拉普拉斯逆变换
信号与系统-拉普拉斯逆变换
s+2 例5.3-4 求 F (s ) = 2 的原函数 f (t ) 。 s + 2s + 2
解： Q A
(s ) = s
2
+ 2 s + 2 = (s + 1 − j )(s + 1 + j )
K1 K2 ∴ F ( s) = + s +1− j s +1+ j
∴ K 1 = ( s + 1 − j ) F ( s ) s = −1+ j 1 j 1 −1+ j + 2 e = = − = −1+ j +1+ j 2 2 2
−j
π
4
K 2 = ( s + 1 + j ) F ( s ) s = −1− j
cos(β t + θ1 )ε (t )
3π 2e cos t + ε (t ) 4
−t
s1 = − + jβ α
π f (t ) = 2 − e + cos t + + 2
−t
[
]
F 有重极点（特征根为重根） 2、 (s ) 有重极点（特征根为重根） 、
重根， 如果 A(s ) = 0 在 s = s1 处有 γ 重根，即
特征根可能是实根（含零根）或复根（含虚根）； 特征根可能是实根（含零根）或复根（含虚根）； 可能是单根，也可是重根。 可能是单根，也可是重根。 下面分两种情况来讨论: 下面分两种情况来讨论 有单实极点； 有单实极点； 1、F (s ) 有单极点 、 有共轭单极点 共轭单极点 （复极点） 复极点） 2、F (s ) 有重极点 、 有重实极点； 有重实极点； 有重复极点； 有重复极点；
信号与系统-拉普拉斯逆变换
]
K 4 = ( s + 2 ) F ( s ) s = −2 = − 1
2 1 1 1 ∴ F ( s) = − + − 3 2 ( s + 1) ( s + 1) s+1 s+ 2
K1 K2 ∴ F ( s) = + s +1− j s +1+ j
∴ K 1 = ( s + 1 − j ) F ( s ) s = −1+ j 1 j 1 −1+ j + 2 e = = − = −1+ j +1+ j 2 2 2
−j
π
4
K 2 = ( s + 1 + j ) F ( s ) s = −1− j
r
d r K 12 = [( s − s1 ) F ( s )] ds s = s1 1 d k13 = ⋅ 2 [( s − s1 ) r F ( s )] 2 ds s= s M 1 d r K 1i = [( s − s1 ) F ( s )] i −1 s = s1 ( i − 1)! ds
s1 = s2 = L = sγ ，而其余 (n − γ )个根 sγ +1 , L , sn 都不等于 s1 。那么 F (s ) 可展
开为如下的部分分式： 开为如下的部分分式：
B( s ) K 11 K 12 K 1r B2 ( s ) F ( s) = = + + L+ + r r −1 A( s ) ( s − s1 ) ( s − s1 ) s − s1 A2 ( s )
s+3 例5.3-6 求 F (s ) = 的原函数 f (t ) 。 3 ( s + 1) ( s + 2 )
拉普拉斯逆变换
即得
1 2π j
j
F
(
s)
e
st
d
j
s
n k 1
Res [
F (s)est ,
sk
].
(返回)
18
第九章 拉普拉斯变换
§9.3 Laplace 逆变换 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
附：将实系数真分式 F (s) P(s) / Q(s) 化为部分分式
1. Q(s) 含单重一阶因子旳情况 若 Q(s) 含单重一阶因子 (s a) , 即 Q(s) (s a)Q1(s) ,
第九章 拉普拉斯变换
解 措施二 利用留数法求解
(1) s1 2, s2 1 分别为 F (s) 旳一阶与二阶极点，
Res[ F (s)est,
2]
1 (s 1)2
est
s2
e2t,
Res[ F (s)est, 1] ( est ) et t et.
s 2 s1
(2) f (t ) Res[ F (s)est, 2 ] Res[ F (s)est, 1]
上面讨论了 Q(s) 含单重和多重一阶因子旳情况，假如是 在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。
但假如仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。
因为实系数多项式旳复零点总是互为共轭地成对出现旳， 即假如复数 z a jb 为 Q(s) 旳零点，那么它旳共轭复数 z a jb 也必为 Q(s) 旳零点。 所以，Q(s)必具有(实旳) 二阶因子 (s z)(s z ) (s a)2 b2 .
(1) s1 3 , s2,3 1 2i 为 F (s) 旳一阶极点，
Res[ F (s)est, 3 ] 2e3t,
residue theorem求拉普拉斯逆变换
residue theorem求拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换是拉普拉斯变换的逆运算，用于将复平面上的函数转换回时间域。
拉普拉斯逆变换在信号处理和控制系统等领域中被广泛应用。
拉普拉斯逆变换是通过计算一个函数在复平面上封闭轮廓内的积分来实现的。
为了进行拉普拉斯逆变换，必须首先找到所有的极点，然后利用留数定理或者推导出的公式计算积分。
根据留数定理，在复平面内的封闭轮廓上的积分等于该轮廓内所有极点的留数的和。
因此，对于给定的函数，我们需要确定所有的极点，并计算每个极点的留数。
然后将这些留数相加，即可求得结果。
拉普拉斯逆变换的求解过程通常包括以下几个步骤：1.确定函数的极点：找到函数在复平面上的所有极点。
极点是函数在复平面上的使得函数取无穷大的点。
有时可以通过观察函数的特性来确定极点，或者将函数转换为有理函数然后进行分解。
对于一些特定的函数，如指数函数、三角函数和多项式，可以通过其他方法来确定极点。
2.计算每个极点的留数：留数是极点附近的函数值。
计算留数的方法根据极点的类型而不同。
对于一阶极点，留数等于函数在极点处的极限值；对于高阶极点，需要将函数展开成幂级数然后求解。
3.将留数相加：将轮廓内所有极点的留数相加，即可得到函数在时间域的表达式。
举例说明，设函数F(s)=1/(s^2+1)，我们的目标是求该函数的拉普拉斯逆变换。
首先，我们需要确定函数的极点。
由于s^2+1=0的解为s=±j，因此函数F(s)具有两个极点，分别为±j。
接下来，我们计算每个极点的留数。
由于F(s)是一个有理函数，我们可以使用部分分式法将其分解。
将F(s)分解为两个分式，分别为A/(s-j)和B/(s+j)。
将分子相同的项合并，得到(A+B)s+(A-B)j=1。
由于等式两边的表达式相等，所以A+B=0，A-B=1。
经过求解，我们得到A=1/2，B=-1/2。
因此，s=j时，留数为1/2；s=-j时，留数为-1/2。
5.3 拉普拉斯逆变换.
例如：
F(s)
2s3
7s2 10s s2 3s 2
6
(1
2s)
(s
3s 4 1)(s
2)
(1 2s) 1 2 s1 s 1
则
f (t) L1[F (s)] (t) 2（' t） (et 2e2t ) (t)
若 F (s) B(s) 为有理真分式， 可直接展开为 A(s)
4
我们来看一下 k1、k2 之间的关系以及响 应与极点的关系.
下面导出有共轭单极点时，简便实用的关系式：
设 As 0 有一对共轭单根
s1 j
s2 j
F s k1 k2
s j s j
可以证明 k2 k1
设 k1 k1 e j
k2 k1 e j
F s k1 e j k1 e j
s j s j
取逆变换，得
f (t ) K1 e j e( j )t K1 e j e( j )t (t )
K1 et e e j(t ) j(t ) (t )
F
s
Ps
Bs As
式中 Bs 的幂次小于As 的幂次。
例如：
Fs
s4
8s3 25s2 31s 15 s3 6s2 11s 6
2s2 3s 3 s 2 s3 6s2 11s 6
t 1, 't s, 't 2 t s 2
下面主要讨论有理真分式的情形。
一、查表法（P417附录五）
例4.3-1
已知
F(s)
s2
s 1 4s
4
，
求
F(s)
的
原
函
数f(t)。
解 F(s)可以表示为
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。
这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。
一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。
函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。
为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。
拉氏逆变换的性质
拉氏逆变换的性质拉普拉斯变换（英文：laplace transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。
如果定义：f(t),就是一个关于t,的函数，使当t\uc0,时候，f(t)=0,；s, 是一个复变量；mathcal 就是一个运算符号，它代表对其对象展开拉普拉斯分数int_0^infty e^ ,dt；f(s),就是f(t),的拉普拉斯转换结果。
f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出：f(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt拉普拉斯逆变换，是已知f(s),，求解f(t),的过程。
用符号 mathcal ^ ,表示。
拉普拉斯连分数的公式就是：对于所有的t\ue0,；f(t)= mathcal ^ left=frac int_ ^ f(s),e^ ,dsc,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有f(s),的个别点的实部值。
为精简排序而创建的实变量函数和为丛藓科扭口藓变量函数间的一种函数转换。
对一个实变量函数并作拉普拉斯转换，并在复数域中并作各种运算，再将运算结果并作拉普拉斯反转换去求出实数域中的适当结果，往往比轻易在实数域中算出同样的结果在排序上难得多。
拉普拉斯转换的这种运算步骤对于解线性微分方程尤为有效率，它可以把微分方程化成难解的代数方程去处置，从而并使排序精简。
在经典掌控理论中，对控制系统的分析和综再分，都就是创建在拉普拉斯转换的基础上的。
导入拉普拉斯转换的一个主要优点，就是可以使用传递函数替代微分方程去叙述系统的特性。
这就为使用直观和方便快捷的图解方法去确认控制系统的整个特性（见到信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见到奈奎斯特平衡帕累托、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见到控制系统校正方法）提供更多了可能性。
用 f(t)表示实变量t的一个函数，f(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s=σ+j&owega;的一个函数，其中σ和&owega; 均为实变数,j2=-1。
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节拉普拉斯变换（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。
一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。
例12.1求斜坡函数()f t at =（0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim)()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，0000→→→→εεεε，即1)]([=t L δ。
例12.3现有一单位阶跃输入0,()1,t u t t <⎧=⎨≥⎩，求其拉氏变换。
解：00011[()]()1[]pt pt pt L u t u t e dt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰，(0)p >。
例12.4求指数函数()at f t e =（a 为常数）的拉氏变换。
解：()001[]atat ptp a t L e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。
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拉普拉斯逆变换对于单边拉普拉斯变换，由式（8.1-9）知，象函数F(s)的拉普拉斯逆变换为⎪⎩⎪⎨⎧><=⎰∞+∞-j 0)(210,0)(σσj stt ds e s F j t t f ，π (8.3-1)上述积分应在收敛域内进行，若选常数0σσ>[0σ为)(s F 的收敛坐标]，则积分路线是横坐标为σ，平行于与纵坐标轴的直线。
实用中，常设法将积分路线变为适当的闭合路径，应用复变函数中的留数定理求得原函数。
若F(s)是s 的有理分式，可将F(s)展开为部分分式，然后求得其原函数。
若直接利用拉普拉斯逆变换表（见附录五），将更为简便。
如果象函数F(s)是s 的有理分式，它可写为1110111F(s)a s a s a s b s b s b s b n n n m m m m ++++++++=---- （8.3-2）式中各系数),,1,0(),,,1,0(a i m j b n i j ==均为实数，为简便且不失一般性，设1=n a 。
若n m ≥，可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式)(s P 与有理真分式之和，即 )()()()(s A s B s P s F += （8.3-3）式中)(s B 的幂次小于)(s A 的幂次。
例如6116332261161531258)(23223234+++++++=+++++++=s s s s s s s s s s s s s s F由于)(]1[1t δ=-￡，)(]['1t s δ=-￡，…，故上面多项式)(s P 的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数组成，容易求得。
下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。
一、查表法附录五是适用于求拉普拉斯逆变换的表，下面举例说明它的用法。
例8.3-1 求2352)(2+++=s s s s F 得原函数)(t f 。
解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为2,121-=-=s s ，故)(s F 可写为 )2)(1(522352)(2+++=+++=s s s s s s s F由附录五查得，编号为2-12的象函数与本例)(s F 相同，其中2,1,5,201====βαb b 。
将以上数据代入到相应的原函数表示式，得0,3)(2≥-=--t e e t f t t 或写为)()3()(2t e e t f t t ε---= 例8.3-2 求10233)(2+++=s s s s F 的原函数)(t f 。
解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为312,1j s ±-=，故)(s A 可写为 2223)1(102)(++=++=s s s s A 于是)(s F 可写为2223)1()1(310233)(+++=+++=s s s s s s F查表可得，编号2-6的象函数形式与本例相同，只是本例的系数为3，故得)()3cos(3)(t t e t f t ε-= 二、部分分式展开法如果)(s F 是s 的实系数有理真分式（式中n m <），则可写为1110111)()()(a s a s a s b s b s b s b s A s B s F n n nm m m m ++++++++==---- （8.3-4）式中分母多项式)(s A 成为)(s F 的特征多项式，方程0)(=s A 称为特征方程，它的根称为特征根，也称为)(s F 的固有频率（或自然频率）。
为将)(s F 展开为部分分式，要先求出特征方程的n 个特征根),2,1(n i s i =，i s 称为)(s F 的极点。
特征根可能是实根（含零根），也可能是复根（含虚根）；可能是单根，也可能是重根。
下面分几种情况讨论。
（1）)(s F 有单极点（特征根为单根）。
如果方程0)(=s A 的根是单根，其n 个根n s s s ,,,21 都互不相等，那么根据代数理论，)(s F 可展开为如下的部分分式∑=-=-++-++-+-==nii n n i i s s K s s K s s K s s K s s K s A s B s F 1i 2211)()()( （8.3-5）待定系数i K 可用如下方法求得：将式（8.3-5）等号两端同乘以)(i s s -，得 nni i i i i s s K s s K s s K s s s A s B s s s F s s --++++--=-=-)()()()()()()(11 当i s s →时，由于各根均不相等，故等号右端除i K 一项外均趋近于零，于是得])()()[(|)()(lim s A s B s s s F s s K i s s s s i i ii-=-=→= （8.3-6）系数i K 也可用另一种方法确定：由于i s 是0)(=s A 的根，故有0)(=i s A ，这样上式可改写 ii s s i s s s A s A s B K i--=→)()()(lim根据导数的定义，当i s s →时，上式的分母为 )(|)()()('lim i s s i i s s s A s A ds ds s s A s A i i==--=→ 所以)()('i i i s A s B K =（8.3-7）8.3-5）的原函数为 []∑==ni t s i t e K s F i11-)()(ε￡（8.3-8）式中系数i K 由式（8.3-6）或（8.3-7）求得。
例8.3-3 求ss s s s F 234)(23+++=的原函数)(t f 。
解 象函数)(s F 的分母多项式)2)(1(23)(23++=++=s s s s s s s A方程0)(=s A 有三个单实根2,1,0321-=-==s s s ，用式（8.3-6）可求得个系数[也可由（8.3-7）求得] 20s )2)(1(41==+++⋅=s s s s s K3-1s )2)(1(4)1(2-==+++⋅+=s s s s s K1-2s )2)(1(4)2(3==+++⋅+=s s s s s K 所以21132)2)(1(4)(+++-=+++=s s s s s s s s F取其逆变换，得0,32)(2≥+-=--t e e t f t t 或写为)()32()(2t e e t f t t ε--+-= （2）)(s F 由共轭单极点（特征根为共轭单根）方程0)(=s A 若有复数根（或虚根），它们必共轭成对，否则，多项式)(s A 的系数中必有一部分是复数或虚数，而不可能全为实数。
例8.3-4 求222)(2+++=s s s s F 的原函数)(t f 。
解 象函数)(s F 的分母多项式)1)(1(22)(2j s j s s s s A ++-+=++=方程0)(=s A 有一对共轭复根,112,1j s ±-= 用式（8.3-7）可求得各系数为4π1111122211222)()(j j s e j j s s s A s B K -+-==+=++==‘4π1-1222222-11222)()(j j s e j j s s s A s B K --==+=++==‘ 系数1K ，2K 也互为共轭复数。
)(s F 可展开为js ej s e s s s s F +++-+=+++=-122122222)(4πj 4πj 2取逆变换，得)(4(cos 22)(22)(2222)(t -）4πj(t -）4πj(t t -)1(4πj )1(4πj t t e t e e e t e e e e t f t j tj εεε）π-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=----+-- 由本例可见，当0)(=s A 有共轭复根时，计算比较复杂，下面将导出较为简便实用的关系式。
设0)(=s A 有一对共轭单根βαj s ±-=2,1，将)(s F 的展开式分为两个部分)()()()()())(()()()()(2122212s F s F s A s B j s K j s K s A j s j s s B s A s B s F +=++++-+=++-+==βαβαβαβα（8.3-9）式中;)(211βαβαj s K j s K s F +++-+=)()()(222s A s B s F =。
)(2s F 展开式的形式由0)(2=s A 的根n s s ,,3 具体情况确定。
应用式（8.3-7），可求得 )(')()(')(111βαβαj A j B s A s B K +-+-==)(')()(')()(')(*1*1222s A s B j A j B s A s B K =----==βαβα 由于)(s B 和)('s A 都是s 的实系数多项式，故)()(1**1s B s B =，)()(1'**1's A s A =，因而上述系数1K 与2K 互为共轭复数，即*12K K =。
令⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====-θθj j e K s A s B K e K s A s B K 12221111)(')()(')( （8.3-10）式中*121,s s j s =+-=βα。
这样，式（8.3-9）中的)(1s F 可写为 βαβαθθj s e K j s e K s F j j +++-+=-111)(（8.3-11） 取逆变换，得[][])()cos(2)()()(1θ)j(β(-θ)j(β(1)(1)(11t t e K t e e t e K t e e K e e K t f t αt j j t j j εθβεεαβαθβαθ+=+=+=-++----+-（8.3-12）这样，只需求得一个系数1K ，就可按式（8.3-12）写出相应的结果。
例8.3-5 求象函数)22)(1)(1(42F(s)2223+++++++=s s s s s s s s 的原函数)(t f 。
解 本例0)(=s A 有6个单根，它们分别为11,1,1,06,54,321j s j s s s ±-=±=-==，故)(s F 得展开式为js K j s K j s Kj s K s K s K s F +++-++++-+++=111)(654321 按式（8.3-6）可求得各实数为43πj 152πj 31201213112)()1(21)()(1)()1(2)(e j j s F j s K e s F j s K s F s K s sF K js js s s =--+=-+==-=-=+===+-==-==于是)(s F 得展开式可写为js e j s e j s ej s e s s s F +++-++++-++-=1211212121112)(43πj -43πj 2πj -2πj 取其逆变换，得)()43cos(2)2cos(2)()43cos(22)2cos(2)(t t e t e t t e t e t f t t t t εε⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=----ππππ（3）)(s F 有重极点（特征根为重根）。