解析几何讲义详解
高考数学解析几何专题讲义第11讲--圆锥曲线的光学性质及其应用
二、典例分析
类型 1：解决入射与反射问题 【例 1】设抛物线 C : y2 x ，一光线从点 A(5, 2) 射出，平行 C 的对称轴，
射在 C 上的 P 点，经过反射后，又射到 C 上的 Q 点，则 P 点的坐标
P x0 ,y0 在椭圆上，∴ tan
b2 cy0
，同理， PF2 到 l
所成的角 满足 tan k k2 1 kk2
b2 cy0
，
∴
tan
tan
，而
,
0,
2
，∴
1.2 双曲线的光学性质： 从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；
(见图 1.2) 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．
1.3 抛物线的光学性质： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴(如图 1.3) 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵
剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物 线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的， 把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度 地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的 电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线 镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
高考数学解析几何专题讲义第28讲--仿射变换
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) （其中）与过点
A2,0, B 0,1 的直线有只且只有1个公共点 T
，且
椭圆的离心率 e 3 ． 2
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（ Ⅱ ） 设 F1, F2 分 别 为 椭 圆 的 焦 点 ， M 为 线 段 AF2 的 中 点 ， 求 证 ：
ATM AF1T ． 解析： （Ⅰ）如下图
当椭圆的内接四边形的面积 2ab 时， 其对应的圆内接四边形的面积就是 2ab 1 2 ，
ab 由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为 2 ，
而这样的内接正方形有无数个，
还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个，
故选 D．
【例
4】（2014 年高考全国新课标
1 卷理第
20
题）已知点 A0, 2 ，椭圆 E ：
解析：
在伸缩变换
:
x
y
x a y b
下，椭圆（如下图）变成圆，
（Ⅰ）由伸缩变换性质知 kAB
a b
k
AB
a b
, kOP
a b
kOP
a 2b
，
又在椭圆中 P 为 AB 的中点，则在单位圆中 P 为 AB 的中点，
则 OP
AB ，故 kABkOP
a2 2b2
1，
即 a2 2b2 ，
又因为直线 x y 3 0 过椭圆的右焦点，
bk． a
性质 3：线段 AB 中点 E 变成线段 AB 中点 E ．
性质 4：直线与曲线的位置关系保持不变．
性质 5：直线 AB 上线段成比例，则变成直线 AB 上对应的线段仍成比例．
性质
6：
S
高考数学解析几何专题讲义第25讲-调和点列-极点极线
解析：方法一（高考标准答案 1）：
直线
AT
:
y
m 12
(x
3)
，直线
BT
:
y
m 6
(x
3)
，设
M
(x1,
y1 ),
N (x2 ,
y2 )
，
联立
AT
与椭圆，则
y1
x12
9
m 12
(x1
y12 1 5
3)
（第 18 题图）
得
x1
y1
240 3m2 80 m2 40m 80 m2
二、典例分析
类型 1：客观题中结论的直接运用 例 1（2013•山东）过点（3，1）作圆 (x 1)2 y2 1 的两条切线，切点分别为 A 、B 则直线 AB 的方程为（ ）
A． 2x y 3 0
B． 2x y 3 0
C． 4x y 3 0
D． 4x y 3 0
解析：直线 AB 是点（3，1）对应的极线，则方程为 3 1 x 1 1 y 1 ，即 2x y 3 0 ．故选 A．
则极线为切线 l
:
x0 x a2
y0 y b2
1 ；
③极点 P(x0 , y0 ) 在椭圆内，过点 P 作椭圆的弦 AB ，
分别过
A, B
作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线
x0 x a2
y0 y b2
1；
（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.
（二）重要性质
性质 1：调和点列的几种表示形式
如图，若 A,C, B, D 四点构成调和点列，则有
GF FH
本题证明：
如图，可将椭圆 x2 y2 1 伸缩变换为 x2 y2 9 ，因为 AMB ANB 90 ，则 B 为 ATF 高的交点， 95
高中数学讲义：解析几何专题双曲线(解析版)
圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的概念 1. 双曲线的第一概念：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的概念中，必需强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，不然点的轨迹就不是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线； （ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。
专门地，假设去掉概念中的“绝对值”，那么点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：假设用M 表示动点，那么双曲线轨迹的几何描述法为（，），即。
2. 双曲线的第二概念：平面内到某必然点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）； （2）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）.注：假设题目已给出双曲线的标准方程，那其核心究竟是在轴仍是在轴，要紧看实半轴跟谁走。
假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴；假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴。
2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），咱们把如此的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为（）注：假设题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，那么咱们可设该等轴双曲线的方程为（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。
进一步讲，假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点；假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点。
三、双曲线的性质以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用一样的方式取得相关结论。
（1）范围：，即或；1F 2F a 22120F F a <<a 221F F c 202=a 21F F c a 22=c a 22>c a 220<<a MF MF 221=-ca 220<<c F F 221=2121F F MF MF <-e 1>e x 12222=-b y a x 0>a 0>b y 12222=-b x a y 0>a 0>b x yx x y yb a 22=λ=-22y x 0≠λλ=-22y x 0≠λλ0>λx 0<λy 12222=-b y a x 0>a 0>b ax ≥a x ≥a x -≤（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）极点：左、右极点别离为、； （4）核心：左、右核心别离为、； （5）实轴长为，虚轴长为，焦距为；（6）实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；（7）准线：； （8）焦准距：；（9）离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；（10）渐近线：； （11）焦半径：假设为双曲线右支上一点，那么由双曲线的第二概念，有，；（12）通径长：.注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。
解析几何讲义详解
解决解析几何的基本思路和流程讲义稿解析几何的本质：用代数方法解决几何问题，即由图形到代数的问题。
从这个意义上讲，解决解析几何问题的基本思路和流程就应该是（1）画出图形（2）找出几何关系（3）把几何关系转化为代数关系(4)代数运算。
图形：形状、位置、大小三个要素。
函数解析式（方程）⇒⇒⇒⇒点的坐标（描点）图像（图形）点代数式 因此，解析几何问题要从图形中的“点”找出几何关系和代数关系。
看见“点”想位置：（1）“点”的自身位置：直角坐标系的意义就在于把一个点的位置分解为一个水平位置和一个竖直位置。
如点（2,3）的水平位置是相对于原点方向向右、距离为2，竖直位置是相对于原点方向向上、距离为3.（2）“点”相对于其他点或线的位置关系。
点⎧⎪⎧⎧⎨⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎩表达位置（水平位置、竖直位置）代数关系：函数关系、方程关系知道位置找关系表达关系几何关系：与其他点或线的关系知道关系找位置一、 关于直线直线需要确定其形状和位置。
其中形状即直线的倾斜程度，由直线的倾斜角α（或斜率k ，k=tg α）确定，位置由直线上的一个点000(,)P x y 确定。
因此，直线的代数表达式（称之为直线的方程）是00()y y k x x -=-（k 存在的前提下）。
（1）因为直线的确定需要形状和位置两个要素，所以求直线的方程就需要两个相互独立的条件。
比如已知两个点的坐标或已知一个点的坐标和直线的斜率等等。
（2）如果直线的形状（即直线的倾斜程度）不能确定（x或y前面有字母系数），那么直线方程表达的就是过定点的直线集合。
（如kx+y-2k+1=0，过定点（2，-1）的直线集合；X+ky+1=0，过定点（-1,0）的直线集合等等。
（3）如果直线的位置（即直线过的点）不能确定（x或y前面没有字母系数、形状确定），那么直线方程表达的就是平行线集合。
如x-2y+k=0，斜率为1k 的平行线集合22x+y+b=0，斜率为k=-2的平行线集合等等。
“中学数学必备解析几何课件讲义”
学会直线的一般式方程，了解其意义及在求解直线问题上的应用。
圆的标准式
学会圆的标准式方程，了解其几何性质及在求解圆的问题上的应用。
圆的一般式
学会圆的一般式方程，了解其意义及在求解圆的问题上的应用。
直线与圆的位置关系
1 判定方法
学会判定直线与圆的位置关系的方法，了解其相对位置的几何意义。
2 求解方法
3
空间图形位置关系
掌握解决空间图形位置关系的方法的定义及公式，理解 其几何特征。
平移与伸缩
学会求双曲线方程，理解平移和 伸缩对双曲线特征的影响。
应用
掌握双曲线的相关几何应用，学 会解决相关几何问题。
空间直角坐标系及其应用
1
定义
学会空间直角坐标系的定义及其应用，理解空间几何的特征。
2
向量
掌握空间向量及其运算法则，学会用向量表示线段和平面的几何特征。
解析几何课件讲义
掌握解析几何的重要性在于可以将平面几何与向量分析相互结合，拓宽数学 思路，提高抽象思维能力。本课件将详细解析各种解析几何知识点。
二维直角坐标系及其应用
点与向量
了解点和向量在平面直角坐标系中的定义及相 互关系。
旋转
掌握平面上图形的旋转操作方法，理解旋转对 点、向量的影响。
平移
学会平面上图形的平移操作方法，理解平移对 点、向量的影响。
比例
了解平面上图形的等比例变化，了解比例的概 念及运算法则。
向量的概念及其运算法则
向量加法
掌握向量相加的方法，理解向量 加法的几何意义。
数量积
学会计算向量的数量积，了解其 几何意义及应用。
向量积
学会求向量积，了解其几何意义 及应用。
春季高考二轮复习--《解析几何》讲义
第八章《解析几何》例1（1）、已知两点A(－3，3)，B(3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于( )A. π3B. 2π3C. π6D. 56π （2）、如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A. k 1<k 2<k 3B. k 3<k 1<k 2C. k 3<k 2<k 1D. k 1<k 3<k 2（3）、已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A. 1B. －1C. －2或－1D. －2或1（4）、已知直线的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A. y ＝3x ＋2B. y ＝－3x ＋2C. y ＝－3x －2D. y ＝3x －2（5）过点M(1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( )A. 2x ＋y ＝0B. 2x －y －4＝0C. x ＋2y ＋3＝0D. x －2y －5＝0变式训练：1、直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A. 3x ＋2y －1＝0B. 3x ＋2y ＋7＝0C. 2x －3y ＋5＝0D. 2x －3y ＋8＝02、已知点A(1，－2)，B(5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是________．3、过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A. 2x ＋y －12＝0B. 2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C. x －2y －1＝0D. x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝04、已知点A(－2,3)，B(3,2)，过点P(0，－2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__．例2、（1）点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A. 12 B. 32 C. 322 D. 22（2）若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a 的值为( )A. 52 B. 25C. 10D. －10 （3）已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( )A. 0B. －8C. 2D. 10（4）直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________．（5）直线x －2y ＋1＝0关于x ＝3对称的直线方程为________．变式训练：1、已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P(m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.2、P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A. (1,2)B. (2,1)C. (1,2)或(2，－1)D. (2,1)或(－1,2)3、过点P(0,1)，且与点A(3,3)和B(5，－1)的距离相等的直线方程是( )A. y ＝1B. 2x ＋y －1＝0C. y ＝1或2x ＋y －1＝0D. 2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0例3、（1）、已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，则圆心坐标为( )A. (0,1)B. (0，－1)C. (1,0)D. (－1,0)（2）已知方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围是( )A. －1<k<4B. －4<k<1C. k<－4或k>1D. k<－1或k>4（3）圆心在曲线y ＝14x 2(x<0)上，并且与直线y ＝－1及y 轴都相切的圆的方程是( ) A. (x ＋2)2＋(y －2)2＝2 B. (x －1)2＋(y －2)2＝4 C. (x －2)2＋(y －1)2＝4 D. (x ＋2)2＋(y －1)2＝4（4）点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A. (x －2)2＋(y ＋1)2＝1B. (x －2)2＋(y ＋1)2＝4C. (x ＋4)2＋(y －2)2＝4D. (x ＋2)2＋(y －1)2＝1（5）直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( )A. 2 2 B. 2－1 C. 22－1 D. 1 变式训练：1. 根据下列条件求圆的方程：(1)经过A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上；(2)半径为5且与x 轴交于A(2,0)，B(10,0)两点；(3)圆心在原点，且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分．2、已知点P(x ，y)是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点．(1)求x －2y 的最大值和最小值；(2)求y －2x －1的最大值和最小值；(3)求(x －2)2＋(y －3)2的最大值和最小值． 例4、（1）、圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为( )A. x ＋3y －2＝0B. x ＋3y －4＝0C. x －2y ＋4＝0D. x －3y ＋2＝0（2）、对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A. 相离B. 相切C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心（3）、圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的内公切线有且仅有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条（4）、直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A. 2 5 B. 2 3 C. 3 D. 1（5）、圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．变式训练：1、直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定2、若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A. [－3，－1]B. [－1,3]C. [－3,1]D. (－∞，－3]∪[1，＋∞)3、求过点P(1,2)，且与圆x 2＋y 2＝1相切的直线方程。
解析几何(教材)pdf
JJJJG 向量 r = OM 与有序数组 (x, y, z) 之间有一一对应关系:
JJJJG M l r = OM xi + yj + zk l (x, y, z) .
7
据此，可把向量 r 记作:
JJJJG r = OM ( x, y, z ) (向量坐标公式).
称有数组 (x, y, z) 为向量 r (在坐标系 Oxyz 中)的坐标； 而且 (x, y, z) 也称为点
式:
a = a a0
或写成
a =| a | e .即向量 a 等于它的模与它的单位向量乘积. a
规定当
O
z
0
时，
a O
1 O
a.
，则 a
的单位向量 公式为:
a0
a, 或 a
e a
a a.
这表示一个非零向量 a 除以它的模是同方向的单位向量 a0 . 利用 Oa 与 a 共线(平行)，可得向量的共线定理.
量起点的任意性，数学上称这种向量为自由向量. 我们只讨论自由向量.
JJJG
JJJG
向量的大小叫做向量的模或长度.向量 AB, a 的模依次记作| AB |与| a |.模
o
是 1 的向量叫做单位向量. 模是 0 的向量叫做零向量，记作 0 或 0 .注意,零向量
的起点和终点重合，零向量的方向可以看作是任意的.
M 的坐标，记作 M (x, y, z) .
JJJJG 这里, 向量 r = OM 称为点 M 关于原点 O 的向径.上述定义表明，一个点与该点
对角线、三条坐标轴为棱作长方体 RHMK - OPNQ .如图 12 所示，有
JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG r OM OP PN NM OP OQ OR
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解决解析几何的基本思路和流程讲义稿解析几何的本质：用代数方法解决几何问题，即由图形到代数的问题。
从这个意义上讲，解决解析几何问题的基本思路和流程就应该是（1）画出图形（2）找出几何关系（3）把几何关系转化为代数关系(4)代数运算。
图形：形状、位置、大小三个要素。
函数解析式（方程）⇒⇒⇒⇒点的坐标（描点）图像（图形）点代数式 因此，解析几何问题要从图形中的“点”找出几何关系和代数关系。
看见“点”想位置：（1）“点”的自身位置：直角坐标系的意义就在于把一个点的位置分解为一个水平位置和一个竖直位置。
如点（2,3）的水平位置是相对于原点方向向右、距离为2，竖直位置是相对于原点方向向上、距离为3.（2）“点”相对于其他点或线的位置关系。
点⎧⎪⎧⎧⎨⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎩表达位置（水平位置、竖直位置）代数关系：函数关系、方程关系知道位置找关系表达关系几何关系：与其他点或线的关系知道关系找位置一、 关于直线直线需要确定其形状和位置。
其中形状即直线的倾斜程度，由直线的倾斜角α（或斜率k ，k=tg α）确定，位置由直线上的一个点000(,)P x y 确定。
因此，直线的代数表达式（称之为直线的方程）是00()y y k x x -=-（k 存在的前提下）。
（1）因为直线的确定需要形状和位置两个要素，所以求直线的方程就需要两个相互独立的条件。
比如已知两个点的坐标或已知一个点的坐标和直线的斜率等等。
（2）如果直线的形状（即直线的倾斜程度）不能确定（x或y前面有字母系数），那么直线方程表达的就是过定点的直线集合。
（如kx+y-2k+1=0，过定点（2，-1）的直线集合；X+ky+1=0，过定点（-1,0）的直线集合等等。
（3）如果直线的位置（即直线过的点）不能确定（x或y前面没有字母系数、形状确定），那么直线方程表达的就是平行线集合。
如x-2y+k=0，斜率为1k 的平行线集合22x+y+b=0，斜率为k=-2的平行线集合等等。
从解决函数问题的角度说就是：看到字母想分类（这里主要分成两类）。
二、关于圆圆的本质是均匀变化，需要确定其位置和大小。
其中位置由圆心确定，大小由半径确定，因此确定圆的方程需要三个相互独立的条件。
解决圆的相关问题主要是用圆的性质，比如弦的性质（垂径定理：弦的中垂线过圆心。
从直线和圆的位置关系上讲就是有两个公共点、代数关系：方程组有两组解）、切线的性质（切线垂直过切点的半径。
从直线和圆的位置关系上讲就是有一个公共点、代数关系：方程组有一组解）。
从图形的角度讲可以产生直角三角形等。
也可以用方程或方程组解决。
（1） 弦：可以看成两个点⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩点的位置：点在直线上、点在圆上.几何关系：垂径定理（垂直关系）关系代数关系：方程关系，方程组的解 （2） 切点：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩位置：切点在切线上、切点在圆上。
几何关系：与过切点的半径垂直关系代数关系：方程组有一组解。
三、 关于圆锥曲线（1）圆锥曲线的定义：看到焦点想定义。
用定义解决问题是解决圆锥曲线问题的一个重要方法。
（2）圆锥曲线和直线的位置关系问题是高考的一个热点，通常通过解方程组、根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式、函数等方法解决。
也是教学的难点，难点在于整个解题过程的运算量比较大，学生需要过运算关。
如直线与圆锥曲线相交⎧⎨⎩几何关系：既在直线上又在曲线上代数关系：满足方程，方程组的解直线和圆锥曲线相切，与直线与圆锥曲线相交类似处理。
中点弦：看位置、想关系（几何关系：交点、中点。
代数关系：方程组做差的直线-----点差法）解决问题的基本思路和流程就应该是（1）画出图形（2）找出几何关系（3）把几何关系转化为代数关系(4)代数运算。
四、 关注直角三角形在解析几何中的应用（勾股定理、向量的应用）直线中点直角三角形（图1）可以解决“两点间的距离、弦长公式、点到直线的距离公式”的推导。
椭圆和双曲线中直角三角形可以确定椭圆或双曲线的形状。
五、 关注定义在圆锥曲线中的应用（看到焦点想定义）六、 关注函数在解析几何中的应用（基本不等式、函数求最值）七、 关注圆锥曲线中的“点”：看见点想位置八、解析几何中的“函数关系”直线方程可以看做是一次函数圆的方程、圆锥曲线的方程如果限定y>0或y<0，也可视为函数方程，所以某些题目可以借助函数方法解决。
如涉及切线的问题等。
九、应用举例1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定分析：看见字母想分类：直线过定点M ，看见点想位置，研究M 与椭圆的位置关系。
1、画图。
2、几何关系（1）看到字母想分类：方程y ＝kx －k ＋1表示过定点（1,1）的直线集合， （2）点（1,1）在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线和椭圆相交。
答案A2．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．分析：看见点想位置：A 、B 在直线上，又在抛物线上，满足方程。
F 是抛物线的焦点（看见焦点想定义）1、画图。
2、几何关系：看到焦点想定义，抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
3、代数关系：12AB y y P =++4、解方程组计算12x x +即可。
3．[2014·重庆卷] 已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．分析：求值就是解方程，找等量关系：1、画图2、几何关系：（看到字母想分类）ax ＋y －2＝0表示过定点（0,2）的直线集合，(x －1)2＋(y －a )2＝4表示圆心为（1，a ）（看见点想位置：水平位置确定、竖直位置不确定），半径为2的圆的集合。
△ABC 为边长是23、代数关系：点到直线的距离公式计算[解析] 由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2|a 2＋1.∵△ABC 为等边三角形，∴|AB |＝r ＝2.又|AB |＝2r 2－d 2，∴222－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|2a －2|a 2＋12＝2，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15.4．[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．分析：中点弦（看见点想位置）：点在曲线上（代入方程），点在直线上（直线方程没有）。
做差体现点在直线上（点差法）。
1、画图2、几何关系：M 是线段AB 的中点，斜率为－123、代数关系：“点差”产生斜率和中点。
[解析] 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，点M 是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差可得x 21－x 22a 2＝ －（y 21－y 22）b 2，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2， 即k AB ＝－b 2a 2.由题意可知，直线AB 的斜率为－12，所以－b 2a 2＝－12，即a ＝2b .又a 2＝b 2＋c 2，所以c ＝b ，e ＝22.5．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝______．分析：看见点想位置，涉及“中点”，一般要想中位线，如果是直角三角形斜边的中点，要想中线（中线等于斜边的一半）。
1、画图2、几何关系：看到焦点想定义。
三角形的中位线有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |3、代数关系：|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.[解析] 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.6、[2014·山东卷] 已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A. x ±2y ＝0B. 2x ±y ＝0C. x ±2y ＝0D. 2x ±y ＝0分析：1、画图2、几何关系：离心率之积为32，3、代数关系：计算离心率[解析] 椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a .由e 1e 2＝a 2－b 2a ²a 2＋b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2³1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x .故选A.7．(2013²浙江高考改编)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P (－1,0)的直线l 与抛物线C 相切于点Q ，则点Q 到准线的距离为________．分析：视为函数y =1、画图2、几何关系：切线、切点、曲线。
切点在切线上、切点在曲线上。
3、代数关系：不妨把抛物线设为函数2000222000002002,),(42241214y y Q y y k y y y y y x y y '====⇒=+⇒=⇒=+（所以导数即斜率）所以，则所求距离为28．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．分析：眼睛盯住点中点：想中线、中位线求值：解方程关系：点在直线上、点在椭圆上1、画图。
2、几何关系：AOB a ∆是腰长为的等腰直角三角形， AOM a ∆是斜边为的等腰直角三角形3、代数关系：易知：,22a aM ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程得：2222222213134423a b b c a c e b +=⇒==+⇒=⇒=a 9、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．分析：关注切点：切点与圆心的连线垂直切线。