高三数学一轮复习 37 抛物线学案 文
抛物线学案-2023届高三数学一轮复习
第7节 抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知识梳理 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的 .(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py(p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点对称轴焦点离心率准线方程 y ＝p2 范围 开口方向向左3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点). 自主检测1.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.2. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.84.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B.1C.54D.745.已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________. 典型例题考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】 (1)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x(2)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，若直线AF 的斜率为－3，则△P AF 的面积为( ) A.2 3 B.4 3 C.8 D.8 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.【训练1】 (1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－4 B.x ＝－3 C.x ＝－2 D.x ＝－1(2)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.考点二 与抛物线有关的最值问题 角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则： (1)|P A |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|P A |－|PF |的最小值为________，最大值为________. 角度2 到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________.角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C.1 D.2角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B.⎝⎛⎭⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【训练3】 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率.当堂检测1.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x2.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3 D.π4或3π43.设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________.4.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.5.已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.6.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.7.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.。
高中数学一轮复习课题.抛物线导学案
课题：抛物线一、新考纲：备考动向1．抛物线的标准方程掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程． 2．抛物线的几何性质 掌握抛物线的简单性质． 二、抓主干：知识回顾知识点一 抛物线定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等． (3)定点不在定直线上．易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 )0,2(pF )0,2(p F -)2,0(p F )2,0(p F -离心率 e ＝1准线方程 2p x -=2p x =2p y -=2p y =范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右向左向上向下焦半径(其中P (x 0，y 0)) 20p x PF +=20p x PF +-=20p y PF +=20p y PF +-=易误提醒 抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．必记结论 抛物线焦点弦的几个常用结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1) 4221p x x =，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长α221sin 2pp x x AB =++= (α为弦AB 的倾斜角)． (3)pFB FA 211=+. (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切．[自测练习]1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知321=+p，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，故选D. 答案：D2．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为3，则线段AB 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2×3＝6，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝8，故选B.答案：B三、研考向：考点研究考点一 抛物线的标准方程及几何性质1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－x B ．x 2＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考点二 抛物线的定义及应用抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：1．到焦点与动点的距离之和最小问题． 2．到准线与动点的距离之和最小问题． 3．到两定直线距离之和最小问题． 4．到焦点与定点距离之和最小问题． 探究一 到焦点与动点的距离之和最小问题1．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．探究二 到准线与动点的距离之和最小问题2．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PC |的最小值为( )A.B ．7C ．6D ．9探究三 到两定直线距离之和最小问题3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )A.1637B.511C ．3D ．2探究四 到焦点与定点距离之和最小问题4．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点三 直线与抛物线的位置关系已知：过抛物线x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点C .(1)求证：0=⋅； (2)求△ABC 的面积的最小值．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．题型专练1．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1)3．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：42x y =与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 4．已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，2=⋅，求抛物线C 的方程．。
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习 抛物线教案(理)(含解析)苏教版
第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线2x 2＋y ＝0的准线方程为________． 解析：∵抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，∴2p ＝12，∴ p 2＝18，故准线方程为y ＝18. 答案：y ＝182．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.答案：15163．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为________．解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－p2.因为点P (2，y 0)到其准线的距离为4，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4，所以p ＝4.所以抛物线的标准方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是________． 答案：一条直线2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .所以2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·徐州调研)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为________．解析：抛物线y 2＝16x 中，p ＝8，∴准线方程为x ＝－4，∵抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离即为到其准线的距离， ∴d ＝1－(－4)＝5. 答案：52．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则PF 的最小值为________． 解析：设点P 到准线的距离为d ，则有PF ＝d ， 又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y,则其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即PF 的最小值为18.答案：183．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析：由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于PF ，故动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案：2[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[即时应用]1．(2018·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．解析：由题意AF 与x 轴正半轴所成角为120°，PA ＝PF ，所以△PAF 为正三角形． 因为p ＝3，所以PF ＝AF ＝2p ＝6. 答案：62．(2019·镇江调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点的距离为5，到y 轴的距离为3，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，由题意可得P 到准线的距离为5，又P 到y 轴的距离为3，故p2＝5－3，解得p ＝4.答案：4考点二 抛物线的标准方程与几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点． 常见的命题角度有： (1)根据性质求方程； (2)抛物线的对称性；(3)抛物线性质的实际应用．[题点全练]角度一：根据性质求方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是________． 解析：设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .答案：y 2＝－x 或x 2＝－8y 角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 因为双曲线的离心率为2，所以1＋b 2a 2＝2，ba＝ 3. 由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得，2×12×23p 3×2p3＝3，解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.答案：32角度三：抛物线性质的实际应用3．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________ m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设水面与拱桥的一个交点为A ，则点A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p＞0)，则22＝－2p ×(－2)，得p ＝1.所以抛物线方程为x 2＝－2y .设水位下降1 m 后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为2 6 m.答案：2 6[通法在握]求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点常设为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y .[提醒] 求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．[演练冲关]1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，则该抛物线的方程为________．解析：由题意知，抛物线的焦点在x 轴上． ∵直线3x －4y －12＝0交x 轴于点(4,0)， ∴抛物线的焦点为(4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由p2＝4，得p ＝8，∴该抛物线的方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．解析：依题意设P 在抛物线准线的射影为P ′，抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，由抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离PP ′＝PF ，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和d ＝PF ＋PA ≥AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172. 答案：172考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且OP ＝PB ，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， 所以(－8)2＝2p ×8，所以2p ＝8， 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由直线l 2与l 1垂直，且不过原点，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，所以m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，所以x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， 所以m ＝8或m ＝0(舍去)，所以直线l 2的方程为x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·FM ·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.[由题悟法]解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝|x A |＋|x B |＋p 或AB ＝|y A |＋|y B |＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[即时应用]已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q.(1)设直线Q A ，Q B 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点， OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . 由题意知，点Q(－2,0)， 所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4y 1＋y 2my 1＋4my 2＋4＝－8mp ＋8mpmy 1＋4my 2＋4＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)， 当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p －4p ＋2pmy 0＋y 2－4p ＋2pmy 0＋y 2＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2，由抛物线的定义可知，2＋p2＝4，则p ＝4，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－22．(2018·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p2＝4，即p ＝8.答案：83．已知P 为抛物线y 2＝8x 上动点，定点A (3,1)，F 为该抛物线的焦点，则PF ＋PA 的最小值为________．解析：易知点A 在抛物线内部，抛物线的准线方程为x ＝－2，过点P 作准线的垂线，垂足为M ，则PF ＋PA ＝PM ＋PA ，当A ，P ，M 三点共线时取得最小值，所以PF ＋PA ＝3－(－2)＝5.答案：54．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，所以焦点坐标为 (1,0) . 答案：(1,0)5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.答案：26．(2019·连云港模拟)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF ＝2，则S △BCFS △ACF＝________. 解析：∵抛物线方程为y 2＝2x ，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12.如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E ，N ，则BF ＝BN ＝x 2＋12＝2，∴x 2＝32，把x 2＝32代入抛物线y 2＝2x ，得y 2＝－3，∴直线AB 过点M (3，0)与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3. 则直线AB 的方程为3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3y －3＝0，与抛物线方程联立，解得x 1＝2， ∴AE ＝2＋12＝52.∵在△AEC 中，BN ∥AE ，∴BC AC ＝BN AE ＝252＝45，故S △BCF S △ACF ＝12BC ·h12AC ·h＝45. 答案：45二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·宿迁一模)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为________．解析：∵抛物线x 2＝4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p ＝4，∴p2＝1.∴抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)． 答案：(0,1)2．过抛物线x 2＝－12y 的焦点F 作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．解析：由题意F (0，－3)，将y ＝－3代入抛物线方程得x ＝±6， 所以AB ＝12，所以S △OAB ＝12×12×3＝18.答案：183．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AF BF＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得x 2－5p 3x ＋p24＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3.答案：34．(2019·南通调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝12x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则FN 的长度为________．解析：∵F (3,0)，∴由题意可得M 的横坐标为32，∴FM ＝32＋3＝92，FN ＝2FM ＝9.答案：95．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则AB 的最大值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，由抛物线的定义可知，AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知AF ＋BF ≥AB ，AB ≤4，当且仅当直线AB过焦点F 时，AB 取得最大值4.答案：46．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx ＝30°. 直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．∴AB ＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 37．(2018·无锡调研)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且PA ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为PA ＝12AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.答案：538．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MF ＝4OF ，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________．解析：设M (x ，y )，因为OF ＝p 2，MF ＝4OF ，所以MF ＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上的动点，点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求取最小值时点P 的坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. 因为6＞2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上的点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d .当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以点P 的坐标为(2,2)．10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2. 所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·连云港二模)从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积S ＝________.解析：设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线的准线方程为y ＝－1， ∴y 0＝5－1＝4，∴|x 0|＝4×4＝4， ∴△MPF 的面积S ＝12PM ·|x 0|＝12×5×4＝10.答案：102．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4. 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2. 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)． 同理FC ―→·FD ―→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋4.所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k2＋8≤－16.当且仅当k ＝±1时等号成立． 答案：－163.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
高考苏教版数学《抛物线》一轮复习导学案教师版
抛 物 线【知识梳理】1．抛物线定义： 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质解析：∵p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是__________ 解析：抛物线的标准方程为x 2＝1a y .则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.3．倾斜角为60°的直线l 过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为______解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得焦点F (0，1)，准线方程y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消x 得y 2－14y ＋1＝0，y 1＋y 2＝14，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.4．已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：依题意得，|OF |＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知|AO |＝2|OF |＝a2，△AOF 的面积等于12·|AO |·|OF |＝a 216＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x . 5．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________． 解析：其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，则P 点横坐标x P ＝4，由定义知|PF |＝x P ＋p2＝6.说明：1.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．3．由y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)求焦点坐标时，只需将x 或y 系数除以4，再确定焦点位置即可．【考点探究】考点一 抛物线的定义及应用[例1] (1)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________(2)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是_________[解] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.(2)由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．【由题悟法】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．【以题试法】1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝_____.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2，∴|BF |＝12－(－1)＝32. 考点二抛物线的标准方程及几何性质[例2] (1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为__________(2)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝___________[解] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ca ＝a 2＋b 2a ＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.【由题悟法】1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p 但要注意判断标准方程的形式．2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．【以题试法】2．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________.解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则|NF |＝|NH |＝32|MN |， 如图．∴cos ∠MNH ＝32，∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6. 考点三 直线与抛物线的位置关系[例3] 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[解] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎨⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP ·MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立． 由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP ·MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*) 由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎨⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．【由题悟法】 1．设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2＋ny ＋q ＝0.(1)若m ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点． (2)若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)S △AOB ＝p 22sin θ(θ为AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p.(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (7)∠CFD ＝90°.【以题试法】3．如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F . (1)若点O 到直线l 的距离为12，求直线l 的方程；(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．解：(1)抛物线的焦点F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以，|－k |1＋k 2＝12，解得k ＝±33.故直线l 的方程为：y ＝±33(x －1)，即x ±3y －1＝0. (2)直线AB 与抛物线相切，证明如下：设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0. 因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)．所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得：x ＝2x 0yy 0－x 0① 把方程①代入y 2＝4x 得：y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0， Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线相切．【巩固练习】1．抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为_______解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝ 5.∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .2．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为_____解析：设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 20＝2px 0，∴36＝2p ⎝⎛⎭⎫10－p2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18. 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为______ 解析：注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p2＋3＝4，解得p ＝2.4．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为_________解析： ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2), 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2，∴k BC ＝－2. 又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2， ∴BC 中点为(1，－1)， 则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0. 5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB ,＝OA ＋OF (O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．解析：由题可知F (1,0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，∴B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，S △BOF ＝12·|OF |·|y B |＝12×1×2＝1.6．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为________．解析：由题意得l 的方程为y ＝12x ＋1，即x ＝2(y －1)．代入抛物线方程得y ＝(y －1)2，即y 2－3y ＋1＝0.设线段端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段长度为y 1＋y 2＋p ＝5.7．已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32，抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2.由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1，∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)，即抛物线C 2的焦点为(0,1)，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x . ∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2.当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2－4×(－4k )＞0，解得k ＜－1或k ＞0.① 且x 1x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1，满足①式，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.。
人教版高中数学高考一轮复习--抛物线(课件)
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
高三数学《抛物线》教案
高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的抛物线部分。
具体内容包括：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。
二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、性质和标准方程。
2. 能够运用抛物线的性质解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质和标准方程。
难点：抛物线标准方程的推导及其在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线实例，如拱桥、篮球抛物线等，引导学生思考抛物线的性质和用途。
2. 基本概念：（1）抛物线的定义：介绍抛物线的起源，引导学生理解抛物线的定义。
（2）抛物线的性质：通过动画演示，让学生观察抛物线的对称性、顶点、焦点等性质。
（3）抛物线的标准方程：引导学生根据性质推导出抛物线的标准方程。
3. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程。
（2）已知抛物线上一点，求该点处的切线方程。
4. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线。
（2）求下列抛物线的标准方程。
5. 应用拓展：（1）抛物线在实际问题中的应用。
（2）抛物线与圆、直线等图形的位置关系。
六、板书设计1. 定义、性质、标准方程。
2. 例题解答步骤。
3. 课后作业及答案。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列抛物线的标准方程：① y²=4x；② x²=4y；③ y²=8x；④ x²=8y。
（2）已知抛物线y²=4x上一点（1，2），求该点处的切线方程。
2. 答案：（1）① y²=4x，焦点（1，0），顶点（0，0）；② x²=4y，焦点（0，1），顶点（0，0）；③ y²=8x，焦点（2，0），顶点（0，0）；④ x²=8y，焦点（0，2），顶点（0，0）。
2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线【导学案】
[听课记录]
参考答案与解析
[考试要求] 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2．掌握抛物线的简单 几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3．了解抛物线的简单应用.4．理解数 形结合的思想．
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做
是( )
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
[听课记录]
抛物线上的点到定点的距离及最值
[典例 2] (1)(2023·北京高考)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，点 M 在 C 上，
若 M 到直线 x＝－3 的距离为 5，则|MF|＝( )
A．7
B．6
C．5
D．4
(2)已知点 M(20，40)不在抛物线 C：y2＝2px(p>0)上，抛物线 C 的焦点为 F.若对
于抛物线上的一点 P，|PM|＋|PF|的最小值为 41，则 p 的值等于________．
[听课记录]
抛物线定义的应用规律
[跟进训练] 1．(1)(2024·广东珠海模拟)已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，准线 l 与坐标轴交
于点 N，M 是抛物线上一点，若|FN|＝|FM|，则△FMN 的面积为( )
A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝4x
C．y2＝2x
D．y2＝x
(3)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|＝4，则
△POF 的面积为________． 考点三 直线与抛物线的位置关系
[典例 4] (1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设 O 为坐标原点，直线 y＝－ (x－1)过 抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与 C 交于 M，N 两点，l 为 C 的准线，则( ) A．p＝2 B．|MN|＝
高三数学《抛物线》教案
高三数学《抛物线》教案教学文档一、教学内容本节课选自高中数学教材选修21第三章《圆锥曲线与方程》中的第四节《抛物线》。
详细内容包括抛物线的定义、标准方程、几何性质以及应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和简单性质。
2. 能够运用抛物线知识解决实际问题和相关数学问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：抛物线标准方程的推导和应用。
教学重点：抛物线的定义、标准方程及几何性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示生活中的抛物线实例，如抛物线运动、拱桥等，引导学生思考抛物线的特点。
2. 知识讲解（1）抛物线的定义（2）抛物线的标准方程（3）抛物线的几何性质3. 例题讲解（1）求抛物线y^2=4x的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F(p/2,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。
4. 随堂练习（1）求抛物线x^2=4y的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线x^2=8y的焦点为F(0,2)，求抛物线上一点M 到焦点F的距离与到准线的距离之和。
5. 小结六、板书设计1. 黑板左侧：抛物线的定义、标准方程、几何性质。
2. 黑板右侧：例题及解答、随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目（1）求抛物线y^2=8x的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线y^2=12x的焦点为F(3,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。
2. 答案八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义、标准方程和几何性质掌握程度，以及对例题和随堂练习的完成情况。
2. 拓展延伸：引导学生思考抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等，激发学生的学习兴趣。
重点和难点解析1. 抛物线标准方程的推导过程。
2. 例题的选取和讲解，尤其是涉及抛物线性质的应用。
高三数学一轮复习抛物线PPT学习教案
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3．在解决以圆锥曲线为背景的创新交汇问题时，应 注意以下两点
(1)注意解实际应用问题的四个解题步骤，同时对有 关圆锥曲线的基本知识必须要熟练掌握，以便能及时提 取运用．
(2)注意观察实际生活中一些形状与圆锥曲线的形状 接近的事物，如截面为抛物线形的拱桥、探照灯，截面 为双曲线形的烟筒，斜截圆柱得椭圆形状的截面等．
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4 个结论——直线与抛物线相交的四个结论
已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线 于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：
(1)|AB|＝x1＋x2＋p 或|AB|＝si2np2α(α 为 AB 所在直线的 倾斜角)；
(2)x1x2＝p42； (3)y1y2＝－p2； (4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的 通径，抛物线的通径长为2p.
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抛物线的标准方程与性质 [例2] (1)抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横 坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为____. (2)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若 线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离 为________．
高三数学复习教案：抛物线的知识
通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2=抛物线)0(22>=p px y 的参数方程：⎩⎨⎧== 222pt y pt x （t 为参数）二．基本题型1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）42．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 3．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则q p 11+=（ ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a44．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（ ） (A) x 2＝8y (B) x 2＝4y (C) x 2＝2y (D) y x 212=5．抛物线y 2＝8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是 (A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22）6．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ 7．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为8．抛物线y 2＝－6x ，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是9．以双曲线191622=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△OAB 的面积． （答案：25512） 10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求这个正三角形的边长（答案：边长为p 34） （12答案：0822=-+px y x ）11．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形外接圆的方程12．已知ABC ∆的三个顶点是圆0922=-+x y x 与抛物线()022>=p px y 的交点，且ABC ∆的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 （答案：x y 42=）13．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB 是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程 答案：（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB过定点()0,2p ;（3）点M 的轨迹方程为()()0222≠=+-x py p x14．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上，原点在直线AB 上的射影为()1,2D ，求抛物线的方程 （答案：x y 252=） 15．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程 （答案：x y =2）16．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程 （答案：x y 22=）17．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程（ 答案：x y 122=或x y 42-=）参考答案： 1．B 2．B 3．C 4．A 5．D6．()122-=x y7．x 2＝±8y8．9)23(22=++y x 9．2551210．边长为p 3411．分析：依题意可知圆心在x 轴上，且过原点，故可设圆的方程为：022=++Dx y x ，又∵ 圆过点()32,6p A ， ∴ 所求圆的方程为0822=-+px y x12．x y 42=13．（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB 过定点()0,2p（3）点M 的轨迹方程为()()0222≠=+-x py p x14．x y 252=15．x y =216．x y 22=17．x y 122=或x y 42-=。
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学案37 抛物线
班级____ 姓名_________
导学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.
2.理解数形结合的思想．
自主梳理
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程与几何性质
自我检测
1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 2
2
＝1的右焦点重合，则p 的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－4
D ．4
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
4．已知抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
5．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么∠MFN必是( )
A．锐角B．直角C．钝角D．以上皆有可能
探究点一抛物线的定义及应用
例
1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是
抛物线上的动点，又有点A (3,2)，则|PA |＋|PF |的最小值为__________，此时P 点的坐标为__________．
变式1 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)
探究点二 求抛物线的标准方程
例
2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
变式2 根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点。
(2)过点P(2，－4)．
探究点三 抛物线的几何性质
例
3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点
弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝
p 2
4
； (2)1|AF |＋1
|BF |
为定值．
探究点四综合应用
例
4 （2012全国）设抛物线
2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半
径的圆F 交l 于B ，D 两点.
（1）若90BFD ∠=，ABD ∆的面积为p 的值及圆F 的方程；
（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.
【课后练习与提高】
1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于( )
A.45
B.35 C ．－35
D ．－4
5
2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )
A ．n ＝0
B ．n ＝1
C ．n ＝2
D ．n ≥3
3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不确定
4．已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1 B ．(－2,22) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－14，－1 D ．(－2，－22)
5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →
＝－4，则点A 的坐标为( )
A ．(2，±
2) B ．(1，±2) C ．(1,2)
D ．(2，
2)
6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．
7．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则|AB |＝________. 8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则
B到该抛物线准线的距离为________．
9．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．
10．已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.
11．已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F的直线l2交轨迹C于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→·RQ→的最小值．。