一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶非齐次线性微分方程的通解
一阶非齐次线性微分方程的通解
一阶非齐次线性微分方程的通解形如y'P()y=Q()的线性微分方程称
之为一阶线性微分方程，Q()称为随意项。
一阶，指的是方程式中有关Y
的导函数是一阶导数。
线形，指的是方程式简单化后的每一项有关y、y'
的系数为1。
线性微分方程，就是指带有不明函数公式以及导函数的表达式。
解微分方程便是找到不明函数公式。
物理学中很多涉及到变力的动力学、动力学模型问题，如气体的压力
为速率函数公式的落体健身运动等问题，许多可以用微分方程求解。
除此
之外，线性微分方程在有机化学、水利学、社会经济学和人口数据等方面
都是有运用。
线性微分方程的功效：线性微分方程，是高数中较为关键的一个支系
行业，只需在式子中带有未知量的导函数与自变量中间相互关系的方程式，都能够称作线性微分方程。
大家使用线性微分方程可以将一个错综复杂的个人切分成无尽个细微
一部分，在运用线性微分方程对一个一个的小一部分运用初始条件对它进
行求得，最终求得全部一部分的解。
线性微分方程，如今广泛运用在现代
电子技术、电子线路测算、航天航空等众多行业。
追赶法求解一阶常系数线性非齐次微分方程组
一阶线性非齐次微分方程教学方法研究
摘 要 本科大学微积分教材中的常数变易法用来探讨和计算一阶线性微分方程，然而对于常微分初学者而言，常数变易法的直接使用让他们迷惑不解：为什么可以这么变？教师在讲解这部分内容的时候应当向学生解释清楚常数变易法的由来思路，并且适当介绍微积分教材中缺少的积分因子法，以达到教学的逻辑连贯性和技巧性相统一的目标，使得教师教和学生学都更自然容易些。
关键词 微积分教材；常数变易法；一阶线性微分方程；积分因子法中图分类号：G642 文献标识码：B 1671-489X(2022)06-093-03Research on Teaching Methods of First Order Linear Non - erential Equations //YI Gaoming, GENG The constant variation method in the calculus text-books of domestic undergraduate universities is used to ex-plore and calculate the fi rst-order linear diff erential equation. However, the author finds that for ordinary differential be-ginners, the direct use of constant variation method puzzles students: why can it be changed like this? When explaining this part of the content, teachers should explain the origin and idea of constant variation method to students, and appro-priately introduce the integral factor method missing in calcu-lus teaching materials, so as to achieve the goal of unifying logical coherence and technology in teaching, and make it easier for teachers to teach and students to learn.calculus textbooks; constant variation method; fi rst order linear diff erential equation; integral factor method０ 引言对于大学本科低年级的理工科经管类学生而10.3969/j.issn.1671-489X.2022.06.093一阶线性非齐次微分方程教学方法研究*◆易高明 耿秀荣言，学好弄通微分方程是提高学科专业水平和应用能力的必由之路[1]，掌握微分方程的求解可以提升学生的数学建模能力。
高考数学冲刺一阶常微分方程的解法与类型
高考数学冲刺一阶常微分方程的解法与类型在高考数学中，一阶常微分方程是一个重要的考点，掌握其解法和类型对于提高数学成绩至关重要。
接下来，让我们一起深入探讨这个关键知识点。
一阶常微分方程，简单来说，就是含有一个自变量及其一阶导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
首先，我们来了解一下一阶常微分方程的常见类型。
第一种是可分离变量的一阶常微分方程。
形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程就是可分离变量的方程。
其解法是将方程两边分别除以$g(y)＄，然后将变量$x$和$y$分离到等式两边，接着分别对两边进行积分，就可以得到方程的解。
例如，方程$dy/dx ＝ x/y$就是可分离变量的方程。
我们将其变形为$ydy ＝ xdx$，然后两边分别积分：＄＼int ydy ＝＼int xdx$，得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，即$y^2 ＝ x^2 ＋ 2C$。
第二种类型是一阶线性常微分方程。
它可以分为一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程。
一阶线性齐次方程的形式为$dy/dx ＋ P(x)y ＝ 0$，其解为$y ＝ Ce^｛＼int P(x)dx}＄。
而一阶线性非齐次方程的形式为$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，我们可以使用常数变易法来求解。
先求出对应的齐次方程的通解，然后设非齐次方程的解为$y ＝ u(x)e^｛＼int P(x)dx}＄，代入非齐次方程求出$u(x)＄，从而得到非齐次方程的通解。
例如，方程$dy/dx ＋ 2xy ＝ 2x$，这里$P(x) ＝ 2x$，＄Q(x) ＝ 2x$。
先求对应的齐次方程$dy/dx ＋ 2xy ＝ 0$的通解，即$y ＝ Ce^｛＼int2xdx} ＝ Ce^｛x^2}＄。
然后设非齐次方程的解为$y ＝ u(x)e^｛x^2}＄，代入原方程求出$u(x)＄，最终得到非齐次方程的通解。
除了以上两种常见类型，还有一些特殊的一阶常微分方程，比如伯努利方程。
第三十三讲 一阶线性微分方程(最全)word资料
第三十三讲 一阶线性微分方程重点：一阶线性微分方程通解的求法 难点：用公式求解形如)()(x Q y x P y =+' （1）的微分方程，称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程。
它的特点是：微分方程中所含的未知函数和未知函数的导数都是一次的。
如果)(x Q ≡0，则方程（1）变为0)(=+'y x P y （2）称为一阶线性齐次微分方程，简称一阶线性齐次方程；如果)(x Q 不恒等于零，则称方程（1）为一阶线性非齐次微分方程，简称一阶线性非齐次方程。
通常称方程（2）为方程（1）所对应的线性齐次方程。
下面我们来讨论这类方程的解法。
1．一阶线性齐次方程的解法 由（2）分离变量，得dx x P ydy)(-= 两边同时求不定积分⎰+-=C dx x P y ln )(ln所以，方程（2）的通解为⎰-=dx x P Ce y )( （C 为任意常数） （3）例1 求微分方程 0)(sin =+'y x y 的通解。
例2 求方程0)2(2=+-dy x dx xy y 满足初始条件e y =)1(的特解。
2．一阶线性非齐次方程的解法方程（1）与它所对应的齐次方程（2）的差异在等式右端，那么，我们可以猜想它们的通解之间会有一定的联系。
由前面讨论知，当C 是任意常数时，（3）是（2）的解，却决不可能是（1）的解。
因此，如果（1）有形如（3）的解，那么C 应当是一个关于x 的函数，即)(x C C =。
把⎰-=dx x P e x C y )()(代入（1），得)()()())](()()([)()()(x Q e x C x P x P e x C e x C dx x P dx x P dx x P =+-+'⎰⎰⎰---⎰='dxx P e x Q x C )()()( C dx e x Q x C dxx P +=⎰⎰)()()(于是，一阶线性非齐次方程（1）的通解为⎰-=dx x P e y )([⎰⎰dx e x Q dx x P )()(+C]。
常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy=中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dxdy=为可分离变量的方程。
对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dx x g y h dy)()(=的形式，再对此式两边积分得到C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dxdy=的解，其中C 为任意常数。
具体例子可参考书本P10—P11的例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dxdy=+为一阶线性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到⎰=-dxx P Ce y )(，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。
将其代入)()(x Q y x P dxdy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是⎰='dxx P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(，于是将其回代入⎰=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy=+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。
浅论解一阶线性非齐次微分方程的方法
浅论解一阶线性非齐次微分方程的方法作者：沈兆益来源：《新教育时代·教师版》2016年第34期摘要：求解一阶线性非齐次微分方程的方法较是教学难点。
各类教材中常使用的求解的方法为公式法与常数变易法。
公式法由于公式相对复杂，常数变易法较难理解且步骤相对较多，这两种方法对于基础较欠缺的学生较难接受。
本文论述教学过程中可向学生介绍了较为简单的方法，有助于学生跨越这一学习难点。
关键词：一阶线性非齐次微分方程公式法通解高职院校教的高等数学教学内容虽然相对简单，但由于学生学习能力相对欠缺，但仍需要教师不断探索新的教学方法。
在进行“一阶非齐次线性方程”的求解的教学过程中，师生通常使用的是教材中所涉的公式法或常数变易法进行解题。
高职院校学生由于学习基础较为薄弱，学习积极性相对不足，而这两类方法在理论介绍上需要较长篇幅，应用中也需要较大的计算量。
若教师在教学中解释不够言简意赅，学生会出理论学习现缺乏耐心，对解题方法在理解上不够透彻，因此在解题应用上，缺乏信心，会出现较高的错误率。
不论是学生还是教师都会认为“一阶非齐次线性方程”的教与学是难以克服的困难。
例如，求解微分方程的通解。
若使用公式法求解：首先需要得到一阶线性微分方程的标准形式，因此原式左右同除以cosx，得：，然后化成标准形式：。
其中p（x）=-tanx，q（x）=cosx然后求解，解题中需注意常数c与绝对值在此不表示出来，这与原先学生学习过的不定积分中的要求是不一致的，使学生容易产生困惑，本题中所得到的结果表示为，需要教师介绍公式法时认真解释“对于中所产生的常数与绝对值可以被的常数c所包含吸收。
”其次求解，本题中：将上述结论代入，得到：。
可见：公式法求解一阶线性微分方程，解题步骤分段较多；对于常数c的处理容易引起学生的困惑；公式法中学生所记忆的公式“”较长，且有些细节容易混淆，若学生理解与记忆不够透彻就容易遗忘。
而若使用常数变易法，同样会有较大的计算量，以下为使用常数变易法解法求解这一题过程：首先计算对应齐次方程的通解为：于是对应非齐次方程的通解设为：，两边求导得到：然后将和代入得：化简得到：，两边求解积分，得到：代入得到：可见，常数变易法求解方程，所涉步骤比公式法更多，每一步骤的目的需要学生较长时间的学习和练习才能理解，并且对于积分常数的处理学生会有同公式法一样的疑惑，因此常数变易法同样是的基础较为薄弱的学生难以掌握。
一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法
一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法特解叠加原理是指，对于非齐次线性微分方程，其通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解加上一个特解。
特解叠加原理的核心思想是通过叠加不同形式的特解，使得线性微分方程的非齐次项得到满足。
待定系数法是特解叠加原理的具体应用，它是通过假设特解的形式，并通过代入方程进行求解特定的系数。
常见的非齐次项形式包括多项式、指数函数、三角函数等。
具体的步骤如下：1.如果非齐次项是常函数，假设特解的形式为常数，将特解代入方程，求解特定的常数。
2.如果非齐次项是多项式函数，假设特解的形式与非齐次项相同，并将特解代入方程，求解特定的系数。
3.如果非齐次项是指数函数，假设特解的形式为指数函数，并将特解代入方程，求解特定的系数。
4.如果非齐次项是三角函数，假设特解的形式为三角函数，并将特解代入方程，求解特定的系数。
5.如果非齐次项是三角函数和指数函数的线性组合，可以通过假设特解的形式为三角函数和指数函数的线性组合，并将特解代入方程，求解特定的系数。
需要注意的是，在使用待定系数法时，特解的形式应根据非齐次项的形式来确定，同时需要确保特解与齐次方程的解线性无关。
对于二阶常系数非齐次线性微分方程，其通解可以表示为齐次方程的通解加上一个特解，即$$y=y_h+y_p$$其中，$y_h$表示齐次方程的通解，$y_p$表示特解。
求解非齐次线性微分方程的步骤如下：1. 首先,求解对应齐次线性微分方程的通解$y_h$。
对于二阶齐次线性微分方程$ay''+by'+cy=0$，其中$a,b,c$为常数，可以通过特征方程求解其特征根$r_1$和$r_2$，然后得到通解$y_h=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$，其中$c_1$和$c_2$为常数。
2.然后,求解特解$y_p$。
根据待定系数法，假设特解的形式，并将特解代入原方程，求解特定的系数。
3.最后,将通解$y=y_h+y_p$代回原方程，验证是否满足原方程。
新改节一阶线性微分方程PPT课件
五、1、( x y)2 2x C ；
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三、小结
1.齐次方程 y f ( y) 令 y xu; x
2.线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx ;
3.伯努利方程
思考题
令 y1n z;
求微分方程 y
cos
y
cos y sin 2 y
x
sin
y
的通解.
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思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
与齐次方程通解相比 C u( x)
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常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
作变换 y u( x)e P( x)dx
y u( x)e P( x)dx u( x)[ P( x)]e , P( x)dx
3、 dy dx
x
1 sin2
(
xy)
y. x
六、已知微分方程 y y g( x),其中
g( x)
2 0
, ,
0 x
x 0
1,试求一连续函数y
y( x) ,满
足条件 y(0) 0 ,且在区间[0 , ) 满足上述方程 .
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练习题答案
一、1、 y ( x C )esin x ；
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P(
x)
y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P(
x)dx,
ln y P(x)dx C1,
高等数学(上) 第3版教学课件6-3 一阶线性微分方程
;
例1.求微分方程′ + ∙ = − 的通解
解法1： ∵ = ,
Q = −
代入非齐次的通解公式得
= − − +
= − − +
∙
只写一个原函数
例1. 求微分方程 ′ + 2 = 0的通解
解：这是一阶线性齐次微分方程
() = sec 2
代入通解公式得, =
通解
= −
− 2
齐次方程 ′ + =
的解 = −
《高等数学》
第三节 一阶线性微分方程
基础课教学部
第三节 一阶线性微分方程
一、引入
二、基本概念
三、齐次方程的解法
四、经典实例
五、非齐次方程的解法
一、引入
实际问题中，事物总是不断的运动变化.
空气流动
气温变化
植物生长
？直接得出函数结构非常困难.
! 建立函数、导数、微分之间的等式（微分方程）
二.基本概念
设 = ()−
是非齐次的通解
把C换成
C(x)！
怎么求解
呢?
常数变易法
令 = () −
′ = ′ −
,
则
− () −
,
代入方程 y′ + = ()中整理
′ −
= −
(න
+ )
其中为任意常数，3个积分均只写一个原函数
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一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一、常系数法：
当$P(x)$为常数时，可以采用常系数法求解。
具体步骤如下：
1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解
$y_0(x)$；
2.利用常数变易法，设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；
3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；
4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。
二、一阶线性微分方程的常数变易法：
对于一般的一阶线性非齐次微分方程
$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)$，可以采用常数变易法求解。
具体步骤如下：
1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解
$y_0(x)$；
2.设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；
3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；
4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。
三、常数变易法的特殊形式：
当非齐次方程的右端项$Q(x)$具有形式$Q(x)=P(x)F(x)$时，可以采用常数变易法的特殊形式求解。
具体步骤如下：
1. 解齐次线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=0$，得到解
$y_0(x)$；
2.设非齐次方程的特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$；
3.将$y(x)=u(x)y_0(x)$代入非齐次方程，解出$u(x)$；
4.特解为$y(x)=u(x)y_0(x)$。
四、拉普拉斯变换法：
该方法适用于解微分方程初值问题。
通过拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，然后根据拉普拉斯变换的性质求解代数方程，最后利用拉普拉斯逆变换得到微分方程的解。
五、解法总结：
1.首先判断是否为一阶线性非齐次微分方程；
2.如果是常系数非齐次线性微分方程，可以用常系数法求解；
3.如果是非常数非齐次线性微分方程，可以用常数变易法求解；
4.如果非齐次方程的右端项具有特殊形式，可以用常数变易法的特殊形式求解；
5.如果初值问题，可以考虑使用拉普拉斯变换法求解。
总之，一阶线性非齐次微分方程的求解方法主要包括常系数法、常数变易法、常数变易法的特殊形式和拉普拉斯变换法等。
具体采用哪种求解方法，需要根据具体问题的特点来确定。