第22讲 正弦稳态电路的功率

u i
为电压u超前于电流 i 的相位差。
1. 瞬时功率 (instantaneous power)
p(t ) ui 2U cos( t u ) 2I cos( t u )
UI cos UI cos(2t 2 u )
2
p(t) UI cos UI cos(2t 2 u )
Hale Waihona Puke Q 的单位：Var (乏，即无功伏安）
电阻 =0°
电感 = 90°
sin 0 QR 0
sin 1 QL UI 2 U / L
sin 1 Q UI 2 U C
结论： 电阻无功功率等于零，电感无功功率大于 零，电容无功功率小于零，说明电感和电容与外 界有能量交换。 6
7
有功，无功，视在功率的关系： 有功功率: P=UIcos 单位：W
U

UR
UX
无功功率: Q=UIsin 视在功率: S=UI
单位：var 单位：VA
2
电压三角形
Z
S P Q
2
º +

R
X
_ + UR
R +
阻抗三角形
S

P
Q
U
_ º
U X
_
X
功率三角形
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例 已知：电动机 PD=1000W，U=220V，f =50Hz，C =30F，cosD=0.8(滞后）。求负载电路的功率因数。 解： + I P I C 1000 ID 5.68A U D C Ucos D 220 0.8 _
当 Z Zo R X
2 o 2 o
2 2 Z Z o Ro Xo
时，负载获得最大功率为： 称为模匹配
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2 U oc cos Pm 2 Z o [1 cos( o )]
三、 多频电路的平均功率 电路分析中, 常会遇到几个不同频率的电源作用于电路 的情形, 这时电流、 电压的分析计算可用叠加定理。 由叠加定理知 , 通过电阻 R 的 电流 i是电源 uS1与uS2单独作用产 生的电流i1与i2的叠加, i(t) = i1(t)+ i2(t) p(t) = R［ i1(t)+ i2(t)］2 = Ri21(t)+R i22 (t)+2R i1 (t) i2(t) 一般对所有的时 间t, i1(t) i2(t)≠0, 故p(t) ≠ p1(t) + p2(t), 即叠加定理 不适用于计算瞬 时功率。 20
电阻 =0° 电感 = 90° 电容 = -90°
cos 1 P UI
cos 0 P0
cos 0 P0
结论：电阻消耗有功功率，
而电容和电感不消耗有功功率。
5
3.无功功率Q
定义：
Q
def
UI sin 1 U m I m sin 2
电容 = -90°
o o
9
5 复功率
记
~ * 为复功率，单位VA S U I
j u
+
I
Ue U j i I Ie j i * 的共轭值 电流相量 I I Ie ~ * S UI UI(u i ) UI UIc o s j U I s in
U
_
负 载
P jQ j Se
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复功率守恒
~ Sk 0
k 1 b
b
U
k 1
b

k
Ik 0

*
(P
k 1
k
jQk ) 0
b Pk 0 k 1 b Qk 0 k 1
* 复功率守恒 , 不等于视在功率守恒 .

2 U oc cos
Zo Z 2 Z o cos( o ) Z
2
18
P
2 U oc cos
Zo Z 2 Z o cos( o ) Z
2
2
Zo Uoc
i
+ + u - -
Z
Zo 显然, 当 Z 最小时, P最大。 Z
Zo 2 令 d Z0 dZ Z 即：
2吸
电流源
~ * o S发 I S I1 Z1 10 8.77(105.3 )(10 j25) 1885 j1423 VA
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6. 功率因数的提高
并联电容
1 2 I
I L
I C
U
分析:
+
U
I
I C
R
I L
再从功率这个角度来看 : 有功功率：P=UIL cos1 =UI cos2 无功功率：Q=UILsin1 > UIsin2 视在功率：S=UIL>U I
I
U oc ( Ro R) ( X o X )
2 2
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负载吸收的功率为：
U R P I R ( R RO )2 ( X O X )2
2
2 oc
Zo
Uoc
i
在R一定，仅调节X时，则
+ + u - -
Z
U R 当X X o时, Pm ( Ro R)2 在X X o条件下 , 若再调节 R, 则 2 U oc 当R Ro时, Pmm 4 Ro
_
解二：
100 o I 1
5 j15 8.77( 105.3 o ) 10 j25 5 j15
A
I I 14.9434.5o A I 2 S 1 ~ 2 * 2 S1吸 UI1 I1 Z1 8.77 (10 j25) 769 j1923 VA ~ 2 * 2 S UI 2 I 2 Z2 14.94 (5 j15) 1116 j3348 VA
一般情况下：
S Sk
k 1
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b
例. 已知如图，求各支路的复功率。
I 2
+
10∠0o A
U
I 1
10W j25W
5W -j15W
_
解一： 100o [(10 j 25) //(5 j15)] 236(37.1o ) V U
电流源: ~ o o S发 236(37.1 ) 100 1882 j1424 VA
= p1(t)+p2(t)+2R i1 (t) i2(t)
下面讨论平均功率, i1(t) =Im1cos(ω1t+1) i2(t) = Im2 cos(ω2t+2) 且ω1 / ω2 = T2 / T1 =m/n为有理数，则令
T mT1 nT2 (公 共 周 期 ) 2 ( 称 为 基 波 角 频 率 ) T 则1 m , 2 n 1 T 1 T P p(t )dt [ p1 (t ) p2 (t ) 2 Ri1 (t )i2 (t )]dt T 0 T 0 T 2 R P1 P2 i1 (t )i2 (t )dt T 0
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T 2 R P P1 P2 i1 (t )i2 (t )dt coscos = [cos(α + β） + cos(α - β）] T 0 2 2 R T i (t )i (t )dt 2 R I I T cos(mt ) cos(nt )dt 1 2 T 0 1 2 T m1 m 2 0
p>0, 电路吸收功率
p<0，电路发出功率
3
2. 平均功率 (average power)P：又称有功功率
def 1 定义： P T
对于正弦量：

T
平均功率单位：
0
pdt
瓦（W） =0
T T 1 1 P UI cosdt UI cos(2t 2 u )dt T 0 T 0
cos D 0.8(滞后） D 36.9

I D
o 设 U 2200 5.68 36.9o I D jC 2200o j2.08 I C o I I I 4.54 j1.33 4.73 16.3
D C
cos cos[0 (16.3 )] 0.96 (滞后)
~ I * U 2Y * 2362 ( 1 )* 768 j1920 VA S1吸 U 1 1 10 j 25
~ * 2 * S2吸 UI 2 U Y2 1113 j3345 VA
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I 2
+ 10∠0o A
U
I 1
10W j25W
5W -j15W
4. 视在功率(表观功率)S 定义： S
def
1 UI U m I m 2
单位 : VA (伏安)
反映发电机、变压器等电气设备的容量。 例如某变压器的容量为560 kVA。如果负载是纯电阻, 则λ=cosθ= 1, 其传输功率为560 kW ; 如果负载是感 性 的 , 譬 如 λ=cosθ=0.5 时 , 它 所 传 输 的 有 功 功 率 为 280kW 。所以这类设备只能用视在功率 S 来衡量其容 量。
1 2 ) RI m1 I m 2 cos( 0
mn mn
对于同频率的正弦量 , 其平均功率不能叠加计算 ; 若m ≠ n,则平均功率P = P1 + P2, 可以叠加计算。
推广以上结论可知, 多个不同频率(各频率之比为有 理数 )的正弦电流 (或电压 )形成的总平均功率等于每个 正弦电流 ( 或电压 ) 单独作用时所形成的平均功率之和。