正弦函数的性质
正弦函数的性质与图像
x
sin x
1 s in x
0 0
π 2
π
0
3π 2
2 π
1 2
1
0
1
1
0
1
描点作图
y
2 1
-
y 1 sin x ， x [ 0， 2 π ]
π 2
o
1-
π
3π 2
2π
x
y sin x ， x [ 0， 2 π ]
用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的图。 （1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1； (3)y=3sin x.
y
1
p (c o s x , s in x )
o
M
1
x
正弦线 MP
三角函数 问题
几何问题
正弦函数的图象
利用正弦线作出 y sin x ， x 0， π 的图象. 2
y
作法: (1) 等分; (2) 作正弦线;
/
1P1
p1
(3) 平移; (4) 连线.
π 3
π 2
6
-
-
o1
M
-1 A
π 2
，1 )；
与 x 轴的交点: ( 0 ， 0 )， ( π ， 0 )， ( 2 π ， 0 )； 图象的最低点:
( 3π 2 ， 1) ．
五点 作图法
五 点 作 图 法
列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标．
描点：定出五个关键点．
连线：用光滑的曲线顺次连结五个点．
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。 (1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
正弦函数的意义和作用
正弦函数的意义和作用摘要：1.正弦函数的定义和基本概念2.正弦函数的图像和性质3.正弦函数在实际应用中的作用4.总结正文：正弦函数是三角函数中的一个重要组成部分，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
本文将从正弦函数的定义、性质以及实际应用三个方面进行阐述。
首先，我们来了解正弦函数的定义和基本概念。
正弦函数y = sin(x)是一个周期函数，它的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在x = 0处取到最小值-1，在x = π/2处取到最大值1。
此外，正弦函数还具有奇函数的性质，即sin(-x) = -sin(x)。
其次，正弦函数的图像和性质对其在实际应用中的作用具有重要意义。
正弦函数的图像反映了波动现象，如声音、光线等的传播。
通过对正弦函数图像的研究，我们可以更好地理解波动的特性，如频率、振幅等。
同时，正弦函数的奇函数性质使其在求解一些物理问题时具有简化计算的优势。
正弦函数在实际应用中的作用主要体现在以下几个方面：1.描述波动现象：正弦函数可以用来表示声音、光线、电磁波等波动现象，有助于分析波动的传播规律、频率、振幅等参数。
2.计算几何：正弦函数在计算几何中具有广泛应用，如求解三角形面积、角度等。
3.电路分析：在电路分析中，正弦函数用于描述电压、电流等参数，有助于分析电路的稳定性、频率响应等。
4.数值计算：正弦函数在数值计算领域具有重要作用，如求解微分方程、积分等。
最后，通过对正弦函数的学习，我们可以更好地理解其在数学、物理、工程等领域的应用价值。
掌握正弦函数的定义、性质以及实际应用，有助于我们解决实际问题，提高科学计算能力。
总之，正弦函数作为三角函数的基础部分，在数学和自然科学领域具有重要地位。
总结正弦函数知识点
总结正弦函数知识点一、正弦函数的定义正弦函数是一种周期性的三角函数，它和圆的单位圆概念有关。
在单位圆上，我们取一个角度θ，令P(x,y)为单位圆上与角θ对应的点。
那么，正弦函数的定义就是正弦值sinθ等于点P的y坐标值，即sinθ=y。
正弦函数的定义域是整个实数集R，值域是[-1,1]。
这意味着正弦函数的值总是在-1和1之间波动，永远不会超出这个范围。
正弦函数的图像是一条无限长的曲线，它在整个实数轴上都有定义，并且呈周期性波动。
二、正弦函数的性质1. 周期性正弦函数是一种周期性函数，它的周期是2π。
这意味着正弦函数在每个周期内都会重复一次相同的波动。
具体地说，当角度θ增加2π时，正弦函数的值会重复上一个周期的值。
这样的性质使得我们可以对正弦函数进行周期性的分析和研究。
2. 奇函数性质正弦函数是一种奇函数，即sin(-θ)=-sinθ。
这意味着当角度为θ的时候，正弦函数取得的值和当角度为-θ的时候取得的值相反。
这样的性质使得我们可以通过对正弦函数的奇偶性质进行简化计算和分析。
3. 周期性函数正弦函数是一种周期性函数，它的图像呈现出周期性的波动。
它的主要特点是在整个实数轴上都有定义，并且周期性重复波动。
这让我们可以通过正弦函数的周期性特点进行分析和研究。
4. 有界性正弦函数的值域是[-1,1]，这意味着它的值总是在-1和1之间波动。
这样的有界性质使得我们可以对正弦函数的取值范围有清晰的了解，也方便我们在实际问题中进行适当的估算。
5. 其他性质正弦函数还有一些其他性质，比如在x=0时取得最大值1，x=π/2时取得最小值-1；在x=π时取得最大值1，x=3π/2时取得最小值-1等。
这些性质都是正弦函数的重要特点，需要我们对正弦函数有深入的了解和掌握。
三、正弦函数的图像正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，它在整个实数轴上都有定义，并且呈周期性重复。
具体来说，正弦函数的图像呈现出一种逐渐上升、达到最大值、逐渐下降、达到最小值的曲线波动。
正弦函数的性质
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx
二、正弦函数性质的简单应用
例1 比较下列各组正弦值的大小：
1) sin( )与 sin( ) 8 10
解：
5 7 2) sin 与 sin 8 8
分析： 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。
0 2 8 10 并且f(x)=sinx在 , 上是增函数，所以 2 2
知识回顾：
在上一节课里我们学 习了正弦函数的图像以及 五点作图法。
想一想：怎样画出正弦函数
f(x) sinx 的图象 ？
一、正弦函数 y=sinx 的性质
y 1
y 1
2
2
2
O
1
3 2
2
3
4
y 1
x
（1）定义域
实数集R
2k y 1 当x=________________时， max _____ 2
x
3
7 2
4
x
sinx
2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
y=sinx (xR) 2k , k Z 增区间为 [ 2 2k , 2 ] 其值从-1增至1 2 ，
减区间为 [ 2
2 3 3 ] ， 22k , 2 2k , k Z 其值从 1减至-1 2
当 x [ 2 k
单调性
2
2 3 当 x [ 2 k ＋ , 2 k ] 减 2 2
正弦函数图像和性质
2.求函数的值域，并求取得最值时X的取值集合。
（1）y= - 2sinx
（2）y= 2sin(2x+ 4 )
x [ , ]
4
（3）y= sin2x + 2sinx - 2
-4 -3
-2
y
1
-
o
-1
2
周期的概念
3
4
5 6x
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T ，
使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
练习：函数y＝asinx＋b的最大值为2，最小值为－1，
则a＝________，b＝________.
[解] 当 a>0 时，由题意得
[答案] 32或－32
1 2
a＋b＝2 －a＋b＝－1
，解得ab＝ ＝3212
.
当 a<0 时，由题意，得－ a＋a＋ b＝b＝ －21 ，
解得ab＝ ＝－ 12 32
.
正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x
正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2 5π
2
3 7π 4 2
正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x
π 2
…
sinx -1
0… 0
π…
2
1
…
3π 2
0
-1
在闭区间 π22π2k，π,π2π2 2kπ, k Z 上, 是增函数；
f ( x＋T )＝ f (x)
，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是高中数学中的基础函数，也是三角函数中最常见的函数之一。
这两个函数有许多重要的性质，其中包括它们的单调性。
正弦函数是以π/2为周期的函数，表示为y=sin x。
在每个周期内，正弦函数分别在
x=0、x=π/2、x=π、x=3π/2等点上取得最大值1，同时在x=π/2、x=3π/2、x=5π/2、
x=7π/2等点上取得最小值-1。
在每个周期内，正弦函数是一个奇函数，即满足
sin(-x)=-sin(x)。
因为正弦函数在每个周期内都是周期性的，并且在一个周期内单调递增，所以可以得
到以下结论：
当0<x<π/2时，sin x单调递增。
综合以上结论，可以得到在[2kπ,2(k+1)π]区间内，当k是奇数时，sin x单调递减；当k是偶数时，sin x单调递增。
总结
正弦函数和余弦函数的单调性是学习三角函数的初学者必须掌握的基础知识。
在计算中，可以通过掌握正弦函数和余弦函数的单调性来简化计算，提高计算效率。
在实际应用中，也有很多场合需要用到正弦函数和余弦函数的单调性，比如在信号处理、音频处理、
图像处理等领域中。
因此，正确理解和运用正弦函数和余弦函数的单调性具有十分重要的
意义。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的函数，它们具有许多重要的性质。
单调性是其中之一。
本文将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，希望能对读者加深对这两个函数的理解。
我们先来介绍一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数记作y=sin(x)，其中x表示自变量，y表示函数值。
余弦函数记作y=cos(x)，同样x表示自变量，y表示函数值。
这两个函数都是周期函数，其周期为2π。
下面我们分别来介绍它们的单调性。
正弦函数的单调性：正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
具体来说，当自变量x增大时（在0到π/2之间），y=sin(x)也逐渐增大，当自变量x继续增大（在π/2到π之间），y=sin(x)逐渐减小，当自变量x继续增大（在π到3π/2之间），y=sin(x)又逐渐增大，以此类推。
从图上来看，正弦函数的图像会呈现出一种周期性的波动，这体现了正弦函数的周期性。
我们可以得出结论，正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
正弦函数和余弦函数在各自的周期内的单调性是不同的。
正弦函数是先增后减或者先减后增的，而余弦函数是先减后增或者先增后减的。
这也是因为正弦函数和余弦函数的定义和性质不同所导致的。
通过对这两个函数的单调性进行分析，可以帮助我们更好地理解它们的规律和特点。
除了单调性以外，正弦函数和余弦函数还有许多其他重要的性质，比如周期性、奇偶性、图像特点等。
这些性质都是我们在学习和应用这两个函数时需要重点关注的内容。
希望通过本文的介绍，读者能够对正弦函数和余弦函数的单调性有更清晰的认识，并能够更好地应用这些知识解决实际问题。
正弦函数的图像和性质
（3）周期性
sin(x+2kπ）=sin x, (k∈Z), 2k
y 1
y 1
2
2
2
O
1
3 2
2
3
4
y 1
x
正弦函数y=sinx的性质：
1 (4)最大值与最小值 ymax _____ ymin
(5)单调性
_____ 1
2k ,2k , k Z 2 在x R内，x __________ 2 __________为增函数， _
设任意角 的终边 与单位圆交于点P， 过点p做x轴的垂线， 垂足M，称线段MP 为角 的正弦线
P(a, b ) r O
h
M A
正弦函数y=sinx（x R)的图象
5 6
2 3
2
3 6
11 6
y
1
● ● ● ● ●
y=sinx ( x [0, 2 ] )
●
7 6 4 3 5 3
y
1
4 3
2
3 2
2
2
3
4
7 2
5 2
0
-1
2
3 2
5 2
7 2
x
y=sin x, x∈R
思考与交流:图中,起着关键作用的点
是那些?找到它们有什么作用呢? 0,0 ,1 ,0 3 ,1 2
2
1 2
0 1
3 2
2
0 1
-1 0
描点得y=1+sin x的图象 y 1
1.3.1正弦函数的性质
sin x的周期： ...... 4、 2、 2、 4、 6 ......
例如：y=sinx的最小正周期T=2π
例4求下列函数的周期： f（x
（ 1 ）y sin 3x
2π x y=sinu的周期为 T 8 （2）y sin 4 u →u+2π 2 （3）y A sin （ x ），（A ， 0) 3x →3x+2π （ 30x ）
性质一：正弦函数 y=sinx 定义域和值域
定义域为R，值域为[-1,1]
π x 2kπ （k Z）时，ymax 1； 2 π x 2kπ （k Z）时，ymin 1； 2
例1、下列各等式能否成立？为什么？ （1）2sinx=3； （2）sin2x=0.5
1 sin x 1
2
3 2
2
2
3
4
5 2
0
-1
2
3 2
5 2
7 2
x
3 y sin x的减区间： [ 2k， 2k ] 2 2
（k Z）
性质三：正弦函数 y=sinx 的单调性
增区间： π [ 2kπ ， 2kπ ] 2 2
减区间： 3 π [ 2kπ ， 2kπ ] 2 2
例8 求函数y sin(2 x
)图象的对称轴方程及对称中心坐标.
练习1:
1 求函数y sin( x )图象的对称轴方程及对称中心坐标. 2 3
5 对称轴方程x 2k (k Z )； 3 2 对称中心（2k ， 0)(k Z ) 3
习2、函数y sin(2 x ) 3 kπ π x (k Z ) 2 12 __, 的对称轴是__ __________
正弦函数、余弦函数的性质(经典)
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分， 可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系 ，复数可以用三角函数的形式表示， 而三角函数也可以用复数进行计算和 分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表 示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的 定义非常相似，因此可以将复数的运算 转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于 任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。 相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$， 即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大 值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性 质和应用，例如：傅里叶变换、拉普 拉斯变换、Z变换等。这些变换在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的 应用。
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集合是｛x｜x＝
4
＋kπ，k∈Z｝
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.
(2) 当3x+ =2k+ 即 x= 2k (kZ)时,
4
2
3 12
y的最大值为0.
例2.求函数y=sin2x+4sinx的最小值
y=(sinx+2)2-4 当sinx= -1 时,ymin=-3
注意:化为二次函数时,要注意sinx作为自 变量时,它的取值范围是[-1,1]
解：
2k 2 x
4 2k
4
2
k
x k
3
8
8
2k 2 x 2k 3
2
4
2
k 3 x k 7
8
8
单调增区间为 [k , k 3 ]
8
8
单调减区间为 [k 3 , k 7 ]
例如
:
sin(
)
sin
, 但是
sin(
)
sin
.
42 4
32 3
就是说 不能对x在定义域内的每一个值使
2
sin( x ) sin x,因此 不是y sin x的周期.
2
2
(2) T往往是多值的（如y=sinx, T=2, 4, … , －2, － 4, …都是周 期）周期T中最小的正数叫做f (x)的 最小正周期（有些周期函数没有最小 正周期,如常值函数 f(x)=1 ）.
7 2
4
-1
y=sinx
(5) 单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2]k],kZ
T 2
例4：不通过求值，指出下列各式大于0还是
小于0,
(1)sin(－ )－sin(－ )；
18
10
(2)sin(－ 23
5
)－sin(－
17
4
)．
解：(1) ∵
2 10 18 2
且函数y＝sinx，x∈［－ ， ］是增函数
22
即sin(－
8
8
课堂练习
1.3.1（二）正弦函数的性质
由正弦函数y=sinx的作图过程以及正弦 函数的定义，容易得出正弦函数y=sinx还有 以下重要性质.
(1)定义域：
正弦函数y=sinx的定义域是实数集R或(－∞， ＋∞) ，记作：y＝sinx，x∈R.
(2)值域: 因为正弦线的长度小于或等于单位 圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正 弦曲线分布在两条平行线y=1和y=－1之间， 所以｜sinx｜≤1，即－1≤sinx≤1,
练习.函数y=cos2x+sinx的最小值
y=- (sinx-1/2)2+5/4
例3：求下列三角函数的周期：f(x＋T)＝f(x)
(1)y=sin(3x)； (2)y=2sin( x - )
26
（1）y=sin(3x)
解：设周期为T，则
f(x)=sin3x
f(x+T)= sin3(x+T)Fra bibliotek2
sin
1 2
(
x
T
)
6
2
sin
1 2
x
6
2
sin
1 2
x
6
1 2
T
2 sin
1 2
x
6
u的周期为2 T 2 , 即T 4 .
2
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)
（其中 A 0, 0, x R ）的周期是
根据上述定义，可知：正弦函数是周期函 数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正 周期是2π.
(4) 奇偶性: 由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数, 因此正弦曲线关于原点O对称.
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
3
由f(x)= f(x+T)得，sin3x=sin(3x+3T) ，
3x+2π=3x+3T
解得T= 2 .
3
等式f(x+T)=f(x),强调x本身加的常数才是周期
(2)
f
(
x)
2 sin
1 2
x
6
.
解:设f
(
x)
2
sin
1 2
x
6
的周期为T
.
Q f (x T) f (x)
18
)－sin(－10
)＞0
(2)sin(－
23
5
)＝－sin
2
5
sin(－ 17 )＝－sin
4
4
0 2
452
函数y=sinx在区间(
0,
)内为增函数,
2
∴sin(－
23
5
)－sin(－ 17
4
)＜0.
例5 求下列函数的单调区间：
(1) y=3sin(2x- )
数倍时，正弦函数y的值重复出现。这种性质称 为三角函数的周期性。
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非 零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时， 都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期
1.定义是对定义域中的每一个x值来说的,
只(1有) “个每别一的个x值值”满，足只:要f (有x 一T个) 反例f (，x)则f (x)就 不不能为说周T期是函y 数 （f (如x)f的(x周0+期T).f (x0)）；
也就是说，正弦函数的值域是［－1，1］.
正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝
2
＋2kπ，k∈Z时，正弦
函数取得最大值1；
②当且仅当x＝－ ＋2kπ，k∈Z时，正
2
弦函数取得最小值－1
(3) 周期性:
由sin(x＋2kπ)＝sinx (k∈Z)知：
正弦函数值是按照一定规律不断重复地
取得的。当自变量x的值每增加或减少2π的整
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+22k，, 332
+2]k],kZ
其值从 1减至-1
（6）对称性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
对称中心 （k,0)
对称轴 X=k+ /2 最大值点 X=2k+ /2
最小值点 X=2k - /2
3
4
5 6 x
例1： 求使下列函数取得最大值的自变量x的
集合，并说出最大值是什么.
(1) y＝sin2x，x∈R;
(2) y=sin(3x+ 4
) －1
(1) 令w＝2x，那么x∈R得Z∈R，且使函
数y＝sinw，w∈R，取得最大值的集合是
｛w｜w＝ ＋2kπ，k∈Z｝
2
由2x＝w＝2 ＋2kπ，
得x＝
4
＋kπ.
即 使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的