向量2.1～2.2综合测试题.

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2024-2025年北师大版数学必修第二册2.2.2向量的减法(带答案)

2．2 向量的减法必备知识基础练知识点一向量减法的几何作图1．如图，已知向量a ，b 不共线，求作向量a －b .2．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .知识点二向量减法的运算 3.AC → 可以写成①AO → ＋OC → ；②AO → －OC → ；③OA → －OC → ；④OC → －OA → .其中正确的是( ) A ．①② B．②③ C ．③④ D．①④4．已知向量a ∥b 且|a |>|b |>0，则向量a －b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．无法确定5．化简：(1)(BA → －BC → )－(ED → －EC →)；(2)(AC → ＋BO → ＋OA → )－(DC → －DO → －OB →).知识点三向量加减法的综合应用6．如图，点O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )A ．AB → ＋AD → ＝CA → B ．OA → －OC →＝0 C ．BD → －CD → ＝BC → D ．BO → ＋OC → ＝DA →7．已知|OA → |＝8，|OB → |＝5，则|AB →|的取值范围为________．关键能力综合练一、选择题1．向量AC → －BC → ＋BA →＝( ) A ．BC → B ．AB →C ．2BA →D ．02．在四边形ABCD 中，设AB → ＝a ，AD → ＝b ，BC → ＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c3．已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是( ) A ．|a |－|b |＝|a －b | B ．|a ＋b |＝|a －b | C ．|a |＋|b |＝|a －b | D ．|a |＋|b |＝|a ＋b |4．在△ABC 中，若|AB → |＝|AC → |＝|AB → －AC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形5．(探究题)若|a |＝|b |＝|a －b |，则b 与a ＋b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C．150° D ．120° 二、填空题6．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7 ＋1，|b |＝7 －1，且|a －b |＝4，则|a ＋b |＝________．7．若向量a 与b 满足|a |＝5，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值为________，|a －b |的最大值为________．8．(易错题)给出下面四个结论：①若线段AC ＝AB ＋BC ，则向量AC → ＝AB → ＋BC →；②若向量AC → ＝AB → ＋BC →，则线段AC ＝AB ＋BC ；③若向量AB → 与BC →共线，则线段AC ＝AB ＋BC ；④若向量AB → 与BC → 反向共线，则|AB → －BC →|＝AB ＋BC . 其中正确的结论有________．(填序号) 三、解答题 9.如图，已知向量a 、b 、c 、d 、e .(1)用a 、d 、e 表示DB →；(2)用b 、c 表示DB →；(3)用a 、b 、e 表示EC →；(4)用c 、d 表示EC →；(5)用a 、b 、c 、e 表示ED →.学科素养升级练1.(多选题)下列不等式或等式中，可能成立的是( ) A ．|a |－|b |<|a ＋b |<|a |＋|b | B ．|a |－|b |＝|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．|a |－|b |＝|a ＋b |<|a |＋|b | D ．|a |－|b |<|a ＋b |＝|a |＋|b |2．(学科素养——逻辑推理)如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH → ＝OA →＋OB → ＋OC → .2．2 向量的减法必备知识基础练1．解析：如图，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，OB →＝b .因为OB → ＋BA → ＝OA → ，所以b ＋BA →＝a .所以BA →＝a －b .2．解析：方法一如图①，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB → ＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC → ＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二如图②，在平面内任取一点O ，作OA → ＝a ，AB → ＝b ，则OB → ＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .3．答案：D解析：AO → ＋OC → ＝AC → ，AO → －OC → ≠AC → ，OA → －OC → ＝CA → ，OC → －OA → ＝AC →.故选D. 4．答案：A解析：a ∥b 且|a |>|b |>0，则当a 、b 反向时，a －b 的方向与a 方向相同；当a 、b 同向时，∵|a |>|b |，∴a －b 的方向仍与a 方向相同．故选A.5．解析：(1)(BA → －BC → )－(ED → －EC →) ＝CA → －CD → ＝DA → .(2)(AC → ＋BO → ＋OA → )－(DC → －DO → －OB → ) ＝AC → ＋BA → －DC → ＋(DO → ＋OB → ) ＝AC → ＋BA → －DC → ＋DB →＝BC → －DC → ＋DB → ＝BC → ＋(CD → ＋DB → ) ＝BC → ＋CB →＝0. 6．答案：C解析：AB → ＋AD → ＝AC → ，故A 错误；OA → －OC → ＝2OA → ，故B 错误；BD → －CD → ＝BD → ＋DC → ＝BC → ，故C 正确；BO → ＋OC → ＝BC → ＝AD →，故D 错误．故选C.7．答案：[3，13]解析：|AB → |＝|OB → －OA →|， ||OB → |－|OA → ||≤|OB → －OA → |≤|OB → |＋|OA →|，即3≤|AB →|≤13.关键能力综合练1．答案：D解析：AC → －BC → ＋BA → ＝AC → ＋CB → ＋BA →＝0.故选D. 2．答案：A解析：DC → ＝DA → ＋AB → ＋BC →＝－b ＋a ＋c ＝a －b ＋c .故选A. 3．答案：C解析：向量a 与b 反向，|a －b |＝|a |＋|b |，|a ＋b |＝||a |－|b ||.故选C. 4．答案：D解析：因为|AB → －AC → |＝|CB → |，|AB → |＝|AC → |＝|AB → －AC → |，所以|AB → |＝|AC → |＝|CB →|，所以△ABC 为等边三角形．故选D.5．答案：A解析：根据向量加法、减法运算的几何意义可知以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形，又|a |＝|b |＝|a －b |.所以a ，b ，a －b 围成的图形为等边三角形，根据菱形与等边三角形的几何性质可知b 与a ＋b 的夹角为30°.故选A.6．答案：4 解析：如图所示，设OA → ＝a ，OB → ＝b ，则|BA →|＝|a －b |，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|OC →|＝|a ＋b |，由于(7 ＋1)2＋(7 －1)2＝42，故|OA → |2＋|OB → |2＝|BA → |2，所以△OAB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，从而OA ⊥OB ，所以平行四边形OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等得|OC → |＝|BA →|＝4，即|a ＋b |＝4. 7．答案：7 17 解析：当a 与b 反向时，|a ＋b |取得最小值7；当a 与b 反向时，|a －b |取得最大值17. 8．答案：①④解析：①由AC ＝AB ＋BC 得点B 在线段AC 上，则AC → ＝AB → ＋BC →，正确；②在三角形ABC中，AC → ＝AB → ＋BC → ，但AC ≠AB ＋BC ，错误；③AB → ，BC → 反向共线时，|AC → |＝|AB → ＋BC → |≠|AB →|＋|BC → |，即AC ≠AB ＋BC ，错误；④AB → ，BC → 反向共线时，|AB → －BC → |＝|AB → |＋|BC → |＝AB ＋BC ，正确．9．解析：(1)DB → ＝DE → ＋EA → ＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB → ＝DC → ＋CB → ＝－CD → －BC →＝－b －c . (3)EC → ＝EA → ＋AB → ＋BC →＝e ＋a ＋b . (4)EC → ＝ED → ＋DC → ＝－DE → －CD →＝－c －d . (5)ED → ＝EA → ＋AB → ＋BC → ＋CD →＝a ＋b ＋c ＋e .学科素养升级练1．答案：ABCD解析：A 中，当a 与b 不共线时成立；B 中，当a ＝b ＝0或b ＝0，a ≠0时成立；C 中，当a 与b 共线，方向相反，且|a |≥|b |时成立；D 中，当a 与b 共线，且方向相同时成立．故选ABCD.2．证明：如图，作直径BD ，连接DA ，DC ，则OB → ＝－OD →，DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC . ∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH → ＝DC →，又DC → ＝OC → －OD → ＝OC → ＋OB → ， ∴OH → ＝OA → ＋AH → ＝OA → ＋DC → ＝OA → ＋OB → ＋OC → .。

向量2.1～2.2综合测试题

答案：Ｃ
4．设是不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
答案：Ａ
5．若点是的重心，则下列向量中与共线的是（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
答案：Ｃ
二、填空题
6．已知数轴上三点，其中点的坐标分别为，且，则，
点的坐标为．
答案：9；4或8
7．在中，是边靠近点的三等分点，若，则．
高中苏教数学④2.1～2.2综合测试题
一、选择题
1．已知，，
，其中为非零向量，则下列命题中错误的是（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
答案：Ｂ
2．化简以下各式：
① ；② ；③ ；④ ．其结果为的个数是（）
Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4
答案：Ｄ
3．若，，，，则四边形是（）
Ａ．平行四边形Ｂ．菱形Ｃ．等腰梯形Ｄ．直角梯形
解：假设存在满足条件的，
则．
与共线，则存在实数，使．
即．
解得．
存在实数，满足时，与共线．
11．如图1，在中，，，与交于点，且，用表示．
解如图1，由，，
有，．
三点共线，
设，
．
同理：由三点共线，可设，
．
解得
．
12．如图2所示，已知的两边的中点分别为，在的延长线上取点，使，在的延长线上取点，使．试证明：三点共线．
证明：如图2
．
同理可得，．
．
与平行且有公共点．
三点共线．
答案：
8．是边长为1的正三角形，点是平面上任意一点，则．
答案：

向量基础练习题(含答案)

【点睛】
本小题主要考查平面向量相等、共线等知识的理解，属于基础题。
3．B
【解析】
【分析】
逐一分析选项，得到答案。
【详解】
A。单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上,终点不一定相同，所以选项不正确；
B.向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等,所以选项正确；
C。向量是既有大小,又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；
【详解】
解：因为向量＝（1,0），＝（－1,m).
所以，，
由得 ,即 ,
即m－（－1）＝0，
即m＝－1，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了运算能力,属基础题。
27．
【解析】
【分析】
由，得，由此可求得．
【详解】
∵ ，∴ ，即，
（舍去）．
故答案为：．
【点睛】
17．
【解析】
【分析】
由两向量共线，可求的值，再利用向量的模长公式即可．
【详解】
解: ，则 ,解得，
从而3 ，
故答案为: ．
【点睛】
本题考查向量平行与向量的模长公式，是基础题．
18． .
【解析】
【分析】
设 ,用向量和表示向量，再根据三点共线，即可求出 ,进而求出答案。
【详解】
设 ,
，，
27．已知， ,若 ,则正数 ________。
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
单位向量可能方向不同，所以A错误；若，则B错误；相反向量模长相等方向相反，所以C正确；若，与 ( ）的方向相同，所以D错误。

完整版向量相关练习题及答案

向量相关练习一：选择题(共12题，每题5分，共60分), rrr»_rrrr r r uu uu ur o1.设向量a,b,c满足 a b c 0,a b,|a| 1,|b| 2,则|c| ()A. 1B.2C.4D.52. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA（上B丄C）, |AB| |AC|定通过△ ABC K（）A.外心B.内心C. 重心D. 垂心3.已知平面向量a(1,2),b(2, m)，且a// b，则2a3b =( )A . (-2 , -4 ) B.(-3 , -6 ) C. (-4-8) D.(-5 , -10)4、已知平面向量a=(1, —3), b= (4〔，一2）, a b与a垂直，则是()A. -1B. 1C. —2D. 25.已知向量a、b满足a| 1, b 4,，且agD 2，则a与b的夹角为（）A. — B60，+ ，则P的轨迹一6.设向量a=(1, —2),b=( —2,4),c=( —1, —2),若表示向量4a,4b—2c,2（a—c）,d的有向线段首尾相接能构成四边形，贝卩向A.(2,6)B.( —2,6)C.(2, —6)D.( —2,—6)7•如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )8. 在平行四边形ABC ［中，AC 与 BD 交于点O, E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC a , BD b ,则AF( )1 r i r2 r 1 r 1 r 1 r 1 r 2 r A . — a —b B. —a —b C. —a —b D. —a - b4 2 3 3 — 4339. 已知点M — (6, 2)和M — (1, 7),直线y=mx — 7与线段M — M —的交点分有向线段M —M —的比为3: 2,则m 的值为 3 2 1 A -B -C —D 423410. 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 v (4, 3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为 v 个单位).设开始时点P 的坐标为(一10, 10),则5秒后点P 的坐标为() A (-2, 4)B(-30, 25) C (10, -5)D (5, -10)11. ( 2007上海)直角坐标系 xOy 中，r , r 分别是与X , y 轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC 中，若AB 2i j, AC 3i k j ，则k 的可能值个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4十八，， t - uur uuu uuu UUU uuur uuu r 「uur uuuuir _ uuu12. 设 D 、E 、F 分别是△ ABC的三边BC 、CA 、AB 上的点，且 DC 2BD,CE 2EA, AF2FB,则 AD BECF 与 BC ( )A. AB = DCB. AD + AB = ACC. AB — AD = BDD. AD + CB = 0A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直二：填空题(共四题，每题4分，共14分)13.若三点 A(2,2), B(a,0), C(0,b)(ab 0)共线，则--的值等于a b14.已知直线ax +by + c = 0与圆O : x 1 2 + y 2= 1相交于A 、B 两点，且|AB| = .3，则OA OB15-已知向量(1'0),°B (1 cos ,3 sin)，则向量与向量的夹角的取值范围是韦.16.关于平面向量a, b, c .有下列三个命题: ①若 ag) = aop ，贝卩 b c .②若 a (1，k)， b ( 2,6)， a // b ，贝S k 3。

河北省石家庄市高中数学第二章平面向量综合练习(含解析)新人教A版必修3

第二章平面向量第Ⅰ卷（共60分）一、选择题1.在ABC ∆中，AB AC =，,D E 分别是,AB AC 的中点，则（）A ．AB u u u r 与AC u u u r 共线 B ．DE u u u r 与CB u u u r 共线 C ．AD u u u r 与AE u u u r 相等 D ．AD u u u r 与BD u u u r 相等2.下列命题正确的是（） A ．向量AB u u u r 与BA u u u r 是两平行向量B ．若,a b r r 都是单位向量，则a b =r rC ．若AB DC =u u u r u u u r ，则,,,A B CD 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r ，其中,R αβ∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为（）A ．32110x y +-=B ．22(1)(1)5x y -+-=C ．20x y -=D ．250x y +-= 4.已知,a b r r 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角是（）A ．6π B ．3π C. 23π D ．6π5 5.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点,A C ），则AP =u u u r （）A ．()AB AD λ+u u u r u u u r ，(0,1)λ∈ B ．()AB BC λ+u u u r u u u r ，2(0,)2λ∈ C. ()AB AD λ-u u u r u u u r ，(0,1)λ∈ D ．()AB BC λ-u u u r u u u r ，22λ∈ 6.ABC ∆中，,,D E F 分别是,,AB BC AC 的终点，则DF =u u u r （）A ．EF ED +u u u r u u u rB ．EF DE -u u u r u u u r C. EF AD +u u u r u u u r D ．EF AF +u u u r u u u r7.若平面向量a r 与b r 的夹角为60°，||4b =r ，(2)(3)72a b a b +-=-r r r r •，则向量a r 的模为（）A ．2B ．4 C.6 D ．128.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r •••，则点O 是ABC ∆的（）A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点 D ．三条高的交点9.在四边形ABCD 中，2AB a b =+u u u r r r ，4BC a b =--u u u r r r ，53CD a b =--u u u r r r ，其中,a b r r 不共线，则四边形ABCD为（）A ．平行四边形B ．矩形 C.梯形 D ．菱形10.如图，梯形ABCD 中，||||AD BC =u u u r u u u r ，////EF AB CD u u u r u u u r u u u r ，则相等向量是（）A ．AD u u u r 与BC uuu rB ．OA u u u r 与OB uuu r C. AC u u u r 与BD u u u r D ．EO uuu r 与OF u u u r二、填空题11.已知向量(,12)OA k =u u u r ，(4,5)OB =u u u r ，(,10)OC k =-u u u r ，且,,A B C 三点共线，则k = ．12.已知向量2(3,34)a x x x =+--r 与MN u u u u r 相等，其中(1,3)(1,3)M N -，，则x = ．13.已知平面上,,A B C 三点满足，||3||4AB BC ==u u u r u u u r ，，||5CA =u u u r ，则AB BC BC CA CA AB ++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r •••的值等于．14.给定两个向量(3,4)(2,1)a b ==-r r ，，且()()a mb a b +⊥-r r r r ，则实数m 等于．15.已知,,A B C 三点不共线，O 是ABC ∆内的一点，若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r ，则O 是ABC ∆的．16.设平面内有四边形ABCD 和点O ，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，OD d =u u u r r ，若a c b d +=+r r r r ，则四边形ABCD 的形状是．三、解答题17. 已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若点P 满足()AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r ，试求λ为何值时，点P 在第三象限内？18. 如图，已知ABC ∆，(7,8)(3,5)(4,3)A B C ，，，M N D ，，分别是AB AC BC ，，的中点，且MN 与AD 交于F ，求DF u u u r .19. 如图，在正方形ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，求证：AF DE ⊥（利用向量证明）.20. 已知向量(cos ,sin )a θθ=r ，向量3,1)b =-r ，则|2|a b -r r 的最大值.参考答案一、选择题1-5: BADBA 6-10:DCDCD二、填空题 11. 23- 12.-1 13.-25 14.233 15.重心 16.平行四边形三、解答题17. 1λ<-.解析：设点P 的坐标为(,)x y ，则(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r .(5,4)(2,3)[(7,10)(2,3)]AB AC λλ+=-+-u u u r u u u r(3,1)(5,7)λ=+(35,17)λλ=++.AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r Q ，(2,3)(35,17)x y λλ∴--=++.235317x y λλ-=+⎧∴⎨-=+⎩，即5547x y λλ=+⎧⎨=+⎩.要使点P 在第三象限内，只需550470λλ+<⎧⎨+<⎩，解得1λ<-. 18.7(,2)4DF =u u u r .解析：(7,8)(3,5)(4,3)A B C Q ，，，(4,3)(3,5)AB AC =--=--u u u r u u u r ，.又D 是BC 的中点，11()(43,35)22AD AB AC ∴=+=----u u u r u u u r u u u r17(7,8)(,4)22=--=--.又,M N 分别是,AB AC 的中点，F ∴是AD 的中点，1177(,4)(,2)2224DF FD AD ∴=-=-=---=u u u r u u u r u u u r .19.证明：设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则12AF a b =+u u u r r r ，12ED b a =-u u u r r r . 2211113()()22224AF ED a b b a b a a b ∴=+-=-+u u u r u u u r r r r r r r r r •••. 又AB AD ⊥u u u r u u u r ，且||||AB AD =u u u r u u u r ，22a b ∴=r r ，0a b =r r •.0AF ED ∴=u u u r u u u r •，AF ED ∴⊥u u u r u u u r .本题也可以建平面直角坐标系后进行证明.20.分析：思路1：2(2cos 3,2sin 1)a b θθ-=-+r r ，∴222|2|(2cos 3)(2sin 1)84sin 43a b θθθθ-=++=+-r r .又4sin 438(sin cos cos sin )8sin()333πππθθθθθ-=-=-，最大值为8， 2|2|a b ∴-r r 的最大值为16，∴|2|a b -r r 的最大值为4. 思路2：将向量2,a b r r 平移，使它们的起点与原点重合，则|2|a b -r r 表示2,a b r r 终点间距离.|2|2a =r ，所以2ar 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b r 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，||PQ 的最大值为直径的长为4.。

高中向量题集(含答案)【强烈推荐】

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D.二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）11．在三角形ABC中，点D是AB的中点，且满足，则12．设是两个不共线的向量，则向量b=与向量a=共线的充要条件是_______________13．圆心为O，半径为4的圆上两弦AB与CD垂直相交于点P，若以PO为方向的单位向量为b，且|PO|=2，则=_______________14．已知O为原点，有点A（d,0）、B（0，d），其中d>0，点P在线段AB上，且（0≤t≤1），则的最大值为______________三、解答题15．（12分）设a,b是不共线的两个向量,已知若A、B、C三点共线,求k的值.16．（12分）设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值17．（14分）已知|a|=，|b|=3，a与b夹角为，求使向量a+b 与a+b的夹角是锐角时，的取值范围20．已知向量、、、及实数、满足，，若，且.⑴求关于的函数关系式及其定义域;⑵若时,不等式恒成立，求实数的取值范围．附加题（可不做）1．已知点P分所成的比为－3，那么点分所成比为（）A． B. C. D.2．点（2，－1）按向量a平移后得（－2，1），它把点（－2，1）平移到（）A．(2,－1) B. (－2,1) C. (6,－3) D. (－6,3))高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1．(文)(2010·东北师大附中)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( ) A．－4 B．4C．－2 D．2[解析] a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|) ＝ eq \f(－12,3) ＝－4.(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于( )A. eq \f(π,6)B. eq \f(π,3)C. eq \f(2π,3)D. eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3)[答案] B[解析] 由条件知， eq \f(a·b,|b|) ＝2， eq \f(a·b,|a|) ＝1，a·b＝4，∴|a|＝4，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a|·|b|) ＝ eq \f(4,4×2) ＝ eq \f(1,2) ，∴〈a，b〉＝ eq \f(π,3) .2．(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2，b＝xe1＋3e2，如果a⊥b，那么实数x等于( )A．－ eq \f(9,2) B. eq \f(9,2)C．－2 D．2[解析] 由条件知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2.(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是( )A．t＋k＝1 B．t－k＝1C．t·k＝1 D．t－k＝0[答案] D[解析] m＝ta＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－kb＝(2＋k,1－2k)，∵m⊥n，∴m·n＝(2t－1)(2＋k)＋(t＋2)(1－2k)＝5t －5k＝0，∴t－k＝0.3．(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则 eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) 等于( )A．－16 B．－8C．8 D．16[答案] D[解析] 因为∠C＝90°，所以 eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝0，所以 eq\o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(CB,\s\up6(→)) )· eq\o(AC,\s\up6(→)) ＝| eq \o(AC,\s\up6(→)) |2＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝AC2＝16.(理)(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB， eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) ，| eq \o(AD,\s\up6(→)) |＝1，则 eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝( ) A．2 eq \r(3) B. eq \f(\r(3),2)C. eq \f(\r(3),3)D. eq \r(3)[答案] D[解析] ∵ eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq\o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \r(3) eq\o(BD,\s\up6(→)) )· eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＋ eq\r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ，又∵AB⊥AD，∴ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(AC,\s\up6(→)) · e q \o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) · eq\o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) | eq \o(BD,\s\up6(→)) |·| eq \o(AD,\s\up6(→)) |·cos∠ADB ＝ eq \r(3) | eq \o(BD,\s\up6(→)) |·cos∠ADB＝ eq \r(3) ·| eq \o(AD,\s\up6(→)) |＝ eq \r(3) .4．(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )A．150° B．120°C．60° D．30°[答案] B[解析] ∵a＋b＝c，|a|＝|b|＝|c|≠0，∴|a＋b|2＝|c|2＝|a|2，∴|b|2＋2a·b＝0，∴|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－ eq \f(1,2) ，∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.5．(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t满足 eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝2t eq \o(PA,\s\up6(→)) ＋t eq \o(OB,\s\up6(→)) ，则 eq \f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|) ＝( )A. eq \f(1,3)B. eq \f(1,2)C．2 D．3[答案] B[解析] ∵ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝2t( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) )＋t eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2t,2t＋1) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(t,2t＋1) eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∵P在直线AB上，∴ eq \f(2t,2t＋1) ＋ eq \f(t,2t＋1) ＝1，∴t＝1，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq\o(OA,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up6(→)) ，eq \o(PB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq\o(OB,\s\up6(→)) － eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝－2 eq \o(PA,\s\up6(→)) ，∴ eq \f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(1,2) .6．(文)平面上的向量 eq \o(MA,\s\up6(→)) 、 eq \o(MB,\s\up6(→)) 满足| eq \o(MA,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(MB,\s\up6(→)) |2＝4，且 eq \o(MA,\s\up6(→)) · eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝0，若向量 eq \o(MC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(MB,\s\up6(→)) ，则| eq \o(MC,\s\up6(→)) |的最大值是( )A. eq \f(1,2) B．1C．2 D. eq \f(4,3)[答案] D[解析] ∵ eq \o(MA,\s\up6(→)) · eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(MA,\s\up6(→)) ⊥ eq\o(MB,\s\up6(→)) ，又∵| eq \o(MA,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(MB,\s\up6(→)) |2＝4，∴|AB|＝2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点A(－1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2＋y2＝1，eq \o(MA,\s\up6(→)) ＝(－1－x，－y)， eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝(1－x，－y)，∵ eq \o(MC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x，－y)) ，∴| eq \o(MC,\s\up6(→)) |2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x)) 2＋y2＝ eq \f(10,9) － eq\f(2,3) x，∵－1≤x≤1，∴x＝－1时，| eq \o(MC,\s\up6(→)) |2取得最大值为 eq \f(16,9) ，∴| eq \o(MC,\s\up6(→)) |的最大值是 eq \f(4,3) .(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则 eq\o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) 的最大值为( )A．8 B．6C．5 D．4[答案] B[解析] 建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD边长为2，∴A(0,0)，N(2，－1)， eq \o(AN,\s\up6(→)) ＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)， eq \o(AM,\s\up6(→)) ＝(x，y)由坐标系可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤x≤2①,－2≤y≤0 ②))∵ eq \o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) ＝2x－y，设2x－y＝z，易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，∴ eq \o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) 的最大值为6，故选B.7．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝ eq \r(7) ，则 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq\o(BC,\s\up6(→)) 等于( )A. eq \f(3,2)B. eq \f(5,2)C．2 D．3[答案] B[解析] eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AO,\s\up6(→)) ·( eq\o(AC,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) － eq\o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AB,\s\up6(→)) ，因为OA＝OB.所以 eq \o(AO,\s\up6(→)) 在 eq \o(AB,\s\up6(→)) 上的投影为 eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |，所以 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(AB,\s\up6(→)) |＝2，同理 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq\o(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) | eq \o(AC,\s\up6(→)) |·| eq \o(AC,\s\up6(→)) |＝ eq \f(9,2) ，故 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(9,2) －2＝ eq \f(5,2) .8．(文)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为( )A. eq \f(π,6)B. eq \f(π,4)C. eq \f(π,3)D. eq \f(π,2)[答案] C[解析] 根据向量夹角公式“cos〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) 求解”．由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝－3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq\f(3,2×3) ＝ eq \f(1,2) ，所以α＝ eq \f(π,3) .9.(理)(2010·黑龙江哈三中)在△ABC中， eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ∈ eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3\r(3),8))) ，其面积S＝ eq \f(3,16) ，则 eq \o(AB,\s\up6(→)) 与 eq \o(BC,\s\up6(→)) 夹角的取值范围是( )A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))B. eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))C. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))D. eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(3π,4)))[答案] A[解析] 设〈 eq \o(AB,\s\up6(→)) ， eq \o(BC,\s\up6(→)) 〉＝α，∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq\o(BC,\s\up6(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |cosα，S＝ eq \f(1,2) | eq\o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |·sin(π－α)＝ eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq\o(BC,\s\up6(→)) |·sinα＝ eq \f(3,16) ，∴| eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |＝ eq\f(3,8sinα) ，∴ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(3cosα,8sinα) ＝ eq \f(3,8) cotα，由条件知 eq \f(3,8) ≤ eq \f(3,8) cotα≤ eq \f(3\r(3),8) ，∴1≤cotα≤ eq \r(3) ，∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) >0，∴α为锐角，∴ eq \f(π,6) ≤α≤ eq \f(π,4) .10.(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且 eq \o(BF,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(FA,\s\up6(→)) ，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则 eq \o(FD,\s\up6(→)) · eq \o(FE,\s\up6(→)) 的值是( )A．－ eq \f(3,4) B．－ eq \f(8,9)C．－ eq \f(1,4) D．不确定[答案] B[解析] ∵ eq \o(BF,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(FA,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(FA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up6(→)) ，∴| eq \o(FA,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,3) | eq \o(BA,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,3) ，eq \o(FD,\s\up6(→)) · eq \o(FE,\s\up6(→)) ＝( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up6(→)) )·( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AE,\s\up6(→)) )＝( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up6(→)) )·( eq \o(FA,\s\up6(→)) － eq \o(AD,\s\up6(→)) )＝| eq \o(FA,\s\up6(→)) |2－| eq \o(AD,\s\up6(→)) |2＝ eq \f(1,9) －1＝－ eq \f(8,9) .二、填空题11．(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(DC,\s\up6(→)) )·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝______.[答案] 5[解析] 设AC与BD相交于点O，则( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(DC,\s\up6(→)) )·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝[( eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OA,\s\up6(→)) )＋( eq \o(OC,\s\up6(→)) － eq\o(OD,\s\up6(→)) )]·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝[( eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OD,\s\up6(→)) )＋( eq \o(OC,\s\up6(→)) － eq\o(OA,\s\up6(→)) )]·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝( eq \o(DB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝| eq \o(AC,\s\up6(→)) |2－| eq \o(BD,\s\up6(→)) |2＝5.12．(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若| eq \o(OA,\s\up6(→)) |＝7，| eq \o(OB,\s\up6(→)) |＝5，则 eq \o(OP,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) －eq \o(OB,\s\up6(→)) )的值为________．[答案] 12[解析] eq \o(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OA,\s\up6(→)) ， eq \o(PB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up6(→)) ，由条件知，| eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＝49，| eq \o(OB,\s\up6(→)) |2＝25，| eq \o(PA,\s\up6(→)) |＝| eq \o(PB,\s\up6(→)) |，∴| eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＝| eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq\o(OB,\s\up6(→)) |2，即| eq \o(PO,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＋2 eq \o(PO,\s\up6(→)) · eq\o(OA,\s\up6(→)) ＝| eq \o(PO,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(OB,\s\up6(→)) |2＋2 eq \o(PO,\s\up6(→)) · eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PO,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OB,\s\up6(→)) )＝－12，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OB,\s\up6(→)) )＝12.13.(理)(2010·广东茂名市)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足 eq\o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )，则λ＝ eq \f(1,2) 时， eq \o(PA,\s\up6(→)) ·( eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) )的值为______．[答案] 0[解析] 由已知得 eq \o(OP,\s\up6(→)) － eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(AC,\s\up6(→)) )，即 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )，当λ＝ eq \f(1,2) 时，得 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(AC,\s\up6(→)) )，∴2 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) ，即 eq \o(AP,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up6(→)) － eq \o(AP,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PC,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) ＝eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BP,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(PA,\s\up6(→)) ·( eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) )＝ eq \o(PA,\s\up6(→)) ·0＝0，故填0.三、解答题16．(文)(延边州质检)如图，在四边形ABCD中，AD＝8，CD＝6，AB＝13，∠ADC＝90°且 eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝50.(1)求sin∠BAD的值；(2)设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求 eq \f(S△ABD,S△BCD) 的值．[解析] (1)在Rt△ADC中，AD＝8，CD＝6，则AC＝10，cos∠CAD＝ eq \f(4,5) ，sin∠CAD＝ eq \f(3,5) ，又∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝50，AB＝13，∴cos∠BAC＝ eq \f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(5,13) ，∵0<∠BAC∠180°，∴sin∠BAC＝ eq \f(12,13) ，∴sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝ eq \f(63,65) .(2)S△BAD＝ eq \f(1,2) AB·ADsin∠BAD＝ eq \f(252,5) ，S△BAC＝ eq \f(1,2) AB·ACsin∠BAC＝60，S△ACD＝24，则S△BCD＝S△ABC＋S△ACD－S△BAD＝ eq \f(168,5) ，∴ eq \f(S△ABD,S△BCD) ＝ eq \f(3,2) .(理)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.[分析] 要证明AD⊥BC，则只需要证明 eq \o(AD,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝0，可设 eq\o(AD,\s\up6(→)) ＝m， eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝c， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝b，将 eq \o(BC,\s\up6(→)) 用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决．证明：设 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝c， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝b， eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝m，则 eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝m－c， eq \o(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝m－b.∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，∴m·(c－b)＝0，即 eq \o(AD,\s\up6(→)) ·( eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) )＝0，∴ eq \o(AD,\s\u p6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝0，∴AD⊥BC.17．(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足( eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) )· eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝0，求t的值．[解析] (1)由题设知 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝(3,5)， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(－1,1)，则 eq\o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(2,6)， eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(4,4)．所以| eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) |＝2 eq \r(10) ，| eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq\o(AC,\s\up6(→)) |＝4 eq \r(2) .故所求的两条对角线长分别为4 eq \r(2) ，2 eq \r(10) .(2)由题设知 eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)， eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝(3＋2t,5＋t)．由( eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) )· eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝0得，(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，所以t＝－ eq \f(11,5) .(理)(安徽巢湖质检)已知A(－ eq \r(3) ，0)，B( eq \r(3) ，0)，动点P满足| eq \o(PA,\s\up6(→)) |＋| eq \o(PB,\s\up6(→)) |＝4.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点，求 eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围．[解析] (1)动点P的轨迹C的方程为 eq \f(x2,4) ＋y2＝1；(2)解法一：①当直线l的斜率不存在时，M(1， eq \f(\r(3),2) )，N(1，－ eq \f(\r(3),2) )， eq\o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) ；②当直线l的斜率存在时，设过(1,0)的直线l：y＝k(x－1)，代入曲线C的方程得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(8k2,1＋4k2) ，x1x2＝ eq \f(4k2－1,1＋4k2) .eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2＝ eq \f(k2－4,1＋4k2) ＝ eq \f(1,4) － eq \f(\f(17,4),1＋4k2) < eq \f(1,4) .又当k＝0时， eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 取最小值－4，∴－4≤ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) < eq \f(1,4) .根据①、②得 eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围为[－4， eq \f(1,4) ]．解法二：当直线l为x轴时，M(－2,0)，N(2,0)， eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝－4. 当直线l不为x轴时，设过(1,0)的直线l：x＝λy＋1，代入曲线C的方程得(4＋λ2)y2＋2λy－3＝0.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则y1＋y2＝ eq \f(－2λ,4＋λ2) ，y1y2＝ eq \f(－3,4＋λ2) .eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝(λ2＋1)y1y2＋λ(y1＋y2)＋1＝ eq \f(－4λ2＋1,4＋λ2) ＝－4＋ eq \f(17,4＋λ2) ∈(－4， eq \f(1,4) ]．∴－4≤ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ≤ eq \f(1,4) .∴ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围为[－4， eq \f(1,4) ]．高中数学平面向量章末复习题（二）【提高篇】一、选择题1、下面给出的关系式中正确的个数是（ C ）① ②③④⑤(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且=，＝，则＝（ B ）（A） + （B）－（C）＋（D）－3．已知ABCDEF是正六边形，且＝，＝，则＝（ D ）（A）（B）（C）＋（D）4. 设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4 a－b，＝－5 a－3 b，则下列关系式中正确的是（B ）（A）＝（B）＝2 （C）＝－（D）＝－25. 设与是不共线的非零向量，且k＋与＋k共线，则k的值是（ C ）（A） 1 （B）－1 （C）（D）任意不为零的实数6. 在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足－,则等于 ( A )A. B. C. D.7．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a＋3b丨＝（ C ）A．B．C． D．48．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（ D ）。

空间向量综合测试(含答案)

空间向量综合测试一、选择题：本题共12小题，每小题5分1．已知A (3，2，1)，B (1，0，4)，则线段AB 的中点坐标和|AB →|是( )A.⎝⎛⎭⎫2，1，52，17B.⎝⎛⎭⎫2，－1，52，17C.⎝⎛⎭⎫2，1，－52，17D.⎝⎛⎭⎫2，－1，－52，17 2．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D.－a ＋b －c3．平面α的法向量u ＝(1，2，－1)，平面β的法向量v ＝(λ2，2，8)，若α⊥β，则λ的值是( ) A ．2 B ．－2C ．±2 D.不存在4．在空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3，5，2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A ．(2，3，3)B ．(－2，－3，－3)C ．(5，－2，1) D.(－5，2，－1)5．已知四面体ABCD 的所有棱长都是2，点E ，F 分别是AD ，DC 的中点，则EF →·BA →＝( ) A ．1 B ．－1C.3D.－ 36．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则与直线CE 垂直的直线是( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D.A 1A7．已知a ＝3m －2n －4p ≠0，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ，且m ，n ，p 不共面，若a ∥b ，则x ，y 的值为( )A ．x ＝－13，y ＝8B ．x ＝－13，y ＝5C ．x ＝7，y ＝5 D.x ＝7，y ＝88．已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1 D.29．已知直线l 的方向向量为n ＝(1，0，2)，点A (0，1，1)在直线l 上，则点P (1，2，2)到直线l 的距离为( )A.305 B.30C.3010D.230 10．在四棱锥P -ABCD 中，AB →＝(4，－2，3)，AD →＝(－4，1，0)，AP →＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h ＝( )A ．1B ．2C ．13 D.2611.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC→＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32 B ．3C.74D.9412．三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，N 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，且满足：A 1P →＝λA 1B 1→，则直线PN 与平面ABC 所成角θ取最大值时λ的值为( )A.12B.22C.32D.255一、选择题：本题共12小题，每小题5分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________．14．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2，0)，B (2，1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．15．点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM →·PN →的取值X 围是__________．16．如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE ＝________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)如图所示，在四棱锥M -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB ，AD 的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ＝AB →，b ＝AD →，c ＝AM →，试以a ，b ，c 为基向量表示出向量BN →，并求BN 的长．18．(12分)四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ，M 、N 分别是PC 、AB 的中点，求证：MN ⊥平面PCD .19．(12分)如图所示，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4，将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)若点F 为BE 的中点，求直线AF 与平面ADE 所成角的正弦值．20．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，AG ＝13GD ，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点．(1)求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值；(2)若F 是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求PFFC的值．21．(12分)在△A ′BC 中，A ′B ＝4，A ′C ＝42，∠BA ′C ＝45°，以A ′C 的中线BD 为折痕，将△A ′BD 沿BD 折起，构成二面角A -BD -C ，在平面BCD 内作CE ⊥CD ，且CE ＝2，连接DE ，AE ，AC ，如图所示．(1)求证：CE ∥平面ABD ；(2)若二面角A -BD -C 的大小为90°，求二面角B -AC -E 的余弦值．22．(12分)如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝12CD ＝1，PD ＝ 2.(1)若M 为P A 的中点，求证：AC ∥平面MDE ；(2)求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值；(3)在线段PC 上是否存在一点Q (除去端点)，使得平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为π3？空间向量综合测试答案1.解析：选A.设P (x ，y ，z )是AB 中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)＝12[(3，2，1)＋(1，0，4)]＝⎝⎛⎭⎫2，1，52，d AB ＝|AB →|＝〔3－1〕2＋〔2－0〕2＋〔1－4〕2＝17.2.解析：选D.如图，A 1B →＝AB →－AA 1→＝CB →－CA →－AA 1→＝CB →－CA →－CC 1→＝b －a －c .3.解析：选C.α⊥β⇒u ⊥v ⇒u ·v ＝0⇒λ2＋4－8＝0⇒λ＝±2.4．解析：选B.取AC 中点M ，连接ME ，MF ，则ME →＝12AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，52，1，MF →＝12CD →＝⎝⎛⎭⎫－72，－12，－2，所以EF →＝MF →－ME →＝(－2，－3，－3)，故选B. 5.解析：选B.如图所示，EF →＝12AC →，所以EF →·BA →＝12AC →·(－AB →)＝－12×2×2cos60°＝－1故选B.6.解析：选B.以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则A (0，0，0)，C (1，1，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，所以CE →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，1，AC →＝(1，1，0)，BD →＝(－1，1，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)．显然CE →·BD →＝12－12＋0＝0，所以CE →⊥BD →，即CE ⊥BD .7.解析：选A.因为a ∥b 且a ≠0，所以b ＝λa ，即(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ＝3λm －2λn －4λp . 又因为m ，n ，p 不共面，所以x ＋13＝8－2＝2y－4，所以x ＝－13，y ＝8.8．解析：选C.由于AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝[AA 1→＋12(AB →＋AD →)]·(AB →＋AD →)＝12(AB →＋AD →)2＝12(AB →2＋AD →2)＝1.9.解析：选A.过P 点作PH ⊥l 于H 点，则PH →＝P A →＋AH →，由AH →∥n ，可设AH →＝λn ＝(λ，0，2λ)．所以PH →＝(－1，－1，－1)＋(λ，0，2λ)＝(λ－1，－1，2λ－1)，由PH →⊥n ，得λ－1＋2(2λ－1)＝0，解得λ＝35所以PH →＝⎝⎛⎭⎫－25，－1，15. 因此点P 到l 的距离为|PH →|＝425＋1＋125＝305，选A. 10.解析：选B.设平面ABCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AB →n ⊥AD →，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＋3z ＝0－4x ＋y ＝0，设y＝4，则n ＝⎝⎛⎭⎫1，4，43，所以cos 〈n ，AP →〉＝n ·AP →|n ||AP →|＝－6＋8－323133×226＝－2626，所以h ＝2626×226＝2，故选B.11.解析：选D.由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2. 〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.所以|BP →|2＝(12BA →－12BC →＋BD →)2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94.12.解析：选A.如图，分别以AB →，AC →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，则P (λ，0，1)，N ⎝⎛⎭⎫12，12，0，PN →＝(12－λ，12，－1)．易得平面ABC 的一个法向量n ＝(0，0，1)，则直线PN 与平面ABC 所成的角θ满足：sin θ＝|cos 〈PN →，n 〉|＝1⎝⎛⎭⎫λ－122＋54，于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以当sin θ最大时，θ最大．所以当λ＝12时，sin θ最大，为255，同时直线PN 与平面ABC 所成的角θ取到最大值．13解析：A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →〉＝2a ×2a ×cos 60°＝a 2.答案：a 214解析：设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t ，0)(t ≠0)．又AB →＝(1，3，6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n |·|AB →|＝3t 4|t |，因为〈n ，AB →〉∈[0，π]，所以sin 〈n ，AB →〉＝1－⎝⎛⎭⎫3t 4|t |2＝74答案：7415解析：由题意知内切球的半径为1，设球心为O ，则PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝OP 2→＋PO →·(OM →＋ON →)＋OM →·ON →＝|PO →|2－1.因为1≤|OP →|≤5，所以PM →·PN →∈[0，4]．答案：[0，4]16.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a ，0，0)，B 1(0，0，3a )，C (0，2a ，0)．设点E 的坐标为(2a ，0，z )，则CE →＝(2a ，－2a ，z )，B 1E →＝(2a ，0，z －3a )．由CE →⊥B 1E →，得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a ，即AE ＝a 或2a .答案：a 或2a17.解：BN →＝BC →＋CN →＝AD →＋12CM →＝AD →＋12(AM →－AC →)＝AD →＋12[AM →－(AD →＋AB →)]＝－12AB →＋12AD →＋12AM →.所以BN →＝－12a ＋12b ＋12c ，|BN →|2＝BN →2＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c 2＝14(a 2＋b 2＋c 2－2a·b －2a·c ＋2b·c )＝174，所以|BN →|＝172，即BN 的长为172.18.证明：建立空间直角坐标系如图所示，设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b ，则P (0，0，a )，D (0，a ，0)，B (b ，0，0)，C (b ，a ，0)，N ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，M ⎝⎛⎭⎫b 2，a 2，a2，所以MN →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，－a 2，DC →＝(b ，0，0)，PC →＝(b ，a ，－a )，所以MN →·PC →＝－a 22＋a 22＝0，MN →·DC →＝0，所以MN →⊥PC →，MN →⊥DC →，即MN ⊥PC ，MN ⊥DC ，又因为PC ∩DC ＝C ，MN ⊄平面PCD ，所以MN ⊥平面PCD .19.解：(1)证明：在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ，即BD 2＝4＋16－16×12＝12，所以BD ＝23，所以BD 2＋AB 2＝AD 2，所以△ABD 和△EBD 均为直角三角形，所以ED ⊥DB .又DB 是平面EBD 和平面ABD 的交线，且平面EBD ⊥平面ABD ，ED ⊂平面EBD ，所以ED ⊥平面ABD .又AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥DE .(2)由(1)知∠ABD ＝∠CDB ＝90°，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则D (0，0，0)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，2)，A (23，－2，0)，F (3，0，1)，所以DA →＝(23，－2，0)，DE →＝(0，0，2)，AF →＝(－3，2，1)．设平面ADE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧23x －2y ＝0，2z ＝0.令x ＝1，则y ＝ 3.又z ＝0，所以n ＝(1，3，0)．设直线AF 与平面ADE 所成的角为α，则有sin α＝|cos 〈n ，AF →〉|＝|n ·AF →||n ||AF →|＝32×22＝68.20.解：(1)以G 点为原点，GB ，GC ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE →＝(1，1，0)，PC →＝(0，2，－4)．因为cos 〈GE →，PC →〉＝GE →·PC →|GE →||PC →|＝22×25＝1010，所以GE 与PC 所成角的余弦值为1010.(2)因为GD →＝34BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0，所以D ⎝⎛⎭⎫－32，32，0. 设F (0，y ，z )，则DF →＝(0，y ，z )－⎝⎛⎭⎫－32，32，0＝⎝⎛⎭⎫32，y －32，z . 因为DF →⊥GC →，所以DF →·GC →＝0，即⎝⎛⎭⎫32，y －32，z ·(0，2，0)＝2y －3＝0，所以y ＝32. 又点F 在PC 上，所以PF →＝λPC →，即⎝⎛⎭⎫0，32，z －4＝λ(0，2，－4)，所以z ＝1，故F ⎝⎛⎭⎫0，32，1，所以PF →＝⎝⎛⎭⎫0，32，－3，FC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，所以PF FC ＝35252＝3. 21.解：(1)证明：由AB ＝4，A ′C ＝42，∠BA ′C ＝45°，得BC ＝4，所以△A ′BC 为等腰直角三角形，又D 为A ′C 的中点，所以BD ⊥A ′C .所以折起后BD ⊥CD .又CE ⊥CD ，所以CE ∥BD ，因为CE ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CE ∥平面ABD .(2)由二面角A -BD -C 的大小为90°，AD ⊥BD ，得AD ⊥平面BCD ，由(1)知BD ⊥CD ，于是以D 为坐标原点，分别以DB ，DC ，DA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设F 为AC 的中点，连接DF ，则DF ⊥AC ，且DF ＝2.因为CE ⊥CD ，AD ⊥平面BCD ，所以CE ⊥平面ACD ，所以DF ⊥CE ，所以DF ⊥平面ACE . 易求得BD ＝CD ＝AD ＝22，所以D (0，0，0)，B (22，0，0)，C (0，22，0)，A (0，0，22)，F (0，2，2)．所以平面ACE 的一个法向量为DF →＝(0，2，2)．又AB →＝(22，0，－22)，AC →＝(0，22，－22)，设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，所以x ＝y ＝z ，取n ＝(1，1，1)为平面ABC 的一个法向量．所以cos 〈n ，DF →〉＝n ·DF →|n ||DF →|＝63，根据图形可知二面角B -AC -E 的余弦值为－63. 22.解：(1)证明：如图，在矩形PDCE 中，设PC 交DE 于点N ，则点N 为PC 的中点．连接MN .在△APC 中，点M 为P A 的中点，点N 为PC 的中点，所以AC ∥MN . 又MN ⊂平面MDE ，AC ⊄平面MDE ，所以AC ∥平面MDE .(2)由∠ADC ＝90°，得AD ⊥CD ，由平面PDCE ⊥平面ABCD ，且平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，得AD ⊥平面PDCE ，所以AD ⊥PD .在矩形PDCE 中，PD ⊥CD ，则DA ，DC, DP 两两垂直．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，P (0，0，2)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，所以AP →＝(－1，0，2)，CP →＝(0，－2，2)，BC →＝(－1，1，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CP →·n ＝－2y ＋2z ＝0BC →·n ＝－x ＋y ＝0，取n ＝(1，1，2)．设直线P A 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|AP →·n ||AP →||n |＝36.所以直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为36.(3)假设存在点Q 满足条件，则可设CQ →＝λCP →(0<λ<1)，得Q (0，2－2λ，2λ)．又DA →＝(1，0，0)，DQ →＝(0，2－2λ，2λ)，设平面QAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧DA →·n 1＝x 1＝0DQ →·n 1＝〔2－2λ〕y 1＋2λz 1＝0，令y 1＝2λ，则n 1＝(0，2λ，2λ－2)．由平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角为π3，得cos π3＝|n 1·n ||n 1||n |＝|32λ－22|2×2λ2＋4〔λ－1〕2＝12，所以λ＝13或λ＝1(舍去)，所以所求点Q 为线段CP 上靠近点C 的一个三等分点，即在线段PC 上存在点Q 满足条件．4．〔2018全国卷Ⅲ〕如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．MDC B A5．(2018XX)如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；(2)求二面角E BC F --的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60，求线段DP 的长．NABC DEFGM。

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高中苏教数学④2.1～2.2综合测试题
一、选择题
1．已知A ={}与共线的向量a ，B ={}与长度相等的向量a ，
C ={}与长度相等，方向相反的向量a ，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是（）
Ａ．C A Ü Ｂ．A B C = Ｃ．C B Ü
Ｄ．A B C Ý
答案：Ｂ
2．化简以下各式： ①AB BC CA ++ ；②AB AC BD CD -+- ；③OA OD AD -+ ；④NQ QP MN MP ++-
．其结果为0的个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
答案：Ｄ
3．若13AB = e ，15CD =- e ，AD BC =
，1≠0e ，则四边形ABCD 是（）
Ａ．平行四边形Ｂ．菱形Ｃ．等腰梯形Ｄ．直角梯形
答案：Ｃ 4．设12，e e 是不共线向量，若向量1235=+a e e 与向量123m =-b e e 共线，则m 的值等于（）
Ａ．95-
Ｂ．53-
Ｃ．35-
Ｄ．59
-
答案：Ａ
5．若点M 是ABC △的重心，则下列向量中与AB
共线的是（）
Ａ．AB BC AC ++
Ｂ．AM MB BC ++ Ｃ．AM BM CM ++
Ｄ．
3AM AC +
答案：Ｃ
二、填空题
6．已知数轴上三点A B C ，，，其中点A B ，的坐标分别为36-，，且2CB = ，则AB =
，
点C 的坐标为．
答案： 9；4或8
7．在ABC △中，M 是BC 边靠近B 点的三等分点，若AB AC == ，a b ，则AM =
．
答案：2133
+a b
8．ABC △是边长为1的正三角形，点O 是平面上任意一点，则2OA OB OC +-=
．
三、解答题
9．O 是ABC △内一点，OA OB OC ++=0
，试证O 为ABC △的重心．
证明：如图，延长AO 到E ，使OE AO =，交BC 于F ，则OE OA =- ．
而由OA OB OC ++=0
，有OB OC OA +=- ， OB OC OE += ∴，
∴四边形OBEC 为平行四边形．
OE ∴平分BC ，即AO 所在的直线为ABC △的边BC 上的中线．同理可证，CO BO ，所在的直线分别为AB AC ，边上的中线． O ∴为ABC △的重心．
10．已知12122323=-=+，a e e b e e ，其中12，e e 不共线，向量1229=-c e e ，问是否存在这样的实数λμ，，使λμ=+d a b 与c 共线．
解：假设存在满足条件的λμ，，
则λμ=+d a b 121212(23)(23)(22)(33)λμλμμλ=-++=++-e e e e e e ． ∵d 与c 共线，则存在实数k ，使k =d c ．
即1212(22)(33)29k k λμμλ++-=-e e e e ． 222339k k λμμλ+=⎧⎨
-=-⎩
，
．∴解得2λμ=-． ∴存在实数λμ，，满足2λμ=-时，d 与c 共线．
11．如图1，在ABC △中，13AM AB =，1
4
AN AC =，
BN 与CM 交于点P ，且AB AC == ，a b ，用，a b 表示AP
．
解：如图1，由
13AM AB =，1
4
AN AC =，有1133AM AB == a ，11
44
AN AC == b ．
M P C ，，∵三点共线，设()MP tMC t AC AM ==- ， 1113333t AP AM MP t t ⎛
⎫⎛⎫=+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ a b a a b ．
同理：由N P B ，，三点共线，可设NP sNB =
， 144s AP s ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
∴·b a ．
133144
t s s t ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，．∴解得311211s t ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．
∴32
1111
AP =+ a b ．
12．如图2所示，已知ABC △的两边AB AC ，的中点分别为M N ，，在BN 的延长线上取点
P ，使NP BN =，在CM 的延长线上取点Q ，使MQ CM =．试证明：P A Q ，，三点共线．
证明：如图2
2AP AB BP AB BN =+=+
1222AB BC CA AB BC CA AB BC BC CA BC ⎛⎫=++=++=+++= ⎪⎝⎭
．
同理可得，1222AQ AC CQ AC CM AC CB BA CB ⎛⎫=+=+=++= ⎪⎝⎭
．
AP AQ =- ∴．
AP ∴与AQ
平行且有公共点A ． A P Q ，，∴三点共线．。