动 态 规 划 算 法 ( 2 0 2 0 )
01背包问题的动态规划算法、蛮力法和空间优化算法算法思想：（1）【导师实战恋爱教-程】、动态规划算法：解决背包物品价值最大化问题的最优解，是建立在每一个子问题的最优解的前提下完成的。
设Valu【扣扣】e[i,j]表示的是i个物品放进背包容量为j的背包的价值，令i从0【⒈】增至n（物品总数量），j从0增至c（背包总容量）。
Value[n,c]就是我【О】们要的背包价值最大化的解。
为了得到这个解必须要把之前的都解【１】决，每一个问题的最优解的算法又根据以下确定：当物品重【６】量w小于背包体积j时，此物品不放进背包，价值与上一次【⒐】价值相同；当物品重量w不小于背包体积j时，此物品是否放进背【５】包，取决于Value[i-1,j]和Value[i-1,j-w]+v的大小。
写成表达式【２】则为以下内容：? Va【б】lue[i-1,j]? weight[i]jValue[i,j]? Max(Value[i-1,j],Value[i-1,j-w[i]]+v[i])? weight[i]=j而这个表达式的约束条件就是当物品数量为0（i=0）时和背包容量为0（j=0）时，最大价值为0。
（2）、空间优化算法：动态规划法的空间复杂度为O（nw），现将空间复杂度优化到O（w）。
我使用的方法为建立一个新的一维数组V[w+1]，此数组与上述动态规划的Value数组不同的是只用于记录上一行的价值，如当我需要求第i行的价值的时候，v数组中存放的是第i-1行的价值。
然后从后往前（背包容量从c到0）计算价值、覆盖数组，因为每一次计算背包容量j大小的价值可能会用到j-w的价值，如果从前往后计算的话则数组已被更新，所以要从后往前计算。
计算价值的方法也是和上面大致相同：如果物品体积w小于背包容量j，则判断V[j]和V[j-w]+v的大小;如果大于背包容量，则放不进去，V[j]价值不变。
写成表达式如下：? V[j]? weight[i]j? Max(V[j],V[j-w[i]]+value[i])? weight[i]=j由于使用一维数组的方法，内容还一直被覆盖，所以无法得出背包中具体有哪些物品。
（3）、穷举法：用于验证动态规划方法是否正确。
以n=4为例，创建一个v[4]的数组，用0和1表示第i个物品是否放进背包，如0001表示只有第四个物品放进背包。
然后数组从0000~1111，计算每次摆放的重量以及价值。
如果重量小于背包重量，且价值大于当前最大价值，则记录当前的最大价值以及数组。
原理是这样在实施的时候为了记录背包的解，将0000和1111看成0和15的二进制形式，所以让i从0到15进行增长，每次将i转换成二进制格式放进数组中，这样做就可以记录最大价值时的i，转换成二进制则可获得具体物品。
伪代码如下：For i 0~2n-1? Coverbin( i )? --将i转化成二进制? For j 0~n?If? bin[j]==1? --如果第j个物品被放进去，就加上其价值和重量? Sumweigh+=weigh[j]? Sumvalue+=value[j]? If Sumweigh =c SumvalueMaxvalue? --如果总重量小于背包体积且价值最大? Maxvalue=Sumvalue--若要获得背包内的物品直接将flag转成二进制即可代码如下：#include iostream#include cmath#include ctimeusing namespace std;int maxvalue(int a,int b);--返回价值大的void bag(int x[],int i,int j);--计算包内物品int priority(int n,int w);--空间优化算法void violent(int n,int w);--蛮力法void conversion(int x,int b[]);--将int转化成二进制int a[50000][50000];--二维数组int *heavy=new int [100000];--物品重量int *v=new int [100000];--物品价值int max=0;int main()cout"请输入物品数量n和背包大小w： ";for(i=1;i=n;i++)heavy[i]=(rand()%w)+1;v[i]=(rand()%w)+1; --随机生成物品重量和价值-- coutheavy[i]" "v[i]endl;for(i=0;i=w;i++)a[0][i]=0;for(i=0;i=n;i++)a[i][0]=0; --将二维数组i=0和j=0的情况都填0 clock_t start, end;start = clock();--开始计时for(i=1;i=n;i++)for(j=1;j=w;j++)if(heavy[i]j) --如果重量比容量j大，就不放了a[i][j]=a[i-1][j];else --能放进去int k=j-heavy[i];a[i][j]=maxvalue(a[i-1][j],(a[i-1][k]+v[i])); end = clock();--结束计时-*for(i=0;i=n;i++){for(j=0;j=w;j++)couta[i][j]" ";--输出二维数组表coutendl;int *x=new int [n+1];for(i=1;i=n;i++)bag(x,n,w); --求包内的物品编号cout"最大价值为："a[n][w]endl;cout"能放进背包的物品编号是： ";for(i=1;i=n;i++)if(x[i]==1)couti" ";coutendl;cout"运行的时间是(s)： ";cout(double)(end - start) - (CLOCKS_PER_SEC)"s "endl; coutendl;cout"使用一维数组得出最大的价值为：";for(i=1;i=n;i++)coutpriority(n,w)endl;coutendl;violent(n,w);cout"使用蛮力法得出的最大价值为：";coutmaxendl;return 0;int maxvalue(int a,int b)return b;return a;void bag(int x[],int i,int j)if(a[i][j]==a[i-1][j]) --如果和上一列的数字相同，则表示该物品没放bag(x,i-1,j);else --和上一列的不同x[i]=1;--该物品放进去了bag(x,i-1,j-heavy[i]);--继续找上一个物品是否放进去了int priority(int n,int w)int *bag=new int [w+1];--数组用于保存上一行的数据for(i=0;iw+1;i++)bag[i]=0;--第一行先置0for(i=1;i=n;i++)for(j=w;j=heavy[i];j--)--从后往前判断，当背包容量大于物品重量if(bag[j]bag[j-heavy[i]]+v[i])--两个价值谁大填哪个bag[j]=bag[j-heavy[i]]+v[i];int end=bag[w];--最大价值就是数组最后一个return end;void violent(int n,int w)int i,j,sumw,sumv,flag=0;int bin[10];for(i=0;ipow(2,n);i++)--n等于4的话，二进制从0000~1111即0~15 for(j=1;j=n;j++)bin[j]=0; --初始化数组conversion(i,bin);--转换成二级制for(j=1;j=n;j++)if(bin[j]==1)--如果放了这个物品sumw=sumw+heavy[j];sumv=sumv+v[j]; --重量相加，价值相加if(sumw=w)if(sumvmax) --当总重量小于背包重量且价值大于当前最大价值时max=sumv; --记录最大价值flag=i; --记录当前ifor(j=1;j=n;j++)bin[j]=0;conversion(flag,bin); --将最大价值的i转换成二进制，得出背包物品编号cout"能放进背包的物品编号是： ";for(j=1;j=n;j++)if(bin[j]==1)coutj" ";coutendl;void conversion(int x,int b[]) --转化成二进制for(i=1;;i++)b[i]=x%2;if(x==0)int a[N] = {1,2,3,4,5,6,9,7,8,10};8 else PRINT-LCS(b, X, i, j - 1)int u = RecurMatrixChain(i, i, p, s) + RecurMatrixChain(i+1, j, p, s) + p[i-1]*p[i]*p[j];(1)i,j之间差1，先计算出[1,2] [2,3] [3,4]这些两两相邻的矩阵System.out.println("Multiply A["+i+":"+s[i][j]+"] and A["+(s[i][j]+1)+":"+j+"]");自顶向下只需要求解问题需要的解，不需要对所有子问题都去求解。
但是它需要额外的递归开销。
自底向上必须对所有子问题进行求解但是可有效减少计算时间和所需的存储空间。
int minimumTotal(vectorvectorint triangle) {count = 0; -* 输出顶点数 *-?m[4:5]=m[4:4]+m[5][5]+p[3]*p[4]*p[5];if (f[i - 1][j] f[i - 1][(j - weight[i - 1])] + value[i - 1])。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法 ( 2 0 2 0 )
秒杀排列组合（上）————排列篇首先为什么要写排列组合？因为排列组合在数学中占有重要的地位，其与概率论也有密切关系；并且排列组合问题在求职的笔试，面试出现的概率特别高，而我在网上又没有搜到比较全面题型的文章；同时，我觉得编写排列组合程序对学习递归也是很有帮助的；当然，最重要的原因是排列组合本身就很有趣！所以就总结下排列组合的各种问法，分两篇写：上篇写排列，下篇写组合。
首先从各【导师实操追-女孩教-学】大IT公司的题中总结出排列组合的对象都是整形数组或字符数组，排列问题可以按输入数据分为两大类：输入数据【扣扣】有重复和无重复，又可以按输出数据分为两大类：输出数据有【⒈】重复和无重复；而排列问题也偶尔会考非递归。
首先提一【０】下全排列的几种算法：1—【１】—字典序法2——递增进位数制法; 3——递减进位数制法【б】4——邻位交换法5——n进制数法6——递归生成法7——循【⒐】环移位法8——回溯法由于侧【５】重点在输入数据无重复，所以先看输入数据无重复类型：其中又【２】可以分为全排列和分组后排列：首先写基【６】本的全排列：1.输出数组a的全排列(不可重复取)如a={1,2,3}。
输出123，132，213，231，312，321这个是最基本，也是最经典的排列算法思想：可以输出1加上23的全排列，2加13的全排列，3加上12的全排列，运用递归求比如23的全排列.依次递归下去；比如现在要2开头求全排，首先要交换1，2的位置，让a[0]变为2，在用递归求13的所有全排列，前面加个2就是2开头的所有全排列了，最后运用回溯再把1，2调换回来。
代码清单：public class PaiLie {public void runPermutation(int[] a){getAllPermutation(a, 0);-*index用于控制如上述分析中2加上13的所有全列的*-public void getAllPermutation(int[] a,int index){-*与a的元素个数相同则输出*-if(index == a.length-1){for(int i = 0; i a.length; i++){System.out.print(a[i] + " ");System.out.println();return;for(int i = index; i a.length; i++){swap(a ,index, i);getAllPermutation(a, index+1);swap(a ,index, i);public void swap(int[] a, int i, int j) {int temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;public static void main(String[] args) {PaiLie robot = new PaiLie();int[] a = {1,2,3};robot.runPermutation(a);2.输出数组a的全排列(可重复取)如a={1,2}。
动态规划法的基本思想
一、动态规划的基本思想在比较基本的算法设计思想里，动态规划是比较难于理解，难于抽象的一种，但是却又十分重要。
动态规划的实质是分治思想和解决冗余，因此它与分治法和贪心法类似，它们都是将问题的实例分解为更小的、相似的子问题，但是动态规划又有自己的特点。
贪心法的当前选择可能要依赖于已经作出的选择，但不依赖于还未做出的选择和子问题，因此它的特征是由顶向下，一步一步地做出贪心选择，但不足的是，如果当前选择可能要依赖子问题的解时，则难以通过局部的贪心策略达到全局最优解。
相比而言，动态规划则可以处理不具有贪心实质的问题。
在用分治法解决问题时，由于子问题的数目往往是问题规模的指数函数，因此对时间的消耗太大。
动态规划的思想在于，如果各个子问题不是独立的，不同的子问题的个数只是多项式量级，如果我们能够保存已经解决的子问题的答案，而在需要的时候再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算。
由此而来的基本思路是，用一个表记录所有已解决的子问题的答案，不管该问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。
比较感性的说，其实动态规划的思想是对贪心算法和分治法的一种折衷，它所解决的问题往往不具有可爱的贪心实质，但是各个子问题又不是完全零散的，这时候我们用一定的空间来换取时间，就可以提高解题的效率。
二、动态规划的基本步骤动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中，可能会有许多可行解。
每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值（最大值或最小值）的那个解。
设计一个动态规划算法，通常可以按以下几个步骤进行：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。
（2）递归地定义最优值。
（3）以自底向上的方式计算出最优值。
动态规划(生产和存储问题)
动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。
二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。
通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。
阶段变量一般用k=1.2….n.表示。
1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。
它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。
通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。
描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。
变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。
用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。
n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
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fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10
动态规划算法
动态规划算法
动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段最优化决策问题的算法。
它将问题分为若干个阶段，并按照顺序从第一阶段开始逐步求解，通过每一阶段的最优解得到下一阶段的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
动态规划算法的核心思想是将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，而是直接使用已有的计算结果。
即动态规划算法采用自底向上的递推方式进行求解，通过计算并保存子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。
动态规划算法的主要步骤如下：
1. 划分子问题：将原问题划分为若干个子问题，并找到问题之间的递推关系。
2. 初始化：根据问题的特点和递推关系，初始化子问题的初始解。
3. 递推求解：按照子问题的递推关系，从初始解逐步求解子问题的最优解，直到求解出整个问题的最优解。
4. 得到最优解：根据子问题的最优解，逐步推导出整个问题的最优解。
5. 保存中间结果：为了避免重复计算，动态规划算法通常会使
用一个数组或表格来保存已经求解过的子问题的解。
动态规划算法常用于解决最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。
它能够通过将问题划分为若干个子问题，并通过保存已经解决过的子问题的解，从而大大减少计算量，提高算法的效率。
总之，动态规划算法是一种解决多阶段最优化决策问题的算法，它通过将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，从而得到整个问题的最优解。
动态规划算法能够提高算法的效率，是解决最优化问题的重要方法。
DP算法（动态规划算法）
DP算法（动态规划算法）前⼏天做leetcode的算法题很多题都提到了动态规划算法，那么什么是动态规划算法，它是什么样的思想，适⽤于什么场景，就是我们今天的主题。
⾸先我们提出所有与动态规划有关的算法⽂章中都会提出的观点： 将⼀个问题拆成⼏个⼦问题，分别求解这些⼦问题，即可推断出⼤问题的解。
什么都不了解的话看到这句话是懵逼的，我们也先略过，等看完整篇⽂章再回过头来看⼀看这个观点。
下⾯正式开始。
⾸先我们来看这个译名，动态规划算法。
这⾥的动态指代的是递推的思想，算法在实现的过程中是动态延伸的，⽽不是提前控制的。
规划指的是需要我们给出动态延伸的⽅法和⽅向。
这两个就是算法的问题点。
假设您是个⼟豪，⾝上带了⾜够的1、5、10、20、50、100元⾯值的钞票。
现在您的⽬标是凑出某个⾦额w，需要⽤到尽量少的钞票。
依据⽣活经验，我们显然可以采取这样的策略：能⽤100的就尽量⽤100的，否则尽量⽤50的……依次类推。
在这种策略下，666=6×100+1×50+1×10+1×5+1×1，共使⽤了10张钞票。
这种策略称为“贪⼼”：假设我们⾯对的局⾯是“需要凑出w”，贪⼼策略会尽快让w变得更⼩。
能让w少100就尽量让它少100，这样我们接下来⾯对的局⾯就是凑出w-100。
长期的⽣活经验表明，贪⼼策略是正确的。
但是，如果我们换⼀组钞票的⾯值，贪⼼策略就也许不成⽴了。
如果⼀个奇葩国家的钞票⾯额分别是1、5、11，那么我们在凑出15的时候，贪⼼策略会出错： 15=1×11+4×1（贪⼼策略使⽤了5张钞票） 15=3×5（正确的策略，只⽤3张钞票） 为什么会这样呢？贪⼼策略错在了哪⾥？ ⿏⽬⼨光。
刚刚已经说过，贪⼼策略的纲领是：“尽量使接下来⾯对的w更⼩”。
这样，贪⼼策略在w=15的局⾯时，会优先使⽤11来把w降到4；但是在这个问题中，凑出4的代价是很⾼的，必须使⽤4×1。
第6章 动态规划
第6章动态规划判断06100011判断：在动态规划模型中，问题的阶段数等于问题中的子问题的数目；06100021判断：动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所作决策的相互独立性；06100031判断：）动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已做出的决策；06100041判断：对一个动态规划问题，应用顺推或逆推解法可能会得出不同的最优解；06100051判断：动态规划计算中的“维数障碍”主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的；06100061判断：）假如一个线性规划问题含有5个变量和3个约束，则用动态规划方法求解时将划分为3个阶段，每个阶段的状态将由一个5维的向量组成；06100071判断：任何一个多阶段决策过程的最优化问题，都可以用非线性规划模型来描述。
06100081判断：动态规划问题如果按状态转移率区分,可分成确定性的与随机性的.简答06200011简答：一个N阶段的决策过程具有哪特征？06200021简答：试述动态规划的优点。
06200031简答：试述最优化原理的内容06200041简答：试述动态规划数学模型的四种类型.计算题最短路问题06301012设某厂自国外进口一步精密机器，由机器制造厂至出口港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，期间的运输成本如下图所示，试求运费最低的路线。
06301022、某工厂从国外引进一台设备，由A到G港口有多条通路可供选择，其路线及费用如下图所示。
现要确定一条从A到G的使总费用最小的路线。
请将该问题描述成一个动态规划问题，然后求其最优解。
资源分配06302012有一部货车每天沿着公路给四个零售店卸下6箱货物，如果各零售店出售该货物06302022设有某种肥料共6个单位重量，准备供给四块粮田用，其每块粮田施肥数量与增06302033某公司打算向承包的三个营业区增设六个销售店，每个营业地区至少增设一个，从各区赚取的利润与增设的销售店个数有关，其数据如下表所示。
浙教版五年级上册信息技术第13课算法的设计课件(共18张PPT)
小结 今天你学到了什么?说一说自己的收获。
练习1
针对机器人画正六边形 的问题,设计一个算法。
练习2
练习3
感谢聆听
与此同时，他提出了解决这类问题的 “最优化原理”(Principle of optimality)：“一个过程的最优决策具有这 样的性质：即无论其初始状态和初始决策如 何，其今后诸策略对以第一个决策所形成的 状态作为初始状态的过程而言，必须构成最 优策略”。简言之，一个最优策略的子策略， 对于它的初态和终态而言也必是最优的。
最优化原理是动态规 划的基础，任何一个问题， 如果失去了这个最优化原 理的支持，就不可能用动 态规划方法计算。能采用 动态规划求解的问题都需 要满足一定的条件。
满足条件：
(1) 问题中的状态必须 满足最优化原理；
(2) 问题中的状态必须 满足无后效性。所谓的无后 效性是指：“下一时刻的状 态只与当前状态有关，而和 当前状态之前的状态无关， 当前的状态是对以往决策的 总结”。
03
02
(2)确定状态和状态变量： 将问题发展到各个阶段时 所处于的各种客观情况用 不同的状态表示出来。当 然，状态的选择要满足无 后效性。
动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。
01
02
（3）确定决策并写出状态转 移方程：因为决策和状态转移 有着天然的联系，状态转移就 是根据上一阶段的状态和决策 来导出本阶段的状态。所以如 果确定了决策，状态转移方程 也就可写出。但事实上常常是 反过来做，根据相邻两段各状 态之间的关系来确定决策。
这个“最优化原理”如果用数学化一点的语言 来描述的话，就是：假设为了解决某一优化问题，需 要依次作出n个决策D1，D2，…，Dn，如若这个决策 序列是最优的，对于任何一个整数k，1 \u003C k \u003C n，不论前面k个决策是怎样的，以后的最优 决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后 的决策Dk+1，Dk+2，…，Dn也是最优的。
动态规划基础
动态规划（一）、动态规划的基本思想：动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中，可能会有许多可行解。
每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。
若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。
如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。
我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。
不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。
这就是动态规划法的基本思路。
具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
二、设计动态规划法的步骤：1、找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2、递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3、以自底向上的方式计算出最优值；4、根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。
在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。
三、动态规划问题的特征：动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质：最优子结构性质和子问题重叠性质。
1、最优子结构：当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。
2、重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。
动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。
（二）、动态规划算法的基本步骤设计一个标准的动态规划算法，通常可按以下几个步骤进行：1.划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。
0-1背包问题之动态规划法_-
1.5 无后效性原则
所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：
某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不 再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与 过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结， 此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演 变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶段之后， 阶段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态 转移方程得来，与其他状态没有关系，特别是与未发 生的状态没有关系，这就是无后效性。
2.
组合问题中的动态规划法
2.1 2.2 0/1背包问题 最长公共子序列问题
2.1 0/1背包问题
给定 n 种物品和一个背包， 物品i的重量是wi，其价值为 v i ，背包的容量为 C 。背包 问题是如何选择装入背包的 物品，使得装入背包中物品 的总价值最大 ? 如果在选择 装入背包的物品时，对每种 物品 i 只有两种选择：装入 背包或不装入背包，即不能 将物品 i 装入背包多次，也 不能只装入物品 i 的一部分， 则称为0/1背包问题。
可以用动态规划法求解的问题除了能够分解为相互重叠的 若干子问题外，还要满足最优性原理（也称最优子结构性 质），这类问题具有如下特征：该问题的最优解中也包含 着其子问题的最优解。在分析问题是否满足最优性原理时， 通常先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的， 然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更 好的解，从而导致矛盾。 动态规划法利用问题的最优性原理，以自底向上的方 式从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。应用 动态规划法设计算法一般分成三个阶段： （1）分段：将原问题分解为若干个相互重叠的子问题； （2）分析：分析问题是否满足最优性原理，找出动态规划 函数的递推式； （3）求解：利用递推式自底向上计算，实现动态规划过程。