最新版概率统计简明教程期末复习题(答案)
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
概率统计简明教程期末试卷
概率统计简明教程期末试卷本文为概率统计的期末试卷，试卷共计5道大题，分值总计100分。
每道大题后面有提示性文字，以帮助读者更好的理解和解答。
第一题（20分）一枚硬币被扔两次，可能出现4种情况“正正”、“正反”、“反正”、“反反”，而且每种情况出现的概率相等。
某人打算重复这个实验，直到他首先得到“正反”的这样一个序列为止。
他进行了6次实验，试求他得到这样一个序列的概率。
提示：这是一道“条件概率”的题目，需要理解“离散数学”中关于条件概率的概念。
在本题中，每次实验之后的状况都会对后一次实验的结果产生影响。
第二题（20分）某城市每天有10%的可能会下雨，某人带了一个没有防水的普通雨伞出门。
如果下雨了他会淋湿，如果不下雨他不会湿。
他决定在过街天桥下等一段时间，如果下雨继续等雨停，如果未下雨则等一段时间后再离开。
试问他淋湿的概率是多少？提示：这是一道“概率”的题目，需要理解“条件概率”和“贝叶斯定理”的概念。
在本题中，每种情况的概率是已知的，需要通过对概率的计算得出结果。
第三题（20分）已知随机变量X的分布密度函数为:$$ f(x)=\\begin{cases} (1+6x), & -\\frac13 \\leqslant x \\leqslant 0 \\\\ (1-4x), & 0 \\leqslant x \\leqslant \\frac14 \\\\ 0, & \\text{其它} \\end{cases} $$求该随机变量的分布函数，并求P($\\frac16<X<\\frac14$)的概率值。
提示：这是一道“分布函数”和“密度函数”计算的题目，需要理解两者之间的关系以及在特定区间内对密度函数的积分计算。
第四题（20分）某大学对于录取考生订定了语文和数学成绩的加权平均值达到某个标准才可录取。
现在假设该大学收到两个考生申请，已知第一个考生的语文和数学成绩的期望分别为84和90，方差分别为10和16；第二个考生的语文和数学成绩的期望分别为80和86，方差分别为9和25。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
《概率分析与数理统计》期末考试试题及解答(DOC)
《概率分析与数理统计》期末考试试题及
解答(DOC)
概率分析与数理统计期末考试试题及解答
选择题
1. 以下哪个选项不是概率的性质？
- A. 非负性
- B. 有界性
- C. 可加性
- D. 全备性
答案：B. 有界性
2. 离散随机变量的概率分布可以通过哪个方法来表示？
- A. 概率分布函数
- B. 累积分布函数
- C. 概率密度函数
- D. 方差公式
答案：B. 累积分布函数
计算题
3. 一批产品有10% 的不合格品。
从该批产品中随机抽查5个，计算至少有一个不合格品的概率。
解答：
设事件 A 为至少有一个不合格品的概率，事件 A 的对立事件
为没有不合格品的概率。
不合格品的概率为 0.1，合格品的概率为 0.9。
则没有不合格品的概率为 (0.9)^5。
至少有一个不合格品的概率为 1 - (0.9)^5，约为 0.409。
4. 一个骰子投掷两次，计算至少一次出现的点数大于3的概率。
解答：
设事件 A 为至少一次出现的点数大于3的概率，事件 A 的对立事件为两次投掷点数都小于等于3的概率。
一个骰子点数大于3的概率为 3/6 = 1/2。
两次投掷点数都小于等于3的概率为 (1/2)^2 = 1/4。
至少一次出现的点数大于3的概率为 1 - 1/4，约为 0.75。
以上是《概率分析与数理统计》期末考试的部分试题及解答。
希望对你有帮助！。
概率统计复习题(含答案)
概率论与数理统计复习题（一）一．填空1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。
8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
概率统计期末考试试题及答案
概率统计期末考试试题及答案试题一：随机变量的概率分布某工厂生产的产品合格率为0.9，不合格率为0.1。
假设每天生产的产品数量为100件，求下列事件的概率：1. 至少有80件产品是合格的。
2. 至多有5件产品是不合格的。
试题二：连续型随机变量的概率密度函数设随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，0 ≤ x ≤ 1，0 其他，求：1. X的期望E(X)。
2. X的方差Var(X)。
试题三：大数定律与中心极限定理假设某银行每天的交易量服从均值为100万元，标准差为20万元的正态分布。
求：1. 该银行连续5天的总交易量超过500万元的概率。
2. 根据中心极限定理，该银行连续20天的总交易量的平均值落在90万元至110万元之间的概率。
试题四：统计推断某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本数据如下：95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104求：1. 零件长度的平均值和标准差。
2. 零件长度的95%置信区间。
试题五：假设检验某公司对两种不同品牌的打印机进行了效率测试，测试结果如下：品牌A：平均打印速度为每分钟60页，标准差为5页。
品牌B：平均打印速度为每分钟55页，标准差为4页。
样本量均为30台打印机。
假设两种打印机的平均打印速度没有显著差异，检验假设是否成立。
答案一：1. 至少有80件产品是合格的，即不合格的产品数少于或等于20件。
根据二项分布，P(X ≤ 20) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k *(0.9)^(100-k)]，k=0至20。
2. 至多有5件产品是不合格的，即不合格的产品数不超过5件。
根据二项分布，P(X ≤ 5) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k * (0.9)^(100-k)]，k=0至5。
答案二：1. E(X) = ∫[2x * x dx]，从0到1，计算得 E(X) = 2/3。
2. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = ∫[2x^2 * x dx] - (2/3)^2，从0到1，计算得 Var(X) = 1/18。
概率统计复习题答案
概率统计复习题答案1. 随机变量X服从标准正态分布，求P(X > 1.96)。
答案：根据标准正态分布表，P(X > 1.96) = 1 - P(X ≤ 1.96) = 1 - 0.975 = 0.025。
2. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，求X的期望E(X)和方差Var(X)。
答案：E(X) = np = 10 × 0.3 = 3，Var(X) = np(1-p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1。
3. 某工厂生产的零件寿命服从指数分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中λ > 0，求该零件寿命超过1000小时的概率。
答案：P(X > 1000) = ∫(1000, +∞) λe^(-λx) dx = e^(-λ×1000)。
4. 已知随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x, y)，求X和Y的协方差Cov(X, Y)。
答案：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = ∫∫(x -E(X))(y - E(Y))f(x, y) dxdy。
5. 某地区连续三天的降雨量分别为X1, X2, X3，若X1, X2, X3相互独立且都服从正态分布N(μ, σ^2)，求三天总降雨量X = X1 + X2 + X3的分布。
答案：X = X1 + X2 + X3，由于X1, X2, X3相互独立且都服从正态分布，根据正态分布的性质，X也服从正态分布，即X ~ N(3μ,3σ^2)。
6. 设随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，求X的期望E(X)和方差Var(X)。
答案：对于泊松分布，其期望和方差都等于参数λ，即E(X) = λ，V ar(X) = λ。
7. 某工厂生产的零件合格率为0.95，求在100个零件中至少有90个合格的概率。
答案：设Y为100个零件中合格的零件数，则Y服从二项分布B(100, 0.95)。
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工程数学考试题
第一题：第五页 第五题
5.用事件A,B,C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 出现，B ，C 都不出现； （2）A ，B 都出现，C 不出现； （3）所有三个事件都出现；
（4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现；（7）不多于两个事件出现； （8）三个事件中至少有两个出现。
第二题：第六页 第七题
7.接连进行三次射击，设i A =｛第i 次射击命中｝（i=1，2，3），试用1A ，2A ，3A 表述下列事件。
（1）A=｛前两次至少有一次击中目标｝ （2）B=｛三次射击恰好命中两次｝ （3）C=｛三次射击至少命中两次｝ （4）D=｛三次射击都未命中｝ 第三题：第二十九页 例14
例 14 从次品率为p=0.2的一批产品中，有放回抽取5次，每次取一件，分别求抽到的5件恰好有3件次品以及至多有3件次品这两个事件的概率。
第四题：第二十九页 例 15
例 15 某公司生产一批同型号的医疗仪器，产品的80%无需调试即为合格品，而其余20%需进一步调试。
经调试后，其中70%为合格品，30%为次品。
假设每台仪器的生产是相互独立的。
（1）求该批仪器的合格率；
（2）又若从该批仪器中随机地抽取3台，求恰有一台为次品的概率。
第五题：第三十一页 第一题
1.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，试求P （AB ）及)B A P(。
第六题：第三十三页 第十二题
12.设事件A ，B 相互独立。
证明：A ，B 相互独立，B ,A 相互独立。
第七题：第三十三页 第十五题
15.三个人独立破译一密码，他们能独立破译出的概率分别为0.25，.035，0.4，求此密码被破译出的概率。
第八题：第五十一页 例 19
例 19 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布），（2
72σN ，且96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。
第九题：第五十四页 第十六题
16.设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨
⎧<<=其他，
,
0,
40,
2x x x f 试求：
（1）常数A ； （2）P(0<x<0.5).
第十题：第五十四页 第十七题
17.设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=-x Ae x f x ,)(||，求： （1）系数A ； （2）P （0<x<0.5).
第十一题：第五十四页 第十八题
18.证明：函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,
0,0,)(22
x x e c x x f c x
（c 为正的常数）可作为某个随机变量X 的密度函数。
第十二题：第五十五页 第二十五题
25.设随机变量X 的分布函数为∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan )(，求： （1）常数A,B ；
（2）P （|x|<1)；
（3）随机变量X 的密度函数。
第十三题：第五十六页 例 1
例 1 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函数为),arctan )(arctan (),(y C x B A y x F ++=求函数
).,x (,,+∞<<-∞+∞<<-∞y C B A
第十四题：第六十一页 例 5
例 5 试从例1中联合分布函数F(x,y)求关于Y 的边缘分布函数).(),(y F x F y x 第十五题：第六十六页 例10
例 10 试证明例1中的两个随机变量X 与Y 独立。
第十六题：第七十三页 第十二题
12.设二维随机变量（X,Y)的联合密度函数为⎩
⎨
⎧>>=+-，
其他，
,0,
0,0,
),()43(y x ke y x f y x 求： （1）求常数k ；
（2）分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数； （3）X 与Y 是否独立，为什么？ 第十七题：第七十五页 例 1 例 1 设随机变量X 的分布律为
X -1 0 1 2 5/2 概率
1/5
1/10
1/10
3/10
3/10
求以下随机变量的分布律： （1）X-1； （2）-2X ；
（3）2
X
第十八题：第九十六页 例12，13 例 12 设随机变量,2
21b 1),,(~5.05.0b
a u dx a
b a R X u a +==-⎰解得由
因此均匀分布变量的中位数与数学期望重合。
事实上，具有对称分布的连续型变量都具有此特点，读者可以对正态分布加以验证。
例 13 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布。
由定义中位数5.0u 是方程 2
1e 1=
--x
λ 的解，即
λ
2
ln 5.0=u
我们知道λ
1
)(=
x E ，因此，在指数分布情形，中位数并不等于数学期望。
中位数在社会资料统计中用得很多，例如，
居民收入统计，中位数较数学期望更具有代表性。
当X 为离散型随机变量时也可以定义其中位数，但往往已经不具备“中间位置”这样的含义。
第十九题：第一百零六页 例 25，26
例 25 设一个车间里有400台同类型的及其，每台机器需要用电为Q 瓦。
由于工艺关系，每台机器并不连续开动，开动的时间只占工作总时间的
4
3
，问应该供应多少瓦电力才能以99%的概率保证该车间的机器正常工作？这里，假定各台机器的停，开是相互独立的。
例 26 为了测定一台机床的质量，把它分解成75个部件来称量。
假定每个部件的称量误差（单位：Kg ）服从区间（-1，1）上的均匀分布，且每个部件的称量误差相互独立，试求机床质量的总误差的绝对值不超过10的概率。
第二十题：第一百零九页 第一题 1.设随机变量X 的分布律为
X -1 0 1/2 1 2 概率
1/3
1/6
1/6
1/12
1/4
求：
)
()4();()3();1()2();(12X D X E X E X E +-）（
第二十一题：第一百一十一页 第十四题 14.设随机变量（X ，Y ）的联合分布律为
X Y
0 1 0 0.3 0.2 1
0.4
0.1
求：
.),,cov(),(),(),3(),2(),(),(,y x y x Y D X D XY E Y X E Y E X E ρ-
第二十二题：第一百一十一页 第26，27题
26.设随机变量X ，Y 相互独立，且).2(),2(),1,2(~),1,1(~Y X D Y X E N Y N X ++-求 27.设随机变量X 的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计)5.7|)((|≥-X E X P 的值。
第二十三题：第一百二十八页 第二题
2.（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？
)
,...,(max )(6
(614163626)
11X X T X E X T X T X X T =-=-=++=
θ
第二十四题：第一百三十二页 例6，7，10
例 6 设有一批同型号灯管，其寿命（单位：h ）服从参数为λ的指数分布，今随机抽取其中的11只，测得其寿命数据如下：
110，184，145，122，165，143，78，129，62，130，168， 用矩估计法估计λ值。
例 7 设总体有均值u 及方差2
σ，今有6个随机样本的观测数据为 -1.20，0.82，0.12，0.45，-0.85，-0.30， 求u ，2
σ的矩估计。
例 10 设的最大似然估计。
未知，求的样本，其中是来自221,,),(*,*,*σσσu u u N X X n 第二十五题：第一百四十页 第一题
1.设n X X *,*,*1是取自总体X 的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计量与最大似然估计量： （1）;10),,1(~<<p p p B X 未知，其中 （2）.0),(~>λλλ未知，其中E X。