固体物理1(3)
19
20
径向分布函数2
• 在3.86A处有第二个峰，晶体硅峰下的积分 面积为12，表明它们有十二个次近邻，非晶 硅第二峰下的面积约为11.6，与晶体硅基本 一致，但是非晶态和晶态硅第二个峰的形状， 峰高和峰宽已经有了差别，这被认为是非晶 硅中键角的无规分布造成的； • 非晶硅的径向分布函数不存在第三个峰，表 明在这样一个距离的尺度非晶硅的结构与金 刚石结构有了明显的差别。
6
32个点群-(11)
• 由于对称元素组合时受到的严格限制，由十种 对称素只能组成32个不相同的点群。 • 最简单的点群只含一个元素(不动操作)，可以 用Cl标记，表示没有任何对称的晶体； • C1群加上中心反演组成Ci群； • C1群加上反映面组成Cs群； • 只包含一个旋转轴的点群称为回转群，标记为 C2，C3，C4，C6共四个； • 包含一个n重旋转轴和n个与之垂直的二重轴的 点群称为双面群， D2，D3，D4，D6共四个；
7
8
32个点群-(16)
Cn群加上与n重轴垂直的反映面组成四个Cnh群； Cn群加上n个含n重轴的反映面组成四个Cnv群； Dn群加上与n重轴垂直的反映面组成四个Dnh群； Dn群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线的 反映面组成D2d、D3d两个群； • 只包含旋转反演轴的点群，有S4，S6二个； (S1=Ci，S2=Cs，S3=C3h)； • • • •
22
晶体衍射
• 由于晶体中原子是周期性排列的，决定 了晶体可以做为波的衍射光栅，可以利 用X射线衍射、中子衍射和电子衍射来研 究晶体的结构。 • 晶体衍射图样是一组组清晰的斑点，斑 点的图样显示出晶体的对称性； • 如果晶体具有平行于射线束的四重对称 轴，则衍射图样也将显示四重对称性。
23
非晶态衍射
5
•2和2’夹角θ ； •先后绕2和2’转动-A操作和B操作； •与它们垂直的轴上的任一点N， 先转到N’，最后又转回到原来位 置N，表明操作C = BA是一个绕垂 直2和2’的轴的转动； •2轴在操作A中未动，经过操作B 将转到2”的位置，2和2”的夹角是 2θ ，表明C的转角是2θ ； •因为C必须是点群操作之一，2θ 只能等于60o，90o，120o，180o， 从而任何点群中两个二重轴之间 的夹角只能是30o，45o，60o，90o； •以上的论证显然同样适用于四重 轴和四重旋转-反演轴。
2
周期排列
• 长方形，正三角形，正方形，正六边形 可以在平面内周期的重复排列； • 其它的正n边形，如正五边形，却不可能 相互贴紧做周期的重复排列。 • 因此在晶体中只可能有上述10种对称素， 而不可能有5重轴、7重轴……等对称素。
3
4
对称轴夹角、数目的限制
• 以上十种对称素组合成群时，对称轴之间的夹 角、对称轴的数目，受到严格的限制； • 若有两个二重轴，它们之间的夹角只能是30o， 45o，60o，90o；若存在一个n重轴和与之垂直 60 90 n 的二重轴，就一定存在n个与之垂直的二重轴。 • 这种严格的限制是对称操作群的闭合性(任意两 个元素的乘积仍为集合内的元素)的结果。
11
12
14种布拉 伐格子
13
其他布拉伐格子？
• 表面看起来，似乎还可以靠增加体心、面心、 底心得到一些新的格子，这样做的结果或者 仍属于14种格子之一； • 任何一种晶体，对应的晶格都是十四种布拉 伐格子中的一种，指出具体所属的布拉伐格 子不但能表征晶格的周期性而且能从它所属 的晶系了解到晶体宏观对称所具有的基本特 征。
17
金刚石结构与非晶硅1
• 金刚石结构是由一系列六原子环组成； • 非晶硅材料中每个硅原子周围也是有四个近邻 原子，形成四面体结构，只是键长和键角的数 值有一定的无规起伏，非晶硅的结构就是由这 些四面体单元构成的无规网络，其中不仅有六 原子环，还有五原子环、七原子环……。 • 短程序包含：(1)近邻原子的数目和种类；(2)近 邻原子之间的距离(键长)；(3)近邻原子配置的 几何方位(键角)。 • 非晶硅结构基本上保留了晶体硅的短程序。
准晶态结构的特点
• 具有长程的取向序而没有长程的平移对称序(周 期性)； • 取向序具有晶体周期性所不能容许的点群对称 性； • 沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个 或两个以上不可公度的特征长度(所谓不可公度 是线段的比值为无理数，或者说二者不存在公 倍数)按着特定的序列方式排列。
30
9
32个点群-(5)
• 以上二十七个点群中最多只包含有一个高阶对 称轴(n≥3)，下面余下的是高阶轴多于1个的点 群：
正四面体点群Td：正四面体的24个对称操作； 立方点群Oh：立方对称的48个对称操作。
10
1-5晶格的对称性
• 晶体如果具a2、a3完全没有任何要求， 这种布拉伐格子称为三斜晶系； • 对称性最高的几个点群：T、Td、Th、O和 Oh，它们对布拉伐格子的要求是相同的， 能满足这样要求的布拉伐格子有简单立方、 体心立方和面心立方三种，称为立方晶系。
18
径向分布函数1
• 用X射线、电子和中子衍射的方法测定非 晶态材料的径向分布函数(简写为RDF)是 研究非晶态材料结构的基本实验方法。 • 所谓径向分布函数是：以原子为球心， 半径在r到r+dr球壳内的平均原子数。 • 可以看出无论是非晶态和晶态Si，在 2.35A处有第一个峰，峰下的积分面积为 4，表明它们都有四个最近邻。
1-4 点群 P.29
• 晶体本身既然经历对称操作后不变，那 末，表征它的周期性的布拉伐格子显然 经过对称操作也必须和原来重合； • 晶体原子的周期排列使宏观对称性可能 有的操作受到严格限制。
1
对称元素限制
• 设想有任意对称操作，转角为θ，布拉伐格 子中垂直转轴的晶面内选取基矢a1、a2，晶 面上所有布拉伐格点均可表示为 l1a1+l2a2； • 由于转动不改变格子，要求B’、A’有一格点， B’A’=n AB； • B’A’=AB(1-2cosθ)； • n =1-2cosθ； • θ = 0o，60o，90o，120o，180o： n =-1，0， 1，2，3 。
• 对于非晶态材料，由于原子排列是长程 无序的，衍射图样呈现为弥散的环，没 有表征晶态的斑点。 • 利用衍射图样中是否有清晰的斑点来判 断材料是晶态还是非晶态。
24
准晶态
• 1984年Shechtman等人报导了在用快速冷 却方法制备的AlMn合金中的电子衍射图 中，发现了具有五重对称的斑点分布， 斑点的明锐程度不亚于晶体情况； • 已经证明在晶体中是不可能存在有五重 对称轴--固体材料除了晶态和非晶态以外， 还有一种介于晶态和非晶态之间的新的 状态，称之为准晶态。
28
具有五次对称的取向序，而 没有平移对称性；沿平面内 对称轴的方向，有两个不可 公度(所谓不可公度是线段的 比值为无理数，或者说二者 不存在公倍数)的特征线段1 和τ ，这两个线段非周期地 但是以某种确定的规律排列。 Steinhardt等人认为由 Shechtman等人急冷方法制备 的A1Mn合金是具有正 二十面体取向序的准晶态， 由此计算出来的衍射图样， 无论是衍射斑点的位置还是 强度都与实验结果符合得很 29 好。
25
26
五边形排列
• 正五边形是不能重复排列充满一个平面 而不留空隙的； • Penrose发现用图1-41所示的两种四边形， 可以布满空间而不留空隙； • 利用图1-41中的两种四边形，可以拼接 出无数种具有五次对称的几何图案，但 是它们的分布不具有周期性。
27
两种边长之比τ = 1.61803398…， 恰好是著名的黄金分割无理数； 这两种四边形拼接的平面图形， 虽然不具有周期性，但也呈现 出某种长程序，表现为图中所有 线段之间的夹角都是2π/5及其整 数倍。
21
径向分布函数3
• 径向分布函数是对所有原子统计平均的结果， 并不能给出非晶态原子分布的全貌，在统计平 均过程中失去了不少结构信息，因此是有局限 的，但是由于非晶态结构的复杂性，目前尚且 没有什么更好的实验方法； • 目前提出了一些非晶态硅结构的具体模型，这 些模型都必须经得起径向分布函数实验结果的 检验。
14
1-6 非晶态与准晶态
• 理想晶体原子排列具有周期性，称其为 长程序；非晶态材料原子排列不具有周 期性，因此不具有长程序，但是非晶态 材料中原子的排列也不是杂乱无章的， 仍然保留有原子排列的短程序。
15
(a)表示理想晶体原子排列的规则网络 (b)表示非晶态原子排列的无规网络
16
投影面取为图l-37中所示的 ABC面，它是对称平分正四 面体的(110)面
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径向分布函数2
• 在3.86A处有第二个峰，晶体硅峰下的积分 面积为12，表明它们有十二个次近邻，非晶 硅第二峰下的面积约为11.6，与晶体硅基本 一致，但是非晶态和晶态硅第二个峰的形状， 峰高和峰宽已经有了差别，这被认为是非晶 硅中键角的无规分布造成的； • 非晶硅的径向分布函数不存在第三个峰，表 明在这样一个距离的尺度非晶硅的结构与金 刚石结构有了明显的差别。
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32个点群-(11)
• 由于对称元素组合时受到的严格限制，由十种 对称素只能组成32个不相同的点群。 • 最简单的点群只含一个元素(不动操作)，可以 用Cl标记，表示没有任何对称的晶体； • C1群加上中心反演组成Ci群； • C1群加上反映面组成Cs群； • 只包含一个旋转轴的点群称为回转群，标记为 C2，C3，C4，C6共四个； • 包含一个n重旋转轴和n个与之垂直的二重轴的 点群称为双面群， D2，D3，D4，D6共四个；
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32个点群-(16)
Cn群加上与n重轴垂直的反映面组成四个Cnh群； Cn群加上n个含n重轴的反映面组成四个Cnv群； Dn群加上与n重轴垂直的反映面组成四个Dnh群； Dn群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线的 反映面组成D2d、D3d两个群； • 只包含旋转反演轴的点群，有S4，S6二个； (S1=Ci，S2=Cs，S3=C3h)； • • • •
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晶体衍射
• 由于晶体中原子是周期性排列的，决定 了晶体可以做为波的衍射光栅，可以利 用X射线衍射、中子衍射和电子衍射来研 究晶体的结构。 • 晶体衍射图样是一组组清晰的斑点，斑 点的图样显示出晶体的对称性； • 如果晶体具有平行于射线束的四重对称 轴，则衍射图样也将显示四重对称性。
23
非晶态衍射
5
•2和2’夹角θ ； •先后绕2和2’转动-A操作和B操作； •与它们垂直的轴上的任一点N， 先转到N’，最后又转回到原来位 置N，表明操作C = BA是一个绕垂 直2和2’的轴的转动； •2轴在操作A中未动，经过操作B 将转到2”的位置，2和2”的夹角是 2θ ，表明C的转角是2θ ； •因为C必须是点群操作之一，2θ 只能等于60o，90o，120o，180o， 从而任何点群中两个二重轴之间 的夹角只能是30o，45o，60o，90o； •以上的论证显然同样适用于四重 轴和四重旋转-反演轴。
2
周期排列
• 长方形，正三角形，正方形，正六边形 可以在平面内周期的重复排列； • 其它的正n边形，如正五边形，却不可能 相互贴紧做周期的重复排列。 • 因此在晶体中只可能有上述10种对称素， 而不可能有5重轴、7重轴……等对称素。
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4
对称轴夹角、数目的限制
• 以上十种对称素组合成群时，对称轴之间的夹 角、对称轴的数目，受到严格的限制； • 若有两个二重轴，它们之间的夹角只能是30o， 45o，60o，90o；若存在一个n重轴和与之垂直 60 90 n 的二重轴，就一定存在n个与之垂直的二重轴。 • 这种严格的限制是对称操作群的闭合性(任意两 个元素的乘积仍为集合内的元素)的结果。
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14种布拉 伐格子
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其他布拉伐格子？
• 表面看起来，似乎还可以靠增加体心、面心、 底心得到一些新的格子，这样做的结果或者 仍属于14种格子之一； • 任何一种晶体，对应的晶格都是十四种布拉 伐格子中的一种，指出具体所属的布拉伐格 子不但能表征晶格的周期性而且能从它所属 的晶系了解到晶体宏观对称所具有的基本特 征。
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金刚石结构与非晶硅1
• 金刚石结构是由一系列六原子环组成； • 非晶硅材料中每个硅原子周围也是有四个近邻 原子，形成四面体结构，只是键长和键角的数 值有一定的无规起伏，非晶硅的结构就是由这 些四面体单元构成的无规网络，其中不仅有六 原子环，还有五原子环、七原子环……。 • 短程序包含：(1)近邻原子的数目和种类；(2)近 邻原子之间的距离(键长)；(3)近邻原子配置的 几何方位(键角)。 • 非晶硅结构基本上保留了晶体硅的短程序。
准晶态结构的特点
• 具有长程的取向序而没有长程的平移对称序(周 期性)； • 取向序具有晶体周期性所不能容许的点群对称 性； • 沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个 或两个以上不可公度的特征长度(所谓不可公度 是线段的比值为无理数，或者说二者不存在公 倍数)按着特定的序列方式排列。
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9
32个点群-(5)
• 以上二十七个点群中最多只包含有一个高阶对 称轴(n≥3)，下面余下的是高阶轴多于1个的点 群：
正四面体点群Td：正四面体的24个对称操作； 立方点群Oh：立方对称的48个对称操作。
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1-5晶格的对称性
• 晶体如果具a2、a3完全没有任何要求， 这种布拉伐格子称为三斜晶系； • 对称性最高的几个点群：T、Td、Th、O和 Oh，它们对布拉伐格子的要求是相同的， 能满足这样要求的布拉伐格子有简单立方、 体心立方和面心立方三种，称为立方晶系。
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径向分布函数1
• 用X射线、电子和中子衍射的方法测定非 晶态材料的径向分布函数(简写为RDF)是 研究非晶态材料结构的基本实验方法。 • 所谓径向分布函数是：以原子为球心， 半径在r到r+dr球壳内的平均原子数。 • 可以看出无论是非晶态和晶态Si，在 2.35A处有第一个峰，峰下的积分面积为 4，表明它们都有四个最近邻。
1-4 点群 P.29
• 晶体本身既然经历对称操作后不变，那 末，表征它的周期性的布拉伐格子显然 经过对称操作也必须和原来重合； • 晶体原子的周期排列使宏观对称性可能 有的操作受到严格限制。
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对称元素限制
• 设想有任意对称操作，转角为θ，布拉伐格 子中垂直转轴的晶面内选取基矢a1、a2，晶 面上所有布拉伐格点均可表示为 l1a1+l2a2； • 由于转动不改变格子，要求B’、A’有一格点， B’A’=n AB； • B’A’=AB(1-2cosθ)； • n =1-2cosθ； • θ = 0o，60o，90o，120o，180o： n =-1，0， 1，2，3 。
• 对于非晶态材料，由于原子排列是长程 无序的，衍射图样呈现为弥散的环，没 有表征晶态的斑点。 • 利用衍射图样中是否有清晰的斑点来判 断材料是晶态还是非晶态。
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准晶态
• 1984年Shechtman等人报导了在用快速冷 却方法制备的AlMn合金中的电子衍射图 中，发现了具有五重对称的斑点分布， 斑点的明锐程度不亚于晶体情况； • 已经证明在晶体中是不可能存在有五重 对称轴--固体材料除了晶态和非晶态以外， 还有一种介于晶态和非晶态之间的新的 状态，称之为准晶态。
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具有五次对称的取向序，而 没有平移对称性；沿平面内 对称轴的方向，有两个不可 公度(所谓不可公度是线段的 比值为无理数，或者说二者 不存在公倍数)的特征线段1 和τ ，这两个线段非周期地 但是以某种确定的规律排列。 Steinhardt等人认为由 Shechtman等人急冷方法制备 的A1Mn合金是具有正 二十面体取向序的准晶态， 由此计算出来的衍射图样， 无论是衍射斑点的位置还是 强度都与实验结果符合得很 29 好。
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26
五边形排列
• 正五边形是不能重复排列充满一个平面 而不留空隙的； • Penrose发现用图1-41所示的两种四边形， 可以布满空间而不留空隙； • 利用图1-41中的两种四边形，可以拼接 出无数种具有五次对称的几何图案，但 是它们的分布不具有周期性。
27
两种边长之比τ = 1.61803398…， 恰好是著名的黄金分割无理数； 这两种四边形拼接的平面图形， 虽然不具有周期性，但也呈现 出某种长程序，表现为图中所有 线段之间的夹角都是2π/5及其整 数倍。
21
径向分布函数3
• 径向分布函数是对所有原子统计平均的结果， 并不能给出非晶态原子分布的全貌，在统计平 均过程中失去了不少结构信息，因此是有局限 的，但是由于非晶态结构的复杂性，目前尚且 没有什么更好的实验方法； • 目前提出了一些非晶态硅结构的具体模型，这 些模型都必须经得起径向分布函数实验结果的 检验。
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1-6 非晶态与准晶态
• 理想晶体原子排列具有周期性，称其为 长程序；非晶态材料原子排列不具有周 期性，因此不具有长程序，但是非晶态 材料中原子的排列也不是杂乱无章的， 仍然保留有原子排列的短程序。
15
(a)表示理想晶体原子排列的规则网络 (b)表示非晶态原子排列的无规网络
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投影面取为图l-37中所示的 ABC面，它是对称平分正四 面体的(110)面
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固体物理(黄昆)第一章总结
固体物理(黄昆)第一章总结.doc固体物理（黄昆）第一章总结固体物理学是一门研究固体物质微观结构和宏观性质的学科。
黄昆教授的《固体物理》一书为我们提供了深入理解固体物理的基础。
本总结旨在概述第一章的核心内容，包括固体的分类、晶体结构、晶格振动和固体的电子理论。
一、固体的分类固体可以根据其结构特征分为晶体和非晶体两大类。
晶体具有规则的几何外形和有序的内部结构，而非晶体则没有长程有序性。
晶体又可以根据其内部原子排列的周期性分为单晶体和多晶体。
二、晶体结构晶体结构是固体物理学的基础。
黄昆教授详细讨论了晶格、晶胞、晶向和晶面等概念。
晶格是描述晶体内部原子排列的数学模型，而晶胞是晶格的最小重复单元。
晶向和晶面则分别描述了晶体中原子排列的方向和平面。
三、晶格振动晶格振动是固体物理中的一个重要概念，它涉及到晶体中原子的振动行为。
黄昆教授介绍了晶格振动的量子化描述，包括声子的概念。
声子是晶格振动的量子，它们与晶体的热传导和电导等性质密切相关。
四、固体的电子理论固体的电子理论是固体物理学的核心内容之一。
黄昆教授从自由电子气模型出发，介绍了固体中电子的行为和性质。
自由电子气模型假设电子在固体中自由移动，不受原子核的束缚。
这一模型可以解释金属的导电性和热传导性。
五、能带理论能带理论是固体电子理论的一个重要组成部分。
黄昆教授详细讨论了能带的形成、能隙的概念以及电子在能带中的分布。
能带理论可以解释不同固体材料的导电性差异，是现代半导体技术和电子器件设计的基础。
六、固体的磁性固体的磁性是固体物理中的另一个重要主题。
黄昆教授讨论了磁性的来源，包括原子磁矩和电子自旋。
磁性固体可以分为顺磁性、抗磁性和铁磁性等类型，它们的磁性行为与电子结构密切相关。
七、固体的光学性质固体的光学性质涉及到固体对光的吸收、反射和透射等行为。
黄昆教授介绍了固体的光学性质与电子结构之间的关系，包括光的吸收和发射过程。
八、固体的热性质固体的热性质包括热容、热传导和热膨胀等。
固体物理1-3晶向、晶面
② 求截距：求出晶面与三个晶轴的截距; ③ 取倒数：取以上截距的倒数;
④ 化整并加圆括号：将以上三数值简化为互质的整 数比，将所得指数括以圆括号，即 (hkl)。如果 截距为负值，则将负号标注在相应指数的上方。
晶面指数确定了晶面的位向和间距。
晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的； 空间任意直线的位向可以用它 的方向余弦来表示。
对立方晶系 a b c
h : k : l cos : cos : cos
• 练习： • 在一个面心立方晶胞中画出[012][123] • 在一个面心立方晶胞中画出(012)(123)
{111} (111), (1- 1--1) (1- 11), (111- )
(11-1), (1-11- )
(1-1-1), (11-1- )
c
(11-1) (111) (1-11)
b a
面间距相同的晶面族, 其面上的格点的分布相同, 称为同族晶面族 { h k l }
说明
若晶面和某一坐标轴平行，截距为 ，相应
c
b a
(3). 截矩系数可正可负,当晶面在基矢标轴的正方向 时,截矩系数为正,反之为负
c b a
(4). 晶面族(h1 h2 h3) 将基矢 a1 a2 a3 分别截成 |h1| |h2| |h3| 等份 (5). 晶面族(h1 h2 h3) 中距离原点最近的晶面在基
矢 a1 a2 a3 的截矩系数分a3 别为1/h1 1/h2 1/h3
E A
c
b
Oa
C
D B
例1：如图在立方体中， a i,b j,c k D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。
解： OB i , OE i j k,
E
固体物理答案第三章1
Ae i ωt naq
Be i ωt naq
2n i ωt a b q 2
将 x 2n , x 2n 1 的值代回方程得到色散关系
β1 β 2 ω 2mM
2
m M
3.3 一维复式格子，原子质量都为m,晶格常数为a，任一个原
子与最近邻原子的间距为b,若原子与最近邻原子和次近邻原子 的恢复力常数为 β 和 β ，试列出原子的运动方程并求出色散 关系。
1
2
3
n-1
n a
n+1 n+2
N-1 N
解： 此题为一维双原子链。设第 n 1, n, n 1, n 2 个原子的 位移分别为 un1 , un , un1 , un 2 。第 n 1 与第 n 1 个原子属 于同一原子，第 n 与第 n 2 个原子属于同一原子，于是
m M
2
16mMβ1 β2 2 aq sin 2 2 β1 β 2
（2）（a）当上式取‘+’号时为光学波 β1 β 2 8mMβ1 β2 2 2 1 cosaq ωo m M m M 2 2mM β1 β 2
2 1 2 2 1 iqa 2 2 1 1 2
由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即
β β mω β β e 0 β β mω β β e
2 iqa 1 2 2 1 iqa 2 2 1 1 2
解上式可得
12 2 β1 β2 2m 4m2 16m β1 β2 sin2 qa 2 ω 2 2 2m β1 β2 2 12 β1 β2 1 1 4β1 β2 sin2 qa 2 m 2 β1 β2
固体物理学_答案(黄昆 原著 韩汝琦改编)
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理习题解答
，在 时为
.(课本数据有误)
试计算
(1) 费米能和费米温度；
(2) 费米球的半径；
(3) 费米速度；
(4) 费米球的最大横截面积；
(5) 室温下和绝对零度附近电子的平均自由程.
解：电子数密度
.
费米波矢
(1) 费米能
费米温度
(2) 费米球的半径 (3) 费米速度
(4) 费米球的最大横截面
(5) 平均自由时间
证：比热
高温时,
，即
按 Maclaurin 公式展开 取前三项有
,其中
,
.
, 很小，于是
， ,于是
4.(3.12)设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势能为
为待定常数，平衡间距 解：平衡时，有
，求线膨胀系数 .
线膨胀系数
,
其中
,
.
即
10 / 15
1.(4.3)如果已知空位形成能为 是多少?
解：
作业 5
应满足布洛赫定理，若晶格常数为 ，电子的波函数为
(2)
.
(3)
( 是某个确定的函数)
试求电子在这些状态的波矢.
解：一维布洛赫定理为
.
(1)
(2) (3) 2(6.2)设一维电子能带可以写成
其中 为晶格常数，试求 (1) 能带的宽度； (2) 电子的平均速度； (3) 能带底部和顶部的电子有效质量.
解：(1)
马德隆常数
，对于一维晶格，选取一个正离子作为参考离子，在求和中对负离子取正号，
对正离子取负号，参考离子两边的离子是对称分布的，则有
时，由
两边积分，有
取 ，得
故由两种离子组成、间距为 的一维晶格的马德隆常数
固体物理 陈长乐 第一章习题解答
1 2 Nq2 ln 2 2 (n 1)r0 [ 3 n2 2 40 r0 r0
n 1
](r0 ) 2
1 2 Nq2 ln 2 2 n 1 2 ( ) 2 40 r0 r0 1 2 Nq2 ln 2 2 N (n 1)q 2 ln 2 2 (n 1) 2 2 40 r0 2 40 r0
2N
2 ln 2
b B n j1 a1 j
2N
x n 1 (运用 ln(1 x) (1) , 令x 1) n 1 n 0
n
q 2 2 ln 2 B U N( n) 40 r r
在 r = r0 处，
u r
r r0
q 2 2 ln 2 nB N( n 1 ) 0 2 40 r0 r0
从概念上阐明，m、n两个系数中哪一个较大？ 设 A、B>0。稳定时有
u r
r0
方法1
r r0
n m
r0 nB mA
m
A
m 1
n
B r0
n 1
0
要形成稳定的晶体，u(r0)必定为u(r) 的极小值，即
2u r 2
r0
n m
r r0
m(m 1)
A r0
m 2
N 1 n (n 1)B [m(m 1)A ] m2 nB 2 r0 mA N 1 N m( n m) A [m(m 1)A m(n 1)A] m2 m2 2 r0 2 r0
又因为
（1）
N A B N 1 B U 0 ( m n ) (A n m ) m 2 r0 2 r0 r0 r0 N 1 B N 1 mn (A ) A m m nB 2 r0 2 r0 n mA
n 1
](r0 ) 2
1 2 Nq2 ln 2 2 n 1 2 ( ) 2 40 r0 r0 1 2 Nq2 ln 2 2 N (n 1)q 2 ln 2 2 (n 1) 2 2 40 r0 2 40 r0
2N
2 ln 2
b B n j1 a1 j
2N
x n 1 (运用 ln(1 x) (1) , 令x 1) n 1 n 0
n
q 2 2 ln 2 B U N( n) 40 r r
在 r = r0 处，
u r
r r0
q 2 2 ln 2 nB N( n 1 ) 0 2 40 r0 r0
从概念上阐明，m、n两个系数中哪一个较大？ 设 A、B>0。稳定时有
u r
r0
方法1
r r0
n m
r0 nB mA
m
A
m 1
n
B r0
n 1
0
要形成稳定的晶体，u(r0)必定为u(r) 的极小值，即
2u r 2
r0
n m
r r0
m(m 1)
A r0
m 2
N 1 n (n 1)B [m(m 1)A ] m2 nB 2 r0 mA N 1 N m( n m) A [m(m 1)A m(n 1)A] m2 m2 2 r0 2 r0
又因为
（1）
N A B N 1 B U 0 ( m n ) (A n m ) m 2 r0 2 r0 r0 r0 N 1 B N 1 mn (A ) A m m nB 2 r0 2 r0 n mA
固体物理学第一章习题指导
2
2
4
因为对立方晶系，晶列 hkl 与晶面族 hkl 正交，所以
ABC面的密勒指数为 (13 1)。 固体物理学习题指导2014年3月
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(2)
AC
OC
OA
c
1 2
ab
ab
可见 A C 与晶
列
a b 2c
平行。因此AC晶列的晶列指数为
由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为
1
12
。
固体物理学习题指导2014年3月
18/27
15、试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是 面心立方。
解：设与晶轴 a,b,c 平行的单位矢量分别为i, j, k ，面心立方正
格子的原胞基矢可取为
a
a
a
a1 2 ( j k), a2 2 (k i), a3 2 (i j).
将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式
b1
2
a2 a3
,b2
2
a3 a1
, b3
2
a1 a2
,
可得其倒格矢为
2
b1 a
2
j k ,b2 a
2
k i ,b3 a
i j 。
可见体心立方的倒格子是面心立方。
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11、以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：
（1）六角密积
2
6
3
；（2）金刚石结构 1 6
。
解：设想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原子 球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。 设n为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径， V表示晶胞体积，则致密度
固体物理1-3晶向、晶面
立方晶格中的[100]，[110]， [111]晶向
立方边,面对角线,体对角线,不止一个,它们的晶向 指数确定方法同上.
简单立方晶格 立方边共有6 个不同的晶向：
[001]
av3 av2
av1
[100]
[100],[010],[001]
[100],[0 10][00 1]
由于立方晶格的对称 性,6个晶向是等效 的,<100 >晶向族
立方边[100] 垂直的晶面（100） 面对角线[110] 垂直的晶面（110） 体对角线[111] 垂直的晶面（111）
av3
(
v k)
av2
(
v j)
av1
v (i )
3 、密勒指数计算方法：
p
具体步骤：
m
n
① 建立坐标系：以晶胞的某一点格点为原点，过原 点平行于晶胞的三棱边为坐标轴，晶格常数为坐 标轴的度量单位。注意：坐标原点不能在待定晶 面上。
对立方晶系 a b c
h : k : l cos : cos : cos
• 练习： • 在一个面心立方晶胞中画出[012][123] • 在一个面心立方晶胞中画出(012)(123)
{110}: (110), (011), (101)
(1 10), (01 1),10 1
立方晶格中与(111)面 等效的晶面：4 个
{111}: (111),(111),(111),111
符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外 表面时才有意义，在晶体内部这些面都是 等效的。
简单立方晶格中，一个晶面的密勒指数和晶面法 线的晶向指数完全相同。
E A
c
b
Oa
C
D B
半导体物理学 固体物理1-3ppt
解决方法如下：人为地加入合理的限制条件（也称 21 0 1
为等价性条件）——前三个指标之和为0。例如， 晶向指标为［uvtw］，则u+v+t=0，故a1轴的指标只
能选
。
晶向四指数的解析求法：先求待求晶向在三轴系a1、a2、 c下的指数U、V、W，然后通过解析求出四指数［uvwt］。由 于三轴系和四轴系均描述同一晶向，故 ua1+va2+ta3+wc=Ua1+Va2+Wc
例如，六棱柱的两个相邻的外表面在晶体学上
应是等价的，但其用三指数表示的晶面指数却分别 为(100)和(110)；夹角为120°的密排方向是等价的， 但其晶向指数却为［100］和［110］。在晶体结构
上本来是等价的晶面、晶向却不具有类似的指数，
这给研究带来不方便。
解决的办法是引入第4个指数，即
引入4个坐标轴：a1、a2、a3和c。其中 a1、a2、c不变，a3= - (a1+a2)，如图146(a)所示，相互夹角为120°的三个轴 和原来的c轴一起构成四轴体系。引入 四指数后，晶体学上等价的晶面即具 有类似的指数。
图1-44 立方晶体中晶面族的米勒指数
图1-45 立方晶格(111)及其等效晶面
通常晶面指数表示晶面族中某一个具体 的晶面时，也可以不化为互质整数。 可以证明，在立方晶系中，晶面指数和 晶向指数相同的晶面和晶向，彼此互相垂直。 例如［100］⊥(100)、［110］⊥(110)、 ［111］⊥(111)。在其它晶系中，这种关系 不一定成立。
晶向指数：
对无限大的理想晶体，通过布拉菲格 子中任意两个格点连一直线，这一直 线将包含无限多个周期性分布的格点， 这样的直线便称为晶列。
固体物理基础 课后答案 西安电子科技大学出版社(曹全喜 雷天明 黄云霞 李桂芳 著) 第一二三四五章
0
，所以
S2 hkl
0；
2、当
h、k、l
为全奇数时，
S
2 hkl
2F
2 f
2 (4 f )2
32 f2 ；
3、当 h、k、l 全为偶数，且 h k l 4n （n 为任意整数）时，
S2 h.k .l
2Ff2 (11)
4 16 f2
64 f2
当 h、k、l 全为偶数，但 h k l 4n ，则 h k l 22n 1时，
第四条 由于本学期只教习了前 5 章，因此本解答仅包含 前 5 章内容，完整版将于寒假后奉上；
第五条 本习题解答由“苏大师”整理/解答/编排而成； 第六条 纰漏难免，欢迎指正； 第七条 不加水印 方便打印 版权所有 网传必究！
第1章 晶体结构 习题
1ǃ画出下列晶体的惯用原胞 和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原 胞中的原子个数和 配位数。
Ff
i hkl
i hk l
Ff e 2
Ff 1 e 2
因为衍射强度
I
S
2 hkl
，
S2 hkl
F
2 f
1
ei
2
(
h
k
l
)
·1
e
i
2
(hk
l
)
F
2 f
2
i hkl
e2
i hk l
e2
用尤拉公式整理后：
S
2 hkl
2F
2 f
1
cos 2
(h
k
l)
讨论：1、当 h、k、l 为奇异性数（奇偶混杂）时， Ff
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