初三数学 第26章 随机事件的概率知识精讲 华东师大版

初三数学 第26章 随机事件的概率知识精讲 华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第26章 随机事件的概率［学习目标］知道事件发生的可能性是有大有小的，能求出一些简单事件发生的概率以及做出描述；通过实验等活动，理解事件发生的概率，能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．二. 重点、难点：1. 重点：理解理论概率与实验结果之间的关系，掌握其规律.2. 难点：在解决理论概率中树状图、列表法的应用，体会实验模拟获得的估计值逐渐趋于理论概率这一规律．三. 知识梳理：1. 与概率有关的概念⑴事件的可能性的大小：事件按照其发生的可能性的大小可进行如下分类：事件⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧)(随机事件不确定事件不可能事件必然事件确定事件⑵随机事件发生的可能性大小的研究方法：①凭主观经验估计②用大数次实验估计③理性分析预测⑶概率的含义：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率．⑷概率的表示和概率的计算公式P ()关注结果＝数所有机会均等的结果个关注结果个数 ⑸用频率解释概率：有些问题比较简单，可以通过分析得出概率，但还有很多问题，人们也经常采取重复实验、观察频率值的方法来得到概率．用这种方法估计概率的关键有如下两点：①要弄清楚我们关注的是发生哪个事件或者哪些结果；②要弄清楚所有机会均等的结果．2. 准确分析预测事件发生的概率⑴分析预测概率的方法：要求的事件发生的结果数与所有等可能发生的结果数的比就是要求的事件的概率．说明：①概率应为所关注事件的结果与所有可能结果的比值；②概率值不能大于1；③同一种分类形式下的所有可能事件的概率和为1．⑵分析一个事件中所有可能发生的结果及要关注的结果，通常用的表示方法有：画树状图、列表等方法，将所有等可能发生的结果一一列举出来，从而求得一个事件的概率．说明：①树状图：在分析问题的过程中，采用画图的方法，这幅图好像倒立的树，有时还画成横树状图；②按一定规律画树状图，要做到不重不漏；③画树状图不方便时，可改用列表方式或枚举法，可使结果一目了然．⑶理性分析预测随机事件的概率（理论概率）与用大数次试验估计概率（实验概率）的区别：①理论概率是通过理性分析预测得到的；实验概率是通过无数次反复实验后的频率值规律而得到的；②理论概率是凭借经验和方法得出的，其过程较理性；实验概率是以无数次实验为基础的，得出的过程较直观；③理论概率的得出节省时间，但分析不当，会得出错误的概率值；实验概率的得出要用大量的时间，实验次数不足，会出现一定的误差．3. 用替代物模拟实验在实验中往往会出现找不到相应的实物或用实物进行实验难度很大的情况，或者说复杂的随机事件发生概率不能用列表法和画树状图法求得，这样，用替代物进行实验，会给实验带来很多方便．说明：⑴同一实验有各种各样的替代物，替代物的选取必须合理，与原来产生的各种可能性相同，又是简单易寻的材料，这样才能保证实验结果的可信度．⑵模拟实验的原则，必须保证实验在相同条件下进行，还要保证实验的随机性，如摸牌或摸球，放回时一定要注意摇匀．⑶要重复多次实验．4. 用计算器模拟实验有的时候，我们很难找到实物来替代进行模拟实验或用实物替代比较麻烦，为了得到更可靠的估计值，可以用计算器模拟实验．用计算器产生的随机数与输入数的X围有关，因此在用计算器模拟实验时，必须确定好所需数的X围，例如有30X大小形状相同的卡片，分别写有1到30的数字，从搅匀的盒子里随机抽出1X，结果是5的倍数的机会是多大？在这种情况下，随机数的X围是1到30．【典型例题】例1. 课堂教学时，教师问“假如一个母亲生的是双胞胎，那么是龙凤胎的概率是多少？”，心急的小强抢着说“三分之一”，并解释说：“一共有三种可能：两男、两女、一男一女，”，请问小强的回答是否正确？为什么？分析：这是一个较为有趣的问题，稍不注意就出现错误，其实此题跟“抛两枚硬币，出现一正一反的概率”相同．解：小强的回答不正确；因为所有等可能的结果为：两男、两女、一男一女、一女一男，所以双胞胎是龙凤胎的概率为二分之一．例2. 交通信号灯，俗称红绿灯，至今已有一百多年的历史了，“红灯停，绿灯行”是我们日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保证交通的顺畅和行人的安全，下面这个问题你能解决吗？小刚每天骑自行车上学要经过三个安装有红绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么，小刚从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？解析：每经过一个路口有一次选择，画树状图应有3个层次，每次不是红就是绿，树状图如下图．所以，小刚经过路口遇到红绿灯的情况共有8种，即：（红，红，红）、（红，红，绿）、（红，绿，红）、（红，绿，绿）、（绿，红，红）、（绿，红，绿）、（绿，绿，红）、（绿，绿，绿），所以，小刚从家随时出发去学校至少遇到一次红灯的概率为87．例3. 小明和小飞，两人做游戏，抛掷一枚普通的硬币四次，规定掷出“三次正面一次反面”时小明胜，“两次正面两次反面”时小飞胜，这个游戏规则公平吗？ 分析：要讨论游戏是否公平，就是要看两位同学获胜的机会是不是相同，也就是两人的概率是否一样大．类似的这种游戏还有“抽取数字”，“抽取扑克牌”等，这种游戏，根据抽取次数，画出树状图，对结果进行整理和分析即可．解：用树状图分析一下：从树状图中可以看出一共有16种机会均等的结果．“三次正面一次反面”的概率为41， “两次正面两次反面”的概率为83， 所以，P （两次正面两次反面）＞P （三次正面一次反面），即小飞比小明更容易获胜．这个游戏不公平．例4. 有长度分别为2，4，6，8，10的五根木棍，从中任意抽取三根，能构成三角形的概率是多大？分析：这是一个实际问题，又和三角形的三边关系结合起来．所以在解答时要注意问题的实际意义，同时要利用统计知识对所有可能的情况进行分析，才能得出正确的答案．解：五个数，任取三个数的各种可能情况如下：（2，4，6）．（2，4，8）．（2，4，10）．（2，6，8）．（2，6，10）．（2，8，10）．（4，6，8）．（4，6，10）．（4，8，10）．（6，8，10）共10种．其中7种情况不能构成三角形，它们是：（2，4，6）．（2，4，8）．（2，4，10）． （2，6，8）．（2，6，10）．（2，8，10）．（4，6，10）．因此，构成三角形的情况有：（4，6，8）．（4，8，10）．（6，8，10）三种情况，则构成三角形的概率为310．例5. 把大小和形状一模一样的6X 卡片分成两组，每组3X ，分别标上1，2，3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一X ，试求取出的两X 卡片数字之和为偶数的概率．解析：本题涉及到从两个不同的盒子抽卡片，且需要列出所有的数字的和，所以用列表法列出所有可能出现的结果更有利于解决问题．所列的表格如下：由表格可知，所由等可能的结果共9种，其中，两X 卡片数字之和为偶数的有5种，所以取出的两X 卡片数字之和为偶数的概率为P （和为偶数）＝95．例6. 一X 圆桌子有四个座位，A 先坐某一位置上，B 、C 、D 三人随机坐到其它三个座位上，求A 与B 不相邻而坐的概率．分析：因座位只有四个，是有限的，因此可以用列举法列举出所有的情况，如图：D B B C D D A B A DD C D B C B由于A 的位置已确定，B 、C 、D 三人随机而坐的情况就只有以上6种，其中A 与B 不相邻而坐的共有2种情况，解：A 与B 不相邻而坐的概率P ＝3162 ．点拨：画树状图分析预测概率即理论概率，是常用的一种方法，但有时根据具体的实际情况，画树状图不一定能很好的反映问题，而通过画实际图形，或画出所有的情况，如本题就是一个很好的方法．只要能通过图形把问题表达清楚就行．例7. 【田忌赛马】齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的下马．田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛．假如在不知道齐王出马顺序的情况下：⑴请按如图的形式，列出所有其他．．可能的情况； ⑵田忌能赢得比赛的概率是___________．解析：⑴其他可能的对阵形式有：田忌上马 齐王上马 齐王中马 齐王下马 齐王下马田忌中马 对 齐王下马 齐王上马 齐王上马 齐王中马田忌下马 齐王中马 齐王下马 齐王中马 齐王上马⑵根据对对阵形式的分析可以知道：田忌赢得比赛的概率为61．例8. 先阅读填空，再解答问题．一. 阅读填空：⑴从0～9的数字中任取一个可得到个位数9个（不含0）．⑵从0～9的数字中任取两个（可重复取）组成两位数，我们先确定十位数，有9种可能（不含0）；再确定个位数，有10种可能（含0），所以可组成两位数9×10＝90（个）．⑶从0～9的数字中任取三个（可重复取）组成三位数，我们先确定百位数，有_____种可能（不含0），再确定十位数，有_____种可能（含0）；后确定个位数，有______种可能（含0），所以可组成三位数_________＝____（个）．二. 解答问题：问题1： 从A 地到达C 地必经过B 地，若从A 地到B 地有2条行走路线，从B 地到C 地有3条行走路线，那么从A 地到C 地的行走路线有（ ）A. 2条B. 3条C. 5条D. 6条问题2：购买体育彩票，特等奖可获得500万元巨奖，其获奖规则如下：如果你购买的彩票与开出的完全相同，就可以获得该奖，开奖的通过如下方法获得：将0～9（共计7组）放入七台摇号机中，并编上序号①～⑦，规定第①台机摇出的为首位，第②台机摇出的为第二位……，第⑦台机摇出的为第七位，请你分析一下，购买一X 体育彩票，中特等奖的概率是多少？解析：此题需要较强的探究精神，题目也有一定的变化，但只要你有信心，完全可以找到它们之间的联系并解决．答案提示 （3）9，10，10，9×10×10，900；问题1：D ；问题2：0.0000001．例9. 学校门口经常有小贩搞摸奖活动．某小贩在一只黑色的口袋里装有只有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球．搅拌均匀后，每2元摸1个球．奖品的情况标注在球上（如下图）⑴如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率是多少？⑵如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是多少？分析：概率中统计问题通常能够帮助我们解决日常生活中游戏的公平性、获奖的可能性等等．判断一个游戏是否公平，或者奖项设置是否合理，•都是从它们发生的机会来判断，本题需要用到乘法原理来解答．解：⑴∵白球的个数为50－1－2－10＝37∴摸不到奖的概率是：3750⑵∵获得10元的奖品只有一种可能即同时摸出两个黄球 ∴获得10元奖品的概率是：12549 ＝11225 [乘法原理 做一件事，若完成它需要n 个步骤，而第1个步骤有1m 种方法，第2个步骤有2m 种方法，……，第n 个步骤有n m 种方法，则完成这个事件共有：1m ×2m ×…×n m 种方法．]例10. 设计一个模拟实验估计4人中2人血型相同的概率．分析：人类的血型共分四大种：A 型、B 型、O 型、AB 型，设计模拟实验，需设计4种可能，分清每次实验的内容．解：取4个大小、质量完全相同的小球，分别标上A 、B 、O 、AB 放入一个不透明的袋子里，从袋中任意摸出一球，作记录，连续摸4次，作为一次实验，记录是否有2个血型相同．重复多次这样的实验，利用频率来估算概率．例11.某公司有5X 电影票，现在要将它们随机分给50名职工中的5人．为了保证公正，你能利用计算器帮助经理作出决定吗？分析：这是一道用计算器进行模拟实验的题目，其关键是确定在什么X 围内利用计算器产生随机数，以及如何建立模拟实验．由于分给50名职工，因此，用1～50之间的整数产生5个随机整数，即可进行模拟实验．解：利用计算器产生5个1～50之间的随机整数．先将所有的职工编号为1～50之间的整数，编号与这5个随机整数相同的职工将获得电影票．若5个数字中有重复的，可以利用计算器再产生几个随机数，直到产生5个不同的整数即可．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、填空题1. 一副没有大小王的扑克，共52X ，抽出一X 是红桃的机会为______________，随机地抽一X 是黑色牌的频率为___________________．2. 抛掷两枚均匀的硬币，出现一正一反的机会为__________________．3. 在做抛掷均匀的骰子的实验时，没有骰子，可用__________代替，此时_______相当于掷骰子时出现1．4. 有种彩票的中奖机会是万分之一，某人按要求写了不同的100注，他中奖的可能性为_________________．5. 如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为．6. 抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4，5，6的普通正方体骰子，写出这个实验中的一个出现机会是31的可能事件：___________．二、选择题7. 下列说法中正确的有（ ）（1）用实验的方法得到的频率是近似的，实验次数越大，越准确．（2）不做实验也能估计事件发生的频率，所以做实验是没有必要的．（3）中奖的机会是1%，所以任意买100X ，一定会中奖．（4）掷一枚均匀的骰子，出现偶数的机会是21． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 下列说法正确的是（ ）A. 体育彩票中奖的机会是千万分之一，所以无论你买几注都不会中大奖的．B. “只要有1%的可能，就要尽100%的努力”是瞎忙碌，1%的可能的事情，怎么会成功呢？C. 在有奖销售摇奖时，摇奖的转盘越大，你获奖的机会就越大．D. 在0至9的9个数中随机地取一个，不是9的机会是109． 9. 如图所示，是两个用来摇奖的转盘，其中说法正确的是（ ）A. 小王说：转盘（1）中蓝色区域的面积比转盘（2）中的蓝色区域面积要大，所以摇转盘（1）比摇转盘（2）时，蓝色区域得奖的可能性大．B. 李兵说：两个转盘中指针指向蓝色区域的机会一样大．C. 在转盘（1）中，指针指向红色区域的频率是31． D. 在转盘（2）中只有红、黄、蓝三种颜色，指针指向每种颜色的机会都是31． 10. （2007，某某）在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一X “哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A. 15B.29C.14D.51811. （2007，某某市）下列说法正确的是（）A. “明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%．B. 连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次．C. 连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数．D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100X一定会中奖．12. 初二（1）班有男生25名，女生25名，现需要选取一名同学首先值日，用计算器模拟实验时，产生随机数的X围是（）～～～～50三、解答题13. 小猫在如图所示的地板上面自由地走来走去，它最终停留在白色方砖上的可能性是多少？甲同学认为小猫停留在白色方砖上的可能性与下面事件的可能性相同：一个袋中装有12个黑球和4个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个是黑球，这种说法你同意吗？14. 用6个球设计摸球游戏，分别满足下列要求：（1）摸到红球的可能性是12，摸到白球的可能性是12．（2）摸到红球、白球、黄球的可能性都是13．（3）摸到红球的可能性是12，摸到白球的可能性是13，摸到黄球的可能性是16．（4）摸到红球的可能性是23，摸到白球、黄球的可能性都是16．15. 足球甲A联赛中，国安队和某某平安队最后总积分和净胜球都相同．足协决定采用抽签的方式确定冠亚军，抽签方式如下：两队从同一幅扑克牌（不包括大、小王）中分别抽出一X，点大者胜出，点数计算如下：从A到K依次为1、2、3…13点，同点数不同花色的从大到小的顺序依次是黑桃、红心、梅花、方块．问：（1）先抽出哪X牌必胜？哪X牌必输？（2）当国安队抽到一X梅花“J”时，某某平安队要胜出的可能性有多少（请简要说明理由）？16. “养鱼大王”郝有财为了与销售商签订购销合同，需对自己鱼塘中的鱼的总重量进行估计，为此，他先从鱼池中捞出100条，将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出100条，称得重量为216千克，且带有记号的鱼为20条，郝有财的鱼塘中估计有鱼多少条？共重多少千克？17. （2007，某某市）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14． （1）求袋中黄球的个数．（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．18. 某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑． 希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑． （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A 型号电脑，求购买的A 型号电脑有几台．【试题答案】1. 21,41 2.21 3. 袋中摸标有1、2、3、4、5、6号的六个除编号不同外，其余一样的小球，摸出小球1；4. 1%5. 91 （提示：根据概率定义知：镖落在正方形木版上面积为36个小正方形的面积，而镖落在阴影部分面积为4个小正方形面积，所以镖落在阴影部分的概率为91364==（阴影部分的概率）P ．） 6. 答案不唯一．朝上一面上的数是1或2，朝上一面上的数小于3．7.B 8.D 9.B 10. B13. 可能性为123164=，这种说法是正确的． 14.（1）3个红球，3个白球；（2）2个红球，2个白球，2个黄球，（3）3个红球，2个白球，1个黄球；（4）4个红球，1个白球，1个黄球．15. （1）先抽出黑桃K 必胜出：抽到方块A 必输；（2）因为国安队抽到一X 梅花J ，按规则，若某某平安队抽到Q 或K 都将胜出，则有2×4＝8种，若某某平安队抽到黑桃J或红心J 也将胜出，则有2种，平安队胜出一共有10种情况，故某某平安队胜出的可能性为5110． 16. 500条1080千克17. （1）袋中黄球的个数为1个； （2）方法一、列表如下：*红1 红2 黄 蓝 红1* （红1，红2） （红1，黄） （红1，蓝） 红2（红2，红1） * （红2，黄） （红2，蓝） 黄（黄，红1） （黄，红2） * （黄，蓝） 蓝 （蓝，红1） （蓝，红2） （蓝，黄） *所以两次摸到不同颜色球的概率为：105126P ==． 方法二，画树状图如下：18. （1）树状图如下：有6种可能结果：（A ，D ），（A ，E ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ）．（2）因为选中A 型号电脑有2种方案，即（A ，D ）（A ，E ），所以A 型号电脑被选中的概率是31 （3）由（2）可知，当选用方案（A ，D ）时，设购买A 型号、D 型号电脑分别为x ，y 台，根据题意，得3660005000100000.x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得80116.x y =-⎧⎨=⎩，经检验不符合题意，舍去．当选用方案（A ，Ｅ）时，设购买A 型号、Ｅ型号电脑分别为x ，y 台，根据题意，得 3660002000100000.x y x y +=⎧⎨+=⎩，word11 / 11 解得729.x y =⎧⎨=⎩， 所以希望中学购买了7台A 型号电脑．【励志故事】神奇的皮鞋多明尼奎·博登纳夫，是法国一位年轻的企业家、艺术家。