。 譬如，若要求拱的各个截面不出现拉应力， 则压力线应通过拱截面的核心。
四.三铰拱的合理拱轴线
除了通过压力线求合理拱轴线外，对于竖向荷载作用下的三铰拱， 还可由解析法求合理拱轴线。由式（4-2）中的弯矩表达式
M M Hy =0
0
得
y( x)
M ( x) H
（4-3）
0
上式表明，在给定的竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线 与相当梁弯矩图的竖标成正比。
例 试求图示三绞拱在均布荷载作用下的合理拱轴线。
解: 相应简支梁（图b）的弯 矩方程为 ：
M ( x)
0
q 2
x (l x )
ql
2
拱的推力
FH f
0
MC
0
8f
所以
y
M ( x) FH
4f l
§4-3 三铰拱的压力线和合理拱轴
一.压力线的定义
三铰拱任意截面K上 的内力M、V、N（图47b）有一合力R，其作用 点如图4-7a所示。拱各个 截面内力的合力作用点 的连线，称为该拱在所 给荷载作用下的压力线。
二.压力线的作法
设三铰拱所承受荷载如图4-8a所示，现作其压力线。
第一步，作合力多边形。
第二步，确定各截面合力 的作用线。 第三步，确定压力线。 多边形AHIJB是由拱 各段的合力作用线构成的， 称为三铰拱在所给荷载作 用下的压力多边形，简称 压力线 。 压力线应通过A、B、C三个铰的铰心。
三.压力线的用途
拱桥之拱轴线的选择与确定方法讲解
拱桥之拱轴线的选择与确定方法讲解
二、拱轴线的选择与确定
拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴线 的原则，是要尽可能降低荷载产生的弯矩。最理想的拱轴线是 与拱上各种荷载作用下的压力线相吻合，使拱圈截面只受压力， 而无弯矩及剪力的作用，截面应力均匀，能充分利用圬工材料 的抗压性能。实际上由于活载、主拱圈弹性压缩以及温度、收 缩等因素的作用，实际上得不到理想的拱轴线。一般以恒载压 力线作为设计拱轴线。 （一）圆弧线
s EAcos
y2ds
s EI
•由Hg在拱内产生的弯矩、剪力和轴力
N
1 1
Hg
c os
M
1 1
H g ( ys
y1 )
Q
1 1
Hg
s in
•桥规规定，下列情况可不考虑弹性压缩的影响
l 30m, f 1/ 3
l
l 20m, f 1/ 4
l
l 10m,
f 1/5 l
3、恒载作用下拱圈各截面的总内力 •不考虑压力线与拱轴线偏离时（实腹式拱）
为了使悬链线与其恒载压力线重和， 一般采用“ 五点重和法”确定悬链线的m 值。即要求拱轴线在全拱（拱定、两1/4l点 和两拱脚）与其三铰拱的压力线重和。其 相应的拱轴系数确定如下
拱定处弯矩Md=0；剪力Qd=0。对拱脚取距，由
有：
•对拱脚取距，由 MA 0 有：
Hg
Mj f
•对l/4截面取距，由 MB 0 有：
拱顶： M d X1 X 2 ys 0
拱脚： M j X1 X 2 ( f ys ) 0
其中，ys弹性中心至拱顶的距离。 （5）拱轴系数初值的选定
m gj gd
坦拱：m值选用较小 陡拱：m值选用较大
二、拱轴线的选择与确定
拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴线 的原则，是要尽可能降低荷载产生的弯矩。最理想的拱轴线是 与拱上各种荷载作用下的压力线相吻合，使拱圈截面只受压力， 而无弯矩及剪力的作用，截面应力均匀，能充分利用圬工材料 的抗压性能。实际上由于活载、主拱圈弹性压缩以及温度、收 缩等因素的作用，实际上得不到理想的拱轴线。一般以恒载压 力线作为设计拱轴线。 （一）圆弧线
s EAcos
y2ds
s EI
•由Hg在拱内产生的弯矩、剪力和轴力
N
1 1
Hg
c os
M
1 1
H g ( ys
y1 )
Q
1 1
Hg
s in
•桥规规定，下列情况可不考虑弹性压缩的影响
l 30m, f 1/ 3
l
l 20m, f 1/ 4
l
l 10m,
f 1/5 l
3、恒载作用下拱圈各截面的总内力 •不考虑压力线与拱轴线偏离时（实腹式拱）
为了使悬链线与其恒载压力线重和， 一般采用“ 五点重和法”确定悬链线的m 值。即要求拱轴线在全拱（拱定、两1/4l点 和两拱脚）与其三铰拱的压力线重和。其 相应的拱轴系数确定如下
拱定处弯矩Md=0；剪力Qd=0。对拱脚取距，由
有：
•对拱脚取距，由 MA 0 有：
Hg
Mj f
•对l/4截面取距，由 MB 0 有：
拱顶： M d X1 X 2 ys 0
拱脚： M j X1 X 2 ( f ys ) 0
其中，ys弹性中心至拱顶的距离。 （5）拱轴系数初值的选定
m gj gd
坦拱：m值选用较小 陡拱：m值选用较大
结构力学 第四章 三铰拱
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 平反力。
FP
曲梁
三铰拱
第四章 三铰拱
三、拱常用的形式
静定拱
三铰拱
两铰拱
超静定拱
无铰拱
第四章 三铰拱
四、拱的有关概念
顶铰 拱轴线 平拱 拱趾铰 跨度 拱趾铰 拱轴线 拱（矢）高
斜拱
拉杆拱
第四章 三铰拱 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支反力 1、竖向反力 A ∑ M A = 0, VB l − M ABP = 0 H A
第四章 三铰拱
第四章 三铰拱
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 §4-3 压力线与合理拱轴
第四章 三铰拱
§4-1 概述 实例——拱桥 一、实例 拱桥 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承受轴向压力为主 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。
第四章 三铰拱 [例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 三铰拱及其所受荷载如图所示 y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。 求支座反力，并绘制内力图。 解: (1) 反力计算
4 × 4 + 1× 8 ×12 0 VA = VA = 16 = 7kN ( ↑ ) 7kN
M ABP VB = l l 同跨度同荷载简支梁(代 同跨度同荷载简支梁( 的支座反力： 梁）的支座反力：
i i
P
q
C
f
B
l1
l − l1
HB VB
∑ Pa =
VA
第四章三铰拱
y
P1 K
P2
φK
MK [FAV xK P1( xK a1 )] FH yK
M
0 K
FA0V xK
P1(xK
a1 )
FAH A FAV
yK f
x xK
P1
MK
K
FNK
B FBV
FBH MK M0K FH yK （3-3）
3、剪力计算—使隔离体顺时针转动为正 FSK FAV cosφK P1cosφK FHsinφK
1 l
(P1a1
P2a2 )
FAH A
xK
yK f
B
请问:有水平x荷载,
或铰FAV Cl1不在顶l2部,F或BV
是斜拱三铰,右拱计l边算的简图结论 还是正确的吗?
FBH
FAV FA0y
FBV
FB0y
（3-1）
FX 0: FAH FBH FH
MC FAVl1 P1(l1 a1)水 F平H推f 力 0FH
x
44 122
312
3
3m
FBV
FBV
26389 12
9kN
FH
M
C
f
11 6 2 6 3 4
7.5kN
M2
M
2
FH
y2
113
231.5 7.53
1.5kN m
tg 2
dy dx
4f x3 l
1
2x l
x3
44 12
1
2123
0.667
FS 2
FS
2
cos2
FH
sin 2
FSK
(FAV P1 )cosφK FHsinφK
04.三铰拱、组合结构
M ( x) M 0 ( x) FHy( x) 0
于是合理拱轴线的方程为：
M 0 ( x) y ( x) FH
例2： 试求图示对称三铰拱在均匀荷载q作 用下的合理轴线。 解：作出相应简支梁如图所示，其弯矩方程为
1 1 2 1 M qlx qx qx (l x) 2 2 2
0 VA
100 9 20 6 3 FHA 12 105kN
0 FVB FVB
C
4m
A
B FHB
x 6m 6m
100 3 20 6 9 12 115kN
FVA
FVB
0 MC 105 6 100 3 FH FHA FHB 82.5kN f 4
2、三铰拱的类型
平拱 斜拱
虚铰拱
二、三铰平拱的计算
1、支座反力的计算
y a2 a1
i
HA
P2 C
f
an
Pn
M B 0
FVA F (l a )F
i
P1
A
B FHB
x l/2 l/2
l
M A 0
FVB l
Fa
FVA P2 P1 FHA C
f
FVB
i i
M C 0
N图
讨论:影响屋架内 力图的主要原因 有两个: ①高跨比f /l D 高跨比越小轴力 NDE=MC0/ f f1=0.5m， 0.75 越大屋架轴力也 F f2=0.7m A 越大。 0.75 0.75 ②f1与f2的关系 当高度f 确定 D 后，内力状态随 D f1与 f2的比例不 f =1.2m f =0 ，2 1 同而变。 D 弦杆轴力变化 幅度不大，但上 4.5 弦杆弯矩变化幅 度很大。
5.3 三铰拱的压力线和合理拱轴
由力多边形的射线来确定
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(2)确定各截面合力的作用线 确定各截面合力的作用线
FP1 12 F K1 A D K2 K3 B FRB FRA FP2 G C 23 H 极点O FP3 FRA FP1 12 FP2 23 FP3
压力线（ 压力线（一种特 殊的索多边形） 殊的索多边形）
l/2
这就是在竖向荷载作用下 拱的合理轴线的微分方程
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d2 y q( x) =− 2 FH dx
式中， 向上为正。 轴向下的情况， 式中，规定 y 向上为正。对于 y 轴向下的情况，上式右 边应该取正号， 边应该取正号，即 d 2 y q( x) = 2 FH dx +γ 代入上式 代入上式， 将q = qC+ y代入上式，得
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0 q M C ql 2 M = x(l − x) FH = = 2 f 8f 4 f M 0 (5-9) = x (l − x ) y = 2 l FH
0
(2)竖向连续分布荷载 竖向连续分布荷载
【例5-5】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试 】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。 求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为γ 求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为 ，拱 所受的竖向分布荷载为q 。 所受的竖向分布荷载为 = qC+γ y。 解：将式 y = M 0 / FH 对 x微分两次，得 微分两次， 微分两次
D D
合力FRD 合力
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2、压力线的图解法 、
FP1 12 F A K1 D FP2 G C K2 23 K3 B FRB FRA 压力线（一种特殊的 索多边形） FRB 自行封闭的 力多边形 FP3 FRA H 极点O FP1 12 F 23 P2 FP3
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(2)确定各截面合力的作用线 确定各截面合力的作用线
FP1 12 F K1 A D K2 K3 B FRB FRA FP2 G C 23 H 极点O FP3 FRA FP1 12 FP2 23 FP3
压力线（ 压力线（一种特 殊的索多边形） 殊的索多边形）
l/2
这就是在竖向荷载作用下 拱的合理轴线的微分方程
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d2 y q( x) =− 2 FH dx
式中， 向上为正。 轴向下的情况， 式中，规定 y 向上为正。对于 y 轴向下的情况，上式右 边应该取正号， 边应该取正号，即 d 2 y q( x) = 2 FH dx +γ 代入上式 代入上式， 将q = qC+ y代入上式，得
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0 q M C ql 2 M = x(l − x) FH = = 2 f 8f 4 f M 0 (5-9) = x (l − x ) y = 2 l FH
0
(2)竖向连续分布荷载 竖向连续分布荷载
【例5-5】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试 】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。 求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为γ 求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为 ，拱 所受的竖向分布荷载为q 。 所受的竖向分布荷载为 = qC+γ y。 解：将式 y = M 0 / FH 对 x微分两次，得 微分两次， 微分两次
D D
合力FRD 合力
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2、压力线的图解法 、
FP1 12 F A K1 D FP2 G C K2 23 K3 B FRB FRA 压力线（一种特殊的 索多边形） FRB 自行封闭的 力多边形 FP3 FRA H 极点O FP1 12 F 23 P2 FP3
下篇 结构力学部分 第15章 三铰拱
(a) Î޽¹°
(b) Á½½Â¹°
(c) Èý½Â¹°
图15-1
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第一节 三铰拱的受力特点
拱和梁的主要区别是拱在竖向荷载作用下会产生水 平反力。这种水平反力指向内侧，故又称为推力。由于 推力的存在，拱的弯矩与跨度、荷载相同的梁相比较要 小的多，且主要承受压力，因此更能发挥材料的作用， 并能利用抗拉性能较差而抗压性能较强的材料如砖、石、 混凝土等来建造，这是拱的主要优点。而拱的主要缺点 也正在于支座要承受水平推力，因而要求比梁要具有更 为坚固的基础或支承结构（墙、柱、墩、台等）。可见， 推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。
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三、内力图的绘制
绘制内力图的一般步骤为： （1）求反力：同简支梁反力的求解。 （2）分段：凡外力不连续点均应作为分段点； 同时，为了绘制内力图将拱轴线沿水平方向等分。 （3）定点：将分段点各截面上的内力值用截面 法求出，并在内力图上用竖标绘出。 （4）连线：根据各段的内力图形状，将其控制 点以直线或曲线相连绘出内力图。
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一、支座反力的计算
a1 a2 F1 A l/2 l F1 FAx FAy a1 F1 FAx FAy A C FCy l/2 (a) FCx A
f
b1 b2 C f l/2 F2 B F1 A l/2 l F2 B FBx FBy F1 A
0 FAy
a1 a2 C
b1 b2 F2 B l/2
40kN
(b)
FAx FAy
A
B
FBx FBy
5 (c) 7.5 10 7.5 10 9 2.5 _ 2.5 5 46 (e) 9 39 33.5 30.3 30 + 30.3 29 + _
中南大学三铰拱的合理拱轴线三铰拱在竖向荷载作用下任一截面的弯
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03:27
§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
例4-1 试求图示三铰拱截面D的内力。 设拱轴线为抛
物线，当坐标原点选在左支座时，它的轴线方程式
为
y
4f l2
x，l 已x知D截面的坐标为: xD=5.25m 。
q=20 kN/m
Y F = 100 kN
解:(1) 代入数据后拱
C
轴线方程为：
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
例4-3 设三铰拱上作用有沿拱轴均匀分布的竖向 荷载（如自重），试求其合理拱轴线。
p
x
y
解:当拱轴线改变时，荷载也随之改变。
令p(x)为沿拱轴线每单位长的自重，荷载沿水平
方向的集度为q(x)
q(x)
由 q(x)dx p(x)ds
dx p(x)
由于当x=0时，y=0，
故 B FH p
最后得
y
FH p
ch
p FH
x 1
等截面拱在自重荷载作用下，合理轴线为一悬链线。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
在一般荷载作用下,为了寻求相应的合理轴线,可假 定拱处于无弯矩状态并写出相应的平衡微分方程。
d2y 1 d2M 0 dx2 FH dx2 注意到当荷载q(x)为沿水平方向的分布荷载时，
d2M 0 dx2
q()
合理拱轴线的坐标y与分布荷载q之间的关系为
d2 y q(x)
dx2
FH
（4-6）
上式就是合理拱轴线的微分方程,在这里规定y 向上
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(1)满跨竖向均布荷载
【例4-4】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖 向荷载，试求其合q 理拱轴线。
y
C
x
f
q
解:
A
B
l/2
l/2
M 0 q x(l x) 2
A
x
ql/2
l
FH
M
0 C
f
ql 2
8f
B ql/2
y M0 FH
4 f x(l x) l2
(4-9)
三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为
A
DK
2
H K3
B
FRA
FP1
极点O
12 23 FP2
FRB
FP3
FRA
压力线（一种特殊
FRB
的索多边形）
(1)确定各截面合力的大小和方向
自行封闭 的力多边 形
由力多边形的射线来确
定 All Rights Reserved
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(2)确定各截面合力的作用线
FP1 FP2
FP3
12 G C 23
F
D K2
K1 A
H K3
B
FRA
FP1
极点 O
12 23 FP2
FRB
FP3
FRA
压力线（一种特殊
FRB
的索多边形）
自行封闭 的力多边 形
三铰拱各截面合力的作用线可由索多边形中的
各索线来确定,当某段内竖向力连续分布时，该
段的压力线为曲线。 All Rights Reserved
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4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴
4.3.1 压力线
1、压力线的意义
拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压
力，拱各横截面上合力作用点的连线，称为压
力线，代表拱内压力经过的路线。
如果三铰拱中，某截面D左边(或右边)
所有外力的合力FRD已经确定，则由 此合力便可分解为该截面形心上的三
个内力
合力FRD
D rD
解：将式y M 0 / FH 对 x微分d两2 y 次 1， d得2M 0
dx 2 FH dx 2
qC+g
C
f
f
A
x
B
l/2
l/2
用q(x)表示沿水平线
y
单位长度的荷载值，
这就是在竖向荷载
则 d2M 0 q(x)
dx 2
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dd重x2 庆y2 大学土qF木(Hx工)程学院作线® 用的下 微拱 分的 方合 程理轴
一抛物线。在方程(4-9)中，拱高f没有确定。因此，具有不同高跨
比的任一抛物线都是合理拱轴。
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(2)竖向连续分布荷载
【例4-5】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平
面。试求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土
的容重为γ ，拱所受的竖向分布荷载q为C q = qC+γ y。
3、压力线的用途
(1)求任一拱截面的内力 (2)选择合理拱轴
由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线
形式无关。因此，有了压力线之后，可以
选择合理的拱轴曲线形式，应使拱轴线与
压力线尽量接近（以减少弯矩），最好重
合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强度低
的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力
FR作用点不超出截面核心(对于矩形截面，
三铰拱的合理轴线，经推导表明，是一条圆弧线。
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在实际工程中，同一拱结构往往要受到不同 荷载的作用，而对应不同的荷载就有不同的 合理轴线。通常，是以主要荷载作用下的合 理轴线作为拱的轴线。这样，在一般荷载作 用下，拱仍会产生不大的弯矩。
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d2 y q(x)
dx 2
FH
式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上
式右边应该取正号，即d2 y q(x)
dx 2 FH
将q
=
qC+γ
y代入上式，得
d2 y
g
y qC
dx2 H FH
这个微分方程的解答可用双曲线函数表示为
All Rights Reserved
y Ach g x B sh g x qC
MD
DD
FND FQD
All Rights Reserved
M D FRD rD
FQ D FN D
FFRRDD重sci庆ons大D学D 土木工程学院®r垂 点D为直 拱由距轴截离切面；线形之aD心间为到的合合夹力力角FRF。DR与D的D
2、压力线的图解法
FP1
FP2
FP3
12 G C 23
F K1
压力线应不超过截面对称轴上三等分的中
段范围)。 All Rights Reserved
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4.3.2 三铰拱的合理拱轴线
1 、合理拱轴线
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线， 称为合理拱轴线。
2 、合理拱轴的数解法
由 M M 0 FH y 0
得
M0 y
FH
上式表明，在固定荷载作用下，三铰拱的合 Al理l Rig拱hts R轴ese线rvedy与相当简重庆支大学梁土木弯工程矩学院图® 的竖标M 0成 正比。
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重庆大学土木工程学院® FH
FH
g
y Ach g x B sh g x qC
FH
FH
g
两个常数A和B，可由边界条件求出如下：
在x=0处得B=0。
因此
y
qC
g
c h
g
FH
x
1
在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线
(3)均匀径向荷载作(推导略)