高中数学必修4北师大版 三角函数的简单应用 学案
陕西省西安市第一中学北师大版高中数学必修4教案：1.9.1三角函数的简单应用
§9.1 三角函数的简单应用（第一课时）一、教学目标1．知识与技能：通过分析实际问题建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．2．过程与方法：经历由实际问题选择数学模型、研究数学模型、解决实际问题的数学建模过程，感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题．3．情感态度、价值观：培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力以及运用信息技术手段解决实际问题的能力，增强学生的应用意识．二、教材分析教材中设置了1个水车问题来介绍三角函数的简单应用．根据问题情境建立精确的三角函数模型解决问题，使学生初步掌握建立解析式的方法．教科书《三角函数》一章专门设置“三角函数的简单应用”一节，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系．以使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识，同时还使学生加深对有关知识的理解．通过例题的教学，使学生经历用三角函数模型刻画周期现象的全过程，掌握从实际问题抽象出数学模型的一般方法，进一步体会三角函数是刻画周期变化规律的重要模型．三、重、难点：重点是：用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题；从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．难点是：分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．四、教学方法与手段通过数学建模的过程，使学生在观察、分析、探究、归纳、概括等思维活动中获取新知，这不仅可以提高学生的思维能力，培养学生运用信息技术手段解决实际问题的能力，同时也可以增强学生的应用意识，促进学生良好思维品质的形成．五、教学过程（一）问题引入同学们，我们已经学过三角函数的图像与性质，今天我们研究如何建立和应用三角函数模型解决实际问题．我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型. 在这一节. 我们将通过实例，让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.问题1：某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin(π12t＋π3)，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？分析：(1)因为f(t)＝10－2sin(π12t＋π3)，又0≤t<24，所以π3≤π12t＋π3<7π3，－1≤sin(π12t＋π3)≤1.当t＝2时，sin(π12t＋π3)＝1；当t＝14时，sin(π12t＋π3)＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)，故有10－2sin(π12t ＋π3)>11，即sin(π12t ＋π3)<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．设计意图： 本题属三角函数的简单应用，通常的解决方法：转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等函数解决图像、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质．问题2 水车问题水车一种利用水流的动力进行灌溉的工具，图3—4 是一个水车工作示意图，它的直径为3 m ，其中心(即圆心)O 距水面1.2 m ，如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是34min ，在水车轮边缘上取一点P ，点P 距水面的高度为h(m)． （1）求 h 与时间t 的函数解析式，并作出这个函数的简图.（2）讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化，若水车转速加快或减慢，函数式中的参数又会受到怎样的影响?分析：不妨设水面的高度为0．当P 点旋转到水面以下时，P 点距水面的高度为负值. 显然，h 与t 的函数关系是周期函数的关系.如图3-4，设水车的半径为R ，R=1.5 m ；水车中心到水面的距离为b,b=1.2 m ；∠QOP 为α ；水车旋转一圈所需的时间为T ；由已知T=34 (min) =80(s ) ，单位时间旋转的角度(rad)为ω=T π2=40πrad/ s为了方便，不妨从P 点位于水车轮与水面交点Q 时开始计时t=0．在t 时刻水车转动的角度为α，如图3-4 所示，∠QOP=α=ωt =40πt (rad ).过点P 向水面作垂线，交水面于M 点，PM 的长度为P 点的高度h.过水车中心O 作PM 的垂线，交PM 于N 点，∠QOP 为φ，从图中不难看出：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ )+b ． ①从图中可以看出：sin φ=5.12.1，所以φ=53.1︒ =0.295πrad把前面已经确定了的参数α，φ，R 和b 代入①式，我们就可以得到h =1.5sin(40πt −0.295π)+1.2（m ）②这就是P 点距水面的高度h 关于时间t 的函数解析式．因为当P 点旋转到53.1°时．P 点到水面的距离恰好是1.2(m)，此时，t =360801.53⨯≈11.8（s ）， 故可列表、描点，画出函数在区间[11.8，91.8]上的简图(如图3-5)： 这是一个由三角函数确定的数学模型．表3—1如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心o 与水面距离的改变，而使函数解析式中所加参数b 发生变化,水面上涨时参数b 减小；水面回落时参数b 增大,如果水车轮转速加快，将使周期T 减小,转速减慢则使周期T 增大.面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，就像这个例题.把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.（三）练习：课本P58练习（四）小结1.三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图像，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图像，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.2. 在解决实际问题时运用了“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数与方程思想”等数学思想方法．【设计意图】让学生通过思考和回答问题，归纳总结建立三角函数等数学模型解决实际问题的基本步骤，理清解决实际问题的基本思路，渗透数学思想方法，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力．（五）作业课本P59习题1-9 3六、教学反思：水车问题是三角函数的重要模型，首先让学生弄清水车转动时它的直径、旋转一圈的时间和中心距水面的距离与函数K x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 中常数之间的对应关系；然后从特殊情况出发，让学生考虑当水车中心刚好在水面时其对应的函数解析式；最后再考虑本题需要建立的函数关系式，这个函数模型解读了三角函数在现实生活中的重要应用价值。
最新北师大版数学必修四：《三角函数模型的简单应用》导学案(含解析)
最新北师大版数学精品教学资料第10课时三角函数模型的简单应用1.通过观察分析已知的数据,能建立三角函数模型来刻画实际问题并加以解决.2.对已知某实际问题近似地满足于三角函数的模型,能用此模型探求相关的数据.3.体验三角函数模型在现实世界中的广泛应用,初步领略三角函数模型是处理周期变化现象的重要方法之一.(显示水车转动的动画,再抽象出水车的静态平面图,最后抽象出数学平面图)如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间:(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t (s)的函数;(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?问题1:三角函数能够模拟现实中的许多周期现象,试举例说明:.问题2:函数y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)在物理中的应用:A表示;周期T= ,频率f= = ;ωx+φ表示,φ表示.问题3:函数y=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的基本性质定义域:;值域:;周期:;奇偶性:当φ=时为偶函数;当φ=且时为奇函数,否则为函数.问题4:应用三角函数模型解决问题的一般程序应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为问题,通过分析它的变化趋势,确定它的,从而建立起适当的函数模型,解决问题的一般程序:(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解关系.(2)建模,分析题目周期性,选择适当的模型.(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.(4)还原,把数学结论还原为问题的解答.1.弹簧振子的振幅为2 cm,在6 s内振子通过的路程是32 cm,由此可知,该振子的振动的().A.频率为1.5 HzB.周期为1.5 sC.周期为6 sD.频率为6 Hz2.如图,一个水轮的半径为3 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动4圈,如果水轮上的点P 到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=A sin(ωx+φ)+2,则有().A.ω=,A=3B.ω=,A=3C.ω=,A=5D.ω=,A=53.据市场调查,一年内某种商品每件出厂价在7千元的基础上,按月呈y=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,则该函数的解析式为.4.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b(ω>0,|φ|<π).(1)求这一天6~14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.简谐振动已知弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin(2t+),t∈[0,+∞).作出这个函数在一个周期内的简图,并回答下列问题:(1)小球在开始振动(t=0)时,离开平衡位置的位移是多少?(2)经过多少时间,小球往复振动一次?航海、潮汐等问题某港口的水深y经过长时间的观察,描出的曲线如图所示,经拟合,该曲线可以近似地看成正弦型函数y=A sin ωt+B的图像.(1)试根据数据表和曲线,求出函数y=A sin ωt+B的表达式;(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不少于4.5 m时是安全的.如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)是7 m,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所需时间)?摩天轮、交流电电流与频率等问题如图,已知一个游客坐在半径为15米的摩天轮上,摩天轮20分钟旋转一周,它的最低点距离地面1米,当游客从摩天轮上最低点开始出发到达点P位置时,求该游客离开地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式.下面是某简谐运动的图像,试根据图像回答下列问题:(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O点算起,到曲线上哪一点,表示完成了一次往复运动?从A点算起呢?(3)写出这个简谐运动的函数表达式.已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=A cos ωt+b.(1)根据以上数据,求出函数y=A cos ωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天的上午8时至晚上20时之间,有多少时间可以供冲浪者进行运动?某正弦交流电的电压U (单位:V)随时间t(单位:s)变化的函数关系是U=120sin(100πt-),t∈[0,+∞).(1)求该正弦交流电电压U的周期、频率、振幅;(2)当t=、时,求瞬时电压U;(3)将此电压U加在激发电压、熄灭电压均为84 V 的霓虹灯的两端,求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间.(说明:加在霓虹灯管两端电压大于84 V时灯管才发光.取≈1.4 )1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(cm)与时间t(s) 的函数关系式为s=6sin(2πt+),那么单摆来回摆动一次所需时间为().A.2π sB.π sC.0.5 sD.1 s2.已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I=5sin(100πt-),t∈[0,+∞),则这种交流电电流在0.5 s内往复运动的次数为().A.100B.75C.25D.503.已知函数y=2cos x (0≤x≤1000π)的函数图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是.4.如图,摩天轮的半径为50 m,圆心O点距地面的高度为60 m.摩天轮做匀速转动,每3 min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.已知在时刻t(min)时点P距离地面的高度f(t)=A sin(ωt+φ)+h(A>0,-≤φ≤).(1)求f(t)的表达式;(2)求在2008 min时点P距离地面的高度.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图像大致是().考题变式(我来改编):答案第10课时三角函数模型的简单应用知识体系梳理问题1:物理中的简谐振动,交流电中的电流,水车问题和潮汐等问题2:振幅相位初相问题3:R[-A+b,A+b]+kπ(k∈Z)kπ(k∈Z)b=0非奇非偶问题4:数学周期三角(1)数学(2)三角函数(4)实际基础学习交流1.B由于弹簧振子的振幅为2 cm ,所以一个周期内弹簧振子通过的路程为8 cm ,在6 s内有4个周期,所以周期为1.5 s.2.B由图可知,振幅A==3,每一圈用时,即周期T==15 s ,∴ω=,所以选B.3.y=2sin(x-)+7(1≤x≤12,x∈N+)由题意可知,=7-3=4,∴T=8,∴ω==,又∴∴f(x)=2sin(x+φ)+7,(*)把点(3,9)代入(*)式得sin(+φ)=1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=2sin(x-)+7(1≤x≤12,x∈N+).4.解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20℃.(2)从图中可以看出,从6~14时的图像是函数y=A sin(ωx+φ)+b的半个周期的图像,∴A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.∵×=14-6=8,∴ω=,y=10sin(x+φ)+20.将x=6,y=10代入上式,解得φ=.综上,所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].重点难点探究探究一:【解析】作出函数在一个周期内的简图,采用五点法作图即可,图像如图所示,作法略.(1)将t=0代入s=4sin(2t+),得s=4sin=2≈3.46(cm),即小球开始振动时的位移是2cm,并由图可知,这段位移是在平衡位置的上方.(2)因为这个函数的周期T==π,所以小球往复振动一次所需的时间为π≈3.14 s,反映在图像上,正弦型曲线在每一个长度为π的区间上,都要完整地重复变化一次.【小结】在物理学中,当物体作简谐运动时,可以用正弦型函数y=A sin(ωx+φ)来表示振动的位移y 随时间x的变化规律,其中:(1)A称为简谐运动的振幅,它表示物体振动时离开平衡位置的最大位移;(2)T=称为简谐运动的周期,它表示物体往复振动一次所需要的时间;(3)f==称为简谐运动的频率,它表示单位时间内物体往复振动的次数.探究二:【解析】(1)由周期求得ω=,由最大、最小值求得A==3,由y轴上的截距得B=10,∴y=3sin t+10.(2)由于船的吃水深度为7 m,船底与海底的距离不少于4.5 m,故船舶航行时水深y≥11.5 m,令y=3sin t+10≥11.5,得sin t≥,解得12k+1≤t≤12k+5(k∈Z),取k=0时,则1≤t≤5;取k=1时,则13≤t≤17.从而,船舶要在一天之内在港内停留时间最长,就应从凌晨1点进港,下午17点前离港,在港内停留时间最长为16 h.【小结】求目标函数是本题求解的关键,而最多在港内停留多长时间,需仔细审题,容易忽略停靠时间,误以为是停留8 h.探究三:【解析】如图,设游客在P0位置时t=0,将摩天轮的圆周按虚线分成四个区域进行讨论,四个区域各任选一个点,如:P1,P2,P3,P4,经过时间t时游客到达P i位置,设∠P0OP i=ωt(i=1,2,3,4),∵摩天轮每20分钟转一周,∴每分钟所转的度数为ω==,则θ1=ωt,θ2=π-ωt,θ3=ωt-π,θ4=2π-ωt.以P2为例,∵h=15+15cos θ2=15+15cos(π-ωt)=15-15cos ωt=15-15cos t,∴h=15(1-cos t).[问题]h=15(1-cos t )是h与t的关系式吗?[结论]h应包括摩天轮最低点到地面的距离.于是,正确解答如下:以P2为例,∵h=15+1+15cos θ2=16+15cos(π-ωt)=16-15cos ωt=16-15cos t,∴h=16-15cos t;当游客到达其他三个区域,如:P2,P3,P4,同理可得h=16-15cos t,故h与t的关系是h=16-15cos t.【小结】本题找出联系h与t关系的中间变量,建立三角函数模型是解决问题的关键;这里容易忽略摩天轮最低点距离地面的距离1米而得出错误的结论h=15(1-cos t).思维拓展应用应用一:(1)从图像中可以看出,这个简谐运动的振幅为2 cm,周期为0.8 s,频率为=.(2)如果从O点算起,到曲线上D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,到曲线上E点,表示完成了一次往复运动.(3) 设这个简谐振动的函数解析式为y=A sin(ωx+φ),x∈[0,+∞),由图像可知A=2,φ=0,又由T==0.8,得ω=,所以所求简谐振动的函数解析式为y=2sin x,x∈[0,+∞).应用二:(1)由得A=,b=1,再根据T=12,得ω=,∴y=cos t+1.(2)由y>1得,cos t+1>1,∴cos t>0,∴2kπ-<t<2kπ+(k∈Z),∴12k-3<t<12k+3(k∈Z),而t∈(8,20),∴当k=1时,t∈(9,15)满足题目要求.∴可供冲浪者进行运动的时间为6小时,即9点到15点.应用三:(1)由题意知A=120,ω=100π,∴T==0.02,∴f==50.(2)当t=时,U=120sin(100π×-)=0;当t=时,U=120sin(100π×-)=120sin=-120.(3)∵要使霓虹灯管发光,加在灯管两端电压需要大于84V,∴120sin(100πt-)>84,∴sin(100πt-)>,在100πt-∈[,]的半个周期内,≤100πt-<, ∴≤t<,所以点亮的持续时间为-=s.基础智能检测1.D单摆来回摆动一次所需时间正好是函数的一个周期.∵ω=2π,∴T==1.2.C周期T=s,从而频率为每秒50次,0.5 s内往复运动的次数为25次.3.2000π函数在一个周期[0,2π]内的图像与直线y=2围成一个封闭的平面图形如图所示的阴影部分,根据余弦型函数的对称性,可将阴影部分S1、S2拼接到x轴上方空白部分S1、S2,因此阴影部分的面积就等于长方形AOBC的面积2×2π=4π,∴[0,1000π]内函数图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形的面积为4π×=4π×500=2000π.4.解:(1)∵每3 min转一圈,∴T=3 min,∴ω==.又∵f(t)的最大值为110 m,最小值为10 m,∴h-A=10,A+h=110,∴A=50,h=60,∴f(t)=50sin(t+φ)+60.∵t=0时,f(0)=10,∴50sin φ+60=10,∴φ=-,∴f(t)=50sin(t-)+60.(2)f(2008)=50sin(-)+60=50sin(1338π+-)+60=50sin +60=85 m.∴在2008 min时点P距离地面的高度为85 m.全新视角拓展C令AP所对圆心角为θ,由|OA|=1,则l=θ,sin=,d=2sin=2sin,即d=f(l)=2sin(0≤l≤2π),它的图像为C.。
【教学设计新部编版】《三角函数的简单应用》(数学北师大高中必修4)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《《《《《《《《《《《《《《《本本本本本本本本本本 本本◆《《《《本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本.本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本.本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本◆《《《《本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本“本本”本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本◆《《《《《本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本◆《《《《本本本本本◆《《《《《《《《本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本.本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本.《《《《《《《《《《《《《《《本本本本本1.本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本3m,本本本本本本本本O本本本1.2m,本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本4/3min.本本本本本本本本本本P本本P本本本本本本本h(m).(1)本h本本本t本本本本本本本本本本本本本本本本本.(2)本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本.本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本:本本本本本本本本本0,本本P本本本本本本本本本P本本本本本本本本本本.本本本h本t本本本本本本本本本本本本本.如图，设水车的半径为R，R=1.5m；水车中心到水面的距离为b，b=1.2m；∠QOP为α；水库旋转一圈所需的时间为T；由已知T=4/3（min）=80（s），单位时间（单位：s）旋转的角度（单位：rad）为ω，ω=2πT =π40rad/s.为了方便，不妨从点P位于水车轮与水面交点Q时开始计时（t=0）.在t时刻水车转动的角度为α本本本本本本∠QOP=α=π40t（rad本.本P本本本本本本本本本本本本本M本PM本本本本P本本本本h.过水车中心O作PM的垂线，交PM 于点N，∠QON=φ.从图中不难看出：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b本本本本本本本本本本本本本本本本本.从图中可以看出：sinφ=1.21.5本本本φ=53.1° ≈ 0.295π rad.h ≈1.5sin(π40t- 0.295π)+1.2(m),本本本P本本本本本本本h本本本本t本本本本本本.本本本P本本本本53.1°本本P本本本本本本本本本本 1.2(m),本本t=53.1×80≈11.8本s本.360本本本本本本本本本本本本本本本[11.8,91.8]本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本O本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本b 本本本本.本本本本本本本b本本本本本本本本本本b本本.本本本本本本本本本本本本本本T本本本本本本本本本本本T本本.本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本.本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本“本本”本本本“本本”本“本本本本”本本本本本本本本本本.本本本本本本本本本本本2本本本本本本本本本2本本本本本本本本,本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本,本本本本,本本本本本本,本本本本本本本本本本,本本本本;本本本本本本本本本本本,本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本.本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本3m本本本本本本本本本本本本O本本本本2m本本本本本本本本本本4本本本本本本本本本本P本本本本本本(本本本P0)本本本本本本.(1)本本P本本本本本本本z(m)本本本本本t(s)本本本.(2)本P本本本本本本本本本本本本本本本本《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《《1.本本本本本本本本本本本本本,本本本本本本本本本.2.本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本.《《《《本。
北师版数学高一北师大版必修4学案 1.9 三角函数的简单应用
明目标、知重点 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝π|ω|.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝A ＋k ，y min ＝－A ＋k . (2)A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min2.(3)ω可由ω＝2πT确定，其中周期T 可观察图像获得．(4)由ωx 1＋φ＝0，ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．[情境导学] 生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，“昼夜交替四季轮回”，“潮涨潮落、云卷云舒”，“情绪的起起落落”，“庭前的花开花谢”，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻画周期变化数量的典型函数模型，这节课我们就来通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用．探究点一 利用基本三角函数的图像研究其他函数思考 怎样作出函数y ＝|sin x |的图像，并根据图像判断其周期和单调区间？答 函数y ＝sin x 位于x 轴上方的图像不动，位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |的图像，如下图所示：根据图像可知，函数y ＝|sin x |的周期是π，函数在区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z 上递增；在区间⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π， k ∈Z 上递减．小结 一些函数图像可以通过基本三角函数图像翻折得到．例如：(1)由函数y ＝f (x )的图像要得到y ＝|f (x )|的图像，只需将y ＝f (x )的图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图像保持不动，即“上不动，下翻上”．(2)由函数y ＝f (x )的图像要得到y ＝f (|x |)的图像，应保留y ＝f (x )位于y 轴右侧的图像，去掉y 轴左侧的图像，再由y 轴右侧的图像翻折得到y 轴左侧的图像，即“右不动，右翻左”．例1 (1)作出函数y ＝|cos x |的图像，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间； (2)作出函数y ＝sin|x |的图像并判断其周期性． 解 (1)y ＝|cos x |图像如图所示．由图像可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数； 单调递增区间为[－π2＋k π，k π]，k ∈Z ，单调递减区间为[k π，π2＋k π]，k ∈Z .(2)∵sin(－x )＝－sin x ，∴y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)，－sin x (x <0).∴其图像如图．由图像可知，函数y ＝sin|x |不是周期函数．反思与感悟 结合三角函数图像的特点，一般地有以下结论：(1)y ＝|sin x |的周期是π；(2)y ＝|cos x |的周期是π；(3)y ＝|tan x |的周期是π；(4)y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(A ，ω≠0)的周期是π|ω|；(5)y＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ，ω，k ≠0)的周期是2π|ω|.跟踪训练1 求下列函数的周期： (1)y ＝|sin 2x |；(2)y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6＋13；(3)y ＝|tan 2x |.解 (1)T ＝π2；(2)T ＝2π12＝4π；(3)T ＝π2.探究点二 三角函数模型在生活中的应用思考1 数学模型是什么，建立数学模型的方法是什么？答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．建立数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法． 思考2 上述的数学模型是怎样建立的？ 答 解决问题的一般程序是：1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系； 2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； 3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答． 思考3 怎样处理搜集到的数据？答 画出散点图，分析它的变化趋势，确定合适的函数模型． 小结 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．例2 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)由图可知：这段时间的最大温差是20℃；(2)从图可以看出：6～14是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像， ∴T2＝14－6＝8，∴T ＝16. ∵T ＝2πω，∴ω＝π8.又∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＝30－102＝10，b ＝30＋102＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝10，b ＝20. ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ＋20.将点(6,10)代入得：sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1， ∴3π4＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋3π4，k ∈Z ，取φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20 (6≤x ≤14)．反思与感悟 (1)本例中所给出的一段图像实际上只取6～14即可，这恰好是半个周期，提醒学生注意抓关键．本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往容易被忽略掉．(2)如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．跟踪训练2 下图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2在同一周期内的图像．(1)据图像写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解 (1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150， ∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π. 由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π， 故最小正整数为ω＝629.例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)(2)观察图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．解 (1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适． 令A >0，ω>0，|φ|<π.由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin(π6t ＋φ)＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为 y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )，注意到t ∈[0,24]，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．反思与感悟 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题．在求解具体问题时需弄清A ，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图像)之间的相互转化． 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤： (1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 跟踪训练3 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：＋B 的图像．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13， ∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为 y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7， 即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．1．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根答案 C2.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d ，则函数d＝f(l)的图像大致是()答案C解析d＝f(l)＝2sinl2.3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos⎝⎛⎭⎫gl t＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm.答案g4π2解析T＝2πgl＝1，∴gl＝2π，∴l＝g4π2.4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为2π30t＝π15t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin π15t＋12(t≥0)．(2)由10sinπ15t＋12≥17，得sinπ15t≥12，则52≤t≤252.故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.[呈重点、现规律]1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．一、基础过关1．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( ) A ．[0,1] B ．[1,7] C ．[7,12] D ．[0,1]和[7,12]答案 D解析 ∵T ＝12，∴ω＝2π12＝π6，从而设y 关于t 的函数为y ＝sin(π6t ＋φ)．又∵t ＝0时，y ＝32，∴可取φ＝π3，∴y ＝sin(π6t ＋π3)， ∴当2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z )时，函数递增． ∵0≤t ≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N ＋) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋) 答案 A3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或3答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图像的对称轴． 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2＝±3. 4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20] 答案 C解析 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 答案 26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28.6．函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在[0，πn ]上的面积为2n (n ∈N ＋)，则(1)函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为________；(2)函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为________．答案 (1)43 (2)π＋23解析 (1)取n ＝3，由已知，函数y ＝sin 3x 在[0，π3]上的面积为23.∵函数y ＝sin 3x 的周期为2π3，∴函数y ＝sin 3x 在(π3，2π3)上的面积也是23，∴函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为43.(2)y ＝sin(3x －π)＋1＝－sin 3x ＋1，作这个函数在区间[π3，4π3]上的图像如图所示：由(1)知S 1＝S 2＝S 3＝23，直线x ＝π3，x ＝4π3，y ＝1及x 轴所围成的矩形面积为π.将S 2割下补在S 3处，则图中阴影部分的面积为π＋23，∴函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为π＋23.7.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解 (1)最大用电量为50万kW·h ， 最小用电量为30万kW·h.(2)观察图像可知从8～14时的图像是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6. ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]． 二、能力提升8．已知A 1，A 2，…，A n 为凸多边形的内角，且lg sin A 1＋lg sin A 2＋…＋lg sin A n ＝0，则这个多边形是( )A ．正六边形B ．梯形C ．矩形D ．含锐角菱形答案 C解析 由题意，得sin A 1·sin A 2·…·sin A n ＝1，∴sin A 1＝sin A 2＝…＝sin A n ＝1，∴A 1＝A 2＝…＝A n ＝90°. 根据多边形的内角和得n ×90°＝(n －2)×180°， 解得n ＝4.9．已知某种交流电电流I (安培)随时间t (秒)的变化规律可以用函数I ＝52sin ⎝⎛⎭⎫100πt －π2表示，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电电流在0.5秒内往复运行________次． 答案 25 解析 周期T ＝2π100π＝150(秒)，从而频率为每秒50次，0.5秒往复运行25次． 10．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图像如图所示，则t ＝7120秒时的电流强度为________安培．答案 0解析 根据图像得A ＝10，∵⎩⎨⎧1300ω＋φ＝π2，4300ω＋φ＝32π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝100π，φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6. 当t ＝7120秒时，I ＝10sin 6π＝0.11．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60]． 答案 10sinπt 60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.12.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角． OP 每秒钟内所转过的角为 5×2π60＝π6. 则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动， 得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2. (2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6， 得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 三、探究与拓展13．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解 (1)由表中数据知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。
数学北师大版高中必修4《三角函数的简单应用》教案
3.3三角函数的简单应用（两课时）一.教学目标：1.知识与技能（1）能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解. （2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.（3）揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.2.过程与方法让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点:三角恒等变形.难点: “和差化积”及“积化和差”公式的推导.三.学法与教学用具学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情景】请回忆两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角差的余弦公式；问你能否用sin )(βα+与sin )(βα-表示sin α·cos β和cos α·sin β？类似地能否用cos )(βα+与cos )(βα-来表示cos α·cos β和sin α·sin β？【探究新知】[展示投影]（在学生已完成的基础上进行评价）积化和差公式的推导sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin αcos β ⇒ sin αcos β =21[sin(α + β) + sin(α - β)]sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos αsin β ⇒ cos αsin β =21[sin(α + β) - sin(α - β)]cos(α + β) + cos(α - β) = 2cos αcos β ⇒ cos αcos β =21[cos(α + β) + cos(α - β)]cos(α + β) - cos(α - β) = - 2sin αsin β ⇒ sin αsin β = -21[cos(α + β) - cos(α - β)][展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。
高中数学第一章三角函数1.9三角函数的简单应用学案北师大版必修4
1.9 三角函数简单应用解答三角函数应用题根本步骤解答三角函数应用题根本步骤可分为四步：审题、建模、解模、回归实际问题．1．审题审题是解题根底，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用文字语言表述实际问题类型、思想内涵、问题实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．2．建模在细心阅读与深入理解题意根底上，引进数学符号，将试题中非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题．3．解模运用三角函数有关公式进展推理、运算，使问题得到解决．4．回归实际问题应用问题不是单纯数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出结果要代入原问题中进展检验、评判．预习交流交流电电压U (单位：伏)与时间t (单位：秒)关系可用U ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫100πt ＋π6来表示， 求：(1)开场时电压；(2)电压值重复出现一次时间间隔；(3)电压最大值与第一次获得这最大值时间．答案：预习交流：解：(1)当t ＝0时，U ＝1103(伏)，即开场时电压为1103伏．(2)T ＝2π100π＝150(秒)，即电压值重复出现一次时间间隔为0.02秒．(3)电压最大值为2203伏．当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次获得这个最大值．1．三角函数模型解决实际问题如下图，表示电流I(单位：安)与时间t(单位：秒)关系式I＝A sin(ωt ＋φ)(A＞0，ω＞0)在一个周期内图像．(1)试根据图像写出I＝A sin(ωt＋φ)解析式；(2)为了使I＝A sin(ωt＋φ)中，t在任意一段1100秒时间内能同时取最大值A与最小值－A，那么正整数ω最小值为多少？思路分析：这是一道给出图像来求解析式，进而研究在某区间内能否有最值问题．首先找振幅与周期，从而求出A与ω，再用一个特殊点坐标(注意“五点〞顺序)代入或根据平移情况求出φ. 在大于或等于一个周期区间内可同时有最大值与最小值．如下图，某市拟在长为8 km道路OP一侧修建一条运动赛道，赛道前一局部为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]图像，且图像最高点为S(3,23)；赛道后一局部为折线段MNP.为保证参赛运发动平安，限定∠MNP＝120°，求A，ω值与M，P两点间距离．这类问题特点是三角函数解析式构造，要求根据图像或性质首先求出待定A，ω，φ，b值，然后再利用解析式解决有关问题，其中准确确定待定字母值是解题关键．2．建立三角函数模型解决实际问题如下图，摩天轮半径为40 m，O点距地面高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上P点起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min时P点距离地面高度；(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m思路分析：首先建立平面直角坐标系，然后确定P点距离地面高度y与时刻t函数关系，进而解决第(2)问．受日月引力，海水会发生涨落．这种现象叫作潮汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．某港口水深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)函数，记作y ＝f(t)，下面是某日水深数据：经长期观察，y＝f(t)曲线可以近似地看成函数y＝A sin ωt＋b图像．(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底距离为5米或5米以上时认为是平安(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面距离)为，如果该船希望在同一天内平安进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)解决这类问题首先要建立坐标系，根据题意确定函数解析式，然后再解决相关问题．3．三角函数最值问题如下图，ABCD 是一块边长为100 m 正方形地皮，其中AST 是一半径为90 m 扇形小山，其余局部都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ ，CR 落在正方形边BC ，CD 上．求矩形停车场PQCR 面积最大值与最小值．(提示：sin 2θ＋cos 2θ＝1)思路分析：设∠PAB ＝θ(0°≤θ≤90°)，用θ表示出PQ ，PR ，从而面积S ＝PQ ·PR ，转化为求三角函数最值．如图，动点P 在以AB ＝4为直径半圆上自A 向B 运动，设AP ＝x ，△ABP 面积为S ，试把S 表示成x 函数，并求当S 取最大值时x 值．处理以三角形为模型三角函数实际应用问题关键在于如何巧妙地引入角，使实际问题转化为三角函数问题．答案：活动与探究1：解：(1)由图A ＝300，T ＝160－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1300＝150， 所以ω＝2πT＝100π. 又因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1150，0是“五点法〞作图第三个点， 所以1150×100π＋φ＝π. 所以φ＝π3.所以I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫100πt ＋π3. (2)依题意有T ≤1100，即2πω≤1100. 所以ω≥200π，又因为ω∈N ＋，所以ω最小正整数为629.迁移与应用：解：依题意，有A=4T =3，又T =2πω，∴ω=6π.∴y =6πx .当x =4时，y =23π=3， ∴M(4,3)．又P(8,0)，∴5=.活动与探究2：解：(1)以中心O 为坐标原点建立如下图坐标系，设t min 时P 距地面高度为y ，依题意得又∵T=3，∴ω=23π. 由于起始位置在最低点处， 那么φ=2π-.∴y =40sin+50.(2)令40sin+50＞70，∴sin ＞12，∴2k π+6π＜＜2k π+56π(k ∈Z)， ∴2k π+23π＜23πt ＜2k π+43π(k ∈Z)， ∴3k +1＜t ＜3k +2.令k =0，得1＜t ＜2.因此，共有1min P 点距离地面超过70 m.迁移与应用：解：(1)由数据作出散点图如下，易知函数y =f (t )周期T =12，振幅A=3，b=10，所以y =3sin6t π+10，t ∈[0,24]．(2)由题意知，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，所以3sin πt 6＋10≥11.5. 所以sin πt 6≥12. 解得2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z ),12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．在同一天内，取k ＝0或1，所以1≤t ≤5或13≤t ≤17.所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，它至多能在港内停留16小时．活动与探究3：解：设∠PAB=θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于点M ，那么AM=90cos θ，MP=90sin θ，PQ=MB=100-90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.故矩形PQCR 面积为S ＝PQ ·PR ＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.设sin θ＋cos θ＝t (1≤t ≤2)，那么sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝t 2，∴sin θcos θ＝t 2－12. ∴S ＝10 000－9 000t ＋8 100×t 2－12＝4 050⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －1092＋950. 故当t ＝109时，S min ＝950(m 2)； 当t ＝2时，S max ＝14 050－9 0002(m 2)．迁移与应用：解：由弧长公式得∠AOP ＝x 2(0＜x ＜2π)，∴△ABP 面积是S ＝2×12OA ×OP sin x 2＝2×12×2×2×sin x 2＝4sin x 2， 即S ＝4sin x 2. 当sin x 2＝1，即x 2＝π2，x ＝π时，S max ＝4. 1．如下图为一简谐振动图像，那么以下判断正确是( )．A ．该质点振动周期为0.7 sB ．该质点振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 与0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 与0.7 s 时加速度为零2．如下图，为一半径为3 m 水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，水轮自点A 开场1 min 旋转4圈，水轮上点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，那么( )．A ．ω＝2π15，A ＝3 B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 3．简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|φ|<π2图像经过点(0,1)，那么该简谐运动最小正周期T 与初相φ分别为( )．A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π34．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．时间t ＝0时，点A 坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32，那么当0≤t ≤12时，动点A 纵坐标y 关于t (单位：秒)函数单调递增区间是__________．5．如以下图是某地一天从6时至14时温度变化曲线，近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)求这段时间最大温差；(2)写出这段曲线函数解析式．答案：1．B2．A 解析：∵T ＝604＝15，∴ω＝2πT ＝2π15. 又y max ＝5，∴A ＝3.3．A 解析：T ＝2πω＝2ππ3＝6， 将点(0,1)代入方程，有sin φ＝12. ∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6. 4．[0,1]与[7,12] 解析：设点A 纵坐标y 关于t 函数关系式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t 12×2π＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πt 6＋π3. 令2k π－π2≤π6t ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )， 故12k －5≤t ≤12k ＋1.又由0≤t ≤12，故k 取0,1，可知t ∈[0,1]与[7,12]．5．解：(1)由题图知，这段时间最大温差是30－10＝20(℃)．(2)题图中从6时到14时图像是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 半个周期图像．∴T ＝2×(14－6)＝16，ω＝2πT ＝π8. 又A ＝30－102＝10，b ＝30＋102＝20， ∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x ＋φ＋20. 又当x ＝6时，π8×6＋φ＝3π2， ∴φ＝3π4. ∴所求函数解析式为y ＝10sin ⎛⎪⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．。
2019-2020年高中数学 第九课时 三角函数的简单应用教案 北师大版必修4
2019-2020年高中数学 第九课时 三角函数的简单应用教案 北师大版必修4一、教学目标:1、知识目标：a 通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；c 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重难点教学重点：根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。
教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、例题探析（学生边做教师边提示）例1、一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和α角的正弦.（注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角）.解：设缉私艇与走私船原来的位置分别为A 、B ，在C 处两船相遇，由条件知∠ABC=120°，AB=12（海里），设t 小时后追及，，由正弦定理得 由正弦定理得1411cos ,1435sin 120sin 14sin 10==⇒︒=αααt t ； 再由余弦定理得αcos 1412214419610022t t t ⨯⨯-+=,432,01833122==∴=+-⇒t t t t 或但当AB AC t =<==1222143时，不合，1435sin ),(2==∴α小时t . 例2、如图，人眼在M 处看一幅画AB ，AB=6米，OB=2米，问人应在何处，使视角∠AMB 最大？解：设∠AMO=，∠BMO=，∠AMB==- ,OM=x (x>0)tan=,tan=,tan=tan(-)==xx x x x x x x 1661662.81282+=+=+- 当且仅当x=，即x=4时，tan 最大。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 三角函数的简单应用》
三角函数的简单应用教学设计一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习本节教材通过3个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质特别是周期性的应用通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:1根据图象建立解析式; 2根据解析式作出图象; 3将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
3、情态与价值：培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。
三、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题四、教学过程：三角函数的简单应用一、导入新课思路问题导入三角函数具有周期性，生活中也存在一些具有周期性的事物，通过视频短片引入新课那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课二、推进新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么③上述的数学模型是怎样建立的④怎样处理搜集到的数据活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答三、应用示例例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数=inωφb图11求这一天的最大温差;2写出这段曲线的函数解析式活动:这道例题是2021年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型其中第1小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用第2小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式其中求ω是利用半周期14-6,通过建立方程得解解:1由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃2从图中可以看出,从6—14时的图象是函数=Ain ωφb 的半个周期的图象,∴A=2130-10=10,b=21 3010=202121·ωπ2=14-6, ∴ω=8π•将=6,=10代入上式,解得φ=43π综上,所求解析式为=10in 8π•43π2021[6,14]点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉例2；如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系图2I=Ain ωφ 在一个周期内的图象1根据图象写出I=Ain ωφ的解析式;2为了使I=Ain ωφ中的t 在任意一段1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少解:1由图知A=300,第一个零点为－3001,0,第二个零点为1501,0, ∴ω·－3001φ=0,ω·1501φ=π解得ω=100π,φ=3π,∴I=300in100πt 3π 2依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥=629例 3 受日月引力,海水会发生涨落,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度m 是时间t0≤t≤24,单位:h 的函数,记作=ft,下面是该港口在某季节每天水深的数据:1根据以上数据,求出函数=ft 的近似表达式;2一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5 m 或5 m 以上认为是安全的船舶停靠时,船底只需不碰海底即可,某船吃水深度船底离水面距离为 m 如果该船在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间忽略进出港所需的时间活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律比如重复出现的几个数据并进一步引导学生作出散点图让学生自己完成散点图,提醒π<ϕ<π->ω>,0,0A学生注意仔细准确观察散点图。
北师版数学高一-必修4学案 1.9 三角函数的简单应用
§9 三角函数的简单应用[学习目标] 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．[知识链接]1．数学模型是什么？建立数学模型的方法是什么？答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法． 2．上述的数学模型建立的一般程序是什么？ 答 解决问题的一般程序是：1°审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系； 2°建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型； 3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答． [预习导引]1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝π|ω|.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝A ＋k ，y min ＝－A ＋k . (2)A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min2.(3)ω可由ω＝2πT确定，其中周期T 可观察图像获得．(4)由ωx 1＋φ＝0，ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.要点一 三角函数图像的应用例1 作出函数y ＝|cos x |，x ∈R 的图像，判断它的奇偶性并写出其周期和单调区间． 解 y ＝|cos x |＝⎩⎨⎧cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z ).作出函数y ＝cos x 的图像后，将x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，如图由图可知，y ＝|cos x |是偶函数，T ＝π， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π，π2＋k π(k ∈Z )． 规律方法 翻折法作函数图像(1)要得到y ＝|f (x )|的图像，只需将y ＝f (x )的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，即“下翻上”．(2)要得到y ＝f (|x |)的图像，只需将y ＝f (x )的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到左边，即“右翻左”，同时保留右边的部分．跟踪演练1 作出函数y ＝sin|x |的图像并判断其奇偶性． 解 ∵sin(－x )＝－sin x ，∴y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0.其图像如下图．由图知，y ＝sin|x |是偶函数． 要点二 应用函数模型解题例2 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像，根据图中数据求I ＝A sin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 (1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝⎛⎭⎫1180＋1900＝175. ∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫150πt ＋π6. (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.规律方法 例题中的函数模型已经给出，观察图像和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式．此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．跟踪演练2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t (s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)由下面的函数关系式表示：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π4. (1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？解 (1)令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为⎝⎛⎭⎫0，322.(2)由题意知，当h ＝3时，t ＝π8，即最高点为⎝⎛⎭⎫π8，3；当h ＝－3时，t ＝5π8，即最低点为⎝⎛⎭⎫5π8，－3. (3)T ＝2π2＝π≈3.14，即每经过约3.14秒小球往返振动一次．(4)f ＝1T ≈0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次．要点三 构建函数模型解题例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：(1)(2)观察图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．解 (1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适． 令A >0，ω>0，|φ|<π.由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin(π6t ＋φ)＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )， 注意到t ∈[0,24]，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24.再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．规律方法 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题．在求解具体问题时需弄清A ，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图像)之间的相互转化． 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤： 1．根据原始数据给出散点图．2．通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． 3．根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 跟踪演练3 如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O 距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解 (1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8. 所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).1．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根答案 C2.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图像大致是( )答案 C解析 d ＝f (l )＝2sin l 2.3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最AP低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7解析 由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝9，－A ＋B ＝5，∴B ＝7，A ＝2.又T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝π4，令3×π4＋φ＝π2，∴φ＝－π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7.4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15 t ，故在t s时，此人相对于地面的高度为h ＝10sin π15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．一、基础达标1．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( ) A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12]答案 D解析 ∵T ＝12，∴ω＝2π12＝π6，从而设y 关于t 的函数为y ＝sin(π6t ＋φ)．又∵t ＝0时，y ＝32， ∴可取φ＝π3，∴y ＝sin(π6t ＋π3)，∴当2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z )时，函数递增． ∵0≤t ≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．2．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t2(其中0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( ) A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]答案 C解析 由－π2＋2k π≤t 2≤π2＋2k π得－π＋4k π≤t ≤π＋4k π，k ∈Z ，当k ＝1时，3π≤t ≤5π.3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0D ．－3或3答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图像的对称轴．所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2 ＝±3.4．设f (x )＝x ·tan x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若f (x 1)＜f (x 2)，则下列结论中必成立的是( ) A ．x 1＜x 2 B ．x 1＞x 2 C ．x 21＞x 22 D ．x 21＜x 22答案 D解析 ∵f (x )＝x ·tan x ，∴y ＝f (x )为偶函数关于y 轴对称， 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )＞0且为增函数， ∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有|x 1|＜|x 2|即x 21＜x 22.5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 答案 26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28.6．函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在[0，πn ]上的面积的2n (n ∈N ＋)，则(1)函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为________；(2)函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为________．答案 (1)43 (2)π＋23解析 (1)取n ＝3，由已知，函数y ＝sin 3x 在[0，π3]上的面积为23.∵函数y ＝sin 3x 的周期为2π3，∴函数y ＝sin 3x 在(π3，2π3)上的面积也是23，∴函数y ＝sin 3x 在[0，2π3]上的面积为43.(2)y ＝sin(3x －π)＋1＝－sin 3x ＋1，作这个函数在区间[π3，4π3]上的图像如图所示：由(1)知S 1＝S 2＝S 3＝23，直线x ＝π3，x ＝4π3，y ＝1及x 轴所围成的矩形面积为π.将S 2割下补在S 3处，则图中阴影部分的面积为π＋23，∴函数y ＝sin(3x －π)＋1在[π3，4π3]上的面积为π＋23.7．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)最大用电量为50万kW·h ，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图像可知从8～14时的图像是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]． 二、能力提升8．函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图像可能是下列图像中的( )答案 C解析 y ＝xsin x 是偶函数，排除A ；当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B 、D.9．已知某种交流电电流I (A)随时间t (秒)的变化规律可以用函数I ＝52sin ⎝⎛⎭⎫100πt －π2表示，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电电流在0.5秒内往复运行________次． 答案 25 解析 周期T ＝2π100π＝150(秒)，从而频率为每秒50次，0.5秒往复运行25次． 10．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图像如图所示，则t ＝7120秒时的电流强度为______．答案 0解析 根据图像得A ＝10，由⎩⎨⎧1300ω＋φ＝π2，4300ω＋φ＝32π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝100π，φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6. 当t ＝7120秒时，I ＝10sin 6π＝0.11．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60]． 答案 10sinπt 60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10， 可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.12．如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？ 解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边， OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动， 得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2. (2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 三、探究与创新13．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 解 (1)由表中数据知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5. 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0. ∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k－3<t<12k＋3，k∈Z.①∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.。
北师大版必修4《1.9三角函数的简单应用》教案
【教学主题】三角函数的简单应用【教学目标】：1．会用三角函数解决一些简单的实际问题．2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【知识梳理】1、周期现象是自然界中最常见的现象之一，______________是研究周期现象最重要的数学模型．2、面对实际问题建立数学模型y ＝__________________是一项重要的基本技能． 【典型例题】 一、选择题1.如图所示的半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点B 开始1min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5[答案] A[解析] ∵1min 旋转4圈，∴1圈需14min ，即T ＝604＝15(s)．又∵T ＝2πω，∴2πω＝604＝15，∴ω＝2π15.又∵P 到水面的最大距离为5m ， ∴函数最大值为5m ，故A ＝3.2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3[答案]A[解析] 最小正周期T ＝2ππ3＝6，∵f (x )过(0,1)，则1＝2sin φ， 又|φ|<π2，∴φ＝π6，故选A.3．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向旋转23π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，32B ．⎝⎛⎭⎫－32，－12 C ．⎝⎛⎭⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎫－32，12 [答案]A[解析]当逆时针旋转23π后，Q 点坐标为⎝⎛⎭⎫cos 23π，sin 23π，即⎝⎛⎭⎫－12，32. 4．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 [答案] B[解析] 由图像可知，T2＝0.7－0.3＝0.4，∴T ＝0.8(s)，故A 错，显然振幅A ＝5cm ，故B 正确； 该质点在0.1s 和0.5s 时振动速度为0，故C 错；在0.3s 和0.7s 时，加速度改变方向，且不为0，故D 错．5．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos(g l t ＋π3)，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1s 时，线长l 等于( ) A ．g πB ．g 2πC ．g π2D ．g 4π2[答案]D[解析]：因为周期T ＝2πg l， 所以g l ＝2πT ＝2π.则l ＝g 4π2. 6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin(π4x －π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)B ．f (x )＝9sin(π4x －π4)(1≤x ≤12，x ∈N ＋)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)D ．f (x )＝2sin(π4x ＋π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)[答案] A[解析] 令x ＝3可排除选项D ；令x ＝7可排除选项B ；由A ＝9－52＝2可排除选项C ；或由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋φ)＋7.∵当x ＝3时，y ＝9，∴2sin(3π4＋φ)＋7＝9，即sin(3π4＋φ)＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin(π4x －π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)．二、填空题7．设函数f (x )＝2sin(π2x ＋π5)，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值是________．[答案] 2[解析] 由题意知f (x 1)只能恒等于－2，f (x 2)只能恒等于2，最小正周期T ＝4. ∴|x 1－x 2|min ＝T2＝2.8．弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 间做简谐振动，B 、C 相距20cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5s 振子首次达到C 点，则振子在5秒内通过的路程及5s 末相对平衡位置的位移大小分别为____________．[答案] 2m 、10cm[解析] 设振幅为A ，则2A ＝20cm ，A ＝10cm ， 设周期为T ，则T2＝0.5s ，T ＝1s.振子在1T 内通过的路程为4A ，故在t ＝5s ＝5T 内通过的路程S ＝5×4A ＝20A ＝20×10cm ＝2m. 5s 末振子处在B 点，所以它相对平衡位置的位移是10cm.三、解答题9．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系为s ＝6sin(2πt ＋π6)．(1)作出它的图像．(2)单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ [解析] (1)列表如下：描点并用光滑的曲线连接这些点，再向左或向右平移k (k ∈Z )个单位长度，得函数s ＝6sin(2πt ＋π6)的图像，如图所示．(2)当t ＝0时，s ＝6sin π6＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3cm.(3)s ＝6sin(2πt ＋π6)的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(4)s ＝6sin(2πt ＋π6)的周期T ＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s.一、选择题1．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系：能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin(π6t ＋π)，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈ [0,24]D ．y ＝12＋3sin(π12t ＋π2)，t ∈[0,24][答案] A[解析] 解法一：由上表可知：y max ≈15，y min ≈9， 所以A ＝15－92＝3，又可知周期T ＝12，所以ω＝π6，代入t ＝0可得φ＝0，k ＝15－3＝12，故y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]．因此选A.解法二：该题可直接由上表得到周期T ＝12， 又由t ＝0时，y ＝12，可知φ＝0.2．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图像大致是( )[答案] C[解析] AP 为单位圆上的弧长，∴l ＝∠POA ，过O 作P A 的垂线，且平分∠POA ，则由解直角三角形得|P A |＝2sin l 2，即d ＝2sin l2，其图像是周期为4π的正弦曲线，故选C.二、填空题3．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图像如图所示，则当t ＝7120(秒)时电流强度为________．[答案] 0[解析] 由题图知，T 2＝4300－1300＝1100，∴T ＝150，即ω＝100π，A ＝10.又t ＝1300时，I 取最大值，则有10＝10sin(1300×100π＋φ)， 解得φ＝π6，即I ＝10sin(100πt ＋π6)．令t ＝7120，则I ＝10sin(100π×7120＋π6)＝10sin6π＝0.4．已知某游乐园内摩天轮的中心点O 距离地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70m 以上的时间将持续________分钟．[答案] 4[解析] 依题，即40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50≥70，即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．三、解答题5．如图所示，某地一天从0～10时的温度变化曲线近似地满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，其中A >0，ω>0，－π<φ<0.(1)求这一天0～10时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．[解析] (1)由图可知，这一天0～10时的最高温度是20℃，最低温度是0℃，则最大温差是20℃－0℃＝20℃.(2)由图可以看出，从1～9时是半个周期， 则周期T ＝2(9－1)＝16，∴2πω＝16，解得ω＝π8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝20，－A ＋b ＝0，得A ＝10，b ＝10，则有y ＝10sin(π8x ＋φ)＋10，∴sin(π8＋φ)＝－1.又－π<φ<0，则φ＝－5π8，综上，所求解析式为y ＝10sin(π8x －5π8)＋10，x ∈[0,10]．6．已知电流I 与时间t 的关系式为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)下图是I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值，那么ω的最小正整数值是多少？[解析] (1)因为周期T ＝2[1180－ (－1900)]＝175，ω＝2πT＝150π，。
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§9 三角函数的简单应用
解答三角函数应用题的基本步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、回归实际问题． 1．审题
审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．
2．建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将试题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题．
3．解模
运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决． 4．回归实际问题
应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判．
预习交流
交流电的电压U (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用U ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π
6来表示，
求：(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得这最大值的时间．
答案：预习交流：解：(1)当t ＝0时，U ＝1103(伏)，即开始时的电压为1103伏．
(2)T ＝2π100π＝1
50
(秒)，即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒．
(3)电压的最大值为2203伏．
当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1
300
秒时第一次获得这个最大值．
1．已知三角函数的模型解决实际问题
如图所示，表示电流I (单位：安)与时间t (单位：秒)的关系式I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．
(1)试根据图像写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；
(2)为了使I ＝A sin(ωt ＋φ)中，t 在任意一段1
100秒的时间内能同时取最大值A 和最小值－
A ，那么正整数ω的最小值为多少？
思路分析：这是一道给出图像来求解析式，进而研究在某区间内能否有最值的问题．首先找振幅和周期，从而求出A 和ω，再用一个特殊点的坐标(注意“五点”的顺序)代入或根据平移情况求出φ. 在大于或等于一个周期的区间内可同时有最大值和最小值．
如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°，求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．
这类问题的特点是三角函数的解析式结构已知，要求根据图像或性质首
先求出待定的A ，ω，φ，b 的值，然后再利用解析式解决有关问题，其中准确确定待定字母的值是解题的关键．
2．建立三角函数模型解决实际问题
如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m?
思路分析：首先建立平面直角坐标系，然后确定P点距离地面的高度y与时刻t的函数关系，进而解决第(2)问．
受日月的引力，海水会发生涨落．这种现象叫作潮汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．
某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：
经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝A sin ωt＋b的图像．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
解决这类问题首先要建立坐标系，根据题意确定函数的解析式，然后再
解决相关问题．
3．三角函数的最值问题
如图所示，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P
在 ST上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边BC，CD上．求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．(提示：sin2θ＋cos2θ＝1)
思路分析：设∠P AB＝θ(0°≤θ≤90°)，用θ表示出PQ，PR，从而面积S＝PQ·PR，转化为求三角函数的最值．
如图，动点P 在以AB ＝4为直径的半圆上自A 向B 运动，设 AP ＝x ，△ABP 的面积为S ，试把S 表示成x 的函数，并求当S 取最大值时x 的值．
处理以三角形为模型的三角函数的实际应用问题的关键在于如何巧妙
地引入角，使实际问题转化为三角函数问题．
答案：活动与探究1：解：(1)由图已知A ＝300，T ＝160－⎝⎛⎭⎫－1300＝150
， 所以ω＝2π
T ＝100π.
又因为⎝⎛⎭⎫1
150，0是“五点法”作图的第三个点， 所以1
150
×100π＋φ＝π.
所以φ＝π
3
.
所以I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π
3. (2)依题意有T ≤1100，即2πω≤1
100
.
所以ω≥200π， 又因为ω∈N ＋，
所以ω的最小正整数为629.
迁移与应用：解：依题意，有A=4
T
=3，
又T =
2πω，∴ω=6
π.
∴y =6
π
x .
当x =4时，y =23
π
=3， ∴M(4,3)．又P(8,0)，
∴5=.
活动与探究2：解：(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面高度为y ，依题意得。