关于可列非齐次马氏链随机选择的若干强极限定理

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第２ ７卷 第 ２ 期 ２０ ０ ２年 ４月
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报
ＶＯ ．７Ｎ Ｏ２ １ ． ２ Ａｐ ． ０ ｒ ２ ０２
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＫｕ ｍ ｉｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆＳ ｉｎ ｅ ａ ｄＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｎ ｎ ｉｅ ｓｔ ｏ ｃｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｙ
ｔ ， 如果
∑ａ
则
口
（ ． ） 】 ＸＩ 】 一 … ＜ ｘ
＾（ｋ， 一 【 －Ｘ ） ） Ｉ ， ｌ ∑ ｛ Ｘ－ ） （ Ｉ ｋ ¨】＝
ｋ＝ ｌ
证明 令
＝
（ －Ｘ ） 【 女ｌ ｌ女 ｌ １ ｌ ｋ一 （ 一 Ｘ ） 一 ｋ 】 ， 】
。 ＝
∑ （ ＝ （ ， （ ＝ ， 川 ∑ ） ∑ ， － （ Ｊ） （ ） 一
＝
Ｉ
ｋ＝ ｌ
ｋ ＝ｌ
注意到
Ｅ （ ＿ 女 女］∑＾ ＿ ）（ ［Ｘ １ ） 一 ＾ 女】 ｌ １ （ ｌ Ｐ ｌ女 Ｊ
关 于可 列非 齐次 马 氏链 随机 选 择 的若 干 强极 限定 理
上 Ｊ中 士 Ｊ
（ 安徽工业大学 数理系， 安徽马鞍山 ２ ３ ０ ） ４０２
摘要 ： 用鞅 方法， 究非 齐次马 氏链 随机 选择的 若干强极 限定理 ＿ 利 研 概率论 中随机 选择 的基 本思
想是： ０ １ 在 和 两个等可能值的 Ｂ ｒｏ ｌ 序列 中，０与 １ ｅｎ ｕ ｉ ｌ 的排列是完全无规则的 ，而且想要
Ｘｏ． １… ， ， 一 １
（） １ｏＸ１， ， ， （ Ｉ （ Ｘ２ ｎ Ｘ
的子序列 ：当且仅 当 ＝１ 选取（４，１） 时 １）（５中的 ． ＿】 ） 于是得 到（４与（５的子序列 ， ： （ ｌ 以 Ｘ ， １） １） 记
链 中
１ 定义 对本文所涉及的问题都将在固定 的完备概率空间 （ ， ， ） ｎ ，尸 上进行讨论 ，Ｆ ． ≥ ） Ｆ的 自然 代 ｛ ｎ １是 数流， ＝ （ －Ｘ ） 即Ｆ ｏ Ｘ － ，约定 Ｆ ＝｛， ， ， ０ ｎ）对几乎处处意义下成立的等式或不等式常省去 ａ． ｓ 记号． 设 ｛ ， ≥０ 是状态空间为 ｓ｛，…． ” ） ＝１ ， Ｊ ２ 的非齐次马氏链 ，其初始分布与转移概率矩阵分别为：
∑ａ （ ， ） ＸＩ ｔ … ］ ｘ
有
∑研 ： ｔ ＊ ｚ ］ ｃ
。ｌ
（） １ ２
于是 由鞅 差序列 收敛定理
，ｐ１０有 ．９ ，
∑Ｖｋ＇ ｋ／ ｒ￣
收 敛
（ １
即得 （ ６）式成 立． 以下恒假设 ｛ ． ｌ ｝是随机选择函数 ，即 是在 ｛， 中取值的布尔函数 ， Ｏ） １ 在考虑随机选择的 问题时，根据 的值来选取序列
／ Ｆ １ 构成一 ａ， ． ）亦
易知 ｆ ， ）是一鞅差序列 ，而 由 及 ａ 是 Ｆ 可测的 ，所以 ｛ ，
鞅差序列 ． 令
Ｚ ＝ ／ ａ．
于是
ＥＺＩ一 （＃￣） Ｆ】
（
由
鲁 州
（０ １） （１ １）
萼 （＿ ）一 ： ｌ ｌ １ ｌ ］
收稿 日期： ０ １ １— ０ 基金项 目： ２０ — ０ １； 安徽工业 大学青年 自然科学基金 作者简介： 汪忠志 （ ６ ，０～ ， ， １ ５ １ ）男 副教授； ９ 主要研究方 向： 概率论极 限理论
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第２ 期
汪忠志 ： 于可列非齐敬马氏链随机选择的若干强极限定理 关
（（ ，（ ） － ） ｇ１ ９２， － ）
＝
（ １ ） ∈Ｓ ｎ ， … ， ＝１ ２ （ ２ ）
（ ） Ｐ， ）
其中Ｐ（ ） Ｐｘ ： Ｉ ＝ ） ｔ ＝ （ １则
Ｐ ｏ …Ｘ ）ｑ ０ Ｉ １ ） ≥ （ ｘ ・ （） （＿ １ ｘｌ
Ｏ 引言
随机选择的概念最早源于赌博 系统 ，２～ ０ ０ ３ 年代德 国著名统计学家 ＲＶＭｉ ｓ 、 ． ｓ 发现 了这个 问题的重 ｅ 要・ ， 性 他把它作为公理而引进…这个 问题与概率论逻辑基础的关系，至今仍收到学者们的关注 作者在 ． ． 文 中采用刘文提 的研究强极限纯分析方法［ ３ １ 及其所引文献，将无规则性 （ 随机选择 ） 概念推广到 非齐次马氏链情形中 本文 目的是利用更简捷的鞅变换的概念 ， 将随机选择的有关结果推广到非 齐次马氏
ｔ ｌ ＝
（ ３ ）
≥ｌ是适 随机序 列 ｝
在 考虑非 齐 次马 氏链 随机选 择 时 ，我们 先给 出一 个一 般 的概念 ：设 （ ． 称 ｛ ．≥１为可 预报 序列 ｎ ）
定义 设 ｛
≥ ） ０、
－ ≥１均 由上述定义， ｉ ， ≥１是定义在 Ｓ Ｓ １ ） Ｉ （ ｘ ｎ ） ） ｘ 上的二元 函数列称
通过选 择子序 列 来控 制稍偏 多于 ０ １ 是不可 能的． 文利用鞅 方法， 究非 齐次马 氏链 随机 或 也 本 研
选择 的 若 干 强 极 限 定 理
中图分类 号 ： １ Ｆ５ ０２ １ ０ １ ４
文 献标识 码： Ａ
文章编号 ：０ ７８５ （０ ２０ ．３ —４ １０ ．５ Ｘ ２０ ）２１４０
为（ （
，
≥１ ）关于 ，
－ｊ＞１ 的变换 】 －１ ｎ
２ 主要 结 果及 证 明
定理 １ ｛ ， ２０ 是具有初始分布（ 和转移概率矩阵ｆ 的可列非齐次马 氏链 ，ｆ ，） １是 设 Ｈ ） １ ） ２ ） ｛ ． ） Ａｘ ｎ 定义 ｓ Ｓ 上的二元函数列 ， ＿ ≥ ）如前定义 ，ａ， ≥１ ｘ 在 ｛ 】 １ ｛ ” ｝是一列单调不减的可预报序列 ，且