(完整版)数学归纳法测试题及答案
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋ ＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上. 【考点】数学归纳法.2. 某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域 内植树，第一棵 树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ， l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．（2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）从图上可以看出：第3棵树在点，第4颗树在点，第15棵数在点，第16棵数在点，设第棵树在点，显然可以归纳出，∴；由图可知，以，为左右端点的正方形区域内共有棵树，而， ∴第2014的数应是，为左右端点的正方形区域内的依次种植的倒数第11棵树，∴第2014棵树的所在点的坐标为. 【考点】归纳推理.3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋ 【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.4. 是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由. 【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)时，该命题成立，那么可6.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)【答案】B【解析】因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。
数学归纳法
数学归纳法一、选择题(每小题5分，共20分) 1．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1 ≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k(k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1） ＝k 2＋3k ＋2 <（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2） ＝（k ＋2）2 ＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确【解析】选D.n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．2．用数学归纳法证明等式1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n1－a ⎝⎛⎭⎫a≠1，n ∈N * ，在验证n ＝1成立时，左边需计算的项是( ) A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3【解析】选A 当n ＝1时，等式左边＝1.3．凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f(n ＋1)为( )A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2【解析】选C.增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.4．设S k＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k，则S k＋1为()A．S k＋12k＋2B．S k＋12k＋1＋12k＋2C．S k＋12k＋1－12k＋2D．S k＋12k＋2－12k＋1【解析】选C.因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k＝1k＋1＋1 k＋2＋…＋12k，①得S k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12（k＋1）.②由②－①，得S k＋1－S k＝12k＋1＋12（k＋1）－1k＋1＝1 2k＋1－12（k＋1）.故S k＋1＝S k＋12k＋1－12（k＋1）.二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n（2n2＋1）3(n∈N*)时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应增加的式子是__________________．【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n＝k，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，比较两式，可知等式左边应增加的式子是(k ＋1)2＋k 2. 答案：(k ＋1)2＋k 26．设f(x)＝2xx ＋2 ，x 1＝1，x n ＝f(x n －1)(n≥2，n ∈N *).则x 2＝________；数列{x n }的通项公式为________，【解析】(1)x 2＝f(x 1)＝23 ，x 3＝f(x 2)＝2×2323＋2 ＝12 ＝24 ，x 4＝f(x 3)＝2×1212＋2 ＝25 .(2)根据计算结果，可以归纳出x n ＝2n ＋1.证明：①当n ＝1时，x 1＝21＋1 ＝1，与已知相符，归纳出的公式成立．②假设当n ＝k(k ∈N *)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1 ，那么，x k ＋1＝2x k x k ＋2 ＝2×2k ＋12k ＋1＋2 ＝42k ＋4＝2（k ＋1）＋1 ，所以当n ＝k ＋1时，公式也成立． 由①②知，当n ∈N *时，x n ＝2n ＋1.答案：23 x n ＝2n ＋1三、解答题(每小题10分，共20分)7．用数学归纳法证明1＋n 2 ≤1＋12 ＋13 ＋…＋12n ≤12 ＋n(n ∈N *).【证明】(1)当n ＝1时，左式＝1＋12 ，右式＝12 ＋1， 所以32 ≤1＋12 ≤32 ，命题成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N *)时，命题成立， 即1＋k 2 ≤1＋12 ＋13 ＋…＋12k ≤12 ＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12 ＋13 ＋…＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋…＋12k ＋2k>1＋k2 ＋2k·12k＋1＝1＋k ＋12 . 又1＋12 ＋13 ＋…＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋…＋12k ＋2k <12 ＋k ＋2k·12k ＝12 ＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立．8．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测数列{a n }，{b n }的通项公式，证明你的结论．【解析】由题意得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1 ＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *. 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由a 1＝2，b 1＝4可得结论成立． ②假设当n ＝k(k≥2且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k(k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1 b k ＝（k ＋1）2（k ＋2）2（k ＋1）2 ＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切n ∈N *都成立． 【拓展提升】应用数学归纳法证题时应注意(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1. (2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用数学归纳法证明“凸n(n≥3，n ∈N *)边形的内角和公式”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1内角和增加了( )A ．π2B ．πC ．3π2 D ．2π【解析】选B.如图，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，凸n 边形的内角和增加的是∠1＋∠2＋∠3＝π.2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1【解析】选B.当n ＝k 时，等式左边为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k)，而当n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)·(k ＋3)·…·(k ＋k ＋2)，前边少了一项(k ＋1)，后边多了两项(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)，故增乘的代数式为（k ＋k ＋1）（k ＋k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1).3．当n ＝1，2，3，4，5，6时，比较2n 和n 2的大小并猜想得到的结论为( ) A ．n≥1时，2n >n 2 B ．n≥3时，2n >n 2 C ．n≥4时，2n >n 2 D ．n≥5时，2n >n 2【解析】选D.当n ＝1时，21>12，即2n >n 2；当n ＝2时，22＝22，即2n ＝n 2；当n ＝3时，23<32，即2n <n 2；当n ＝4时，24＝42，即2n ＝n 2；当n ＝5时，25>52，即2n >n 2；当n ＝6时，26>62，即2n >n 2；…猜想当n≥5时，2n >n 2；下面我们用数学归纳法证明猜想成立，(1)当n ＝5时，由以上可知猜想成立， (2)设n ＝k(k≥5)时，命题成立，即2k >k 2，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k >2k 2＝k 2＋k 2>k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时，命题成立，由(1)和(2)可得n≥5时，2n >n 2；故当n ＝2或4时，2n ＝n 2；n ＝3时，2n <n 2；n ＝1及n 取大于4的正整数时，都有2n >n 2.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A．30 B．26 C．36 D．6【解析】选C.因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明：当n＝1，2时，由上得证，设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k －(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)⇒f(k＋1)能被36整除．因为f(1)不能被大于36的数整除，所以所求的最大的m的值等于36.二、填空题(每小题5分，共20分)5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝__________时，命题为真.【解析】因为n为正奇数，所以奇数2k－1之后的奇数是2k＋1.答案：2k＋16．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……按照以上式子的规律：则第5个等式为________，猜想第n⎝⎛⎭⎫n∈N*个等式________；【解析】(1)第5个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92.第n个等式为n ＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*.证明：①当n＝1时，等式左边＝1，等式右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立．②假设n＝k时，命题成立，即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2，则当n＝k＋1时，(k＋1)＋[(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[3(k＋1)－2]＝(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(3k＋1)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k＝(2k－1)2＋8k＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2，即n＝k＋1时等式成立．根据①和②，可知对任意n∈N*等式都成立．答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*7．在用数学归纳法证明“34n＋2＋52n＋1(n∈N*)能被14整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________.答案：(34k＋2＋52k＋1)34＋52k＋1(52－34)8．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________.【解析】采取凑配法，凑出归纳假设k3＋5k来，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k ＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6三、解答题(每小题10分，共20分)9．求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.【证明】(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k ＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．10．数列{}a n满足S n＝2n－a n(n∈N*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．【解析】(1)a1＝1，a2＝32，a3＝74，a4＝158，由此猜想a n＝2n－12n－1；(2)当n＝1时，a1＝1，结论成立；假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)，结论成立，即a k＝2k－12k－1，当n＝k＋1(k≥1，且k∈N＋)时，a k＋1＝S k＋1－S k＝2⎝⎛⎭⎫k＋1－a k＋1－2k＋a k＝2＋a k－a k＋1，即2a k＋1＝2＋a k，所以a k＋1＝2＋a k2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k，这表明当n＝k＋1时，结论成立，综上所述，a n ＝2n －12n －1 ⎝⎛⎭⎫n ∈N ＋ .。
2#数学归纳法练习题(含答案)
2# 数学归纳练习题一、填空题1．平面内有n(n≥2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．2．设n∈N*，则4×6n＋5n＋1除以20的余数为________．3．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．4．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是______．5．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n3a n＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出a n的表达式为________．二、解答题1．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.2．用数学归纳法证明不等式：1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2＞1(n∈N*且n＞1)．2# 答案1．解析：设最多分成的圆弧的段数为f (n )，则由题图容易发现，f (2)＝4＝22，f (3)＝9＝32，f (4)＝16＝42.答案：n 22. 解析：取n ＝1，则4×6n ＋5n ＋1＝24＋25＝49，被20除余数为9.答案：93. 解析：∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)＋k ＋…＋2＋1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1时，应添(k ＋1)＋k ＝2k ＋1.答案：2k ＋14. 解析：n ＝1时，21>13，n ＝2,3，…，9时2n <n 3，n ＝10时，210＝1 024>103，∴n 0＝10.答案：105. 解析：a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5.答案：a n ＝26n －5解答题1．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12kF ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．2. 证明：(1)当n ＝2时，不等式的左边为12＋13＋14＝1312＞1，故n ＝2时表达式成立； (2)假设当n ＝k (k ＞1，k ∈N *)时不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1 那么，当n ＝k ＋1时，由k ≥2得1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1 k ＋1 2＞1－1k ＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1＞1－1k＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k ＋1 2＋1 k ＋1 2＋…＋1 k ＋1 2＝1－1k ＋2k ＋1 k ＋1 2＝1＋k 2－ k ＋1 k ＋1 2 当k ≥2时，k 2－k －1＞0成立，故当n ＝k ＋1时不等式也成立根据(1)和(2)可知，当n ＞1，n ∈N *时不等式都成立．。
(完整版)数学归纳法练习题
2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()．A．2 B．3 C．5 D．6解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是()．A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案 D3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案 D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用数学归纳法证明：1 1×2＋13×4＋…＋1(2n－1)·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋1(k＋1)＋(k＋1).即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n ＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案 C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为()．A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案 B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n ＝k＋1左边需要添加的因式是________．解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n ＝k ＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k ＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 由k 到k ＋1需添加的因式为：(2k ＋2)． 答案 2k ＋2 11．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1. 证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。
【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。
(完整版)数学归纳法测试题及答案
选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6[答案] C[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝n n ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立，∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案] n n ＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右， ∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立． 当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。
高三数学数学归纳法练习题及答案
高三数学数学归纳法练习题及答案数学归纳法是高中数学中非常重要的一种证明方法，它在数学推理和证明中具有广泛的应用。
通过运用归纳法，我们可以推出一般性的结论，从而能够解决更加复杂的数学问题。
在高三数学的学习中，熟练掌握数学归纳法的使用对于解题至关重要。
下面将为大家提供一些高三数学数学归纳法练习题及答案，希望能帮助大家更好地掌握该方法。
练习题一：证明：对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2答案一：首先，我们需要明确归纳假设的内容。
假设当n=k时，等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。
然后，我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
即1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。
根据归纳假设，1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。
我们需要证明：1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。
将左边的式子进行展开得到： [1 + 2 + 3 + ... + k] + (k+1)。
由归纳假设，我们可以将其中的[1 + 2 + 3 + ... + k]替换成k(k + 1)/2，得到： k(k + 1)/2 + (k+1)。
化简该式子： k(k + 1) + 2(k+1)。
再进一步化简： (k+1)(k + 2) / 2。
可以看出，我们得到了(k+1)(k + 2)/2这个形式，就证明了当n=k+1时，等式也成立。
因此，根据数学归纳法原理，对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2。
练习题二：证明：对于任意正整数n，2^n > n^2。
答案二：同样使用数学归纳法进行证明。
首先，当n=1时，2^1 = 2，1^2 = 1，2 > 1，等式成立。
假设当n=k时，2^k > k^2 成立。
数列、级数和数学归纳法专项测试卷及答案解析
数列、级数和数学归纳法专项测试卷及答案解析一、选择题（每题2分，共10题）1. 设数列${a_n}$的通项公式为$a_n = 3n - 1$，则$a_5$的值是多少？A. 12B. 11C. 13D. 9正确答案：B2. 已知数列${b_n}$的前两项为$b_1 = 2$，$b_2 = 5$，且$b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$，则$b_3$的值是多少？A. 6B. 7C. 8D. 9正确答案：C3. 若$a_1 = 1$，$a_{n+1} - a_n = 2n - 1$，则$a_7$的值是多少？A. 15B. 16C. 17D. 18正确答案：B4. 若$n$为正整数，且$a_n = a_{n-1} + 2n$，则$a_5$的值是多少？A. 19B. 21C. 23D. 25正确答案：D5. 若$a_n = \frac{n-1}{n+1}$，则$a_3$的值是多少？A. $-\frac{1}{2}$B. $\frac{1}{2}$C. $-\frac{2}{3}$D. $\frac{2}{3}$正确答案：B二、填空题（每题3分，共5题）1. 求等差数列${c_n}$的第11项，已知$a_1 = 2$，$d = 3$。
答案：$c_{11} = a_1 + 10d = 2 + 10 \times 3 = 32$2. 求等比数列${d_n}$的第5项，已知$a_1 = 2$，$q = 4$。
答案：$d_5 = a_1 \times q^{5-1} = 2 \times 4^4 = 128$3. 若级数$\sum_{k=1}^n a_k$的前$n$项和$S_n = 3n^2 + 6n$，则$a_7$的值是多少？答案：$a_7 = S_7 - S_6 = (3 \cdot 7^2 + 6 \cdot 7) - (3 \cdot 6^2 + 6 \cdot 6) = 119$4. 若级数$\sum_{k=1}^\infty b_k$的部分和$S_n =\frac{2}{n(n+1)}$，则$b_1$的值是多少？答案：由$S_n = \frac{2}{n(n+1)}$可得$b_1 = S_1 =\frac{2}{1(1+1)} = 1$5. 若级数$\sum_{k=1}^\infty c_k$的前$n$项和$S_n = \frac{n^2 + n}{2}$，则$c_{10}$的值是多少？答案：$c_{10} = S_{10} - S_9 = (\frac{10^2 + 10}{2}) -(\frac{9^2 + 9}{2}) = 55$三、判断题（每题2分，共5题）1. 数列{$a_n$}的通项公式为$a_n = n^2$，则$a_{10} = 100$。
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选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6[答案] C[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝n n ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立，∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案] n n ＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右， ∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立． 当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。