重庆市渝中区2021届新高考数学第一次调研试卷含解析

重庆市渝中区2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A B ．C ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，列出方程，求出m 的值即可.【详解】∵双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，12=，∴4m =，∴双曲线的离心率2c e a ==. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 2．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个【答案】B 【解析】 【分析】圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(F ，0)，这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．3．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =（ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}AB =.故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.4．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 5．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( )A B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】将AO 、EC 用AB 、AC 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅中计算即可. 【详解】由0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=()AB AC +，又2AE EB =， 所以23EC AC AE AC AB =-=-，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅2()3AC AB -2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅，所以2223AB AC =，||322||AB AC λ===.故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题. 6．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A ．12i + B ．12i -+C ．12i --D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】() 22112i i i i +=-=-+.故选B 【点睛】7．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 8．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出a 的最大值． 【详解】解：把函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()sin(2)3g x x π=-的图象， 若函数()g x 在区间[0，]a 上单调递增， 在区间[0，]a 上，2[33x ππ-∈-，2]3a π-，则当a 最大时，232a ππ-=，求得512a π=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题． 9．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞，()[)1,U A B ∴=+∞.故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.10．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．255-B ．55-C ．55D ．25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβ，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β 依题有OA OB ⊥,则90αβ，所以25，本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题. 11．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ） A ．3 B ．5C ．3D ．5【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -= 解得5z = 本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力. 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cmD ．()2454cm【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.1422⨯⨯=所以该几何体的表面积是()24cm .故选：D 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设(,)P x y 为椭圆2211612x y +=在第一象限上的点，则346x y x y +--的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值． 【详解】解：设点(4cos P α，)α，其中02πα<<，∴33443(6)18()()464646x y x y x y x y x y x y -+-++=-+=-+------ 4184184()44646x y x y=--+=-++----，由4cos x α=，y α=，02πα<<，可设41844644cos z x y α=+=+---11cos α=-，导数为2sin (1cos )z αα'=-+-由0z '=，可得23323sin sin αααααα-+--+22sin )(36cos 3cos sin cos )0αααααααα=---+++=，sin 0αα-=或2236cos 3cos sin cos 0αααααα--+++=，由3)2cos225)2sin(2)336πππααααα-+++=-+++223)4sin ()(2sin()0333πππααα=-+++=+>，(0)2πα<<，由03πα<<可得函数z 递减；由32ππα<<，可得函数z 递增， 可得3πα=时，函数z取得最小值，且为18112=-，则346x y x y+--的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题． 14．在8的展开式中，x 的系数等于__．【答案】7 【解析】 【分析】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，即可得到本题答案.【详解】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，得x 的系数338172C ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：7 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属基础题. 15．若12x ≤且0x ≠时，不等式22ax x a x --≥恒成立，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】 【分析】将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对a 的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出a 的取值范围.因为22ax x a x --≥，所以()()2222ax x a x --≥，所以()()2222ax x a x --≥，所以()()22220ax x a x ax x a x -----+≥，所以22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩或2230ax x a ax x a ⎧--≤⎨+-≤⎩，当0a =时，2x x ≥对12x ≤且0x ≠不成立， 当0a >时，取12x =，22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩显然不满足，所以22300ax x a ax x a ⎧--≤⎨+-≤⎩，所以13042130421104211042a a a a a a a a ⎧⎛⎫⋅+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⋅--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪⋅--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a ≥；当0a <时，取12x =-，22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩显然不满足，所以22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩，所以13042130421104211042a a a a a a a a ⎧⎛⎫⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⋅--≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪⋅--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a ≤-，综上可得a 的取值范围是：(][),22,-∞-+∞.故答案为：(][),22,-∞-+∞.【点睛】本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；（2）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.16．已知等比数列{}n a 满足公比1q ≠，n S 为其前n 项和，2S ，4S ，6S 构成等差数列，则2020S =_______． 【答案】0 【解析】利用等差中项以及等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】由2S ，4S ，6S 是等差数列可知()24242622110S S S q q q =+⇒=+⇒-=因为1q ≠，所以1q =-，20200S = 故答案为：0 【点睛】本题考查了等差中项的应用、等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 三、解答题：共70分。