数学归纳法单元测考试试题

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2.3 数学归纳法第 1 课时数学归纳法1．用数学法明“ 2n>n 2＋1 于 n ≥n 0 的自然数 n 都成立” ，第一步明中的起始 n 0 取()．A ．2B ． 3C ． 5D ．6解析当 n 取 1、2、3、4 2n2＋1 不成立，当＝，5＝2＋＝>nn 5 232>5 126，第一个能使 2n>n 2＋1 的 n5，故 C.答案 Cn ＋ 3 n ＋42．用数学法明等式1＋ 2＋ 3＋⋯＋ (n ＋ 3)＝(n ∈ N ＋ )， n2＝ 1 ，左取的是()．A ．1B ． 1＋ 2C ．1＋2＋3D ． 1＋ 2＋ 3＋ 4解析等式左的数是从 1 加到 n ＋3.当 n ＝1 ， n ＋3＝4，故此左的数从 1 加到 4. 答案 D1 11 (n ∈N ＋ )，那么 f(n ＋1)－ f(n)等于3． f(n)＝1＋2＋3＋⋯＋－3n1()．111A.3n ＋2B.3n ＋ 3n ＋1C. 1 ＋ 11 1 ＋ 1 ＋＋ 2D.3n ＋＋＋2 3n 1 3n3n1 3n11 1 解析∵f(n)＝1＋2＋3＋⋯＋，3n －11 11 111∵f(n ＋ 1)＝1＋2＋3＋⋯＋＋3n ＋＋，3n －13n ＋ 1 3n ＋2∴f(n ＋ 1)－f(n)＝ 1 1 1＋＋.3n 3n ＋ 1 3n ＋2答案D4．用数学法明关于 n 的恒等式，当n ＝k ，表达式1×4＋2×7＋⋯＋ k(3k ＋1)＝ k(k ＋ 1)2，当 n ＝k ＋1 ，表达式 ________．答案 1×4＋2×7＋⋯＋ k(3k ＋1)＋ (k ＋1)(3k ＋4)＝ (k ＋1)(k ＋2)2 5．凸 k 形的内角和f(k)，凸 k ＋ 1 形的内角和 f(k ＋ 1)＝f(k)＋________.解析由凸 k 形凸 k ＋1 形，增加了一个三角形形，故f(k ＋ 1)＝ f(k)＋ π.答案 π 6．用数学法明：1 ＋ 1＋⋯＋1＝1＋1＋⋯＋11×2 3×42n －1 ·2n n ＋1n ＋2n ＋n.明(1)当 n ＝1 ，左＝1＝1，右＝1，等式成立．1×222 (2)假当 n ＝k(k ∈N * ) ，等式成立，即111 111× ＋ ×＋⋯＋－＝＋ k ＋＋⋯＋ 2k .1 2 3 4 2k 1·2k k ＋ 1 2当 n ＝k ＋1 ，1 ＋ 1＋⋯＋1 ＋1 1×2 3×42k － 1 ·2k 2k ＋1 2k ＋2＝1＋1＋⋯＋ 1 ＋ 1k ＋1 k ＋2 2k2k ＋ 1 2k ＋ 2 ＝ 1 ＋ 1 1 ＋ 1 1 1＋⋯＋ 2k ＋ 1－ 2k ＋2 ＋k ＋2 k ＋3 1 k＝1＋1＋⋯＋ 1 ＋ 1 ＋ 1k ＋2 k ＋32k2k ＋1＋ 22k 1 111.即当 n ＝k ＋1＝k ＋1 ＋1＋k ＋ 1 ＋2＋⋯＋k ＋1 ＋k＋k ＋ 1 ＋ k ＋1 ，等式成立．根据 (1)(2)可知，一切 n ∈N * ，等式成立．7．若命 A(n)(n ∈N * )在 n ＝k(k ∈N * ) 命成立，有 n ＝k ＋ 1 命成立．知命 n＝ n0(n0∈ N* )命成立，有()．A．命所有正整数都成立B．命小于 n0的正整数不成立，大于或等于n0的正整数都成立C．命小于 n0的正整数成立与否不能确定，大于或等于n0的正整数都成立D．以上法都不正确解析由已知得 n＝n0 0∈*) 命成立，有n＝0＋1命成立；在n(n N n＝ n0＋1 命成立的前提下，又可推得n＝ (n0＋1)＋1 命也成立，依此推，可知 C.答案 C8．用数学法明 (n＋1)(n＋ 2)(n＋3)⋯(n＋n)＝2n·1·3·⋯·(2n－1)(n∈N* )，从n＝k 到 n ＝ k＋ 1，左增加的代数式( )．A．2k＋1 B．2(2k＋ 1)2k＋1 2k＋ 3C. k＋ 1D. k＋1解析n＝ k ，左＝ (k＋ 1)(k＋ 2)⋯(2k)； n＝k＋1 ，左＝ (k＋2)(k＋3)⋯ (2k＋ 2)＝2(k＋1)(k＋2)⋯(2k)(2k＋1)，故 B.答案 B9．分析下述明 2＋4＋⋯＋ 2n＝ n2＋n＋1(n∈N＋ )的程中的：明假当 n＝k(k∈N＋ )等式成立，即2＋ 4＋⋯＋ 2k＝k2＋k＋1，那么 2 ＋4＋⋯＋ 2k＋ 2(k＋ 1)＝k2＋ k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当 n＝k ＋1 等式也成立．因此于任何 n∈N＋等式都成立． __________________.答案缺少步奠基，上当n＝ 1 等式不成立10．用数学法明 (1＋ 1)(2＋2)(3＋ 3)⋯(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)，从 n＝k 到 n ＝ k＋1 左需要添加的因式是________．解析当 n＝ k ，左端： (1＋1)(2＋2)⋯(k＋k)，当 n＝k＋ 1 ，左端： (1＋1)(2＋2) ⋯(k＋k)(k＋ 1＋k＋1)，由 k 到 k＋1 需添加的因式： (2k＋2)．答案2k＋ 211．用数学法明2＋22＋⋯＋n2＝n n＋12n＋1 ∈*)．16 (n N 明(1)当 n＝1 ，左＝ 12＝1，右＝1× 1＋ 1 × 2×1＋16 ＝ 1，等式成立．(2)假当 n＝k(k∈N* )等式成立，即12＋22＋⋯＋k2＝k k＋12k＋16那么，12＋ 22＋⋯＋ k2＋(k＋1)2＝k k＋1 2k＋1＋(k＋1)26k k＋ 1 2k＋ 1 ＋6 k＋1 2＝6k＋1 2k2＋7k＋6＝6＝k＋1 k＋2 2k＋36＝k＋1 [ k＋ 1 ＋1][2 k＋ 1 ＋1]，6即当 n＝k＋1 等式也成立．根据 (1)和 (2)，可知等式任何n∈N*都成立．12．(新拓展 )已知正数数列n * n nn1n，用{a }( n∈ N )中，前 n 和 S ，且 2S ＝ a ＋a数学法明： a n＝－－n n 1. 明 (1)当 n＝1 ．1 1a1＝ S1＝2 a1＋a1，2∴ a1＝1(a n>0)，∴ a1＝1，又1－0＝1，∴ n＝ 1 时，结论成立．(2)假设 n＝ k(k∈ N* )时，结论成立，即a k＝ k－ k－1.当 n＝k＋ 1 时，a k＋1＝ S k＋1－S k＝1a k＋1＋ 1 －1a k＋1a a2 2k＋ 1 k＝1 k＋1 1 1 k－ k－1＋ 12a ＋a k＋1－2 k－ k－1 1 1＝2 a k＋1＋a k＋1－ k2∴ a k＋1＋2 ka k＋1－ 1＝ 0，解得 a k＋1＝ k＋1－k(a n>0)，∴ n＝ k＋1 时，结论成立．由 (1)(2)可知，对 n∈N*都有 a n＝n－n－1.。

高二数学数学归纳法训练题[整理二] 试题

高二数学数学归纳法训练题训练题一1．n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+- 时，假设已假设2(≥=k k n 为偶数〕时命题为真，那么还需要用归纳假设再证〔〕A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立2．设)(21312111)(*∈+++++++=N n n n n n n f ，那么=-+)()1(n f n f 〔〕A ．121+nB ．221+nC ．221121+++n nD ．221121+-+n n 3．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是〔〕A ．222)1(k k ++B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D ．]1)1(2)[1(312+++k k4．某个命题与正整数n 有关，假如当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现当5=n 时该命题不成立，那么可推得〔〕A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=4时该命题不成立D ．当n=4时该命题成立5．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n〞〔+∈N n 〕时，从“1+==k n k n 到〞时，左边应增添的式子是〔〕A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k6．用数学归纳法证明“nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 〞时，由k n =的假设证明1+=k n 时，假如从等式左边证明右边，那么必须证得右边为〔〕 A ．1212111+++++k k k B ．2211212111+++++++k k k kC ．1212121+++++k k k D ．22112121++++++k k k 二、填空题7．凸k 边形内角和为)(k f ，那么凸1+k 边形的内角为+=+)()1k f fk . 8．平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不一共点，设k 条这样的直线把平面分成)(k f 个区域，那么1+k 条直线把平面分成的区域数+=+)()1(k f k f .9．用数学归纳法证明“)(2221*+∈++≥N n n n n 〞时，第一步验证为 .10．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，nny x +能被y x +整除〞，当第二步假设)(12*∈-=N k k n 命题为真时，进而需证=n 时，命题亦真.11．用数学归纳法证明：)12(2)1()12)(12(532311222++=+-++⋅+⋅n n n n n n ； 12．用数学归纳法证明：〔Ⅰ〕2974722--n n能被264整除；〔Ⅱ〕121)1(-+++n n a a能被12++a a 整除〔其中n ，a 为正整数〕13．用数学归纳法证明：〔Ⅰ〕n n ≤-+++++1214131211 ；〔Ⅱ〕)1(11211112>>++++++n nn n n ； 14．设数列1212,2,}{--==n n n a p p a p a a 中，其中p 是不等于零的常数，求证：p 不在数列}{n a 中. 15．设数列2112183,163:}{-+==n n n x x x x ，其中*∈≥N n n ,2，求证：对*∈N n 都有〔Ⅰ〕210<<n x ；〔Ⅱ〕1+<n n x x ；〔Ⅲ〕n n x )21(21->.训练题二一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n ，而11=a ，通过计算,,,432a a a 猜测=n a ( )A ．2)1(2+nB ．)1(2+n nC ．122-nD ．122-n 2．数列{}n a 的通项公式∈+=n n a n()1(12N*〕，记)1()1)(1)(1()(321n a a a a n f ----= ，通过计算)4(),3(),2(),1(f f f f 的值，由此猜测=)(n f〔〕A ．)1(22++n nB ．nn 42+ C ．2)1(12+-n nD ．)1(1++n n n3．数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2， S 3，猜测S n =〔〕A ．1212-+n n B ．1212--n n C ．nn n 2)1(+ D ．1－121-n4．a 1=1，,,,01)(2)(,321211a a a a a a a a n n n n n n 计算且=++-->+++然后猜测=n a ( )A ．nB ．n2C ．n 3D ．n n -+35．设,20πθ<<,2,cos 211n n a a a +==+θ那么猜测=n a〔〕A ．n2cos2θB ．12cos2-n θC ．12cos2+n θD ．n2sin2θ6．从一楼到二楼的楼梯一共有n 级台阶，每步只能跨上1级或者2级，走完这n 级台阶一共有)(n f种走法，那么下面的猜测正确的选项是〔〕A ．)3()2()1()(≥-+-=n n f n f n fB ．)2()1(2)(≥-=n n f n fC ．)2(1)1(2)(≥--=n n f n fD ．)3()2()1()(≥--=n n f n f n f二、填空题：7．数列{}n a 中，,924,1111=+-=++n n n n a a a a a 且通过计算,,,432a a a 然后猜测=n a8．在数列{}n a 中，,)1(,111n n a n a a +==+通过计算,,,432a a a 然后猜测=n a 9．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，S n =2n －a n 〔n ∈N +〕，通过计算数列的前四项，猜测 =n a 10．函数,22)(xx f -=记数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2),1(1≥=n f a 当时， ),25(21)(22-+=-n n a f S n n 那么通过计算,,,321a a a 的值，猜测{}n a 的通项公式=n a三、解答题11．是否存在常数a ，b ，c ，使等式 ∈+++=+++⋅+⋅n c bn an n n n n 对)(12)1()1(32212222N +都成立，并证明你的结论.12．数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和为S n ，又n n S a 与满足关系式：n n n S a S a S a S =++++++2424242211 ，试求{}n a 的通项公式.13．数列{}n a 的各项为正数，S n 为前n 项和，且)1(21nn n a a S +=，归纳出a n 的公式，并证明你的结论.14．数列{}n a 是等差数列，,2,131==a a 设∈=++++=-n k a a a a P n k n ,3(1931 N +〕， ∈-=++++=n n m a a a a Q m n ,24(1062 N +〕，问P n 与Q n 哪一个大？证明你的结论.15．数列{}n a ：∈-==-n a p a a n n (1||,110N* ),10,<<p 〔Ⅰ〕归纳出a n 的公式，并证明你的结论；〔Ⅱ〕求证：.01<<-n a p[参考答案] 答案与解析一一、二、7．π， 8．1+k ， 9．当1=n 时，左边=4=右边，命题正确. 10．12+k11．当1+=k n 时，左边=)32(2)2)(1()32)(12()1()12(2)1(2+++=++++++k k k k k k k k k .12．〔Ⅰ〕当1+=k n 时，29748433)29747(4929747222)1(2)1(2⨯+⨯+--⨯=--++k k k k k)29747(49)9482(833)29747(49223422--⨯=⨯+⨯⨯+--⨯=-k k k k k )9482(26434⨯+⨯+-k 能被264整除，命题正确.〔Ⅱ〕1+=k n 时，2121212122)1(])1([)1()1(+-++++=++++-+++a a a a a a a a k k k k k k)1(])1([)1(211212++-+++=+-+a a a a a a k k k 能被12++a a 整除.13．〔Ⅰ〕当1+=k n 时，左边+≤-+++-+++=+k k k k )12121()121211(1 〔k k k 212121+++ 〕1212+=⋅+=k k k k=右边，命题正确〔Ⅱ〕1+=k n 时，左边>++++++++=))1(111(111222k k k k .)1)1(11111)12(1222>+--+=-+⋅++k k k k k k k14．先用数学归纳法证明p n n a n 1+=；假设001=⇒=⇒=p p np a n 与条件矛盾. 15．三小题都用数学归纳法证明：〔Ⅰ〕︒1. 当1=n 时，210,16311<<∴=x x 成立； ︒2. 假设k n =时，210<<k x 成立，2k 项∴当1+=k n 时，21412183218321=⨯+<+=+k k x x ，而210,08311<<∴>>++k k x x ；由︒︒2,1知，对*∈N n 都有210<<n x .〔Ⅱ〕︒1. 当n =1时，1212832183x x x >>+= ，命题正确；︒2. 假设k n =时命题正确，即1+<k k x x ，当1+=k n 时，2211,0k k k k x x x x >∴>>++ ，1221221832183+++=+>+=∴k k k k x x x x ，命题也正确；由︒1，︒2知对*∈N n 都有1+<n n x x .〔Ⅲ〕︒1. 当n =1时，11)21(21163->=x ，命题正确； ︒2. 假设k n =时命题正确，即k k x )21(21->∴当1+=k n 时，])21()21(41[2183])21(21[218321832221k k k k k x x +-⨯+=-⨯+>+=+ 1121)21(21)21()21(21+++->+-=k k k ，命题正确；由︒1、︒2知对*∈N n 都有n n x )21(21->.答案与解析二一、二、7．1256--n n 8．n ！ 9．1212--n n 10．n+1 11．令n=1得24=++c b a ①，令n=2得4424=++c b a ②，令n=3得7039=++c b a ③，解①、②、③得a =3，b=11，c=10，记原式的左边为S n ，用数学归纳法证明猜测)10113(12)1(2+++=n n n n S n 〔证明略〕 12．计算得,6,4,2321===a a a 猜测n a n 2=，用数学归纳法证明〔证明略〕.13．∵;12)1(211;1)1(21222211111-=⇒+=+=⇒+==a a a a a a a a S ∵23)1(2123333-=⇒+=+a a a a ，…，猜测∈--=n n n a n (1N*〕.用数学归纳法证明〔略〕.14．∵,22+=n a n ∴,41232132132131101-+=++++++=-n P n n ;22212421224212142nn n Q n +=+-+++-⨯++-⨯= 计算得①当1≤n ≤3时，P n <Q n ；②猜测n ≥4时P n ＞Q n ，用数学归纳法证明，即证：当n ≥4时1(;1432+=+>k n n n 时用比拟法证〕15．〔Ⅰ〕∵pp p p p a p p p a a +-+-=-+--⋅=+-+-=+-=⇒=1)(111)(1,1)(111323220,…，猜测pp a nn +-+-=1)(1，数学归纳法证明〔略〕.〔Ⅱ〕∵,0)1()(11;0,1|)(|01>+--=+<∴<-<+p p p p a a p n n n n而 ∴.01,1<<-->n n a pp a 得励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

数学归纳法练习题

数学归纳法练习题数学归纳法练习题1. 用数学归纳法证明：（1）1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n ＋1)＝n(n ＋1)2 (n ∈N *)。

（2）1+3+9+…+3)13(211-=-nn (n ∈N*)2.用数学归纳法证明下述不等式：).2,(10931312111≥∈>+++++++*n N n nn n n 且3.试比较2n 与(n ＋1)2的大小(n ∈N *)，并用证明你的结论。

4. （1）用数学归纳法证明：)(53*∈+N n n n 能被6 整除. （2）求证n 333)2()1(++++n n (n ∈N *)能被9整除.5.数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．6. 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ; (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+ nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论.参考答案1（1）、证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边= 1×(1＋1)2=4, 左边=右边，命题成立.(2)假设当)2(≥=k k n 时,命题成立,即: 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k ＋1)＝k(k ＋1)2,则当n=k+1时, 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k ＋1)+(k+1)(3k+4)＝k(k ＋1)2+(k+1)(3k+4)＝(k+1)(k 2+4k+4)=(k+1)(k+2)2,即n=k+1命题成立.根据（1）（2）可知等式对任意的n ∈N *成立. （2）、证明(1)当n=1时,左边=1,右边=21(31-1)=1, 左边=右边，命题成立.(2)假设当)2(≥=k k n 时,命题成立,即:1+3+9+…3k-1=21(3k -1),则当n=k+1时,1+3+9+…+3k-1+3k =21(3k -1)+3k =21(3k+1-1),即n=k+1命题成立.根据（1）（2）可知等式对任意的n ∈N *成立.2.证明:（1）当n =2时，左边1096054605761514131=>=+++==右边，∴当n =2时，不等式正确；2. 假设当)2(≥=k k n 不等式正确，即109312111>+++++k k k ，则当1+=k n 时，左边331231131313121+++++++++++=k k k k k k >+- +++++++++++++=11331231131)31312111(k k k k k k k k 109)331231()331131(109332231131109>+-+++-++=+-++++k k k k k k k ，∴当1+=k n 时不等式也正确；根据??2,1知对任意的*∈N n ，且2≥n ，不等式都正确.3.解：当1n =时，224,2(1)n n <∴<+；2 249,2(1)n n n =<∴<+当时，；23816,2(1)nn n =<∴<+当时，；241625,2(1)nn n =<∴<+当时， 253236,2(1)nn n =<∴<+当时，；266449,2(1)nn n =>∴>+当时， 2712864,2(1)nn n =>∴>+当时，，所以，252(1)nn n ≤<+当时，；262(1)nn n ≥>+当时，猜想。

2#数学归纳法练习题(含答案)

2# 数学归纳练习题一、填空题1．平面内有n(n≥2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．2．设n∈N*，则4×6n＋5n＋1除以20的余数为________．3．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．4．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是______．5．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n3a n＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出a n的表达式为________．二、解答题1．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.2．用数学归纳法证明不等式：1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2＞1(n∈N*且n＞1)．2# 答案1．解析：设最多分成的圆弧的段数为f (n )，则由题图容易发现，f (2)＝4＝22，f (3)＝9＝32，f (4)＝16＝42.答案：n 22. 解析：取n ＝1，则4×6n ＋5n ＋1＝24＋25＝49，被20除余数为9.答案：93. 解析：∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)＋k ＋…＋2＋1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1时，应添(k ＋1)＋k ＝2k ＋1.答案：2k ＋14. 解析：n ＝1时，21>13，n ＝2,3，…，9时2n <n 3，n ＝10时，210＝1 024>103，∴n 0＝10.答案：105. 解析：a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5.答案：a n ＝26n －5解答题1．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12kF ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．2. 证明：(1)当n ＝2时，不等式的左边为12＋13＋14＝1312＞1，故n ＝2时表达式成立； (2)假设当n ＝k (k ＞1，k ∈N *)时不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1 那么，当n ＝k ＋1时，由k ≥2得1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1 k ＋1 2＞1－1k ＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1＞1－1k＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k ＋1 2＋1 k ＋1 2＋…＋1 k ＋1 2＝1－1k ＋2k ＋1 k ＋1 2＝1＋k 2－ k ＋1 k ＋1 2 当k ≥2时，k 2－k －1＞0成立，故当n ＝k ＋1时不等式也成立根据(1)和(2)可知，当n ＞1，n ∈N *时不等式都成立．。

(完整版)数学归纳法测试题及答案

选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6[答案] C[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝n n ＋2a n (n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立，∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案] n n ＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右， ∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立．那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域．所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。

数列与数学归纳法专项训练(含答案)(新)

数列与数学归纳法专项训练1.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值; （2）求数列{n a }的通项公式n a 。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列．（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2a b ==，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．3. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66.（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；（Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥16.4. 已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{nb ，满足11-=n n a b （+∈N n ）（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求)1(lim -∞→n b n n ．5. (Ⅰ (Ⅱ (Ⅲn 项的6. （1（27. 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*∈N n ，都有n n pa p S p -=⋅-)1(（p 为大于1的常数），并记nn n n n n n S a C a C a C n f ⋅⋅++⋅+⋅+=21)(2211 .（1）求n a ；（2）比较)1(+n f 与)(21n f pp ⋅+的大小*∈N n ；（3）求证：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅-+≤≤⋅---=∑1212111111)()()12(n n i p p p p i f n f n (*∈N n ).8. 已知n N *∈，各项为正的等差数列{}n a 满足263521,10a a a a ⋅=+=，又数列{}lg n b 的前n 项和是()()11lg312n S n n n n =+--。

(完整版)数学归纳法练习题

2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()．A．2 B．3 C．5 D．6解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是()．A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案 D3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案 D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用数学归纳法证明：1 1×2＋13×4＋…＋1(2n－1)·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋1(k＋1)＋(k＋1).即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n ＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案 C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为()．A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案 B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n ＝k＋1左边需要添加的因式是________．解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n ＝k ＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k ＋k )(k ＋1＋k ＋1)，由k 到k ＋1需添加的因式为：(2k ＋2)．答案 2k ＋2 11．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1. 证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.。

高二数学数学归纳法试题答案及解析

高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。

【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。

2019届苏教版(理科数学) 数学归纳法单元测试(1)

提升训练（37）数学归纳法1.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.因为n为偶数,故假设n=k成立后,再证n=k+2时等式成立.2.(2016·南昌模拟)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是( )A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.3.(2016·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N)成立,其初始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10【解析】选B.1+++…+=>,整理得2n>128,解得n>7,所以初始值至少应取8.4.用数学归纳法证明2n>2n+1,n的第一个取值应是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.所以n的第一个取值应是3.5.平面内有n 条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( )A.n+1B.2nC.D.n 2+n+1【解析】选C.1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4(个)区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7(个)区域;…;n 条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=(个)区域.6.(2016·九江模拟)已知f(n)=1+++…+(n ∈N),经计算得f(4)>2,f(8)>, f(16)>3,f(32)>,则其一般结论为 . 【解析】因为f(22)>,f(23)>,f(24)>, f(25)>,所以当n ≥2时,有f(2n)>.故填f(2n)>(n ≥2,n ∈N). 答案:f(2n )>(n ≥2,n ∈N)7.设平面内有n 条直线(n ≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n 表示). 【解析】f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3,f(5)=f(4)+4=2+3+4,f(6)=f(5)+5=2+3+4+5, 猜想f(n)=2+3+4+…+(n-1)=(n>4).答案:5(n+1)(n-2)8. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n (n∈N)，a 1＝12.试通过求a 2，a 3，a 4的值猜想a n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：a 2＝12－a 1＝12－12＝23，a 3＝12－a 2＝12－23＝34，a 4＝12－a 3＝12－34＝45.猜想：a n ＝n n ＋1(n∈N)．用数学归纳法证明如下：① 当n ＝1时，左边＝a 1＝12，右边＝11＋1＝12，所以等式成立；② 假设n ＝k 时等式成立，即a k ＝k k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k ＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋2＝k ＋1（k ＋1）＋1，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②得，当n ∈N时等式都成立．9. 是否存在常数a ，b ，c ，使等式1·(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n(n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．解：分别用n ＝1，2，3代入解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－14，c ＝0.下面用数学归纳法证明．① 当n ＝1时，由上可知等式成立；② 假设当n ＝k 时，等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝1·[(k＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝1·(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k(k 2－k 2)＋1·(2k＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k(2k ＋1)＝14k 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k(2k ＋1)＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2，∴ 当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②得等式对一切的n∈N均成立．10．(2018·大连双基测试)数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{1a n }的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.解析：(1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ，即1a n ＋1－1a n＝2，故数列{1a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 法二：当n ＝1时，1S 1＝1，n n ＋1＝12，不等式成立．假设当n ＝k 时，不等式成立，即1S 1＋1S 2＋…＋1S k >kk ＋1.则当n ＝k ＋1时，1S 1＋1S 2＋…＋1S k ＋1S k ＋1>k k ＋1＋1(k ＋1)2，又k k ＋1＋1(k ＋1)2－k ＋1k ＋2＝1－1k ＋1＋1(k ＋1)2－1＋1k ＋2＝1k ＋2－k (k ＋1)2＝1(k ＋2)(k ＋1)2>0， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S k ＋1S k ＋1>k ＋1k ＋2， ∴原不等式成立．11.已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N )，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素的个数． (1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．解析：(1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6. 所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N )．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论： a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－13，结论成立；f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立． 12.(12分)(2016·常德模拟)设a>0,f(x)=,令a 1=1,a n+1=f(a n ),n ∈N.(1)写出a 2,a 3,a 4的值,并猜想数列{a n }的通项公式. (2)用数学归纳法证明你的结论.【解析】(1)因为a 1=1,所以a 2=f(a 1)=f(1)=;a 3=f(a 2)=;a 4=f(a 3)=.猜想a n =(n ∈N).(2)①当n=1时,a 1=1猜想正确.②假设n=k(k≥1,k∈N)时猜想正确,则a k=.则a k+1=f(a k)====.这说明,n=k+1时猜想正确.由①②知,对于任何n∈N,都有a n=.13.(13分)(2016·九江模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,并且满足2S n=+n,a n>0(n∈N).(1)猜想{a n}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.(2)设x>0,y>0,且x+y=1,证明:+≤.【解题提示】(1)将n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3,从而可猜想a n,并用数学归纳法证明.(2)利用分析法,结合x>0,y>0,x+y=1,利用基本不等式进行证明.【解析】(1)分别令n=1,2,3,得因为a n>0,所以a1=1,a2=2,a3=3.猜想:a n=n.由2S n=+n,①可知,当n≥2时,2S n-1=+(n-1),②①-②,得2a n=-+1,即=2a n+-1.(i)当n=2时,=2a2+12-1,因为a2>0,所以a2=2,等式成立.(ii)假设当n=k(k≥2)时,a k=k,那么当n=k+1时,=2a k+1+-1=2a k+1+k2-1⇒=0,因为a k+1>0,k≥2,所以a k+1+(k-1)>0,所以a k+1=k+1.即当n=k+1时也成立.所以a n=n(n≥2).显然n=1时,也成立,故对于一切n∈N,均有a n=n.(2)要证+≤,只要证nx+1+2+ny+1≤2(n+2). 即n(x+y)+2+2≤2(n+2), 将x+y=1代入,得2≤n+2,即只要证4(n2xy+n+1)≤(n+2)2,即4xy≤1,因为x>0,y>0,且x+y=1,所以≤=,即xy≤,故4xy≤1成立,所以原不等式成立.。

归纳推理试题

1、观察以下数列：2, 4, 6, 8, ...，根据规律，下一个数字是？A. 9B. 10C. 11D. 12（答案）B2、分析以下图形的规律：△, □□, △△△, □□□□, ...，按此规律，下一个图形应包含几个图形元素？A. 4B. 5C. 6D. 7（答案）B3、考察以下字母序列：A, C, E, G, ...，推断下一个字母是？A. HB. IC. JD. K（答案）B4、一组数据的排列如下：3, 11, 20, 30, 43, ...，根据这组数据的增长趋势，下一个数最可能是？A. 53B. 54C. 55D. 56（答案）D5、在一系列化学反应中，反应物的质量比依次为1:2:3，若第一种反应物质量为5g，则第三种反应物的质量为？A. 10gB. 15gC. 20gD. 25g（答案）B6、考察以下数字序列：1, 4, 9, 16, 25, ...，这是一个什么类型的数列？下一个数字是？A. 质数数列，36B. 偶数数列，30C. 平方数列，36D. 立方数列，64（答案）C7、一组颜色按红、黄、蓝、绿的顺序循环排列，如果第10个颜色是蓝色，那么第15个颜色是什么？A. 红色B. 黄色C. 蓝色D. 绿色（答案）D8、观察以下日期序列：1月1日, 2月2日, 3月3日, 4月4日, ...，根据这个规律，6月份的日期应该是？A. 6月5日B. 6月6日C. 6月7日D. 6月8日（答案）B9、在一系列等差数列中，已知首项为2，公差为3，第5项的值是？A. 12B. 13C. 14D. 15（答案）C10、分析以下数字规律：5, 11, 17, 23, ...，这是一个以6为公差的等差数列，下一个数字是？A. 28B. 29C. 30D. 31（答案）B。

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《极限数学归纳法》单元测试题
一、选择题（每小题8分，共48分）：
1、下列说法正确的是（）
（A ）19.0< （B ）19.0≈ （C ）n n )9.0(lim ∞→＝0 （D ）19
.0= 2、如果)(n p 对k n =成立，则它对1+=k n 也成立，现已知)(n p 对4=n 不成立，则下列结论正确的是（）
（A ）)(n p 对*N n ∈都成立（B ）)(n p 对1>n 且*N n ∈成立
（C ）)(n p 对4<n 且*N n ∈成立（D ）)(n p 对4≤n 且*N n ∈不成立 3、)2
11()511)(411)(311(lim +----∞→n n n 的值是（）（A ）0 （B ）1 （C ）2
（D ）3 4、若函数⎩⎨
⎧>≤+=)0(,)0(,3)(x e x m x x f x 在x ＝0处连续，则常数m 的值为（）（A ）0 （B ）–1
（C ）1 （D ）e 5、在等比数列{}n a 中，首项11>a ，且前n 项和n S 满足：1
1lim a S n n =∞→，那么1a 的取值范围是（）
（A ）（1，2）（B ）（1，4）（C ）（1，＋∞）（D ）（1，2）
6、若1)12(lim 2=--+∞
→nb n n a n ，则ab 的值是（）（A ）24 （B ）28 （C ）8 （D ）16
二、填空题：（每小题8分，共16分）
7、若n a 是n
x )1(+展开式中2x 的系数，则)111(lim 43n
n a a a +++∞→ 的值为； 10、已知函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<-=->=)0(,12)0(,1)
0(,1)(x x x x x f x ，有以下结论：①1)(lim 0-=→x f x ②0)(lim 0=-→x f x ③0)(lim =∞→x f x ④0)(lim 0
=→x f x ⑤当∞→x 时，)(x f 的极限不存在其中正确的是
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三、解答题：（每小题12分，共36分）
9、用数学归纳法证明：
2121)
1(14131212422+->+++++n n （*N n ∈）
10、已知函数n
n
n x x x f +=∞→1lim )(，（1）求)(x f 的解析式；（2）求)(lim 1x f x --→，)(lim 1
x f x +-→，并指出)(x f 在1-=x 处是否连续？
11、已知数列{}n a 满足3
11=a ，且n n a n n S )12(-=，（1）求32,a a 的值；（2）猜想n a ，并用数学归纳法证明之；（3）求n n S ∞→lim .
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《极限数学归纳法》单元测试题答案
1、D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.B
7.-1 -3 8.1 9.42,55⎛⎫
⎪⎝⎭ 10.②⑤ 11.2113515a =
=⨯，3115735a ==⨯ ()()
12121n a n n =-+ ()()1111133557212111111112335212111122121
n S n n n n n n n =
++++⨯⨯⨯-+⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭1l i m 2
n n S →∞∴= 12
、()()()()()
11011112
11x x f x x x <-⎧⎪-<<⎪⎪=⎨=⎪⎪>⎪⎩
()()11lim 1lim 0x x f x f x -
+→-→-== 所以不连续。