解三角形学案高三公开课
解直角三角形学案1
9.4解直角三角形学案一学习目标：1理解解直角三角形的概念，会选择正确的方法解直角三角形。
2能运用锐角三角比解直角三角形。
二知识回顾：在Rt△ABC中，∠C＝900，a，b，c，分别为∠A,∠B,∠C 所对的边，则边之间的关系为，角之间的关系为，角与边之间的关系为，三自主预习：1解直角三角的概念：有直角三角形中求出元素的过程，叫做解直角三角形。
2解直角三角形的两种情况。
（1）已知，求第三边及两锐角。
（2）已知和一个，求其它两边及另一锐角。
四导学探究：在Rr△ABC中，共有六个量，三条边a，b，c，三个角∠A，∠B，∠C，其中∠C是已知的，其它的五个量都是未知的。
（1）已知∠A，∠B，能求出其它的三个量a，b，c吗？（2）已知两条边的长，能求出其它的三个量吗？（3）已知一角和一边，能求出其它的三个量吗？你有什么发现？bA例1在Rt △ABC 中，∠C ＝900,a ＝17.5，c ＝62.5，解这个直角三角形。
例2在Rt △ABC 中，∠C ＝900,c ＝128，∠B ＝520，解这个直角三角形（边长精确到0.01）练一练：1 在Rt △ABC 中，∠C ＝900,a ＝12，b ＝24，解这个直角三角形。
2在Rt △ABC 中，∠C ＝900，（1）已知c＝15，∠B＝600，求a；（2）已知∠A＝350，a＝24，求b，c五当堂达标；1在Rt△ABC中，∠C＝900，BC＝a，AC＝b，且3 a＝4b，则∠A的度数是（）A 53.70B 53.130C 53013′D 53048′2已知Rt△ABC中，∠C＝900，∠A＝300，斜边上的高为1，则△ABC三边的长分别为（）A a＝22，b＝2，c＝4，B a＝3，b＝2， c ＝7C a＝332，b＝2，c＝334，D a＝2,b＝332,c＝3342已知在Rt△ABC中，∠C＝900，a，b，c，分别为∠A,∠B,∠C所对的边，由下列条件解直角三角形。
解三角形(学案)
第一章 解三角形（学案）1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于（ ）A 4 B2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（ ）A 36 B 26 C 21 D 23 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150°4.△ABCABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形5.△ABC 中，60B =，2b ac =，则△ABC 一定是 （ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定 7. △ABC 中，8b =，16ABC S =，则A ∠等于 （ ） A o 30 B o 60 C o 30或o 150 D o 60或o 120 8.△ABC 中，若60A =，）A 2 B 21 C 3 D 23ABC ，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）D 010.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）C. 200米12 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( ) A.10 海里 B.5海里 海里 海里 13.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。
14.在△ABC ，150c =，30B =，则边长a = 。
高中数学新教材解三角形教案
高中数学新教材解三角形教案高中数学新教材解三角形教案1一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.二、教学目标设计1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路.2、了解构造法在解题中的运用.三、教学重点及难点重点：平面对量知识在各个领域中应用.难点：向量的构造.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾1、提问：下列哪些量是向量?(1)力(2)功(3)位移(4)力矩2、上述四个量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?[说明]复习数量积的有关知识.二、学习新课例1(书中例5)向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用!请看例2(书中例3)证法(一)原不等式等价于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.证法(二)向量法[说明]本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现(等号成立的充要条件是)例3(书中例4)[说明]本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明.二、巩固练习1、如图，某人在静水中游泳，速度为km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h.(2) 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h.三、课堂小结1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系.四、作业布置1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4高中数学新教材解三角形教案2教学目标：1.了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系.2.会求一些简单函数的反函数.3.在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识.4.进一步完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培育抽象、概括的能力.教学重点：求反函数的方法.教学难点：反函数的概念.教学过程：教学活动设计意图一、创设情境，引入新课1.复习提问①函数的概念②y=f(x)中各变量的意义2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是时间t的函数;在t=中，时间t是位移S的函数.在这种情况下，我们说t=是函数S=vt 的反函数.什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容.3.板书课题由实际问题引入新课，激发了学生学习爱好，展示了教学目标.这样既可以拨去反函数这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性.二、实例分析，组织探究1.问题组一：(用投影给出函数与;与()的图象)(1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系?(生答：与的图像关于直线y=x对称;与()的图象也关于直线y=x对称.是求一个数立方的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算.同样，与()也互为逆运算.)(2)由，已知y能否求x?(3)是否是一个函数?它与有何关系?(4)与有何联系?2.问题组二：(1)函数y=2x 1(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一(2)函数(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数?(3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系?3.渗透反函数的概念.(老师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点) 从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培育学生抽象、概括的能力.通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在最近进展区设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础.三、师生互动，归纳定义1.(根据上述实例，老师与学生共同归纳出反函数的定义)函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为C.我们根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x = j (y) .如果对于y在C中的任何一个值，通过x = j (y)，x在A中都有的值和它对应，那么, x = j (y)就表示y是自变量，x是自变量y 的函数.这样的函数x = j (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: .考虑到用x表示自变量, y表示函数的习惯，将中的x与y对调写成.2.引导分析：1)反函数也是函数;2)对应法则为互逆运算;3)定义中的如果意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域;5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数;6)要理解好符号f;7)交换变量x、y的原因.3.两次转换x、y的对应关系(原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的.)4.函数与其反函数的关系函数y=f(x)函数定义域AC值域CA四、应用解题，总结步骤1.(投影例题)【例1】求下列函数的反函数(1)y=3x-1 (2)y=x 1【例2】求函数的反函数.(老师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤.)2.总结求函数反函数的步骤:1° 由y=f(x)反解出x=f(y).2° 把x=f(y)中x与y互换得.3° 写出反函数的定义域.(简记为：反解、互换、写出反函数的定义域)【例3】(1)有没有反函数?(2)的反函数是________.(3)(x0)的反函数是__________.在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数.在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握.通过动画演示，表格对比，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解.通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培育学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力.题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进.并体现了对定义的反思理解.学生思考练习，师生共同分析纠正.五、巩固强化，评价反馈1.已知函数y=f(x)存在反函数，求它的反函数y =f( x)(1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x)( 3 ) y=(xR,且x)2.已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数，求f(7)的值.五、反思小结，再度设疑本节课主要讨论了反函数的定义，以及反函数的求解步骤.互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢?为什么具有这样的特点呢?我们将在下节讨论.(让学生谈一下本节课的学习体会，老师适时点拨)进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数.反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.具体实践中可实行同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的乐观性.问题是数学的心脏学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂.六、作业习题2.4第1题，第2题进一步巩固所学的知识.教学设计说明问题是数学的心脏.一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念.反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采纳了抽象的符号.由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念.为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，讨论性质，进而得出概念，这正是数学讨论的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成.另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用.通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对比、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维.使学生自然成为学习的主人。
高三数学解三角形全章教案
数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
9.4解直角三角形学案
9.4解直角三角形导学案
学习目标：1、通过本节课的学习能对上节课的知识有更加深刻的认识；
2、通过本节课的学习能熟练的选择关系式解直角三角形。
（本课重点）
课前延伸：1、直角三角形中锐角A的正弦、余弦、正切、余切的定义；
2、什么叫做解直角三角形；
3
B a
C 课内探究：
（一）已知两边，解直角三角形。
Rt△ABC 中，已知AC=3m,斜边AB=6, 解这个直角三角形。
讨论：还有那几个量需要求？顺序是怎样的？
解题过程：
（二）已知一锐角一边，解直角三角形。
1、在Rt△ABC中，∠C为直角，已知∠B=30°,AC=3m,解这个直角三角形。
2、在Rt△ABC中，∠C为直角，已知∠B=30°,BC=4m,解这个直角三角形。
3、在Rt△ABC中，∠C为直角，已知∠B=30°,AB=6m,解这个直角三角形。
通过前面四道题目的学习你会选择合适的关系式解直角三角形了吗？和我们分享
一下吧。
做题过程中有什么需要注意的吗？
课堂小结：
这节课你收获了什么？有什么疑问？
当堂达标：
1.在Rt△ABC中，∠C为直角，已知AC=2, AB=4，求∠A的度数。
2. 在Rt△ABC中，∠C为直角，已知∠B=60°,AB=8,求AC的长度。
课后延伸：
如图，在△ABC中，∠ABC=118°,BC=4，求AC边上的高。
B
A C。
高三数学解三角形教学设计
高三数学解三角形教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对高三学生进行解三角形的教学。
解三角形是高中数学的重要内容，涉及正弦定理、余弦定理及三角形面积计算等知识点。
通过本节课的学习，学生将掌握解三角形的常用方法和技巧，提高解决实际问题的能力，并为后续学习几何、三角函数等知识打下坚实基础。
2、教学对象本教学设计的对象为高三学生，他们已经具备了一定的数学基础，掌握了初等函数、三角函数、几何等基本知识。
然而，在解三角形方面，学生可能存在以下问题：对正弦定理、余弦定理理解不深刻，运用不熟练；在解决实际问题时，不能灵活运用所学知识。
因此，本教学设计将针对这些问题，采取有效的教学策略，帮助学生提高解题能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握正弦定理、余弦定理及其推导过程，能够准确运用定理解决三角形相关问题；（2）掌握三角形面积的计算方法，能够灵活运用求解实际问题；（3）学会运用解三角形的方法解决几何问题，如求角度、边长、周长、面积等；（4）提高逻辑推理、数学运算和问题分析能力，形成系统的解题思路。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等方式，引导学生发现并理解正弦定理、余弦定理；（2）采用问题驱动法，设置不同难度的练习题，让学生在实践中掌握解三角形的方法；（3）运用比较、归纳等方法，帮助学生总结解三角形的常用技巧和规律；（4）结合实际案例，培养学生将数学知识应用于解决现实问题的能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们的探究精神和创新意识；（2）通过解三角形的学习，让学生体会数学的实用性和美感，增强数学学习的自信心；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，养成独立思考、合作交流的良好习惯；（4）引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活等方面的广泛应用，树立正确的价值观；（5）培养学生面对困难时，勇于挑战、积极进取的精神风貌，形成健康的心理素质。
三、教学策略1、以退为进在教学过程中，采取“以退为进”的策略，即在教学初期适当降低难度，引导学生从简单的解三角形问题入手，逐步掌握基本的解题方法和技巧。
高考备考解三角形导学案
()()()CB AC B A CB A tan tan cos cos sin sin -=+-=+=+ 解三角形的常见题型导学案 班级： 姓名：练习3、(范围问题）、已知函数().cos 22sin 312x x x f +-=()()()()的取值范围。
求，且的对边分别为，，的角设集合；时的的最大值及取得最大值求c b A f a c b a x x f +==∆,01,,,C B A ABC 21三、易错分析、及简便算法的形状为（）求中，已知在三角形ABC ,cos sin 2)sin()(sin ABC .2∆=-++A A A B A BA. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.直角或等腰三角形 四、小结（1）出现“在△ABC 中”字样，一般都是解三角形问题，必定结合正弦定理或者余弦定理解题； （2）一个等式中同时出现A 、B 、C 三个角，必用π=++C B A 来转化，形式如下： （3）一般情况下，已知条件中边多用余弦定理，角多用正弦定理； （4）三角形解的个数：可通过“大边对大角，小边对小角”来取舍； （5）三角形中的常用结论：○若sin2A ＝sin2B ，则三角形为等腰三角形或直角三角形； ○若sinA ＝sinB ，则三角形为等腰三角形； ○若sinA ＝cosB,则 作业：完成此卷 课后作业：1、已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b=sin （A+C ），cos （A ﹣C ）+cosB=c ．（1）求角A 的大小；（2）求b+c 的取值范围．注意：此题辨析应该用解范围为题的哪种方法？ 2、（2014全国Ⅰ）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角为60=∠MAN ，C 点的仰角45=∠CAB ，以及75=∠MAC ，从C 点测得60=∠MCA 已知山高BC=100m ，则山高MN=3、.若====C ,6,3,3则πA b a4、设===∆B 6A ,tan ,,,,,，求若的对边分别为的内角πA b a c b a CB A ABC====∆A 3,3,1,,C B A .1则，若的对边为，，的内角πC c a c b a ABC 656.ππ或D 3.πC 65.πB 6.πA BB A -2A 2ππ=+=或45-ABC中，若2b c。
高考数学：解三角形(复习学案)
专题09 解三角形（一） 三角形中的求值问题1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知bsinC +csinB =4asinBsinC ，b 2+c 2−a 2=8，则△ABC 的面积为________． 【练习3】 在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．【例2】已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A B C D．【例3】已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B cos C ＋32c sin C＝2R，则△ABC面积的最大值为( )A．25B．45C．255D．125【例4】在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Ccos cos cos2ab Ac A B+=，ABC∆，则ABC∆周长的最小值为______.2.巩固提升综合练习【练习1】 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【练习2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( ) A ．2＋3 B ．2＋2 C ．3D ．3＋2【练习3】已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用必备知识：实际测量中的有关名称、术语南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角1.例题【例1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( )A ．32B ．233C ．33D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πB 则b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.53．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝32，tan B ＝2tan A ，则△ABC 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．423．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( ) A ．223B ．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2，B =45°，若三角形有两解，则b 的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。
新高考高中数学解三角形的综合-教案(解析版)
学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题解三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握正弦定理和余弦定理的基本内容；②能灵活使用正余弦定理结合三角函数基本公式进行变形；③运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念体系搭建（一）正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c BR b A R a sin 2sin 2sin 2===③边化角 Rc C Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===（二） 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2=b 2+c 2－2bc cos A ； ① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； ② c 2=a 2+b 2－2ab cos C .③在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+； cos B =ca b a c 2222-+； cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. （3）在∆ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角． （三） 三角形中的公式变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
高三数学 解三角形(1) 精华学案
学案12 解三角形（1）【课前预习,听课有针对性】（5m ）1．在ABC ∆中，已知35513sin B ,cos A ==，则cosC ＝ .答案：16652．在ABC ∆中，A ＞B 是sin A sin B >成立的 条件. 答案：充要3．在ABC ∆中，若sin Asin B cos Acos B <，则ABC ∆的形状为 . 答案：钝角三角形4．在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ）()A cos cos a C c A = ()B sin sin b C c A = ()C sin sin ab C bc B = ()D sin sin a C c A =5．在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝ . 答案：3π【及时巩固,牢固掌握知识】（20——30m ）A 组 夯实基础，运用知识6.ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆（ C ）A ．有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定7.在ABC ∆中，若其面积222S =，则C ∠=_______。
6π8.在ABC ∆中，60 1A ,b ==，这个三角形的面积为，则ABC ∆外接圆的直径是_________。
答案：23939.在ABC ∆中，112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝ . 答案：12-B 组 提高能力，灵活迁移10.在ABC ∆中，若ab c b a c b a 3))((=-+++且B A C cos sin 2sin =，则ABC ∆是 ．11.ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c ，证明：222sin()sin a b A B c C--=．13.在ABC ∆中，已知||||2,AB AC ==且1AB AC ⋅=,则这个三角形的BC 边的长为 ．【应对高考,寻找网络节点】（10m ）14.（朝阳二模13）上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型 通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世 博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120.据 此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m .解法1：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以ABACx ，1000BC.则222(1000)22cos120x x =-. 解得100033x. 所以中国馆到世博轴其中一端的距离为10003m 3. CB世博轴·A 中国馆120º解法2：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以AB AC x ，1000BC .则1000sin120sin 30x，解得100033x . 所以中国馆到世博轴其中一端的距离为m 3. 解法3：设中国馆到世博轴其中一端的距离为x m ，所以ABAC x ，1000BC .过点A 做BC 的垂线，垂足为D . 因为ABAC ，所以得到Rt ABD ，且500BD ，30B.所以5002x . 解得100033x. 所以中国馆到世博轴其中一端的距离为m 3. 【温故知新，融会而贯通】（10m ）15.（东城二模15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，cos2A C += （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）若3a =，b =，求c 的值． 解：（Ⅰ）因为cos2A C +=A B C π++=，所以sinsin()222B A C π+=-=．…………3分 所以 21cos 12sin 23B B =-=．…………7分 （Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2210c c -+=．………11分 解得1c =．…………13分CB世博轴·A 中国馆D【今日小结】【尝试回忆，高效贮备知识】（坚持每日睡前3m）1.知识的再梳理：2.题型的再回忆：3.方法、技能与易错点重现：4.数学思想方法：。
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解三角形
【考纲要求】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几
何计算有关的实际问题. 【重难点】三角形中的边角互化、恒等变换问题．
【知识梳理】
1.正、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理 公式 a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R
a 2＝_____________；
b 2＝_____________；
c 2＝_____________ 常见
变形 (1)a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____；
(2)sin A ＝____，sin B ＝____，sin C ＝____； (3)a ∶b ∶c ＝____________________；
(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝_____， cos A ＝_____________； cos B ＝_____________； cos C ＝_____________
2.三角形的面积公式：=∆ABC S _________________________________________．
【典例精讲】
考点1 正、余弦定理的简单运用
例1（1）【2015高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，6b =23
π∠A =，则∠B =． （2）【2016高考全国I 卷】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =， 2cos 3
A =，则b=（ ） （A 2
B 3
C ）2（
D ）3
（3）【2013全国II 卷】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π
=，
4
C π=，则ABC ∆的面积为（ ） （A ）232（B 31（C ）232（
D 31
变式 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝32，A ＝30°，
则B ＝．
考点2解三角形中的边角互化问题
例2 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且c b C a -=2cos 2求A 的大小. 变式【2015高考新课标1】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.
（1）若a b =，求cos ;B （2）若B=90°，且2=a ，求△ABC 的面积
探究1: 对于例2及变式的第一问是否都有两种不同的解法？对此你有什么发现？ 考点3解三角形中的恒等变换问题
例3.在△ABC 中，A,B,C 的对边分别是c b a ,,，若2,cos cos 2
===+b a c B a A b ，求△ABC 的周长.
变式：【2016年天津高考】在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知
sin 23sin a B b A =.(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若1cos A 3
=，求sinC 的值. 探究3: 解三角形的恒等变换常常有一些常用的结论？请归纳好并写下来.
【课堂小结】
通过本节课的学习，从知识与方法层面你有什么收获？
【课后巩固】
1）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5
A =-
，求sin B ＝． 2） 在ABC ∆中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,cos cos A B b a =则ABC ∆的形状是． 3）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b 3， A ＋C ＝2B ， 则sin C ＝ .
4） 在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12
DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为 33∠BAC ＝______ _ ．
5） 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是．
6） 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若223a b bc -=
， sin C ＝3B ， 则A ＝．
7）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝
63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．。