2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第9讲 对数与对数函数
【解析】(1)由题意， lg(a＋b)＝lga＋lgb＝lgab⇒a＋b＝ab， b 故 a＝ ，又 a>0，b>0⇒b>1. b－1 (2)由题意，2a＝m⇒a＝log2m,5b＝m⇒b＝log5m， 1 2 由换底公式和a－b＝1，得 log2 －2log5 ＝1， m m 2 2 即 log25m＝1，解之得 m＝25.
1x (3)对于[3,4]上的每一个 x 的值， 不等式 f(x)>(2) ＋m 恒成立 1x ⇔f(x)－(2) >m 恒成立． 1x 令 g(x)＝f(x)－(2) ， 由(2)知，g(x)在[3,4]上是单调递增函数， 9 9 所以 m<g(3)＝－8，即 m 的取值范围是(－∞，－8)．
素材3
2．定义域为 R 的问题实质上是不等式恒成立问题，同 给定区间上的恒成立问题一样，一般转化为求函数的最值问 题．
素材2
1 若函数 f(x)＝loga(x －ax)(a>0 且 a≠1)在区间(－2， 0)内单
3
调递增，则 a 的取值范围是
3 {a|4≤a<1}
.
【解析】令 u＝x3－ax，u′＝3x2－a. 1 当 a>1 时，f(x)在(－2，0)内单调递增，必须 u′>0， 1 即 3x －a>0 在(－2，0)内恒成立，
1 2.已知 log7[log3(log2x)]＝0，那么 x－2等于( 1 A.3 C. 2 2 1 B. D. 1 2 3 1 3 3
)
【解析】log7[log3(log2x)]＝0⇒log3(log2x)＝1⇒log2x＝3 ⇒x＝8， 1 1 所以 x－2＝ ，故选 C. 2 2
3.(2011· 江苏卷)函数 f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间为 1 (－2，＋∞) .
【点评】 复合函数在单调区间内首先应考虑有意义； 复合函数 y＝logaf(x)的单调区间也是 y＝f(x)的单调区 间．常以这两点作为突破口解此类问题．
三
对数函数的综合问题
11－ax 【例 3】设 f(x)＝log2 为奇函数，a 为常数． x－1 (1)求 a 的值； (2)求证：f(x)在(1，＋∞)内单调递增； 1x (3)若对于[3,4]上的每一个 x 的值，不等式 f(x)>(2) ＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
理解对数的概念及其运算性质；了解对数 换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常 用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性 质，会画对数函数的图象；了解指数函数与对 数函数互为反函数．
1．对数
1 一般的，如果a x N (a 0且a 1)，那么数x叫做
① _______ ，记作② _____ ，其中a叫做对数的 ③ _____ ，N叫做④ __________ .
2
3 即 a<3x 恒成立，而 0<3x <4，
2 2
所以 a≤0，与 a>1 矛盾． 当 0<a<1 时，必须 u′<0， 1 即 3x －a<0 在(－2，0)内恒成立，
2
1 3 也即 a>3x ，x∈(－2，0)内恒成立，从而 a≥4，
2
13 1 1 且(－2) －a(－2)≥0，得 a≥4， 3 综上，a 的取值范围为{a|4≤a<1}．
1 又设 g(t)＝t ＋t＋a，则其对称轴为 t＝－2，
2
1 所以 t ＋t＋a＝0 在[2，＋∞)上无实根，
2
1 12 1 3 即 g(2)＝(2) ＋2＋a＞0，得 a＞－4. 3 所以 a 的取值范围是(－4，＋∞)．
备选例题
对于在区间[m， n]上有意义的两个|f(x)－g(x)|≤1，则称 f(x)与 g(x)在[m， n]上是接近的，否则称 f(x)与 g(x)在[m，n]上是非接近的．现有 1 两个函数 f1(x)＝loga(x－3a)与 f2(x)＝loga (a>0 且 a≠1)， 给 x－a 定区间[a＋2，a＋3]． (1)若 f1(x)与 f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上都有意义，求 a 的取值范围； (2)讨论 f1(x)与 f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是不是接近 的．
一
有关对数型函数的运算
2
2 【例 1】(1)计算：lg5 ＋3lg8＋lg5· lg20＋(lg2)2＝ 示)．
；
(2)已知 log89＝a,2b＝5，则 lg3＝____________(用 a，b 表
【解析】(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5· lg2＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5＋lg2)2 ＝2＋1＝3.
二
对数函数的图象与性质
1 2 【例 2】对于函数 f(x)＝log2(x －2ax＋3)． (1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数 a
的取值范围； (3)若函数 f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数 a 的 值； (4)若函数 f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数 a 的取值范围．
f(a)>f(－a)，则实数 a 的取值范围为( C ) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
1 【解析】若 a>0，则 log2a>log2a，即 2log2a>0， 所以 a>1； 1 若 a<0，则 log2(－a)>log2(－a)，即 2log2(－a)<0， 所以 0<－a<1， 即－1<a<0，所以 a 的取值范围为 a>1 或－1<a<0.
素材1
(1)(2012· 浙江上虞模拟)作为对数运算法则 lg(a＋b)＝lga ＋lgb(a>0，b>0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例 如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2；则对于所有使 lg(a＋b)＝lga＋ lgb(a>0，b>0)成立的 a，b 应满足函数 a＝f(b)表达式为 a＝ b (b>1) ； b－1 1 2 (2)设 2 ＝5 ＝m，且a－b＝1，则 m＝____.
(4)函数 f(x)在(－∞，1]上为增函数等价于(令 u(x)＝x2－ 2ax＋3)
ux在－∞，1]上为减函数 a≥1 ，则 ，解之得 u1>0 ux>0对x∈－∞，1]恒成立
1≤a<2. 即所求 a 的取值范围为[1,2)．
【点评】 1.解决对数问题，首先要看函数的定义域，在 函数定义域范围内研究函数的单调性．
③ log an b m log a b( a 0且a 1，m、n N* )．
3．对数函数 一般的，我们把函数⑭ __________ (a 0且a 1)叫做对数函数，其中x是自变量， 函数的定义域为⑮ _____ .
4. 对数函数的图象与性质
5.反函数指数函数 y＝a x (a 0且a 1)与对数函数y＝log a x(a 0且a 1) 指数函数y＝a x (a 0且a 1)的定义域为{x | x R}，值 域为 y | y 0，对数函数y＝log a x(a 0且a 1)的定义 域为 x | x 0，值域为{ y | y R}．
1 【解析】易知定义域为(－2，＋∞)；令 u＝2x＋1，u＝2x 1 ＋1 在 x∈(－2，＋∞)上单调递增，且 u>0，y＝log5u 在(0，＋ 1 ∞)上单调递增， f(x)＝log5(2x＋1)在(－2， 故 ＋∞)上单调递增．
4.(2011· 天津卷)已知 a＝log23.6，b＝log43.2，c ＝log43.6，则( A．a>b>c C．b>a>c ) B．a>c>b D．c>a>b
【解析】 因为 a>1，b、c 都小于 1，排除 C、D，又因 为 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增， 故 log43.2<log43.6，即 b<c，故 b<c<a.
log2x 5.(2011· 津 卷 ) 设 函 数 f(x) ＝ 1 天 log2－x
x>0 x<0 ，若
【分析】 定义域为自变量 x 的取值范围，值域为对应函数 值的集合，单调区间为定义域的子区间．
【解析】 (1)由 f(x)的定义域为 R， 则 x2－2ax＋3>0 的解集为 R， 则 Δ＝4a2－12<0，解之得－ 3<a< 3.
(2)由 f(x)在[－1， ＋∞)上有意义， u(x)＝x2－2ax＋3>0 知 对 x∈[－1，＋∞)恒成立， 因为 u(x)的对称轴为 x＝a， 所以当 a<－1 时，u(－1)>0，
【解析】(1)依题意 a>0 且 a≠1，
a＋2－3a>0 所以 ，解得 0<a<1， a＋2－a>0
a<－1 即 ，解得－2<a<－1； 2a＋4>0
当 a≥－1 时，Δ<0，即－ 3<a< 3，所以－1≤a< 3.
综上可得，a 的取值范围为(－2，－1)∪[－1， 3)＝(－2， 3)．
(3)因为 y＝f(x)≤－1，所以 u(x)＝x2－2ax＋3 的值域为 [2，＋∞)， 又 u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2， 即 u(x)min＝3－a2＝2， 解之得 a＝± 1.
M ② log a ⑫ ______ ； N ③ log a M n ⑬ ______ .
2 对数的换底公式及恒等式
log cb ① log a b (a 0且a 1，c 0且c 1，b 0)； log c a ②a
高考数学一轮复习学案 第9讲 对数函数（原卷版）
第9讲 对数函数（原卷版）考点内容解读要求 常考题型 1．对数函数的图像和性质 理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用 对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式． 两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做 。
2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为 ，值域为 ．（2）图象：由于对数函数是指数函数的 ，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。
2013届高考数学一轮总复习 第9讲 对数与对数函数课件 文 新课标
2 以10为底的对数叫做⑤ _______ ，记作⑥ ______. 3以e为底的对数叫做⑦ ________ ，记作⑧ ______. log log 4 负数和零没有对数； a 1 ⑨ ____ ， a a ⑩ ____ .
2．对数的运算性质
1 如果a 0且a 1，M 0，N 0，那么 ① log a M N ⑪ ______ ；
素材1
(1)(2012· 浙江上虞模拟)作为对数运算法则 lg(a＋b)＝lga ＋lgb(a>0，b>0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例 如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2；则对于所有使 lg(a＋b)＝lga＋ lgb(a>0，b>0)成立的 a，b 应满足函数 a＝f(b)表达式为 a＝ b (b>1) ； b－1 1 2 (2)设 2 ＝5 ＝m，且a－b＝1，则 m＝____.
1 又设 g(t)＝t ＋t＋a，则其对称轴为 t＝－2，
2
1 所以 t ＋t＋a＝0 在[2，＋∞)上无实根，
2
1 12 1 3 即 g(2)＝(2) ＋2＋a＞0，得 a＞－4. 3 所以 a 的取值范围是(－4，＋∞)．
备选例题
对于在区间[m， n]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x)，
2．定义域为 R 的问题实质上是不等式恒成立问题，同 给定区间上的恒成立问题一样，一般转化为求函数的最值问 题．
素材2
1 若函数 f(x)＝loga(x －ax)(a>0 且 a≠1)在区间(－2， 0)内单
3
调递增，则 a 的取值范围是
3 {a|4≤a<1}
.
【解析】令 u＝x3－ax，u′＝3x2－a. 1 当 a>1 时，f(x)在(－2，0)内单调递增，必须 u′>0， 1 即 3x －a>0 在(－2，0)内恒成立，
高考数学一轮复习：2.6对数与对数函数课件(文) (共54张PPT)
易错剖析
误用对数运算法则．
3 9 1－1 2 (1)log34－log34＋3 ＝________.
3 9 1 1 解析：原式＝log 4÷ ＋ 3 ＝ log 3 ＋3＝－1＋3＝2. 4 3
3
易错剖析
4 (2)(log29)· (log34)＝________.
2 (lg 2)2＋lg 2· lg 50＋lg 25＝________.
1
典例精析
2 1 1 [解析] log2 2 ＝log2 2－log22＝2－1＝－2； 2log23＋log43＝2 log23· 2 log43＝3×2 log43 ＝3×2
log2 3
＝3 3.
(lg 2)2＋lg 2· lg 50＋lg 25 ＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
对数函数常见两误区：概念；性质． x－3 {x |x>3或x <－2} ， (1)函数 f(x)＝lg 的定义域是_________________ 函数 x＋2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①
②
③
知识梳理
3．同一坐标系内不同底数的对数曲线的排列规律是： 第一象限内，随着底数的逐渐变大，对应的对数函数的图象 越靠右边，所谓“底大图右”．
教材链接
(－ 1，＋∞) (1)[教材习题改编]函数 y＝log2(x＋1)的单调递增区间是 ________ ．
解析：由 x＋1>0 得 x>－1，且函数 y＝log2x 在定义域内是 增函数，所以原函数的单调递增区间是(－1，＋∞)．
高考复习方案数学文科一轮复习课件(人教A版)第9讲 对数与对数函数
－log
4
2
1 ＝8· 2 24＝8·＝2. 4
log 1
第9讲 │ 要点探究
(3)解法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故 a2m＋n＝(am)2· an＝4× 3＝12. 解法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2+loga3＝aloga12＝12.
7 ＋ log212 － log2 42 － log22 ＝ 48
[ 解 析 ] (1) 原 式 ＝ log2 log2
3 7× 12 1 3 ＝log2 ＝log22 2＝－ . 2 48× 42× 2 2 2
第9讲 │ 知识梳理
3．对数函数的图象及性质
第9讲 │ 知识梳理
(0，＋∞) (－∞，＋∞) (1,0)
x>1 0<x<1
y>0
x>1 0<x<1
y<0
(0，＋∞)
(0，＋∞)
第9讲 │ 知识梳理
4.指数函数与对数函数的关系 对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)与指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)
第9讲 │ 问题思考
[答案]错
[ 解析 ] 在第一象限，图象从左到右相应的底数由小变 大；在第四象限，图象从左到右相应的底数由大变小．
第9讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1
例1
对数式的化简与求值
lg2＋lg5－lg8 (1)化简： ； lg50－lg40
(2)化简：23＋log0.54； (3)已知 loga2＝m，loga3＝n，求 a2m
第9讲 │ 对数与对数函数
第 9讲
(文理通用)高三数学一轮复习2.5对数函数课件
(2)(2014·南京模拟)已知实数a>0,f(x)=
x2
lo g 1
2
2ax x,x
,x 1.
1,
若方
程f(x)=- 3 a2有且仅有两个不等实根,且较大实根大于2,则实
4
数a的取值范围是
.
【解题视点】(1)根据条件将b用a表示,进而根据f(x)=ax与
g(x)=-logbx的解析式关系确定图象. (2)作出函数y=f(x)+ 3 a2的图象,数形结合求解.
1
N a lo g a N
logaM+logaN
M logaM-logaN N nlogaM
3.对数函数的定义、图象与性质 y=logax
(0,+∞) R
y<0 y>0
增函数
(1,0) y>0
y<0 减函数
4.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数_y_=_l_o_g_ax_(a>0,且a≠1) 互为反函数,它们的图象关于直线_y_=_x_对称.
所以m2=10,m=1 0 .
答案: 1 0
3.已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n. 【解析】因为loga2=m,loga3=n, 所以am=2,an=3, 所以a2m+n=(am)2·an=22×3=12.
考点2 对数函数的图象及其应用 【典例2】(1)(2014·大连模拟)已知lga+lgb=0(a>0且 a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能 是( )
log 1 x的图象向上平移 3 个a 2 单位而得,
2
4
高考数学一轮复习对数函数-教学课件
出 a,b 的值,代入后,利用对数运算法则求解.
解析:(1)原式=2lg 2 ·lg 2 +lg 2 lg 5
2
+ lg 2 1
=lg 2 (lg 2+lg 5)+1-lg 2 =lg 2 +1-lg 2
=1.
(2)法一 原式=( lg 2 + lg 2 )·( lg 3 + lg 3 )
lg 3 lg 9
高考数学一轮复习对数函数-教学课件
第 5 节 对数函数
基础梳理 考点突破
基础梳理
1.对数
(1)对数的定义 ①
a(a>0,a≠1) x
N(N>0)
抓主干 固双基
知识整合
指数式 ax=N 底数 指数 幂
对数式 x=logaN
底数 对数 真数
②以 10 为底的对数叫做常用对数,把 log10N 记为 lg N, 以无理数 e=2.71828…为底数的对数称为自然对数,把 logeN 记为 ln N. (2)对数的常用关系式(a,b,c,d 均大于 0 且不等于 1): ①loga1=0. ②logaa=1. ③对数恒等式: alog aN =N. ④换底公式:logab= logc b .
备选例题
【例 1】 已知 a= 5log2 3.4 ,b= 5log4 3.6 ,c= 1 log3 0.3 , 5
则( )
(A)a>b>c (B)b>a>c
(C)a>c>b (D)c>a>b
解析:c=
1 5
log3 0.3
=
5 log3 0.3
=
10
5log3 3
高考数学一轮复习考点知识专题讲解9---对数与对数函数
高考数学一轮复习考点知识专题讲解对数与对数函数考点要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)． (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 3．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝nmlog a b . 2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点． 答案(3,2) 解析∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案4解析(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4. 3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝. 答案12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一 对数式的运算例1(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于()A.10B ．10C ．20D ．100 答案A解析2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋212log 2－log 5150－log 514＝. 答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋12log (2)2＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝.答案6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ， 所以b 2b＝2b b ，即2b ＝b 2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以a＋b＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案A解析由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b)，由函数图象可知－1<log a b<0，解得1a<b<1.综上有0<1a<b<1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为() A ．e 2＋ln2B ．e ＋ln2 C ．2D ．4 答案C解析根据题意，已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为函数y ＝e x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标， 则两个函数图象的交点为(x 1，1e x )，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为函数y ＝ln x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案D解析结合已知函数的图象可知，f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3 答案D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1比较指数式、对数式大小 例3(1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则() A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b 答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则() A ．b <c <a B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 答案C解析因为a ，b ，c 都是正数， 所以1a＝log 36＝1＋log 32，1b ＝log 612＝1＋log 62，1c＝log 1224＝1＋log 122，因为log 32＝lg2lg3， log 62＝lg2lg6，log 122＝lg2lg12，且lg3<lg6<lg12，所以log 32>log 62>log 122， 即1a >1b >1c，所以a <b <c .命题点2解对数方程不等式例4若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1， ∴⎩⎨⎧a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎨⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数性质的应用 例5已知函数f (x )＝ln 2x ＋12x －1，下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )为奇函数； ②f (x )为偶函数；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增．答案①③解析f (x )＝ln 2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1>0，解得x >12或x <－12，∴f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞， 又f (－x )＝ln－2x ＋1－2x －1＝ln2x －12x ＋1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x －1－1＝－ln2x ＋12x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故①正确，②错误； 又f (x )＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x －1， 令t ＝1＋22x －1，t >0且t ≠1，∴y ＝ln t ， 又t ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故③正确；又f (x )为奇函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，故④不正确．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a 答案B解析∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1，∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为() A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减， 则有⎩⎨⎧g (1)>0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是() A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b 答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ≥2，－log a x －4，0<x <2存在最大值，则实数a 的取值范围是．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析当a >1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意， 故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2； 当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4， 则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2， 即1a 2≥2,0<a ≤22， 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，22.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b 答案D解析a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ， 所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案A解析函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①②B．①④C．②③D．③④答案C解析由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y＝0得log a(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，∴0<c<1.4．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10lg II0 (单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是()A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5) 答案C解析由题意可得，0≤10·lg II 0<50， 即0≤lg I －lg(1×10－12)<5， 所以－12≤lg I <－7， 解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)． 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a >12log a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.6．(2022·汉中模拟)已知log 23＝a ,3b ＝7，则log 2156等于()A.ab＋3a＋abB.3a＋ba＋abC.ab＋3a＋bD.b＋3a＋ab答案A解析由3b＝7，可得log37＝b，所以log2156＝log3(7×23)log3(3×7)＝log37＋log323log33＋log37＝b＋3×1a1＋b＝ab＋3a＋ab.7．(2022·海口模拟)log327＋lg25＋lg4＋7log27＋13(8)-的值等于．答案7 2解析原式＝log3323＋lg52＋lg22＋2＋133(2)⨯-＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝32＋2＋2＋(－2)＝7 2 .8．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．答案(4，－1)解析令x －3＝1，则x ＝4， ∴y ＝log a 1－1＝－1， 故点P 的坐标为(4，－1)．9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值． 解(1)因为f (x )＝log 2(a x－b x)， 且f (1)＝1，f (2)＝log 212， 所以⎩⎨⎧log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎨⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )， 令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4， 所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增， 所以y max ＝log 212＝2＋log 23， 即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解(1)f (x )是奇函数，证明如下： 因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 所以⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1， 故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则() A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则() A ．z >x >y B ．z >y >x C ．x >y ，x >z D ．z >x ，z >y 答案D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0， 则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ， 根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ， 4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．函数f (x )＝log 2x ·2x )的最小值为． 答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.14．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，∴0<a<1，b>1且ab＝1，∴a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取等号．又0<a<b，故a＋b>2.15．(2022·贵阳模拟)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3ba＝f(a)，＝3a＋log3∴2b>a.16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．解(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，(2x－4)>2，得log2得2x－4>4，得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，所以f(0)＝1，即log(1＋k)＝1，2解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，(2x＋1)＝x－2m有实根．即log2所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x有实根．令g(x)＝log2(2x＋1)－x，则g (x )＝log 2(2x＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x .因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)． 所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。
高考数学一轮复习 专题09 对数与对数函数教学案 文-人教版高三全册数学教学案
专题09 对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图 象性质(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0(5)当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．高频考点一 对数式的运算例1、(1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________．【答案】 (1)A (2)－20【方法规律】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．(3)a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．【变式探究】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2) lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________．【解析】 (1)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.(2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1. 【答案】 (1)A (2)－1高频考点二 对数函数的图象及应用例2、(1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是________．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点． 【答案】 (1)B (2)a >1【方法规律】(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【变式探究】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 【答案】 (1)C (2)B高频考点三 对数函数的性质及应用例3、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c<bcD ．c a >c b【解析】 由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C 、D 不正确． ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定． 【答案】 B【方法规律】(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数【解析】式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数．∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 高频考点四 和对数函数有关的复合函数 例4、已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．(2)t(x)＝3－ax ，∵a>0，∴函数t(x)为减函数． ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat 为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a ，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a>0，loga 3－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a<32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【变式探究】(1)设a ＝log32，b ＝log52，c ＝log23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>aD ．c>a>b(2)若f(x)＝lg(x2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值X 围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) (3)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12－x ，x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 【答案】 (1)D (2)A (3)C⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A. (3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12－a >log2－a ，解得a>1或－1<a<0.高频考点五、比较指数式、对数式的大小例5、(1)设a ＝，b ＝0.30.5，c ＝log0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<a<cD ．a<c<b(2)设a ＝log2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( ) A ．a>b>c B ．b>a>c C ．a>c>bD ．c>b>a(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b由图象知：log23.4>log3103>log43.6.方法二 ∵log3103>log33＝1，且103<3.4，∴log3103<log33.4<log23.4.∵log43.6<log44＝1，log3103>1，∴log43.6<log3103.∴log23.4>log3103>log43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴52log 3.4>310log 35>54log 3.6.即52log 3.4>3log 0.31()5>54log 3.6，故a>c>b.【答案】 (1)C (2)C (3)C【感悟提升】(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.【2016·某某卷】已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．【答案】 4 2【2015高考某某，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【2015高考某某，理12】若4log 3a =，则22aa-+=．【答案】334. 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=aa，∴33431322=+=+-aa . （2014·某某卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2014·某某卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )图11A BC D 【答案】B【解析】由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确．（2014·某某卷）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________． 【答案】50（2014·某某卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .（2014·某某卷）函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.（2014·某某卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．【答案】－14【解析】f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－14. （2013·某某卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x <12，解得x<－lg 2.（2013·某某卷）定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ； ②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b≥1，ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b2， 又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b，a ，b 至少有1个大于1，∴ln a ＋b 2≤ln a 或ln a ＋b 2≤ln b，即有ln＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝lna ＋b 2≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确． （2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 【答案】D【解析】a －b ＝log 36－log 510＝(1＋log 32)－(1＋log 52)＝log 32－log 52>0， b －c ＝log 510－log 714＝(1＋log 52)－(1＋log 72)＝log 52－log 72>0， 所以a>b>c ，选D.（2013·某某卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y)＝2lg x·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy)＝2lg x ＋lg y＝2lgx 2lgy，故选择D.1．设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( ) A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A2．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c【解析】 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c＝log 32<log 33＝1. 【答案】 B3．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )【解析】 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故选B. 【答案】 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72【解析】 由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5. 【答案】 A5．知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0【答案】 D7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b【解析】 函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)为增函数，∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a . 【答案】 B8．已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值X 围是________．【解析】 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，149．设f (x )＝log ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值X 围是________．【答案】 (－1，0)10．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________． 【解析】 由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·l og 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32. 【答案】 3211．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．13．设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2，8]，∴a ∈(0，1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.。
高三一轮对数与对数函数
1 即 logaa ≤loga ≤logaa， 3
－1
1 即当 a>1 时，得 a ≤ ≤a，即 a≥3； 3
－1
1 1 当 0<a<1 时，得 a ≥ ≥a，得 0<a≤ . 3 3 1 0， ∪[3，＋∞)． 综上所述，a 的取值范围是 3
－1
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2014 ·新课标高考总复习 ·数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练
1 [解析] 由函数 y＝f(x)的图象知，当 x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以 log 2 1 f(x)≤0.又函数 f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以 y＝log 2 f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．结合各选项知，选 C.
3 答案： e
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考向二 对数函数的图象与性质 [例 2] (2013 年南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝ 1 log f(x)的图象大致是( 2 )
[解析] ∵f(x)＝logax，
1 1 f －|f(2)|＝loga ＋loga2 当 0<a<1 时， 3 3
2 ＝loga >0， 3
1 1 当 a>1 时，f3 －|f(2)|＝－loga －loga2 3
高考数学一轮复习对数与对数函数课件文
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 对数函数的图象及其应用 【例 2】 (1) (2014·福建卷)若函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的 图象如图所示，给出下列函数图象：
基础诊断
考点突破
课堂总结
•其中正确的是________(填序号)．
•(2)(2015·石家庄模拟)设方程10x＝|lg(－x)|的两 个根分别为x1，x2，给出下列关系：①x1x2＜0； ②x1x2＝1；③x1x2＞1；④0＜x1x2＜1. •其中正确的是________(填序号)．
• 2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底 数的取值范围.
基础诊断
考点突破
课堂总结
• ①0＜a－1＜b＜1；②0＜b＜a－1＜1；③0＜ b－1＜a＜1；④0＜a－1＜b－1＜1.
基础诊断
考点突破
课堂总结
解析 由函数图象可知，f(x)在 R 上单调递增，故 a＞1.函数 图象与 y 轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1＜ logab＜0，解得1a＜b＜1.综上有 0＜1a＜b＜1.
基础诊断
考点突破
课堂总结
• [思想方法]
• 1．研究对数型函数的图象时，一般从最基本 的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对 称变换得到．特别地，要注意底数a＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助 于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形 结合思想的重要体现．
基础诊断
考点突破
课堂总结
基础诊断
考点突破
课堂总结
•规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小 或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的