材料力学第十三章
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材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学 第十三章 强度准则
(13-5)
vv
13.2.3畸变能密度
1 1 m 2 m 3 m 0 K 3
(b)
体积应变为零，所以微体的体积不变，仅形状发生改变。 与体积改变相对应的那一部分比能称为体积改变比能，与形状改变相对应 的那一部分比能称为形状改变比能或畸变能密度，总比能是这两部分之和，即
13.2空间应力状态下的应变能密度
13.2.1应变能密度一般表达式
1 1 1 dVε 1dydz 1dx 2 dzdx 2 dy 3 dxdy 3 dz v dV 2 2 2 1 vε 1 1 2 2 3 3 2 vε 1 2 2 12 2 3 2 1 2 2 3 3 1 2E
第13章 强度理论
由第3章材料的力学性能、应力应变关系可知，当 材料处于极限应力时就要屈服或断裂，即材料失效。 不同材料失效的现象和规律固然不同，就是同一种材 料处于不同应力状态时，失效的现象和规律也不同。 怎样从众多的失效现象中寻找失效规律，假设失效的 共同原因，从而利用有限的实验资料去建立材料的失 效判据，即强度理论，是本章研究的主要内容。本章 主要讨论常用工程材料静载荷时的常用强度理论。
对于脆性材料，在单向拉伸应力状态下，其失效形式为断裂，失效判据为
b
对于塑性材料，在单向拉伸应力状态下，其失效形式为屈服，失效判据为 s
在复杂应力状态下，材料的失效方式不仅与各个主应力的大小有关，而且与 它们的组合情况有关。例如脆性材料在三向等压应力状态下会产生塑性变形。 塑性材料在三向等拉应力状态下会发生脆性断裂。
123
1 2 2 2 12 23 31 3
vv
13.2.3畸变能密度
1 1 m 2 m 3 m 0 K 3
(b)
体积应变为零，所以微体的体积不变，仅形状发生改变。 与体积改变相对应的那一部分比能称为体积改变比能，与形状改变相对应 的那一部分比能称为形状改变比能或畸变能密度，总比能是这两部分之和，即
13.2空间应力状态下的应变能密度
13.2.1应变能密度一般表达式
1 1 1 dVε 1dydz 1dx 2 dzdx 2 dy 3 dxdy 3 dz v dV 2 2 2 1 vε 1 1 2 2 3 3 2 vε 1 2 2 12 2 3 2 1 2 2 3 3 1 2E
第13章 强度理论
由第3章材料的力学性能、应力应变关系可知，当 材料处于极限应力时就要屈服或断裂，即材料失效。 不同材料失效的现象和规律固然不同，就是同一种材 料处于不同应力状态时，失效的现象和规律也不同。 怎样从众多的失效现象中寻找失效规律，假设失效的 共同原因，从而利用有限的实验资料去建立材料的失 效判据，即强度理论，是本章研究的主要内容。本章 主要讨论常用工程材料静载荷时的常用强度理论。
对于脆性材料，在单向拉伸应力状态下，其失效形式为断裂，失效判据为
b
对于塑性材料，在单向拉伸应力状态下，其失效形式为屈服，失效判据为 s
在复杂应力状态下，材料的失效方式不仅与各个主应力的大小有关，而且与 它们的组合情况有关。例如脆性材料在三向等压应力状态下会产生塑性变形。 塑性材料在三向等拉应力状态下会发生脆性断裂。
123
1 2 2 2 12 23 31 3
材料力学第十三章 能 量 法
单元体上外力作功： W s e1 d e 0
应变能密度：
ve
e1 s d e
0
边长为dx、dy、dz的单元体： dVe ve d x d y d z
杆： Ve dVe V ve dV
线性弹性体：
ve
s e1
0
de
1 2
s
1e1
1 2
Ee12
1 2E
s
2 1
ve
1 d
0
1 2
1
AF
Fl 2 16 EI
应变能：
Vε
1 2
M AM
(1 2
FDCF
M AF )
1
F 2l3 (
M
2l
MFl 2
)
EI 96 6 16
④ M、F 分别单独作用
F
A
DCF
B
A M AM
B
DCF
Fl 3 48 EI
AM
Ml 3EI
应变能之和： VεF VεM
1 2
FDCF
1 2
M AM
1 EI
VεS
l
s
FS2 (x) d x 2GA
s — 剪切形状因数
S
S
通常，梁的剪切应变能远小于弯曲应变能。
杆件发生组合变形
在线弹性、小变形的条件下，每一基本变形的内力仅 在其相应的基本变形上作功，在其他基本变形上不作功。
Vε
l FN2 (x) d x 0 2EA
l T 2 (x) dx
0 2GIp
材料是线弹性的，但变形 D 与力F 不是线性的
几何非线性弹性问题
材料是非线性弹性的
物理非线性弹性问题
材料力学-第十三章能量方法
fc
U P
M (x) M (x) dx
l EI P
1
EI
l 2 0
[(
P 2
Me l
) x1
M
e
]
x1 2
dx1
1 EI
l 2
(
P
02
Me l
) x2
x2 2
dx2
M el 2 Pl3 16EI 48EI
(
)
31
• 例13-6 求刚架B的水平位移和C点的转角。
解:
AB段： M (x1) (Pa Pf x1)
P
2
29
A截面的转角:
A
U M e
M (x) M (x) dx l EI M e
1
EI
l
2 [(
0
P 2
Me l
) x1
M e ](1
x1 l
)dx1
1
EI
l 2 0
(P 2
Me l
) x2
x2 l
dx2
M el 3EI
Pl 2 16EI
(
)
30
Me
p
A
C
X1
L/2 L/2
B
X2
C截面的挠度为:
A ②将内力对MA求偏导后，令M A=0
L xO
③求变形（ 注意：M A=0）
M (x)
1
M A M 0
A
A
L
M (x) M (x) dx EI M A
L Px dx 0 EI
PL2
2 EI
A
PL2 ( 2 EI
)
“负号”说明 A与所加广义力MA反向。
材料力学第13章详述
1
23
解：1）求得A、B处反力FAY,FBY；
FAY
5 6
q
a
FBY
1 6
q
a
FAy
FBy
2）1-1截面内力：(0≤x1 ≤ a)
FQ1
FAy
5 6
qa
M1
FAY
x1
5 6
q a x1
3）2-2截面内力： (a≤x2<2a)
FQ2
FAY
q
(x2
a)
11q 6
a
q
x2
M2
FAY
x2
-
1 2
q
(x2
工程力学讲义（2）
材料力学
第十三章－－第十九章
第十三章 材力的基本内容
学习与应该掌握的内容
❖ 材料力学的基本知识 ❖ 基本变形的主要特点 ❖ 内力计算及内力图 ❖ 应力计算 ❖ 二向应力状态及强度理论 ❖ 强度、刚度设计
材料力学的基本知识
材料力学的研究模型
❖ 材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构 件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即 杆、板、壳和块。
解： 1、假想从m-n面将机架截 开（如图）； 2、取上部，建立如图坐标 系，画出内力FN，MZ （方 向如图示）。
（水平部分/竖直部分的变形？）
3、由平衡方程得：
∑Fy=0 FP-FN=0
FN=FP
∑Mo=0 Fp ·a - Mz=0 Mz =Fp ·a
基本变形—(轴向)拉伸、压缩
载荷特点：受轴向力作用
❖ 杆---长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的 几何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直 于轴线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线 的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。 各横截面相同的直杆，称为等直杆；
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
材料力学课件-第十三章---动荷载
解：①
j Qh1 / E1A1 QL / EA
50.024 81030.152
514 10106 0.32
71.5105 m
Kd 1
1 53.4 210.02 71.5105
②
QL / EA 514
j
10106 0.32
0.707 105 m
Kd 1
1 533 21 0.707105
33
34
1 2
mv
2
mg 2
K
2 d
j
冲击前：
动能T1mv2 /2 势能V10 变形能U10
冲击后：
动能T2 0 势能V2 0 变形能U 2 Pd d /2
动荷系数 Kd
2
g j
17
三、冲击响应计算 等于静响应与动荷系数之积.
[例5 ] 直径0.3m旳木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN, 求：桩旳最大动应力。E=10GPa Wv
25
解：⒈ 求冲击点C处旳静位移用能量法可求得冲击点C处旳
静位移
st
Wl13 3EI
Wl 3
3EI
BAl1
W
l13 l 3 3EI
Wl1l GI P
l1
100N 0.3m3 0.8m3
3 200 109 Pa π (0.06m)4
100N (0.3m)2 0.8m 80 109 Pa π (0.06m)4
加速度提起重50kN 旳物体，试校核钢丝绳旳强度。
解：①受力分析如图:
Nd
a Nd (GqL)(1 g )
②动应力
L q(1+a/g) G(1+a/g)
d
Nd A
1 (GqL)(1 A
材料力学第十三章 能量法2013
§13-7 计算莫尔积分的图乘法 ★重点
(Energy methods)
§13-1 概述（Introduction)
能量方法 (Energy methods )
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.
功能原理（Work-energy principle) 外力功等于变形能
2
Me ( x) U dx l 2 EI ( x )
2
(Energy （ Strain energy density for pure shearing state of stresses )
1 u ηγ 2
将 = G 代如上式得
G 2 2 u γ 2 2G
F1a
F2
M图
a B x A
F1a+F2l
特点：在刚节点处，弯矩值连续 ;
(Chapter Thirteen)
(Energy Method)
(Energy methods)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算及普遍表达式 §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-5 虚功原理（了解） §13-6 单位荷载法 莫尔定理 ★重点
2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) U dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
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ω --M(x)图形的面积，
x C -- M(x)图的形心到y 轴的距离。
∴
∫l M ( x ) M ( x )d x = ω ⋅ x C tan α
C
= ωM
C
M
为 M ( x )图中与M(x) 图的形心C对应的纵坐标。
由此，得
M ( x ) M ( x )dx ω M C = y=∫ l EI EI
利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法。
§13. 2 杆件弹性应变能的计算 一、杆件应变(变形)能的计算： 1.轴向拉压杆的应变能计算： (1) 轴力为常力时：
FN l 1 F l Vε = W = F Δ l = = 或 Vε = 2 2 EA 2 EA
2 2
∑
F=60N B
解：①画单位载荷图
F0 =1 B
A
00 3
C
500
A
00 3
C
500
x x1
10
x
10
20
5
②求内力
M AB ( x ) = Fx
M AB ( x) = x
TCA ( x1 ) = 0.3F T CA ( x1 ) = 0.3
20
5
M AB ( x ) = Fx M AB ( x) = x TCA ( x1 ) = 0.3F T CA ( x1 ) = 0.3
二、普遍形式的莫尔定理
莫尔定理(单位载荷法)
FN ( x) FN ( x) M ( x) M ( x) T ( x)T ( x) yA = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx l l l EA GI p EI
三、使用莫尔定理的注意事项： ① M(x)：结构在原载荷下的内力。 ② M (x ) ——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。 ③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。 ④ M (x ) 与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。 ⑤莫尔积分必须遍及整个结构。
④求转角，重建坐标系（如图） q A B C
a
x1 A C
a
x2 MC0=1 B
qx12 AC : M ( x ) = qax 1 − 2 x M ( x) = − 1 2a 2 qx2 BC: M ( x)=qax2 − 2 x2 M ( x) = 2a
M ( x) M ( x) dx θc = ∫ EI 0 ( AB ) M ( x) M ( x) + ∫ dx EI 0( B )
∫
T ( x) 2 GI p
2
l
dx
或 Vε =
∑
i =1
n
1 应变能密度(比能)： v ε = τγ 2
3.弯曲杆的应变能计算：
Ti 2 l i 2 G i I pi
Vε =
∫
பைடு நூலகம்
M 2 ( x) 2 EI
l
dx
或 Vε =
1 v ε = σε 2
∑
i =1
n
M i2 l i 2 Ei Ii
应变能密度(比能)：
q C l
1
θA =
∫
l
M ( x ) M ( x )dx EI
1
1 = (ω 1 M EI
+ ω2M
2
+ ω3M 3)
θ
A
1 1 1 2 2 ql 2 1 = ×l× ) ( − × Fa × a × 1 − × Fa × l × + × EI 2 2 3 3 8 2
Fa 2 1 l ql 3 ( + )+ = − EI 2 3a 24 EI
③变形
yB = ∫
=
l
M ( x) M ( x) T ( x1 )T ( x1 ) dx1 + ∫ dx l GI p EI
0 .3 F × 0 .3 dx1 + GI p
0 .3
0. 5
∫
0
∫
0
3 Fl AB l AC Fl AB Fx 2 + l AB dx = EI 3EI GI p
60 × 0.33 × 12 60 × 0.3 × 0.5 × 32 3 = × 10 + 0.3 × × 103 3 × 210 × 5 × 103 0.4 × 210 × 204 π
2
2
T 2 ( x)
2
αS →
T 2 ( x)
剪切挠度因子
细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。
FN ( x) M 2 ( x) Vε = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx l 2 EA l 2GI l 2 EI p
例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力F的 作 用，求A点的垂直位移。 解：用能量法（外力功等于应变能） ①求内力 F F R A M
a
a
a
a
a
2 1 qx12 x1 1 qx2 x2 =− ∫ ( qax1 − 2 ) 2a dx1 + EI ∫ ( qax2 − 2 ) 2a dx2 EI 0 0 a
=0
例4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能 上下移动，已知：E=210GPa，G=0.4E，求B点的垂直位移。
C
（c） 思考：如果求A截面的转角，如何计算？
§13. 4 图形相乘法 如图为直杆AB的M(x)图和 M ( x ) 图，其中 M ( x )为一斜直线， 斜度角为 α
M ( x ) = x tan α
∫l M ( x ) M ( x ) d x = tan α ∫l xM ( x ) d x ∫l xM ( x ) d x = ω ⋅ x C
Vε =
图a
∫
l
M 2 ( x) dx 2 EI
2
M ( x) V ε0 = ∫ dx l 2 EI [ M ( x ) + M ( x )] 2 V ε1 = ∫ dx l 2 EI
Vε1 = Vε0 + Vε + 1× y A
yA =
∫l
M ( x)M ( x) dx EI
M ( x) M ( x) dx yA = ∫ l EI
3 F 2 R 3π F 2 R 3π = + 4 GI p 4 EI
③外力功等于应变能
F QW = y A = Vε 2
3 FR 3π FR 3π ∴ yA = + 2 GI p 2 EI
例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 F A a f C a B 解：外力功等于应变能
1 W = Fy C 2 M 2 ( x) Vε = ∫ dx l 2 EI
l
F
M (x)和 M (x)
AB段： M ( x1 ) = − Fx1 , M ( x1 ) = − x1 BC段： M ( x2 ) = − Fa, M ( x2 ) = −a
应用莫尔定理：
yA = ∫
a M ( x1 )M ( x1 )dx1
0
EI1
M ( x2 )M ( x2 )dx2 +∫ 0 EI 2
A
在截面B 作用一个单位力偶 矩，如图（c）所示。计算刚架 在各段内的弯矩： AB段： M ( x1 ) = − Fx1 , M ( x1 ) = 0 BC段： M ( x2 ) = − Fa, M ( x2 ) = 1 应用莫尔定理：
l
F
（a） x1 A
Fal 1 l θB = ∫0 (−Fa)(1)dx2 = − EI EI2 2
F B A a l
q C 1
例7 求如图所示均布载荷作用下简支梁跨度中点的挠度。 q 解：简支梁在均布载荷的作用下 的弯矩图为二次抛物线,在中点C A 作用单位力的 M ( x ) 为一条折线 C （如图），所以可以以转折点为 l/2 l/2 界，分成两部分应用图乘法，然 后求总和。（C1段面积为底乘以 高的2/3倍，形心距左端点5l/8）
二、应变能的普遍表达式： 克拉贝依隆原理(Principle of Clapeyron ):线弹性体的应变能等于 每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。
FN ( x) M 2 ( x) dx dx + ∫ Vε = ∫ dx + ∫ l 2 EA l 2GI l 2 EI p Fs ( x) + ∫αS dx l 2 EA
B
2 ql 2 l ql 3 × = ω1 = ω 2 = × 3 8 2 24 5 l 5l = M C = × 8 4 32 ω1 M C ω2M C 5 ql 4 yC = + = EI EI 384 EI
1 A C
B
§13. 5 卡氏定理 一、定理证明
F1 F2
1. 先给物体加F1、 F2、•••、 Fn 个力，则：
例3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。 q F =1 0 A A B x a C C
B
a
a
a
解：①画单位载荷图 ②求内力
qx 2 M ( x ) = qax − 2
⎧x ⎪ 2 ; (0 ≤ x ≤ a ) ⎪ M ( x) = ⎨ ⎪ 1 ( 2a − x ) ; ( a ≤ x ≤ 2a ) ⎪2 ⎩
l
1 a 1 l = ∫0 (− Fx1 )(− x1 )dx1 + EI 2 ∫0 (− Fa)(−a)dx2 EI1 a Fa 3 Fa 2l = + x1 B B 3EI1 EI 2
A x2 EI1 EI2 C （a） C l
x1 A
F
x2
1
（b）
②求截面B的转角。 a x1 B x2 EI1 EI2 C B x2 1
x C -- M(x)图的形心到y 轴的距离。
∴
∫l M ( x ) M ( x )d x = ω ⋅ x C tan α
C
= ωM
C
M
为 M ( x )图中与M(x) 图的形心C对应的纵坐标。
由此，得
M ( x ) M ( x )dx ω M C = y=∫ l EI EI
利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法。
§13. 2 杆件弹性应变能的计算 一、杆件应变(变形)能的计算： 1.轴向拉压杆的应变能计算： (1) 轴力为常力时：
FN l 1 F l Vε = W = F Δ l = = 或 Vε = 2 2 EA 2 EA
2 2
∑
F=60N B
解：①画单位载荷图
F0 =1 B
A
00 3
C
500
A
00 3
C
500
x x1
10
x
10
20
5
②求内力
M AB ( x ) = Fx
M AB ( x) = x
TCA ( x1 ) = 0.3F T CA ( x1 ) = 0.3
20
5
M AB ( x ) = Fx M AB ( x) = x TCA ( x1 ) = 0.3F T CA ( x1 ) = 0.3
二、普遍形式的莫尔定理
莫尔定理(单位载荷法)
FN ( x) FN ( x) M ( x) M ( x) T ( x)T ( x) yA = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx l l l EA GI p EI
三、使用莫尔定理的注意事项： ① M(x)：结构在原载荷下的内力。 ② M (x ) ——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。 ③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。 ④ M (x ) 与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。 ⑤莫尔积分必须遍及整个结构。
④求转角，重建坐标系（如图） q A B C
a
x1 A C
a
x2 MC0=1 B
qx12 AC : M ( x ) = qax 1 − 2 x M ( x) = − 1 2a 2 qx2 BC: M ( x)=qax2 − 2 x2 M ( x) = 2a
M ( x) M ( x) dx θc = ∫ EI 0 ( AB ) M ( x) M ( x) + ∫ dx EI 0( B )
∫
T ( x) 2 GI p
2
l
dx
或 Vε =
∑
i =1
n
1 应变能密度(比能)： v ε = τγ 2
3.弯曲杆的应变能计算：
Ti 2 l i 2 G i I pi
Vε =
∫
பைடு நூலகம்
M 2 ( x) 2 EI
l
dx
或 Vε =
1 v ε = σε 2
∑
i =1
n
M i2 l i 2 Ei Ii
应变能密度(比能)：
q C l
1
θA =
∫
l
M ( x ) M ( x )dx EI
1
1 = (ω 1 M EI
+ ω2M
2
+ ω3M 3)
θ
A
1 1 1 2 2 ql 2 1 = ×l× ) ( − × Fa × a × 1 − × Fa × l × + × EI 2 2 3 3 8 2
Fa 2 1 l ql 3 ( + )+ = − EI 2 3a 24 EI
③变形
yB = ∫
=
l
M ( x) M ( x) T ( x1 )T ( x1 ) dx1 + ∫ dx l GI p EI
0 .3 F × 0 .3 dx1 + GI p
0 .3
0. 5
∫
0
∫
0
3 Fl AB l AC Fl AB Fx 2 + l AB dx = EI 3EI GI p
60 × 0.33 × 12 60 × 0.3 × 0.5 × 32 3 = × 10 + 0.3 × × 103 3 × 210 × 5 × 103 0.4 × 210 × 204 π
2
2
T 2 ( x)
2
αS →
T 2 ( x)
剪切挠度因子
细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。
FN ( x) M 2 ( x) Vε = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx l 2 EA l 2GI l 2 EI p
例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力F的 作 用，求A点的垂直位移。 解：用能量法（外力功等于应变能） ①求内力 F F R A M
a
a
a
a
a
2 1 qx12 x1 1 qx2 x2 =− ∫ ( qax1 − 2 ) 2a dx1 + EI ∫ ( qax2 − 2 ) 2a dx2 EI 0 0 a
=0
例4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能 上下移动，已知：E=210GPa，G=0.4E，求B点的垂直位移。
C
（c） 思考：如果求A截面的转角，如何计算？
§13. 4 图形相乘法 如图为直杆AB的M(x)图和 M ( x ) 图，其中 M ( x )为一斜直线， 斜度角为 α
M ( x ) = x tan α
∫l M ( x ) M ( x ) d x = tan α ∫l xM ( x ) d x ∫l xM ( x ) d x = ω ⋅ x C
Vε =
图a
∫
l
M 2 ( x) dx 2 EI
2
M ( x) V ε0 = ∫ dx l 2 EI [ M ( x ) + M ( x )] 2 V ε1 = ∫ dx l 2 EI
Vε1 = Vε0 + Vε + 1× y A
yA =
∫l
M ( x)M ( x) dx EI
M ( x) M ( x) dx yA = ∫ l EI
3 F 2 R 3π F 2 R 3π = + 4 GI p 4 EI
③外力功等于应变能
F QW = y A = Vε 2
3 FR 3π FR 3π ∴ yA = + 2 GI p 2 EI
例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 F A a f C a B 解：外力功等于应变能
1 W = Fy C 2 M 2 ( x) Vε = ∫ dx l 2 EI
l
F
M (x)和 M (x)
AB段： M ( x1 ) = − Fx1 , M ( x1 ) = − x1 BC段： M ( x2 ) = − Fa, M ( x2 ) = −a
应用莫尔定理：
yA = ∫
a M ( x1 )M ( x1 )dx1
0
EI1
M ( x2 )M ( x2 )dx2 +∫ 0 EI 2
A
在截面B 作用一个单位力偶 矩，如图（c）所示。计算刚架 在各段内的弯矩： AB段： M ( x1 ) = − Fx1 , M ( x1 ) = 0 BC段： M ( x2 ) = − Fa, M ( x2 ) = 1 应用莫尔定理：
l
F
（a） x1 A
Fal 1 l θB = ∫0 (−Fa)(1)dx2 = − EI EI2 2
F B A a l
q C 1
例7 求如图所示均布载荷作用下简支梁跨度中点的挠度。 q 解：简支梁在均布载荷的作用下 的弯矩图为二次抛物线,在中点C A 作用单位力的 M ( x ) 为一条折线 C （如图），所以可以以转折点为 l/2 l/2 界，分成两部分应用图乘法，然 后求总和。（C1段面积为底乘以 高的2/3倍，形心距左端点5l/8）
二、应变能的普遍表达式： 克拉贝依隆原理(Principle of Clapeyron ):线弹性体的应变能等于 每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。
FN ( x) M 2 ( x) dx dx + ∫ Vε = ∫ dx + ∫ l 2 EA l 2GI l 2 EI p Fs ( x) + ∫αS dx l 2 EA
B
2 ql 2 l ql 3 × = ω1 = ω 2 = × 3 8 2 24 5 l 5l = M C = × 8 4 32 ω1 M C ω2M C 5 ql 4 yC = + = EI EI 384 EI
1 A C
B
§13. 5 卡氏定理 一、定理证明
F1 F2
1. 先给物体加F1、 F2、•••、 Fn 个力，则：
例3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。 q F =1 0 A A B x a C C
B
a
a
a
解：①画单位载荷图 ②求内力
qx 2 M ( x ) = qax − 2
⎧x ⎪ 2 ; (0 ≤ x ≤ a ) ⎪ M ( x) = ⎨ ⎪ 1 ( 2a − x ) ; ( a ≤ x ≤ 2a ) ⎪2 ⎩
l
1 a 1 l = ∫0 (− Fx1 )(− x1 )dx1 + EI 2 ∫0 (− Fa)(−a)dx2 EI1 a Fa 3 Fa 2l = + x1 B B 3EI1 EI 2
A x2 EI1 EI2 C （a） C l
x1 A
F
x2
1
（b）
②求截面B的转角。 a x1 B x2 EI1 EI2 C B x2 1