(完整版)高中数学解析几何知识点总结大全

②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率 为 0 ，则两直线垂直。
③对于 A1A2 B1B2 0 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用
起来更方便． ④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜 率有可能不存在。 四、两直线的交角
注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x x0 ；
2.斜截式：若已知直线在 y 轴上的截距（直线与 y 轴焦点的纵坐标）为 b ，斜率为 k ，则直
线方程： y kx b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为： y kx
注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
b a
；|
PPo
|
|t|
；
a2 b2
点 P1 , P2 对应的参数为 t1 , t2 ，则| P1P2 |
| t1 t2 | ； a2 b2
x
y
x0 y0
t t
cos sin
（
t
为参数）其中方向向量为
(c
os
,
sin
)
，
t 的几何意义为| PPo
| ；斜
率为 tan ；倾斜角为 (0 ) 。
产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
注意：①当 B 0 时，将直线 Ax By 0 向上平移，则 z Ax By 的值越来越大； 直线 Ax By 0 向下平移，则 z Ax By 的值越来越小；
②当 B 0 时，将直线 Ax By 0 向上平移，则 z Ax By 的值越来越小； 直线 Ax By 0 向下平移，则 z Ax By 的值越来越大；
的直线方程。
②直线 l : (m 1)x (2m 1) y m 5 恒过一个定点
。
注意：推广到过曲线 f1 (x, y) 0 与 f2 (x, y) 0 的交点的方程为： f1(x) f (x2 ) 0 ；
（2）与 l : Ax By C 0 平行的直线为 Ax By C1 0 ；
两条渐近线6等轴双曲线上任意一点5等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的7等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数平面内与一个定点定义的焦点直线关于范围对称性焦点顶点离心率准线方程顶点到准线的距离焦点到准线的距离x1y1afx1afx1afy1afy1x1x2y1y2y1y2x1y1的几条性质ab为直径的圆必与准线mn为直径的圆与ab相切与点mffnafx1abbfx2cos2pab的倾斜角为x1x2x1x22sina参数方程直线与抛物线的位置关系直线与抛物线相离无公共点
；
②若
为 l1
和 l2
的夹角，则
tan
k2 k1 1 k2k1
或 tan
A1B2 A2B1 A1 A2 B1B2
；
③当1 k1k2 0 或 A1 A2 B1B2 0 时， 90o ；
注意：①上述与 k 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有
一条直线斜率不存在时，用数形结合法源自理。高中数学解析几何知识点大总结
第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义：直线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围： 0 180
2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
k tan
（1）.倾斜角为 90 的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于 x 轴时，
注意：通常情况下将原点 (0,0) 代入直线 Ax By C 中，根据 0 或 0 来表示二元一次
不等式表示平面区域。 （3）线性规划：
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解 (x, y) 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生
（3）与 l : Ax By C 0 垂直的直线为 Bx Ay C1 0 ；
七、对称问题： （1）中心对称：
①点关于点的对称：
该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点 A(a,b) 关于 C(c, d ) 的对称点
(2c a,2d b)
②直线关于点的对称： Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再 由两点式求出直线方程；
k1
k2
或
A1 B2
A2
B1
时它们相交，交点坐标为方程组
y y
k1x b1 k2 x b2
或
A1 x A2 x
B1 y C1 B2 y C2
0 0
2
解；
注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如： ( A1, B1 ) ( A2 , B2 )
对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如 ( A1, B1 ) ( A2 , B2 ) 0
Ⅱ、求出一个对称点，在利用 l1 // l2 由点斜式得出直线方程；
Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。
如：求与已知直线 l1 : 2x 3y 6 0 关于点 P(1,1) 对称的直线 l2 的方程。
（2）轴对称： ①点关于直线对称：
Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点 坐标公式求解。
于任何一条直线。
4 截距式：若已知直线在 x 轴， y 轴上的截距分别是 a ， b （ a 0,b 0 ）则直线方程：
x y 1； ab
注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为 x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直
的方程。
如：求直线 a : 2x y 4 0 关于 l : 3x 4y 1 0 对称的直线 b 的方程。
八、简单的线性规划：
（1）设点 P(x0 , y0 ) 和直线 l : Ax By C 0 ， ① 若 点 P 在 直 线 l 上 ， 则 Ax0 By0 C 0 ； ② 若 点 P 在 直 线 l 的 上 方 ， 则
②指出此时直线的方向向量：(B, A) ，(B, A) ，
B ,
A2 B2
A A2 B2
（单
位向量）；直线的法向量： ( A, B) ；（与直线垂直的向量）
6(选修
4-4)参数式
x y
x0 y0
at bt
（
t
参数）其中方向向量为
(a,
b)
，
单位向量
a, a2 b2
b a2 b2
；
k
其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在 这两种情况，否则会产生漏解。
（3）设经过 A(x1, y1 ) 和 B(x2 , y2 ) 两点的直线的斜率为 k ，
则当 x1
x2 时， k
tan
y1 x1
y2 x2
；当 x1
x2 时，
90o
；斜率不存在；
二、直线的方程 1.点斜式：已知直线上一点 P（x0,y0）及直线的斜率 k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式： y-y0=k(x-x0)
1
线方程可设为 x-y=a
5 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式： Ax By C 0 ；（ A, B 不同时为零）；
反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。 注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特
殊形式，这要看系数 A, B, C 是否为 0 才能确定。
B( Ax0 By0 C) 0 ； ③若点 P 在直线 l 的下方，则 B( Ax0 By0 C) 0 ；
（2）二元一次不等式表示平面区域：
对于任意的二元一次不等式 Ax By C 0( 0) ， ①当 B 0 时，则 Ax By C 0 表示直线 l : Ax By C 0 上方的区域； Ax By C 0 表示直线 l : Ax By C 0 下方的区域； ②当 B 0 时，则 Ax By C 0 表示直线 l : Ax By C 0 下方的区域； Ax By C 0 表示直线 l : Ax By C 0 上方的区域；
② M 在圆 C 上 （x 0 a) 2 ( y 0 b) 2 r 2
③ M 在圆 C 外 (x0a)2 ( y0b)2 r 2
2.3 圆的一般方程： x 2 y 2 Dx Ey F 0 .
当 D2E24F 0 时，方程表示一个圆，其中圆心 C D , E ，半径 r D 2 E 2 4F .
A1 B1 C1 A2 B2 C2
相交
k1 k2
A1 B1 A2 B2
垂直
k1 k2 1
A1 A2 B1B2 0
设两
直线
的方
程分
别为
：
l1 l2
: :
y y
k1x b1 k2 x b2
或
l1 l2
: A1x B1 y C1 0 : A2 x B2 y C2 0
；当
它的取值范围是 0 ； 2
（3）设两直线方程分别为：
l1 l2
: :
y y
k1x b1 k2 x b2
或
l1 l2
: :
A1x B1 y C1 A2 x B2 y C
0 2 0
①若
为 l1 到 l2 的角， tan
k2 k1 1 k2k1
或 tan
A1B2 A1 A2
A2B1 B1B2
2 2
2
当 D2 E 24F 0 时，方程表示一个点 D , E . 2 2