黄冈中学试题

黄冈中学数学高考模拟试题（一）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知0[∈x ,]π2，如果x y cos =是增函数，且x y sin =是减函数，那么（ ）．A ．2π0<<x B ．π2π<<x C ．23ππ<<x D ．π223π<<x 2．已知映射f ：A B →，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：y x x 22+-=，对于实数B k ∈，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是（ ）．A ．1>kB ．1≥kC ．1<kD ．1≤k3．若不等式组⎩⎨⎧<->-ax a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．（-1，3）B ．[-3，1]C ．[-1，3]D ．（-∞，-1） （3，＋∞） 4．已知1)(+=bx x f 为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且=)(n g⎩⎨⎧≥-=，，)1()]1([)0(1n n g f n 设)1()(--=n g n g a n )(*N ∈n ，则数列}{n a 为（ ）． A ．等差数列 B ．等比数列 C ．递增数列 D ．递减数列5．已知直线l ，m 与平面γβα，，满足ααγβ⊂=m l l ，，// ，α⊂m 和γ⊥m ，那么必定有（ ）．A ．γα⊥且m l ⊥B ．γα⊥且β//mC ．β//m 且m l ⊥D ．βα//且γα⊥ 6．在复平面上，到复数i 331+-对应点F 的距离与到直线l ：0233=++z z 的距离相等的点的轨迹是（ ）．A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线 7．已知ξ的分布列为且设12+=ξη，则η的期望值是（ ）．A ．32 B ．61- C ．1 D ．3629 8．做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的铁架框，在下列四种长度的铁管中，最合理（够用，又浪费最少）的是（ ）．A ．4.6米B ．4.8米C ．5米D ．5.2米9．有一个各条棱长约为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠．那么包装纸的最小边长为（ ）． A ．a )262(+ B ．a )62(+ C ．a )31(+ D ．a )231(+ 10．已知函数)(x f y =（x ∈R ）满足)1()1(-=+x f x f ，且x ∈[-1，1]时，2)(x x f =,则)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．511．该圆C 过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，且圆心在该双曲线上，则 圆心到该双曲线的中心的距离是（ ）．A ．34 B ．1034 C ．316D ．5 12．设函数3)(x x f =（x ∈R ），若2π0≤≤θ时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．（0，1）B ．（-∞，0）C ．-∞(，)21D ．-∞(，)1二、填空题（每小题4分，共16分）13．若点α(cos P ，)sin α在直线x y 2-=上，则αα2cos 22sin +＝________． 14．一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A ：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球．那么事件A 发生的概率为________．15．在圆x y x 522=+内，过点25(，)23有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差61(∈d ，)31，那么n 的取值集合为________．16．P -ABCD 是棱长均为a 的正四棱锥，则由侧面△PAD 的中心1O 沿表面走到相对侧面△PBC 的中心2O 的最短距离等于________．三、解答题（第17～21题每题12分，第22题14分，共74分） 17．设向量a ＝（cos23°，cos67°），b ＝（cos68°，cos22°），u ＝a ＋t b （t ∈R ）． （1）求a ·b ；（2）求u 的模的最小值． 18．（注意：考生在甲、乙两题中选一题作答，若两题都答，只以甲题计分）（甲）如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 是PB 的中点，与AE 夹角的余弦值为33．（1）建立适当的空间坐标系，写出点E 的坐标； （2）在平面P AD 内求一点F ，使EF ⊥平面PCB ．（乙）如图所示，已知直三棱柱111C B A ABC -中，ACB ∠＝90o ，侧面1AB 与侧面1AC 所成的二面角为60°，M 为1AA 上的点，=∠11MC A30°，=∠1CMC 90°，a AB =．（1）求BM 与侧面1AC 所成角的正切值； （2）求顶点A 到面1BMC 的距离．19．已知椭圆的焦点是3(1-F ，)0和3(2F ，)0，离心率为23=e ． （1）求椭圆上的点到直线0832=++y x 距离的最大值； （2）若P 在椭圆上，3221=⋅PF PF ，求△21F PF 的面积．20．}{n a 和}{n b 分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合21{a A =，22a ，23a ，…，}2n a ，1{b B =，2b ，3b ，…，}n b ．求证：≠⊂B A ．21．某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时)204(≤≤v 从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以匀速ω千米/时)10030(≤≤ω自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4时至9点到达C 市．设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x 、y 小时． （1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；（2）如果已知所要的经费)8(2)5(3100y x p -+-+=⋅⋅（元），那么v 、ω分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？22．已知)(x f 是定义在1[-，0()0 ，]1上的奇函数，当1[-∈x ，]0时，212)(x ax x f +=（a 为实数）． （1）当0(∈x ，]1时，求)(x f 的解析式；（2）若1->a ，试判断)(x f 在[0，1]上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当0(∈x ，]1时，)(x f 有最大值6-．参考答案1．C 2．A 3．A 4．B 5．A 6．D 7．A 8．C 9．C 10．C 11．C 12．D 13．52-14．30715．{4，5，6} 16．a 17．a ＝（cos23°，sin23°），b ＝（cos68°，sin68°）， （1）a ·b ＝ cos23°cos68°＋sin23°＋sin68°＝ cos45°＝22． （2）a 2＝2cos 23°＋2sin 23°）＝1，b 2＝2cos 68°＋2sin 68°＝1，|u |2＝u 2＋（a ＋t b ）2＝a 2＋2t b 2＋2t a ·b ＝21)22(2122++=++t t t ，所以当22-=t 时，|u |22min =18．（甲）（1）如题图以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系⇒A （2，0，0）、B （2，2，0），C （0，2，0），设P （0，0，2m ）⇒E （1，1，m ），则=（-1，1，m ），=（0，0，2m ），133211222=⇒=++=⋅m mm m ，所以E 点的坐标是（1，1，1）．（2）∈F 平面P AD ，可设x F (，0，)z 1(-=⇒x EF ，1-，)1-z ，⊥EF 平面1(-⇒⊥⇒x PCB ，1-，2()1⋅-z ，0，10)0=⇒=x ．则1(-⇒⊥x ，1-，0()1⋅-z ，2，)2-00=⇒=z ，所以点F 的坐标是（1，0，0），即点F 是DA 的中点．（乙）（1）三棱柱111C B A ABC -为直棱柱，BAC ∠为二面角111C AA B --的平面角，所以=∠BAC 60°，又=∠ACB 90°．⊥BC 侧面1AC ．连接MC ，则MC 是MB 在侧面1AC 上的射影．所以BMC ∠为BM 与侧面1AC 所成的角．又=∠1CMC 90°，=∠11MC A 30°，所以=∠AMC 60°．设m BC =，则m AC 33=，m MC 32=．所以23tan =∠BMC ．（2）过A 作MC AN ⊥．垂足为N ，因为1//MC AN ，所以//AN 面1MBC ．面1M B C M B C ⊥，过N 作MB NH ⊥，垂足为H ，则NH 是N 到面1MBC 的距离，也即A 到1MBC 的距离．a AB =，2a AC =，且=∠ACN 30°，可得4aAN =，且=∠AMN 60°．所以a MN 123=．a a BMC MN NH 5239133123sin =⨯=∠=⋅．说明：本题（2）亦可利用11AMC B MBC A V V --=来求解19．设椭圆12222=+b y a x ，半焦距为c ，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==．b a b a a ac c 14322332422，，，椭圆方程为1422=+y x ．设椭圆上的点为θcos 2(P ，)sin θ．P 到直线0832=++y x 的距离131313138)sin(5138sin 3cos 4=≤++=++=ϕθθθd ，当且仅当1)sin(=+ϕθ时取“＝”（其中34tan =ϕ），椭圆上的点到直线0832=++y x 的最大值为13． （2）2121|PF PF ⋅⋅=32=，又2221221||||||PF PF F F += ||21PF-2||PF ⋅，4||||21=+PF PF ，即||)||(|12221PF PF +=21|||2PF ⋅-212134||||232||||216232PF PF PF PF ⇒=⇒=-=-⋅⋅⋅⋅，212=PF ⇒，23=，21||||21PF PF S ⋅=∆33233421==⋅⋅ 20．证明：等比数列}{n a 中，⎩⎨⎧=+=;90120424a a S ，当1≠q 时，⎪⎩⎪⎨⎧=+=--,90,1201)1(31141q a q a q q a 化简得0342=+-q q ，所以3=q ，31=a ，nn a 3=，等差数列}{n b 中，⎩⎨⎧=+=，，3460424b b S ' ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=⨯+，，343602344111d b d b d b 解得⎩⎨⎧==，，491d b 所以54+=n b n ．19{=A ，29，39，…，}9n， B ＝{9，13，17，…，4n ＋5}．设A 中任意元素为)(9*N ∈k k，则需证k9是B 中的一个元素，设其为)(54*N ∈+m m ，则需证549+=m k，即)(459*N ∈-=m m k ，则需证59-k 是4的倍数．因为111885)18(59--+++=-+=-k k k k k k k C C 118858-+=-+⋅k k k k k C C481-++⋅-k k C ，所以以上多项式各项都是4的倍数，59-k 能被4整除．所以集合A中的任意元素都是B 中的元素，又B ∈13，A ∉13，所以≠⊂B A 21．（1）依题意得yv 50=，x 300=ω，204≤≤v ，10030≤≤ω，所以103≤≤x ，22525≤≤y ……①．由于汽车、摩托艇所需要的时间和y x +应在9至14时之间，即149≤+≤y x ……②．因此，满足①、②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）．（2）)8(2)5(3100y x p -+-+=⋅⋅，p y x -=+13123．设k p =-131，那么当k 最大时，p 最小．在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为23-的直线k y x =+23中，使k 值最大的直线必通过点（10，4）．即当10=x ，4=y 时，p 最小．此时，5.12=v ，30=ω，p 的最小值为93元22．（1）设0(∈x ，]1，则1[-∈-x ，)0，212)(x ax x f +-=-，)(x f 是奇函数，则212)(xax x f -=，0(∈x ，]1； （2）)1(222)(33x a x a x f +=+='，因为1->a ，0(∈x ，]1，113≥x，013>+x a ，即0)(>x f '，所以)(x f 在0[，]1上是单调递增的．（3）当1->a 时，)(x f 在0(，]1上单调递增，25)1()(max -=⇒==a a f x f （不含题意，舍去），当1-≤a ，则0)(=x f '，31a x -=，如下表)1()(3max af x f -=0(22226∈=⇒-=⇒-=x a ]1，所以存在22-=a 使)(x f 在0(，]1上有最大值6-．。