体能测试时间安排的数学模型设计研究
体能测试时间安排的优化模型——2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题
试 与其 它测 试 的平 均 用 时 悬 殊 太 大 ， 究 其 没有 意 研
２ 问题 的 分 析
问题要求 在 最少 的时 间段 内 完成 全 体学 生 体 能 测试 ， 尽量 节省 学生 的等待 时间 。五个 测试 项 目的 且
义 ） 。
４ 模 型 的建 立
要 使台 阶测试满 负荷运 行 ， 分组测 试是必须 和可 行 的， 每组人数 应尽 量为 １ 且 ０的倍数 。首先 ， 为尽 量 使 每个 时间段测试 的人 数最 多 ， 以达到 占用时 间段最 少 之 目的 ， 在 同一个 时间段 进行 测试 的 １ 设 Ｏ人一组 ，
人测 试 场所 。 （） ５ 假设 台 阶测试仪 器对 ５个连续 学号 的学生 的
７ ２ １ ． … ＋ ５ 。 ５≤ ２ ０ 上 午 ２ ０分 钟 ） ｚ ＋ Ｏ５ ３ ２５ １ ５（ ５
（） ２
或 ７ ｚ １ ． ｚ … ＋ ５ ． 。 ｚ ＋ ０ ５。 ２ ５ ｓ≤ １ ５ 下 午 １ ５分 钟 ） ９（ ９
测试。
人为一 组时 ， 当 １ 在 ０人做 台 阶测试 时 ， 本组其 他人可
做 完 其 余 ４个 项 目 的 测 试 ， 是 由 于 每 个 人 做 完 除 台 这
３ 模 型 的 假 ຫໍສະໝຸດ （ ） 设在 进行各 项 测试时 ， １假 测试仪 器不 出故 障 。 （ ） 考虑 被测 试学 生在进行前 后两 项测试 之 间 ２不
１ 问题 的提 出 （ ） 略
这个 问题 已经公 布 了参考解答 ， 现在 给 出一 个优 化 的模 型 。
个人信 息录人 只需录 人第一 人 ， 后面 ４个 自动 连续记 录， 除非 ５人 中有 不连 续 的学 号 时才需 录入 （ 若不 然 ， ５人 的个人信 息录入 需 ２ 一２ Ｏ ５秒 ， 样 的话 ， 阶测 这 台
数模——体能测试数学模型论文
体能测试时间安排优化模型摘要本文讨论了一类时间表优化问题。
首先，我们根据机器测试时间和台数求得所需总时间段数的下届为4。
在同一个班级人数不进行分组的前提下，将56个班级分成19个小组，计算出每个小组测试完所有项目所需的时间。
然后建立了0-1规划模型，将这19个小组的时间段放入每天的两个测试时间段内，使得全部放完这19个小组的时段所需要的总测试时间段数最少，并求得最少测试时间段数恰好为下届4段。
其次，为了节省学生等待时间，我们将每个班级人数进行分组，每组为20人，共分成103组。
由于这20人最多来自两个不同的班级，我们求得完成20人的时间只可能为425秒、430秒、435秒这三种情况。
这样将原来问题转化为怎样用最少时间段数放入102个435秒。
通过求解得到的时间段数为4段，，等待时间最长的同学仅需等待分钟，从而说明了分组的必要。
最后，通过给出了每项测试的人均时间应该相等的结论，用来配置机器台数，并讨论了场地容量对所需时段和等待时间的影响。
关键词：等待时间时间段数时间等级分组一、问题重述某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。
测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。
该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。
每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。
仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。
学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。
5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。
体能测试时间安排数学模型解答
体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答体能测试时间安排数学模型解答【摘要】本文对体能测试时间安排问题进行简化，建立数学模型。
我们针对学生该怎样分组、怎样合理安排班级测试次序等问题进行了分析讨论。
并用线性规划模型对测试时间安排进行了优化，最后得到一个合理的体能测试时间表。
建立模型的主要目的是使测试总时间最短，次要目的是在满足整个测试所用时间段最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
我们通过分析，最终确定以20人为一组，对问题进行了研究。
对此我们建立了两个模型，逐次解决了每个时间段测试的最多组数、各个时间段内班级的分配情况和如何合理安排各班级具体的测试时间等问题。
在不考虑班级排序时间的情况下，得出了能够独立完成所有项目的测试周期，建立了一个在极值条件下的数学模型，并计算求出了最优解，即在8:00-12:10和13:30-16:45这两个时间段内所能测试的最多组数，分别为34组和26组。
通过对第一个模型进行分析，得出要完成所有测试，需要四个时间段。
但是学生的等待时间可以进一步优化，于是建立了第二个模型，求解各个时间段内班级的分配问题。
然后，编写C语言程序求得了一个以班级为单位、具体的测试时间表，从而满足整个测试所用时间段数最少，且能节省学生等待时间。
【关键词】【关键词】线性规划；测试周期模型优化顺序线性规划；测试周期模型优化顺序一、问题重述某校安排学生进行体能测试，的内容有：身高与重、立定跳远肺活量握某校安排学生进行体能测试，的内容有：身高与重、立定跳远肺活量握某校安排学生进行体能测试，的内容有：身高与重、立定跳远肺活量握某校安排学生进行体能测试，的内容有：身高与重、立定跳远肺活量握某校安排学生进行体能测试，的内容有：身高与重、立定跳远肺活量握某校安排学生进行体能测试，的内容有：身高与重、立定跳远肺活量握力和台阶试验。
体能测试时间安排优化模型
没 有 固 定 的 先 后 顺 序 。参 加 体 能 测 试 的 各 班 人 数
见 下 表 １ 。
表 １ 参加体能测试 的各班人数
疆
人 数 人 数
：
２ ．ｌ ｜ １
４ ｌ ４ ４ ５ ２ ０
３｜ ４ ｜
４ ４ ３ ０
｜３ ３
Ｓ ｜｜ ７ ｜ ６ ｌ
息 。该 校 引 进 身 高 与 体 重 测 量 仪 器 ３台 ，立 定 跳
台 阶 试 验 每 台 仪 器 一 次 测 试 ５个 学 生 ，需 要 ３分
３ ０秒 。
每 个 学 生 测 试 每 个 项 目前 要 录 入 个 人 信 息 ， 即 学 号 ，平 均 需 时 ５秒 。仪 器 在 每 个 学 生 测 量 完
＼ 毒 警 １ 毪 ｊ 鼍 善 ｌ
学校 要 求 同 一班 的所有 学 生 在 同一 时 间段
示 出 测 试 时 间 的 安 排 计 划 ，并 且 说 明 该 计 划 怎 样 满足 学 校 的上 述 要求 和 条件 。
最后 ， 对 学 校 以后 的体 能测 试 就 以下方 面 请
２ ０
班 ４ ｜ ． ４ ４ ５ ５｜ ５ ５ ｌ５ｌ ５ ・ 号 ６ ４ ８ ． ０ １ ２ ４ ｜ ６ ７ ｜ ９ ３ ： ５ ｜ ¨ ５
人 数 ４ ２ ４ ３ ４ １ ４ ２ ４ ５ ４ ２ １ ９ ３ ９ ７ ５ ｌ ７ ｌ ７
杨建效
摘
祁文 刚
７４０） １０ ０
（ 陕西铁路工程职业技 术学院，陕西渭南
要：本文建立了体能测试 的时间安排优化模型，学校要求一班的所有学生在 同一时间段内完成所有项 目的测
试 ，并且在整个测试 所需时间段数最少 的条件下 ，尽量节省学生的等待时间。
体能测试时间安排的数学模型设计研究
所 有项 目的测 试 ，并 且在 整 个 测 试 所 需 时 间 段 数
台阶试验每台仪器一次测试 ５ 个学生，需要 ３分
重 、立定跳 远 、肺 活 量 、握 力 和 台 阶试 验共 ５个
即学号 ， 平均需时 ５秒．仪器在每个学生测量完 毕后学号将 自动后移一位，于是如果前后测试 的
学生 学号 相 连 ，就 可 以省 去 录 人 时 间 ，而 同一 班
项 目，均由电子仪器 自动测量 、记录并保存信息． 该校引进身高 与体重测量仪器 ３台，立定跳远、 肺活量测量仪器各 １ 台，握力和台阶试验测量仪
表 １ 参加体 能测试 的各班人数
班号
人数 班号
人 数
班号
人数
４ １
３ ３
５ ｌ
３ ９
２ Ｏ
２ ０
４ ４
３ ７
３ ８
３ ９
４ ２
４ ０
３ ７
５ ０
５ ０
班号 ４ ６
４ ７
４ ８
４ ９
５ Ｏ
５ １
５ ２
５ ３
５ ４
５ ５
５ ６
人数 ４ ２
中图分类 号 ：０１１４ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ — ８８（００ １ ０３ 一 （５ ４． ０６ ３３ ２ １）０ — ０ ４ ０ ）
Ｉ 问题 背景
３ ． 每个学 生测试每 个项 目前要 录人 个人 信息 ， Ｏ秒
某校按照教学计划安排各班学生进行体能测 试 ，以了解学生的身体状况．测试包括身高与体
邱红军 ， ：体能测试时问安排的数 学模型设计研究 等
体能测试时间安排的优化模型
２任何阶段的系统容量在一定的范围之内： 、 ） “
３ 有 人 统 人 是 定 ：Ｙ Ｎ ） 进 系 的 数 个 值ｋｋ 所 ； ＝
４每 进 人 是 班 单 Ｙ＝｝ｖ ０ ） ） 次 人的 都 以 为 位：ｋ （ ， ａ 人＝ １ － Ａ
综上所述： 我们建立了如下的模型：
． ．ｓ ＝ ｉＩ ． ． ＋ 二，．． ！ Ｔ（． ｍｎ Ｔ－（． ） ‘ ‘ ） ） ． ｓ ＊ － （ ｘ
一 。 气 ）＝ｖ ，气 ‘二！ ．． ．．．Ｒ ．
等待时间） 人数， 的 使系统的利用效率更高； 当再过一定时 间后， 一批人退出系统的同时， 有另一批人进人系统（ 我们 假设按班进人， 因为在题目 的要求中一个班的学生要在同 一个大时间段测试完）各个小阶段如此循环， ， 直到我们的
所有学生测试完所有的项目 为止。在满足题中的条件下，
第二个目 使学生的等待时间最少。我们运用动态 标： 规划把它分成小阶段处理， 建立两个相邻阶段的关系式， 行时就开始向系统里输人学生进行测试， 此时需满足一个
｛’ｎ Ｔ！ｎ ｋ＝ 一Ａ 。ｕ
孟 知 夕 ＝Ｕ 。气
｛ （一 ＋， ‘｝ 赚： ， ｔ￥二 ‘ ） （ ，） ｋ
ｋ二！ … 几 …
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ｓ４ ｋ ｏ ｎ
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Ｙ二 ，Ａ＝ ， ｋ 动 ； ； ０１ （； ）
ｋ二Ｉ．． ｎ ． ． ． ．
我们要达到两个目 标都最优， 显然满足第二个目 标就同时
满足第一个目 因为使每个学生的等待时间最短， 标， 就保 证了系统中效率最小的那种测试项目不停的运行。所以 本题中我们就只考虑第二个目 标。
第 １ 卷第２ ８ 期
Ｖ ｌ１ ｏ． ８ Ｎ ． ｏ２
6体能测试时间安排
体能测试时间安排摘要为了了解学生的身体情况，某校按照教学计划安排要对学生进行身高和体重，立定跳远，肺活量以及握力和台阶试验这5方面的测试。
这5个项目所匹配的仪器台数和测试的时间不同。
学校要求每班每个学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并在5个测试所用的时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
本文先根据学校的实际情况，应用学校现有的仪器设备、场地容纳人员数量、在规定测试的时间，利用队列原理对学生由小到大分成4组，并使他们的总等待时间最短，我们在此基础上建立数学模型：minQ=S/T*2。
并利用Mathematica、Word和Excel等软件对有关数据进行了分析计算，得出一种比较合理的方法，使得学生等待时间最短。
在上面模型的基础上，我们提出三种方案，回答了题目中的问题二。
方案一虽然运行速度比较快，但需要引进各项仪器22台，且场所需要扩容，所以该方案不可行；方案二在一上午可以完成学生测试，需要引进仪器13台，在条件允许的情况下我们认为方案二也可行；方案三在一天的时间可以完成全校学生的测试且引进器材比较少，共4台，通过以上比较我们认为方案三最合理。
关键词效率分组队列原理等待时间一、问题的提出体能测试主要是测量身体的四大基本素质：力量、耐力、速度、柔韧性。
通过这些测试，才可以了解自身的基本体质状况，以便提高身体素质。
现有某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。
测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。
该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要210秒。
每个学生测试每个项目前要登记学号，平均需时5秒。
仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。
毕业设计(论文)-体能测试讲解
全国大学生数学建模竞赛优秀论文设计选之体能测试时间安排1
体能测试时间安排摘要：本文讨论了体能测试时间安排的优化模型。
基于不同的考虑，分别得到如下模型：模型Ⅰ：对体能测试的五个项目运依据“排列论”的相关知识，利用相应的模型计算方法，得到每名学生测试完时的平均等待时间。
模型Ⅱ：优先考虑测试场地的最大容量，并且场地得到充分利用。
根据SAS系统proc univariate 过程，做出所有参加体能测试的班级人数的“茎叶图”（班级人数茎叶图表），并对其数据进行分析。
并利用组合知识对所有班级分组(表2)，此时考虑每项测量仪器的数量以及每个学生完成测试所用的平均时间，对每次进入测试的班级进行测试仪器的分配。
依据相关数据，做出各班参加体能测试的具体时间安排表。
模型Ⅲ：优先考虑测试时间，将测试过程分成两个阶段。
设每次进一个班，根据体能测试所需的条件，列出相应的关系式。
由“模型Ⅱ”的“茎叶图”所得的数据，运用LINGO软件和Mathmatica 软件进行计算,得出较精确的体能测试时间安排表(表5)。
最后通过对模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ进行分析和评价，得出较符合实际的体能测试的方案。
关键词：排队论茎叶图类举法一、问题重述如今大学生体质下降是一个普遍问题，一些学生常常睡懒觉、不锻炼，还养成了抽烟、喝酒、长期上网等不良生活习惯。
既耽误学习又对身体非常不利。
在此情况下，某学校为了解学生的身体状况，按照教学计划分别对各班学生进行身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目的体能测试。
其相关数据如下：可省去录入时间。
另外，学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。
5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。
但要保证同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试。
并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，并给出算法。
尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划。
体能测试最优时间安排的数学模型
体能测试最优时间安排的数学模型数学与信息科学系摘要:运用集装箱装备的思路,借助Matlab6.5程序,较方便快捷地得到各班级在时间安排上的最佳组合,确定了一个最优的时间安排表;并运用流水线设计原理进一步优化模型,使得模型的实用性得到推广.由此,对2007“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛D题的各问题给出了完整的解答.关键词:排序优化;集装箱;流水线原理一．问题的描述某校安排56个班的学生进行体能测试,参加体能测试的各班人数见表1.测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目,均由电子仪器自动测量、记录并保存信息.该校身高与体重测量仪器3台,立定跳远、肺活量测量仪器各1台,握力和台阶试验测量仪器各2台.前4个项目每台仪器每个学生的平均测试(包括学生的转换)时间分别为10、20、20、15s,台阶试验每台仪器一次测试5个学生,需要3.5min.5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行,测试项目没有固定的先后顺序.请你用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题,给出该数学问题的算法,尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划.并对学校以后的体能测试就引进各项测量仪器的数量、测试场所的人员容量等方面提出建议,详细要求参照2007“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛中的D题[1].二．模型假设和符号2.1 模型的假设(1) 同一班学生的学号相连,按学号顺序测试每人可节省5s录入时间,故设一个班集体测试,且每班同学都按照其学号相连的顺序进行测试;(2) 忽略班与班之间进场交替的时间;(3) 假设每个班进入场所后全部测试完毕方退出,且忽略测试项目间的转换时间;(4) 假设体能测试中没有发生突发情况(如:某同学反复重测一个项目,工作人员的仪器突发暂时性的停止运作等),且测试中所有项目均连贯进行,无人员闲置,空等的现象发生.2.2 变量及符号(表2)表2 变量及符号三．问题分析(1) 模型Ⅰ集装箱装配集装箱使用的特点之一,必须将货车完全装满,不容许欠装,由于在装车时,一辆车既可以装一种箱型又可以多种箱型混装[2].所以联想到与本问题有相似之处,可将班级测试完成的时间看作箱子,而规定的时间段看作货车.于是此问题就成了箱子装进货车的问题.(2) 模型Ⅱ流水线工序安排模型流水线的基本原理是把一个重复的过程分解为若干个子过程,前一个子过程为下一个子过程创造执行条件,每一个过程可以与其他子过程同时进行.流水线各段执行时间最长的那段为整个流水线的瓶颈,一般地,将其执行时间称为流水线的周期[3].考虑到与本问题有相似之处,于是将体能测试看成一条完整的流水作业,生产人员看作是体能测试中的工作人员,测试人员看作是生产零件,所以此问题就成了零件加工的问题.测试项目的相关数据见表3.表3 测试项目数据根据表3,测试中平均每人消耗在台阶测试项目的时间最多,因此可以假设,某班同学全部完成台阶测试时,已经测完了其他项目,这样在模型的合理假设下就可以把一个班所花费的最长时间计算出,10/T n t i ⨯= （1） ()()x T T x n t i /10/+⨯-=()的个位数为n x （2） 其中n 表示每个班级人数;当n 为10的倍数时用式(1),当n 出现个位数时用式(2).此式可求出每班完成所有项目所用的最少时间.四．模型的建立(1) 模型Ⅰ集装箱装配 将班级测试所耗时间看作是集装箱,而将规定的时间段看作货车.由于台阶设备有2台,可同时测试10人,所以为了能够充分地利用台阶测试的资源去节省不必要的时间消耗,将班级进行凑整组合(计算机编程语言代码见附录所示).经过计算机的合理筛选,定了初步的分配方案.为达到最优化设计目标函数,即t n T G i i ∑-=1min 1 （3） t n T G i i ∑-=2min 2 （4） 函数(3)表示装入尽可能多的组合班级让其在第一个时间段剩余时间最少;函数(4)表示装入尽可能多的组合班级让其在第二个时间段剩余时间最少.(2) 模型Ⅱ流水线设计方式 由于“流水线设计式”体能测试的基本原则是测试效率高,这包括了减少工作人员的使用,减少生产时间,平衡测试各环节,减少测试人员回流等内容.①求流水线的最佳编制效率E()[].,3,2,1%,100/max =⨯∙=k n T E N k （5） 一般流水线的编制效率要求在85%以上,所以在求解过程中要尽可能让其效率达到最大.②求解各工序的最优分配让测试过程保持平衡,并且耗时最少,使录入时间和测试时间以及中间项目转换时间的总和最少,可以得出流水线作业的最优化目标函数G.,2,1,max =⨯+⨯=∑k G N w T w k s m m （6） 权数的确定可以根据不同实际情况进行合理调配,一般可设为1.五．问题求解（1）模型Ⅰ集装箱装配求解为使G 1 (即规定时间段剩余时间)达到最小值,进行班级最优组合安排,计算机处理流程图见图1所示.按照计算机处理模式(详见附录部分),可以得到表4.图1 集装箱装配解题流程图(2) 模型Ⅱ流水线设计方式求解观察函数(3)可知,当T 为定值,N k n max ∙的值达到最大时,E 的值能达到最大(即效率最大);为使函数(4)中G 1达到最大,由于∑T m 的确值无法准确算出,但在实际生活中,对于有些量可根据经验和要求将其定量化,所以只要同时满足上面2个函数式的最值条件,就能算出在非理想化的生活实际中消耗的最长时间.但现设定各项目之间的距离可以适当的安排,因此∑Tm 能近似的看作为0.所以最后耗时t i 会无限逼近21s ,这样模型Ⅱ的最优解划归为模型1,即可以用和模型Ⅰ中相同的计算求解方法和计算机处理模式进行最优筛选,此处不再赘述.体能测试最优时间安排的数学模型表4六．模型的评价与推广模型符合现代效率经济的相关理论,利用矩阵列表,运用计算机筛选从而大大简化计算过程.从两个模型的实际运用效果上看,上述模型还可以运用于其他领域.如模型Ⅰ可广泛运用于生活中的日常调度,装配问题等,而模型Ⅱ可以广泛运用于企业生产流水线,运输线路以及一些传送运输系统的生活实际问题中.考虑到经费和场地问题,测试仪器不可能无限的增多,所以在尽可能少仪器的情况下达到各测试点基本相同是最理想的,经过计算分析得出,学校应该具备的仪器为身高体重仪器2台,立定跳远、肺活量仪器各4台,握力3台,台阶试验仪器8台.鉴于学校原来所具有的仪器量,因此建议学校在原来的基础上,引进仪器设备为立定跳远、肺活量仪器各3台,握力1台,台阶试验仪器6台.参考文献:[1]中国大学生数学建模网，/mcm07/problems2007c.asp[2] 党业,王业祥,沈海燕.编制集箱中转装配计划的数学模型的研究[J].铁路计算机应用,1995,4(2):8-11.[3] 陈晓鹏,张祖芳,李克兢.服装生产流水线设计和工序分配的优化目标[J].东华大学学报:社会科学版,2005,5(5):56-59.附录:所使用的Visual Basic的程序代码Private Sub Command1_Click()Dim a(1 To 56) As Integer, b(1 To 56) As Integer, c(3 To 15)Open “各班级的人数.txt” For Input As #1Open “已经安排好的班级.txt” For Output As #2For x = 1 To 56Input #1, a(x)For d = 1 To 7If a(x) = d * 10 ThenPrint #2, x & “班”, a(x)a(x) = 0End IfNext dNext xFor y = 1 To 55For z = y + 1 To 56For w = 3 To 15If a(y) <> 0 ThenIf a(y) + a(z) = w * 10 ThenPrint #2, y & “班” & “和” & z & “班”, 10 * wa(y) = 0a(z) = 0End IfEnd IfNext wNext zNext yFor i = 1 To 54For j = i + 1 To 55For k = j + 1 To 56For v = 5 To 15If a(i) <> 0 ThenIf a(i) + a(j) + a(k) = v * 10 ThenPrint #2, i & “班” & “和”& j & “班” & “和” & k & “班”, 10 * v a(i) = 0a(j) = 0a(k) = 0End IfEnd IfNext vNext kNext jNext iFor o = 1 To 56If a(o) <> 0 ThenPrint #2, o & "班", a(o) End IfNext oClose #1, 2End Sub。
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邱红军 , 等 : 体能测试时间安排的数学模型设计研究
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试验每次测试需要 210 秒 , 耗时最长 , 我们视其 为关键测试 , 则其它测试为非关键测试 . 由关键 路的思想
[2]
( 2 ) 学生在测量仪之间的转换时间为零 ; ( 3 ) 同一个班的学生同时到达测试场地 ; ( 4 ) 在测班级中未测人数不足 20 时 , 立即通
18 19 20 7
19 20
10 16 17
10 16 17 18 18
3 3
10 16 17 18 19
16 17
19 20
10 0 20 0
9
10 20
17 18 10 19 20
19
18 19
意思 , 以下同 )
0 0 0 0 0 0
→
10 0 0 0 0 20 0 0 0 0 11, 12, 13, 14, 15 1, 2, 3, 4, 5
212 分析二 由已知 , 关键测试每次能同时 10 人
进行 , 若非关键测试安排得当 , 即也有 10 人同时 完成所有非关键测试 , 则将其互换后接着测试 , 可使关键测试不间断 . 因此 , 将到达测试场所的 学生分成 20 人一组 : 若 20 人同属一个班 , 则耗 时 425 秒 ; 若 20 人分属两个班 , 则耗时 430 秒 ; 若 20 人分属三个班 (而这种情况显然不多 , 因为 它要求某一个班的人数至多为 18, 由表 1, 只有
即学号 , 平均需时 5 秒 . 仪器在每个学生测量完 毕后学号将自动后移一位 , 于是如果前后测试的 学生学号相连 , 就可以省去录入时间 , 而同一班 学生的学号是相连的 . 学校安排每天的测试时间为 8 ∶ 00 - 12 ∶ 10 与
13 ∶ 30 - 16 ∶ 45 两个时间段 . 5 项测试都在最多容
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九江学院学报 (自然科学版 ) 2010 年第 1 期
每次测试所能容纳的人数 ; 第二个数为费用 , 表 示完成每次测试的时间 . 所有弧的容量相同 , 总 和为 150, 费用均为 0, 表示测试场所容纳的人数 为 150, 学生转换测量仪的时间为 0. 为清晰起 见 , 图中只在一条弧上给出了标注 . 现有 20 人要 在 430 秒内完成所有测试 , 即要遍历 ①、 ②、 ③、 ④、 ⑤ 这五类点 , 问应沿怎样的测试路线行走 ?
213 分析三 每个上午参加测试的班级选定后 ,
其先后次序是否会影响学生的等待时间 ? 答案是 肯定的 . 举一个简单的例子 , 甲班 41 人 , 乙班 22 人 , 若甲先乙后 , 则总等待时间为 ( 21 + 1 + 3 ) × 215 (秒 ) ; 若乙先甲后 , 则总等待时间为 ( 2 +
(图 1 中虚线表示将关键测试和非关键测试分开的
16 17 18 19 20 6 8 20 7 9 7 9 6 8
3 3 3 3
8
9 6 8 9
3 3
10 7 9
→ → → →
6
17 18 19 20 7 9 7 8
3 3
6 8 10 0 0 0 0
8
9 6 8
3 3
10 16 7 9
3 3
→ → → →
1, 2, …, k;
T:总可等时间 。 由分析三知 , T 为班级排序的
函数 , 即 T = T ( { i1 , i2 , …, ik } ) .
5 问题一的模型及解答
[3] 511 模型一 (网络模型 ) 在如图 1 所示的网络
中 , 弧表示任两类测量仪之间有路相连 . 每个点 旁有一对数据 , 第一个数表示容量 , 即该测量仪
6, 7, 8, 9, 10 16, 17, 18, 19, 20
做同样的测试步骤 , 20 人的全部测试在 430 秒内完成 。 据此 , 笔者用图 2 以更清楚地给出问题一的
图 1 测试路线行走图
解答 :
512 模型一的求解 根据第 2 节的分析二 , 20 人 (假定学号相连 , 且不妨设为 1 —20 号 ) 要在 430
xij :等于 1时表示第 i班参加第 j 天上午的测试 ,
忽略微小差别 , 视每组完成整个测试平均耗时 430 秒 . 每个 上 午 可 测 试 150学生 680 人 , 则全校学生完 成整个测试需要 2036 /680≈ 2199 (个 ) 上午 . 因 此 , 每个上午应挑选这样一些班级 , 其人数和尽 量接近 680. 由此提出问题二 : 如何在 56 个班级 中挑选符合人数要求的班级 .
秒内完成所有测试 , 必须是 10 人完成关键测试耗 时 215 秒 , 也有 10 人在 215 秒内完成所有非关键 测试 . 为保证学号相连以减少登录时间 , 自然想 到让 1 —5 号 、 11 —15 号分别做关键测试 , 而同时 让 6 —10 号 、 16 —20 号分别做非关键测试 . 主要 问题在于如何减少非关键测试中的可等时间 , 保 证 10 人完成所有非关键测试的时间不超出 215 秒 . 由非关键测试中测量仪的耗时特点 , 同样自 然地想到 , 让 6 —10 号 、 16 —20 号学生排成两队 , 得初始状态矩阵 状态转换 : 在上述转换过程中 , 7 表示 7 号学生在做虚 拟测试 , 即其已经做过该类测试从而不需再测 .
(九江学院理学院 江西九江 332005 )
摘要 : 针对体能测试时间安排的要求 , 提出了三个问题 . 用关键路的思想 , 建立了模 型一 (网络模型 ) , 解决了在测人员的测试路线问题 ; 在此基础上 , 又建立了模型二 ( 0 - 1 规划模型 ) , 解决了各个时间段参加测试班级的选择问题 ; 以及模型三 (约束优化模 型 ) , 解决了各个时间段参加测试班级的到场顺序问题 。从而使整个测试所需时间段数最 少 , 在三个上午即可完成 , 并有效节省了学生的等待时间 。 关键词 : 时间安排 ; 网络模型 ; 0 - 1 规划模型 ; 约束优化模型 文献标识码 : A 文章编号 : 1006 - 3838 ( 2010 ) 01 - 0034 - ( 05 ) 中图分类号 : O 14114
2010 年第 1 期 九江 学 院 学 报 (自然科学版 ) No11, 2010 Journal of jiujiang University ( natural sciences)
(总第 88 期 ) ( Sum N0 88)
体能测试时间安排的数学模型设计研究
邱红军 谭毓澄 张艳红 罗建林
定义 1 已测测量仪 : 对某人来说 , 其已在该 类测量仪上测试过 ; 未测测量仪 : 对某人来说 , 其未在该类测量仪上测试过 . 定义 2 非关键测试中的必等时间 : 未测测量 仪无空闲时的人员等待时间 ; 非关键测试中的可 等时间 : 未测测量仪有空闲时的人员等待时间 . 定义 3 状态矩阵
[1]
.
15 45 30 33 45 50
表 1 参加体能测试的各班人数
2 问题提出
211 分析一 由已知 , 在所有测量仪器中 , 台阶
3 基金项目 : 江西省高校省级教改重点资助项目 (JXJG - 07 - 17 - 47) 收稿日期 : 2009 - 11 - 05 作者简介 : 邱红军 ( 1978 - ) , 男 , 湖南娄底人 , 九江学院理学院教师 。研究方向 : 图论 。 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
班号 人数 班号 人数 班号 人数 班号 人数
1 41 16 44 31 41 46 42 2 45 17 20 32 33 47 43 3 44 18 30 33 51 48 41 4 44 19 39 34 39 49 42 5 26 20 35 35 20 50 45 6 44 21 38 36 20 51 42 7 42 22 38 37 44 52 19
纳 150 个学生的小型场所进行 , 测试项目没有固 定的先后顺序 . 参加体能测试的各班人数见表 1. 学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成 所有项目的测试 , 并且在整个测试所需时间段数 最少的条件下 , 尽量节省学生的等待时间
8 20 23 28 38 37 53 39 9 20 24 25 39 38 54 75 10 38 25 30 40 39 55 17 11 37 26 36 41 42 56 17 12 25 27 20 42 40 13 45 28 24 43 37 14 45 29 32 44 50
1, 2, 3, 4, 5 11, 12, 13, 14, 15 16, 17, 18, 19, 20 6, 7, 8, 9, 10 :
上午有 15000 秒 , 下午有 11700 秒 , 简单运算即 知整个测试至少需要三个上午 , 这时所需时间段 数最少 . 由此提出问题一 : 如何安排非关键测试 , 使得关键测试从不间断 , 以保证整个测试至多在 三个上午完成 .
充说明的是 : 这里的等待时间很明显是指等待关 键测试的时间 , 因为如果将非关键测试看作一个 系统 , 其内部也包含一些学生的等待时间 , 但由 非关键测试的安排 , 这些等待时间已不能调整 . 由此提出问题三 : 如何安排每个上午选定班级的 测试顺序 .
3 模型假设 ( 1 ) 测量仪无故障 , 确保正常使用 ;
55 班 、 56 班符合要求 ) , 则耗时 435 秒 . 因此 ,
表示学 生 1 —5 号 、 11 —15 号 分 别 做 关 键 测 试 ,