1.6-1三角函数模型的简单应用
《1.6三角函数模型的简单应用》教学设计
1.6三角函数模型的简单应用（1）一、教材分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用。
本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活，又服务于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题和数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力。
本节教材通过4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用：1、根据图象建立解析式；2、根据解析式作出图象；3、将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；4、利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型。
在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用。
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力，培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。
二、学情分析本节课是学生在学完三角函数基础知识后的一堂综合应用可，学生在这之前已经系统地学习了三角函数的定义、图象和性质，对三角函数有一定的知识基础，同时学生也熟练掌握了使用计算器，可以给角求值，也可以在给出已知三角函数值时求对应的角度，为本课的顺利开展作好了一定的铺垫作用。
学生在必修1已经学习过“函数模型的应用实例”，学习过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数等描述现实世界变化规律的函数模型，已经体会到解决实际问题中建立函数模型的过程，这为本节课的学习奠定了又一基础。
依据学生的认知规律和水平，本课时教学中将教材中的例1与例2调整了顺序，目的是顺应学生的认知习惯，由数识图到由图认数，既可以复习函数中的相关知识点，又可强调从图中观察相应的函数性质以及解决问题的基本思路和方法，复习周期函数的相关知识点，在此基础上为解决课本例1打下一个良好的基础和准备工作。
人教版高中数学高一1.6三角函数模型的简单应用
4-1.6三角函数模型的简单应用【知识与技能】1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数x y sin =与正弦函数有紧密的联系.例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。
应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。
关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
补充例题例题：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？解：（1）l g f g l T l g ππωπω21,22===∴=；（2）cm g l T 8.24412≈==π，即若. 【情态与价值】一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ） A.t v y 0= B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 0 2. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）A ．2π B.0 C.π D.π323.某人向正东方向走x 千米后向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成 60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____.三、解答题6. 三个力321..F F F 同时作用于O 点且处于平衡，已知 13521的夹角为与F F ，牛顿，的夹角为与2120232=F F F ，求31F F 和7、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?。
课件1：1.6 三角函数模型的简单应用
（2）
（3）
2
2
1
T
min
| | 160 80
p(t )
p(t )
max
min
1
f 80
T
115 25 140mmHg
115 25 90mmHg
收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg,比正常值高。
同步练习
2.某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t(0≤t≤24) (小时)的函数，
3
6
9
12
15
18
5.0 7.5 5.0
21
24
2.5 5.0
时刻
0
水深/
米
5.0 7.5
3
6
9
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2.5
5.0 7.5
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2.5
5.0
思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什
么规律性？
呈周期性变化规律.
时刻
0
水深/
米
5.0 7.5
3
6
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15
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21
24
5.0
2.5
浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，
有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？
同步练习
解（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出
散点图如下：
依据散点图，可以选用函数 y A sin x h来近似描述这
个海滨浴场的海浪高度y（米）与时间t（小时）的函数关系。从
水深
5.000
时刻
18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00
§1.6三角函数模型简单应用(1)
备课人授课时间课题§1.6三角函数模型的简单应用（一）课标要求选择合理三角函数模型解决实际问题.教学目标知识目标掌握三角函数模型应用基本步骤:技能目标在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
情感态度价值观体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系重点用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题难点将某些实际问题抽象为三角函数的模型教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一、复习准备：1. 函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位所得的曲线是1sin2y x=的图像，试求()y f x=的解析式.2. 函数sin(),(0,0,||)2y A x Aπωϕωϕ=+>><的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式.二、讲授新课：1. 教学典型例题：①出示例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x bωϕ=++，试求这段曲线的函数解析式.讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？（由周期、振幅确定A、b、ω；再由特殊点确定初相ψ）教师示例→小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系.学生回顾教师组织学生，讨论得到个参量教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动②练习：如图，它表示电流sin()(0,0)I A t Aωϕω=+>>在一个周期内的图象.（i）试根据图象写出sin()y A tωϕ=+的解析式.（ii）在任意一段3100秒的时间内，电流I既能取得最大值A，又能取得最小值－A吗？（答案：（i）1003sin()33I tππ=+；（ii）由3350100T=>得不可能）例2：作出函数y＝｜sin x｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间.讨论：绝对值的几何意义？→作简图（看书61页）→由图说性质变式：研究y＝｜cos x｜、y＝｜tan x｜.小结：数形结合思想研究函数性质.分析：例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。
1616三角函数模型的简单应用2
1.6 三角函数模型的简单应用教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.课时分配本节内容用2课时的时间完成，本教案为第2课时，主要通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法，体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程并体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.教学目标重点:精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质．难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．知识点：通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法．能力点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.教育点：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.考试点：将实际问题抽象为三角函数模型问题.拓展点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课（情景展示，多媒体显示）1．情景展示，新课导入经过前面的学习，大家知道，在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型.这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用.在山海关孟姜女庙有一副对联：“海水朝，朝朝朝，朝朝朝落；浮云长，长长长，长长长消.”其中描绘了海潮涨落，浮云长消的自然景象，显示了自然界变幻多姿的景色，这其中对海潮的描述也是感性的.今天我们将从数学的视角理性地研究有关潮水涨落的一些实际问题.2．问题提出，探究解决情景设置：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于该港口的一些什么情况？问题探究1：阅读课本P62：例4给出某港口在某年某个季节每天的时间与水深的关系表，思考并回答：①你能够从表格中的数据中得到一些什么信息？②水的深度变化有什么特点吗？③为了更直观明了地观察出水的深度变化规律，我们可以怎么做？具体操作是：④若用平滑的曲线将所描各点连起来，所得图象形状跟我们前面所学过哪个函数类型非常相似？并尝试求出该函数模型.⑤有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了.如何计算在4时的水深？在任一时刻的水深怎么计算？问题探究2：针对课本P62：例4（2）问，思考：①货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？②怎样用数学语言描述这一条件呢？③在[0，24]的范围内，该怎么求解？④你能说清楚解的实际意义吗？问题探究3：货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？针对课本P62：例4（3）问，思考：①“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候？②反过来，“货船安全”需要满足的条件是用数学式子表示为③对于上式，如何求解呢？④尝试说说解的实际意义.二、典例剖析研究典型例题，总结解题规律例4根据相关数据进行三角函数拟合【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？思考2：设想水深y 是时间x 的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？思考4：用函数sin()y A x h ωϕ=++ 来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？思考5：这个港口的水深与时间的关系可用函数________________________________________近似描述，你能根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精确到0.001）思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？思考8：右图中，设点00(,)p x y 有人认为，由于P 点是两个图象的交点，说明在0x 时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为对吗 [设计意图]使学生体将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．练习1：如图所示，是一个缆车示意图，缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面的距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB,设B 点与地面距离是h. (1) 求h 与θ间的函数关系；(2) 设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ， 求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次 到达最高点时用的最少的时间是多少?2.已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式.[设计意图] 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯,巩固所学知识．例2、：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置 的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π.（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？[设计意图] 让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.三、课堂小结（1）三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意，设角建立三角函数，分析三角函数性质解决实际问题. 其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键.（2）在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质进行解答.（3）根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.（4）对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.四、布置作业1．阅读教材2.书面作业必做题：已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式. 选做题： 一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ）A.t v y 0=B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 02. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）A ．2πB.0C.πD.π323.某人向正东方向走x 千米后向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____. 三、解答题6、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?[设计意图]设计作业1、2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯，书面作业的布置，是为了让学生能够巩固课堂上所学的知识和方法，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是例题及变式训练的编排，既注重了与本堂课内容的联系，又在不知不觉中提高了难度， 提 高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在根据实际问题的背景材料，建立三 角函数关系，解决实际问题上下功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊 断与分析.八、板书设计本节课的板书主要采取了提纲式、对称型，以讲写结合、主辅相随、语言准确、内容完整为原则，将复习内容及新课引入、概念写在黑板左侧，整齐、准确，将例题、习题及解答过程写在黑板右侧，随意中不失规范.。
1.6《三角函数模型的简单应用》展示课件
（3）求 : 先根据图像求T,再由T 2 解得
（4）求：把已知点代入函数式(常常选取最值点代入)
感受高考
函数f
x
A
sin
x
6
1
A>0,
0的最大值为3，其图像相邻
两条对称轴之间的距离为 ，求函数的解析式。【2012年陕西卷】
2
解： 函数f x的最大值为3
A1 3
1.6 三角函数模型的简单应用
第一课时
一、情景引入 在我们现实生活中存在着大量的周期性变化现象。
正弦型函数：y A sin(x ) b A>0, >0
二、逐步探究
引例 （1）函数y 2sin x的图像如何变换得到y 2sin x 3的图像?
y 2sin x 3
y
向上平移单位长度 5
的图象求解析式；
2、根据函数解析式作出图像，并根据图像 认识性质。
四、课后作业
配套练习一份
2
最大值 最小值 2
探究一：根据函数图象求解析式 例1.如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
y Asin(x ) b
问题一： 这一天6～14时的 最大温差是多少？
T/℃ 30 20 10
o 6 10 14 t/h
30°-10°=20°
探究一：根据函数图象求解析式
例1.如图，某地一天从6～14时 T/℃
验证:|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|
即 f (x+ ) f (x)
根据图像还能看出该函数的哪些性质？
归纳小结
利用函数图像的直观性,通过观察图 像而获得对函数性质的认识,这是研 究数学问题的常用方法。
1.6 三角函数模型的简单应用
解析：根据表中数据画散点图，并用平滑曲线将其连接起 来，可如下图所示，图：略． 观察图象知，可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)来拟合这些散 点．观察图中曲线，其周期约为12.3小时，即 2π ＝12.3，所以
ω＝0.511.由数据可知高低海浪之间的高度差为6.6米，故振幅A ＝6.6 ＝3.3.所以，函数的解析式为y＝3.3sin (0.511x＋φ) .因为当t 2 2.75 ＝0时，y＝2.75，所以sin φ＝ ≈0.83，cos φ＝－0.56，利用 3.3 计算器求得φ＝2.165，从而y＝3.3 sin(0.511x＋2.165)，12月5日 下午1时即t＝109时，此时浪高约为y＝3.3 sin(0.511×109＋
数学模型——______________. 1．周期性 三角函数模型
思考应用 1．下面是钱塘江某个码头今年春季每天的时间(单位：时) 与水深(单位：米)的关系表：
时 0∶00 3∶00 6∶00 9∶00 12∶00 15∶00 18∶00 21∶00 24∶00 间 水 深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
思考应用 2．一艘如思考应用1中的货船的吃水深度(船底与水面
的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底
与洋底的距离)，试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆 多久？(已知当sin πx ＝0.2时，πx ≈0.2014，x≈0.3848)
6 6
分析：用数学的眼光看，这里研究的是一个怎样的数 学问题？
t(时) y(米)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
12.0 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
最新高一数学《1.6-1三角函数模型的简单应用》ppt课件解析教学讲义ppt
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
思考1：观察表格中的数据，每天水深 的变化具有什么规律性？
呈周期性变化规律.
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
Who
代替人 作主语
An architect is a person ______ designs buildings.
Who
m
指人 作宾语
This is the student______ my father taught ten years ago.
Who
m
指人 作宾语
This is the student______ my father taught ten years ago.
6
根据这个函数模型，求出各整点时水深 的近似值吗？（精确到0.001）
时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深
0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
第一章 1.6 三角函数模型的简单应用
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解：(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设 y ＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为 12 分钟可知当 t＝6 时，摩 天轮第 1 次到达最高点， 即此函数第 1 次取得最大值， 所以 6ω π π ＝π，即 ω＝ ，所以 y＝40.5－40cos t(t≥0)． 6 6 (2)设转第 1 圈时，第 t0 分钟时距地面 60.5 米，
1由表中数据可知，函数y＝Acos ωt＋b的周期为12； 2由表可知最大值为1.5，最小值为0.5，可求A，b； 3由y>1可确定冲浪时间.
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由周期确定 ω→由最大值和最小值确 定 A，b→确定函数解析式→确定可冲 浪时间
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[活学活用] 某港口的水深 y(单位：m)是时间 t(0≤t≤24，单位：h)的函 数，下面是水深数据： t/h y/m 0 3 6 9 12 15 18 21 24
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这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表 函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数 解析式． 2．三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”， 通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型， 最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
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3.由实际数据拟合函数
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[典例]
(12 分)已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间
t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各 时的浪高数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b.
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)
1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？ 问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？ 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型 师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型 多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0， 在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。
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理论迁移 例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小 球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t （s）的变化曲线是一个三角函数的图 象，如图. s/cm （1）求这条曲线对 4 应的函数解析式； 7p （2）小球在开始振 12 O p t/s 动时，离开平衡位 12 置的位移是多少？ -4
小结作业 1.根据三角函数图象建立函数解析式， 就是要抓住图象的数字特征确定相关的 参数值，同时要注意函数的定义域. 2.对于现实世界中具有周期现象的实际 问题，可以利用三角函数模型描述其变 化规律.先根据相关数据作出散点图，再 进行函数拟合，就可获得具体的函数模 型，有了这个函数模型就可以解决相应 的实际问题.
时刻
0
3
6
9
12
15
18
21
24
水深/米
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
时刻
0 5.0
3 7.5
6 5.0
9 2.5
12 5.0
15 7.5
1
水深/米
思考1：观察表格中的数据，每天水深 的变化具有什么规律性？
呈周期性变化规律.
时刻
0 5.0
3 7.5
6 5.0
9 2.5
12 5.0 y 8
15 7.5
18 5.0
21 2.5
24 5.0
水深/米
思考2：设想水深y 是时间x的函数， 作出表中的数据对 应的散点图，你认 为可以用哪个类型 的函数来拟合这些 数据？
6
4
2
o 6 12 18 24 x
思考3: 用一条光滑曲线连结这些点， 得到一个函数图象，该图象对应的函数 解析式可以是哪种形式？
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？ 27.07℃.
探究二：根据相关数据进行三角函数拟合 【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的 时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮， 晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航 道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关 系表：
15
x
y
8
6 4 2
B A C
D
o
5
10
15
x
货船可以在0时30分左右进港，早晨5 时30分左右出港；或在中午12时30分左 右进港，下午17时30分左右出港.每次可 以在港口停留5小时左右.
思考7：若某船的吃水深度为4米，安全 间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货， 吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那 么该船在什么时间必须停止卸货，将船 驶向较深的水域？ 货船最好在 y p 8 y = 2.5 sin x + 5 6.5时之前停 6 6 止卸货，将 4 船驶向较深 y=-0.3x+6.1 2 的水域.
T/℃
10 14
t/h
y A sin( x ) b
思考3：如何确定函数 j 式中 w 和 的值?
3 , 8 4
T/℃
30
20
10 o 6 10 14 t/h
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
3 y 10 sin( x ) 20, x [6,14]. 8 4
2.835 16：00
7.165 22：00 2.835
3.754 17：00
6.250 23：00 3.754
思考6：一条货船的吃水深度（船底与 水面的距离）为4米，安全条例规定至 少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底 的距离），该船何时能进入港口？在 港口能呆多久？
y
8 6
B
4
2 o
A
C
D
10
人民教育出版社A版必修4
蒲世吉 张心斌
1.6
三角函数模型的简单应用 第一课时
问题提出 1.函数 y A sin( x ) 中的参数 A, ,
对图象有什么影响？三角函数的性质包 括哪些基本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与 性质，其中周期性是三角函数的一个显著性 质.在现实生活中，如果某种变化着的现象 具有周期性，那么它就可以借助三角函数来 描述，并利用三角函数的图象和性质解决相 应的实际问题.
o x
y 8
思考8：右图中， 6 设点P(x0，y0)， P . 4 有人认为，由于 y=-0.3x+6.1 2 P点是两个图象的 o 2 4 6 8 10 12 x 交点，说明在x0 时，货船的安全水深正好与港口水深相 等，因此在这时停止卸货将船驶向较深 水域就可以了，你认为对吗？
p y = 2.5 sin x + 5 6
6
思考5：这个港口的水深与时间的关系可 用函数 y 2.5sin x 5 6 描述，你能
近似
根据这个函数模型，求出各整点时水深 的近似值吗？（精确到0.001）
时刻 水深 时刻
0：00 5.000 6：00
1：00 6.250 7：00
2：00 7.165 8：00
3：00 7.500 9：00
y 8 6
4 2 o
y Asin( x ) h
3
6
12
18
24
x
y 8 6 4 2 o 6 12 18 24 x
思考4：用函数 y Asin( x ) h 来刻画水深和时间之间的对应关系，如 何确定解析式中的参数值？ A 2.5, h 5, T 12, 0,
4：00 7.165 10：00
5：00 6.250 11：00
水深 时刻
水深 时刻 水深
5.000 12：00
5.000 18：00 5.000
3.754 13：00
6.250 19：00 3.754
2.835 14：00
7.165 20：00 2.835
2.500 15：00
7.500 21：00 2.500
作业： P65 练习:1，2，3.
探究一：根据图象建立三角函数关系
【背景材料】如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
y A sin( x ) b
思考1：这一天6～14 30 时的最大温差是多少？ 20 10 30°-10°=20° 思考2：函数式中A、b o 6 的值分别是多少？ A=10,b=20.