利用函数的图像探究函数的性质-高考数学考点专题突破

专题03 利用函数的图像探究函数的性质【自主热身，归纳提炼】1、作出下列函数的图象：(1)(1)y＝2－2x；(2)y＝log13[3(x＋2)]；(3)y＝|log12(－x)|.【思路点拨】：搞清各个函数与基本函数之间的关系，然后用图象变换法画函数图象．(3)作y＝log12x的图象关于y轴对称的图象，得y＝log12(－x)的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y＝|log12(－x)|的图象．如图3.1.作函数图象的一般步骤为： (1)确定函数的定义域． (2)化简函数【解析】式．(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)． (4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的【解析】式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．2、 若函数的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 ．【答案】：12a <≤．【解析】 作出函数的图象，易知当2x ≤时，，要使()f x 的值域为[4,)+∞，由图可知，显然1a >且，即12a <≤．3、 已知函数f (x )＝||2x－2(x ∈(－1,2))，则函数y ＝f (x －1)的值域为________． 【答案】[0,2)解法 1 由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f (x )＝|2x－2|的图像．由下图易得值域为[0,2)．解法2 因为x ∈(－1,2)，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，2x －2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，所以|2x－2|∈[0,2)．因为y ＝f (x －1)是由f (x )向右平移1个单位得到的，所以值域不变，所以y ＝f (x －1)的值域为[0,2)．4、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )．若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．【答案】：7【解析】：作出函数f (x )的图像(如图)，则它与直线y ＝1在[－2,4]上的交点的个数，即为函数y ＝f (x )－1在[－2,4]的零点的个数，由图像观察知共有7个交点，从而函数y ＝f (x )－1在[－2,4]上的零点有7个．5、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4， x ≥m ，x 2＋4x －3， x <m .若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(1,2]解法1 问题转化为g (x )＝0，即方程f (x )＝2x 有三个不同的解，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥m ，4＝2x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <m ，x 2＋4x －3＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥m ，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x <m ，x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x <m ，x ＝－3.因为方程f (x )＝2x 有三个不同的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≥m ，1<m ，－3<m ，解得1<m ≤2.解法2 由题意知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ， x ≥m ，x 2＋2x －3， x <m .画出函数y ＝4－2x 和y ＝x 2＋2x －3的图像，可知函数g (x )的三个零点为－3，1,2，因此可判断m 在1与2之间．当m ＝1时，图像不含点(1,0)，不合题意；当m ＝2时，图像包含点(2,0)，符合题意．所以1<m ≤2.6、已知直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪x－1x 恰有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，18【解析】：由题意得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x 是偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x， x ≤－1，－2x ， －1<x <0，2x ， 0<x <1，2x ， x ≥1，作出曲线的图像(如图所示)．当k ＝0时，直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x 有四个公共点；当k >0时，要使它们有四个公共点，则需y ＝kx ＋1与y ＝－2x(x ≤－1)有一个公共点，此时kx ＋1＝－2x，即方程kx 2＋x ＋2＝0有两个相等的实数解，从而Δ＝1－8k ＝0，解得k ＝18；当k <0时，根据对称性可得k ＝－18.从而满足条件的k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，18.易错警示 本题会忽视当直线与y ＝－2x相切时，其实就是有四个交点．处理动直线与曲线交点时要注意两个特殊情形：一是过端点，二是相切的时候．7、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．【答案】：[－2,8]【解析】： 由于f (x )的【解析】式是已知的，因此，可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质，然后根据f (x )的取值范围为[－16，＋∞)，求出它的值等于－16时的x 的值，借助于函数f (x )的图像来对m 的取值范围进行确定．（2）若0x =不是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足0a <，即0a >，此时方程（Ⅱ）必须有两个不相等的根，即有两个不相等的根，由，得0x a =<适合，另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根，首先60a +>，解得的正根需满足62aa +≥，从而解得02a <≤，但前面已经指出2a ≠，故02a <<，综合（1）、（2），得实数a 的取值范围为3(,2)2-.【解后反思】函数、方程和不等式的综合题，常以研究函数的零点、方程的根、不等式的解集的形式出现，大多数情况下会用到等价转化、数形结合的数学思想解决问题，而这里的解法是通过严谨的等价转化，运用纯代数的手段来解决问题的，对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高，此题也可通过数形结合的思想来解决问题，可以一试.【关联2】、 已知函数f (x )＝|sin x |－kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x 0，则x 01＋x20sin2x 0＝________.【答案】： 12【思路点拨】 转化为定曲线y ＝|sin x |(x ≥0)与动直线y ＝kx 的位置关系问题．【解析】：由y ＝|sin x |(x ≥0)和y ＝kx 的图像可知，当曲线与直线恰有三个公共点时，直线y ＝kx 与曲线y ＝－sin x (x ∈[π，2π])相切，设切点横坐标为x 0，斜率为－cos x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧－sin x 0＝kx 0，－cos x 0＝k ，得tan x 0＝x 0.因为sin2x 0＝2sin x 0cos x 0cos 2x 0＋sin 2x 0＝2tan x 01＋tan 2x 0＝2x 01＋x 20，所以x 01＋x20sin2x 0＝12.【关联3】、已知函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 【答案】【解析】令()0f x =可得，令，在同一坐标系中画出它们的图象可得，先研究0x >时，当过A 点直线与该曲线相切时，设切点为()00,P x y ，又()0,2x ∈时，34y x x =-，故2'43y x =-，所以切线方程为，代入点()0,2可得：01x =，此时切线方程为2y x =+与0x >部分曲线有两个交点，与0x <部分的曲线也有两个交点.当1a >时，此时左右各一个交点，故1a >符合题意，由对称性可得1a <-时也成立.【关联4】、 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋m ，x ＜0，x 2－1，x ≥0，)其中m ＞0，若函数y ＝f (f (x ))－1有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】. (0,1)【思路点拨】 先画出函数图像草图，再分类讨论．【解析】令f (f (x ))＝1，得f (x )＝2或f (x )＝m －1＜0，进一步，得x ＝2＋1或x ＝m －2＜0或x ＝m .因为已知m ＞0，所以只要m ＜1，即0＜m ＜1.【关联5】、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，因为f ′(x )＝3x2－3m ，令f ′(x )＝0，则x 2－m ＝0，若m ≤0，则函数f (x )为增函数，不合题意，故m >0，所以函数f (x )在(－∞，－m )上为增函数，在(－m ，0]上为减函数，即f (x )max ＝f (－m )＝－m m ＋3m m －2＝2m m －2，f (0)＝－2<0，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f (x )max ＝2m m －2>0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)．解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，即x 3－3mx －2＝0，显然x ＝0不是它的根，所以3m ＝x 2－2x ，令y ＝x 2－2x (x <0)，则y ′＝2x ＋2x 2＝2（x 3＋1）x2，当x ∈(－∞，－1)时，y ′<0，此时函数单调递减；当x ∈(－1，0)时，y ′>0，此时函数单调递增，故y min ＝3，因此，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m >3，即m >1. 解后反思 已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对【解析】式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．这里采用方法是(1)和(3)的结合．【关联6】、已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是 ．【答案】：a ＜0或a ＞2．【思路点拨】：由于是分段函数，当a 0和0a 时，一次函数的图象不同，故要分两种情况讨论，由函数【解析】式结构特点知a 0时，函数图象过三个象限，问题就变成了考虑0a 的情形，也就是由题意的图象需经过第一、二象限，有两种思路：思路1，分离参数后，转化两个函数图象在y 轴右侧的图象有公共点（且不相切），找到临界切线位置； 思路2，转化不等式的存在性问题，分离参数后，转化求最值问题，最终求得a 的取值范围. 【解析】当a ＜0时，限，在（0，+∞）恒成立，所以图象仅在第一象限，所以a ＜0 当a ≥0时，的图象仅经过第三象限，由题意的图象需经过第一、二象限．【解法1】（图像法）与y ax 在y 轴右侧的图象有公共点（且不相切）．如图， =，设切点坐标为，231yx ，则有，解得01x ,所以临界直线0l 的斜率为2，所以a ＞2时，符合．综上，a ＜0或a ＞2．l 0Oxy P()g x在(0,1)单调递减，在（1，2）单调递增，又2x时，函数为增函数，所以函数的最小值为2，所以a＞2，则实数a的取值范围为a＜0或a＞2．解后反思：填空题中的函数问题，可优先选择利用数形结合思想，通过分离参数、分离函数等途径转化为两函数图像的关系问题处理．解法一中也可以转化为：与y a=在y轴右侧的图象有公共点（且不相切）．易求出此时a＞2，则实数a的取值范围为a＜0或a＞2．例3、已知函数，若存在实数a、b、c、d，满足()f d=，其中，则abcd的取值范围是 .【答案】：() 21,24【思路点拨】：由存在实数a 、b 、c 、d ，满足()f d =得，存在一条平行于x 轴的直线与函数()f x 的图象有四个不同的交点，从而得到,,,a b c d 之间所存在的关系，利用这一关系来求得abcd 的取值范围。