概率统计期末复习题
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
《概率论与数理统计（本科）》复习题
《概率论与数理统计（本科）》复习题《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题⼀、选择题1、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 全不发⽣的事件可以表⽰为( ). (A)ABC (B) A B C ?? (C) A B C ?? (D) A B C2、设A 和B 是任意两个事件，且A B ?，()0P B >，则下列结论必成⽴的是（）（A ）()()P A P A B < （B ）()()P A P A B >（C ）()()P A P A B ≤ （D ）()()P A P A B ≥3、设A 和B 相互独⽴，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.54、设A,B 为两随机事件，且B A ?，则下列式⼦正确的是（）（A ）()()P A B P A ?=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B - 5、以A 表⽰甲种产品畅销，⼄种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，⼄种产品畅销 (B) 甲、⼄产品均畅销 (C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或⼄产品畅销 6、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B ?=，则()P A B =（）。
(A) 0.2 (B) 0.45 (C) 0.6 (D) 0.75 7、设A B ?，则下⾯正确的等式是( )。
(A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=- (C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =8、设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A ）A 与B 不相容（B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -= 9、设(),(),()P A a P B b P A B c ==?=，则()P AB =( ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 10、对于任意两个事件,A B ，下列式⼦成⽴的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- (B) ()()()()P A B P A P B P AB -=-+ (C) ()()()P A B P A P AB -=- (D) ()()()P A B P A P AB -=+ 11、已知,()0.2,()0.3A B P A P B ?==，则()P BA =( ).(A) 0.3 (B) 0.2 (C) 0.1 (D) 0.4 12、设B A ,满⾜1)(=B A P ，则有（）。
概率统计期末考试试题及答案
概率统计期末考试试题及答案试题一：随机变量的概率分布某工厂生产的产品合格率为0.9，不合格率为0.1。
假设每天生产的产品数量为100件，求下列事件的概率：1. 至少有80件产品是合格的。
2. 至多有5件产品是不合格的。
试题二：连续型随机变量的概率密度函数设随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，0 ≤ x ≤ 1，0 其他，求：1. X的期望E(X)。
2. X的方差Var(X)。
试题三：大数定律与中心极限定理假设某银行每天的交易量服从均值为100万元，标准差为20万元的正态分布。
求：1. 该银行连续5天的总交易量超过500万元的概率。
2. 根据中心极限定理，该银行连续20天的总交易量的平均值落在90万元至110万元之间的概率。
试题四：统计推断某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本数据如下：95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104求：1. 零件长度的平均值和标准差。
2. 零件长度的95%置信区间。
试题五：假设检验某公司对两种不同品牌的打印机进行了效率测试，测试结果如下：品牌A：平均打印速度为每分钟60页，标准差为5页。
品牌B：平均打印速度为每分钟55页，标准差为4页。
样本量均为30台打印机。
假设两种打印机的平均打印速度没有显著差异，检验假设是否成立。
答案一：1. 至少有80件产品是合格的，即不合格的产品数少于或等于20件。
根据二项分布，P(X ≤ 20) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k *(0.9)^(100-k)]，k=0至20。
2. 至多有5件产品是不合格的，即不合格的产品数不超过5件。
根据二项分布，P(X ≤ 5) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k * (0.9)^(100-k)]，k=0至5。
答案二：1. E(X) = ∫[2x * x dx]，从0到1，计算得 E(X) = 2/3。
2. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = ∫[2x^2 * x dx] - (2/3)^2，从0到1，计算得 Var(X) = 1/18。
概率论与数理统计期末复习题
概率与数理统计期末复习题一一、填空题1．设随机变量X的概率密度为，则数学期。
2．设随机变量X，Y相互独立，且服从正态分布N（-1，1），则Z=2X-Y的概率密度。
3．进行三次独立试验，在每次试验中事件A出现的概率相等，已知A至少出现一次的概率等于，则事件A在一次试验中出现的概率P(A)= .4.设X,Y是随机变量,D(X)=9,D(Y)=16,相关系数,则D(X+Y)= .5. 口袋中装有2个白球,3个红球,从中随机地一次取出3个球，则取出的3个球中至多有2个红球的概率为 .6. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且, .二、已知随机变量X的概率密度为.求Y= 3lnX的分布函数.三、玻璃杯成箱出售,每箱装有10只玻璃杯.假设各箱含0只,1只和2只次品的概率分别为,,0.04.一顾客要买一箱玻璃杯,售货员随意取出一箱,顾客开箱随机取出3只,若这3只都不是次品,则买下该箱杯子,否则退回.求(1)该顾客买下该箱玻璃杯的概率;(2)在顾客已买下的一箱中,确实没有次品的概率.四、设随机变量(X,Y)的概率密度为,求 ( 1)边缘密度 ; (2)协方差cov(X,Y),并问X 与Y 是否不相关?五、已知一批产品的某一数量指标X服从正态分布,问样本容量n为多少,才能使样本均值与总体均值的差的绝对值小于的概率达到. [ ，，]。
六、使用归工艺生产的机械零件,从中抽查25个,测量其直径,计算得直径的样本方差为.现改用新工艺生产, 从中抽查25个零件,测量其直径,计算得直径的样本方差为. 设两种工艺条件下生产的零件直径都服从正态分布,问新工艺生产的零件直径的方差是否比旧工艺生产的零件直径的方差显着地小()?七、设总体X的的概率密度为其中,是未知参数,是总体X的样本观察值.求(1) 的矩估计量;(2) 的极大似然估计量,并问是的无偏估计吗?八、设随机向量(X,Y)的概率密度为求 (1)条件概率密度;(2) Z=X+Y的概率密度.;概率与数理统计期末复习题二一、一、选择题1.设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为X 1 2 Y 1 21/3 2/3 1/3 2/3则下列命题正确的是。
《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
专业、班级：姓名:学号:
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得分
一、单项选择题（每题３分共18分）
1．D 2.A 3.B 4.A５.Ａ6．B
（１)
（2)设随机变量Ｘ其概率分布为 Ｘ -1 ０ １ ２
P 0.2 0.3 ０.1 ０.4
则 （ ）。
(A)0．６（B)1（C)0 (D)
(3）
设事件 与 同时发生必导致事件 发生,则下列结论正确的是（）
(A） （B)
(C） （Ｄ)
（4）
(５)设 为正态总体 的一个简单随机样本,其中
未知,则()是一个统计量。
（A) （B)
(C） (Ｄ)
（6)设样本 来自总体 未知。统计假设
为 则所用统计量为()
(A） (Ｂ）
(C) （D)
2、填空题(每空3分共１5分)
解:因为 ，所以
(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出
-1 0 1
0
1
0
0
0
…………．４分
(2)因为
所以与 不相互独立
…………8分
七、（8分)设二维随机变量 的联合密度函数为
求:(1） ;（2)求 的边缘密度。
解：(1） …………．.2分
＝
=［ ] ………….４分
（2） …………..6分
……………..8分
解:用 表示第 户居民的用电量，则
………２分
则1000户居民的用电量为 ，由独立同分布中心极限定理
………３分
＝ ………4分
………．６分
概率论与数理统计期末考试复习题集-01
复习题 （A ）备用数据：220.990.9950.9950.0050.9952.326,(99) 2.575,(99)66.510,(99)138.987u t u χχ=≈===一、选择题（20分，每题4分，请将你选的答案填在（ ）内）1、 下列结论哪一个不正确 （ ）)(A 设A,B 为任意两个事件，则A B A B -=； )(B 若A B =，则A,B 同时发生或A,B 同时不发生； )(C 若A B ⊂，且B A ⊂,则A B =； )(D 若A B ⊂，则A-B 是不可能事件.2、 设(,)X Y 的联合概率函数为则（1）概率(13,0)P Y X ≤<≥等于 （ ）)(A 58； )(B 12； )(C 34； )(D 78.（2）Z X Y =+的概率函数为 （ ）)(A()B()C()D3、 如果2EX <∞，2EY <∞，且X 与Y 满足()()D X Y D X Y +=-,则必有 （ ）)(A X 与Y 独立；)(B X 与Y 不相关； )(C ()0D Y =； )(D ()()0D X D Y =. 4、若()25,()36D X D Y ==,X 和Y 的相关系数,0.4X Y ρ=，则,X Y 的协方差(,)Cov X Y 等于（ ）)(A 5； )(B 10； )(C 12； )(D 36. 二、（12分）设X,Y 为随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7P X P Y ≥=≥= 求（1）(min(,)0)P X Y <；（2）(max(,)0)P X Y ≥.三、(10分)一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人.然而，当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同，（1）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯确实是黑人的概率是多大？ （2）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯是白人的概率是多大？ 四、(10分)某商业中心有甲、乙两家影城，假设现有1600位观众去这个商业中心的影城看电影，每位观众随机地选择这两家影城中的一家，且各位观众选择哪家影城是相互独立的.问：影城甲至少应该设多少个座位，才能保证因缺少座位而使观众离影城甲而去的概率小于0.01. （要求用中心极限定理求解.）五、(16分)设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为2,01(,)0,x y f x y <<<⎧=⎨⎩其它（1）求Y X ,的边缘密度函数(),()X Y f x f y ； （2）求条件概率113(0)224P X Y <<<<；（3）问：X 与Y 是否相互独立？请说明理由； （4）求Z X Y =+的概率密度函数()Z f z . 六、(14分)某地交通管理部门随机调查了100辆卡车，得到它们在最近一年的行驶里程（单位：100km ）的数据12100,,,x x x ,由数据算出145x =，样本标准差24s =.假设卡车一年中行驶里程服从正态分布),(2σμN ，分别求出均值μ和方差2σ的双侧0.99置信区间.（请保留小数点后两位有效数字.）七、(18分) 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本,总体X 的密度函数为(1),(;)0,e x x ef x θθθθ-+⎧>=⎨⎩其它 ，其中θ为未知参数,01θ<<.(1)求出θ的极大似然估计； (2)记1αθ=，求参数α的极大似然估计；(3)问:在（2）中求到的α的极大似然估计是否为α的无偏估计?请说明理由.复习题（B ）备用数据：220.9750.0250.9750.995(2)0.9772,(8) 2.31,(8) 2.18,(8)17.54, 2.575,t u χχΦ=====一、选择题(共20分，每题4分，请将你选的答案填在( )内) 1、 下列命题哪一个是正确的？ ( )()A 若()()0P A P B >>,则()()P A B P B A <； ()B 若()()0P A P B >>,则()()P A B P B A ≥； )(C 若()0P B >,则()()P A P A B ≥； )(D 若()0P B >,则()()P A B P AB ≤.2、已知1()()()2P A P B P C ===,1()()()4P AB P AC P BC ===,()0P ABC =,判断下列结论哪一个是正确的( ))(A 事件A ，B ，C 两两不独立，但事件A ，B ，C 相互独立；)(B 事件A ，B ，C 两两独立，同时事件A ，B ，C 相互独立；)(C 事件A ，B ，C 两两独立，但事件A ，B ，C 不相互独立； )(D 事件A ，B ，C 不会同时都发生.3、 设12,X X 相互独立，且都服从参数1的指数分布，则当0x >时，12min(,)X X 的分布函数()F x 为( ))(A 121(1)e ---； )(B 21(1)x e ---； )(C 2x e ； )(D 21x e --.4、 已知(,)X Y 的联合概率函数为若X ，Y 独立，则,αβ的值分别为 ( ))(A 12,99αβ==； )(B 21,99αβ==；)(C 15,1818αβ==； )(D 51,1818αβ==.5、 设15,,X X 是取自正态总体(0,1)N 的样本，已知22212345()()X a X X b X X +-+-(0,0)a b >>服从2χ分布，则这个2χ分布的自由度为( ))(A 5； )(B 4； )(C 3； )(D 2.二、(12分)已知男性患色盲的概率为0.005，女性患色盲的概率为0.0025，如在某医院参加体检的人群中，有3000个男性，2000个女性，现从这群人中随机地选一人，(1)求此人患有色盲的概率； (2)若经检验此人的确患有色盲，问：此人为男性的概率是多大？三、(12分)设随机变量Y 服从参数为1的指数分布(1)E .定义随机变量0,1,k Y kX Y k≤⎧=⎨>⎩ , 1,2.k =(1)求12(,)X X 的联合概率函数； (2)分别求12,X X 的边缘概率函数.四、(10分)有100位学生在实验室测定某种化合物的PH 值，假设各人测量都是独立进行的，每人得到的测定结果服从相同的分布，且这个相同分布的期望为5，方差为4，设i X 表示第i 位学生的测定结果，1,,100i =，10011100i i X X ==∑，求(4.6 5.4)P X << .(要求用中心极限定理求解.)五、(16分) 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为1,01,02(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩且其它求(1)Y X ,的边缘密度函数(),()X Y f x f y ； (2)21Z X =+的概率密度函数()Z f z ；(3)(2)(2)E X Y D X Y --和； (4)11()22P Y X ≤≤. 六、(14分)某医生为研究铅中毒患者与正常成年人的脉搏数的关系，他随机调查了9例患者，测得其脉搏数分别为129,,,x x x ,并由此算出99211675,50657i i i i x x ====∑∑. 设铅中毒患者的脉搏数服从正态分布),(2σμN ，分别求出均值μ和标准差σ的置信水平0.95的双侧置信区间.(请保留小数点后两位有效数字.)七、(16分) 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本,总体X 的概率密度函数为1,0(;)0xex f x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩,其它，其中θ是未知参数,0θ>。
概率论与数理统计期末考试试卷
一、填空题：（每题3分，共30分.请把答案填在题中横线上.）1．设C B A ,,是三个随机事件，则事件“C B A ,,不同时发生”可以表示为： .2. 三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一个人能将此密码译出的概率是____________.3．设离散型随机变量X 的分布函数为()F x ,则{}P a X b <≤= .4．设X 的概率密度函数是{}111()10.520x f x P X ⎧-<<⎪=-<<=⎨⎪⎩，则其它 . 5．若(2,4)X N ，令__________Y =,则(0,1)Y N . 6. 设随机变量X 的方差()D X 存在，则[]()D X '= .7．已知随机变量X 有2(),()E X D X μσ==，根据契比雪夫不等式，则{}3P X μσ-<≥ .8．已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则()D X = .9．设12,,n X X X 是来自总体X 的样本，则11ni i X X n ==∑，2S = .10．评价估计量的标准有无偏性、有效性和 .1．用3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94，0.9，0.95，求全部产品中的合格率.2．已知随机变量X 的分布律为1240.50.30.2Xp ⎛⎫⎪⎝⎭，求()F x 及{}1 2.5P X -<<.3．设连续型随机变量X 的分布函数为20()0xA Be x F x -⎧+>=⎨⎩其它，试求：（1）A 、B 的值;（2）概率密度函数()f x .4. 已知随机变量X 、Y 相互独立，二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布如下，请将表内空白处填入适当的数.试卷装订线5. 袋中有2只黑球，2只白球，3只红球，从中任取2只，用ξ表示取到黑球的只数，以η表示取到白球的只数（1）求(,)ξη的联合分布律; （2）求(2)P ξη+≥，22(1)P ξη+≤.6．设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且有(),()5,1,2,3,4i i E X i D X i i ==-=，设12341232Y X X X X =-+-，求 1(),(),X YE Y D Y ρ.三、应用题（每题8分，共16分)1．设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏开灯的概率是0.8，假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在7900与8100之间的概率.2．一个车间生产铁钉，从某天的产品里随机抽取9个，量得结果如下（单位：毫米）： 215,0.09x s ==，已知铁钉长度服从正态分布，求平均长度的双侧置信区间（0.05α=）. 以下数据有可能在计算过程中要用到 0.025(2.5)0.9938,(8) 2.306t Φ==测验题（一）一、填空1、设123,,A A A 是三个事件，则这三个事件中至少有两个发生的事件是 。
(完整版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发B A ,5.0)()(=+B P A P B A ,生的概率为__________.答案：0.3解：3.0)(=+A B A P 即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P.9.0)(1)((=-==AB P AB P B A P 2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.X )2(4)1(==≤X P X P ==)3(X P 答案：161-e 解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 知 λλλλλ---=+e e e 22)2(4)1(==≤X P X P即 0122=--λλ 解得，故1=λ161)3(-==e X P 3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率X )2,0(2X Y =)4,0(密度为_________.=)(y fY答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它 解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为则Y (),Y F y X ()F x ()X f x2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为，所以，即~(0,2)XU (0X F =()Y X F y F =故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在上函数严格单调，反函数为(0,2)2y x=()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则YX,λ2)1(-=>eXP=λ_________，=_________.}1),{min(≤YXP答案：，2λ=-4{min(,)1}1eP X Y≤=-解答：，故2(1)1(1)P X P X e eλ-->=-≤==2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y≤=->1(1)(1)P X P Y=->>.41e-=-5．设总体的概率密度为X.⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,1,)1()(xxxfθθ1->θ是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.nXXX,,,21Xθ答案：1111lnniixnθ==-∑解答：似然函数为111(,,;)(1)(1)(,,)nnn i niL x x x x xθθθθθ==+=+∏1ln ln(1)lnniiL n xθθ==++∑1lnln01niid L nxdθθ==++∑@解似然方程得的极大似然估计为θ.1111ln ni i x n θ==-∑二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是,,A B C ,A B （A ）若，则与也独立.()1P C =AC BC （B ）若，则与也独立.()1P C =A C B （C ）若，则与也独立.()0P C =A C B （D ）若，则与也独立.（ ）C B ⊂A C 答案：（D ）. 解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图可见A 与C 不独立.2．设随机变量的分布函数为，则的值为~(0,1),X N X ()x Φ(||2)P X > （A ）. （B ）.2[1(2)]-Φ2(2)1Φ- （C ）. （D ）.（ ）2(2)-Φ12(2)-Φ 答案：（A ）解答： 所以~(0,1)X N (||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤应选（A ）.1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是X Y （A ）与独立. （B ）.X Y ()D X Y DX DY -=+ （C ）.（D ）.（ ）()D X Y DX DY -=-()D XY DXDY =解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，）应选（B ）.4．设离散型随机变量和的联合概率分布为X Y (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若独立，则的值为,X Y ,αβ （A ）. （A ）.21,99αβ==12,99αβ== （C ） （D ）.（ ）11,66αβ==51,1818αβ==解答： 若独立则有,X Y(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+， ∴29α=19β=故应选（A ）.5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中X 12,,,,n X X X μ X 正确的是（A ）是的无偏估计量.（B ）是的极大似然估计量.1X μ1X μ （C ）是的相合（一致）估计量. （D ）不是的估计量. （ ）1X μ1X μ 答案：（A ） 解答：，所以是的无偏估计，应选（A ）.1EX μ=1X μ三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’A =‘任取一产品确是合格品’B =则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（2） .()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===四、（12分） 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，X求的分布列、分布函数、数学期望和方差.X解：的概率分布为X3323()(()0,1,2,3.55k k kP X k C k -===即01232754368125125125125XP的分布函数为X0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251, 3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩263,55EX =⨯= .231835525DX =⨯⨯=五、（10分）设二维随机变量在区域 上服从(,)X Y {(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤均匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概(,)X Y X Z X Y =+率密度.（1）的概率密度为(,)X Y 2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx+∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当 或时0z <1z >()0Z f z =时 01z ≤≤00()222zzZ f z dx x z===⎰故的概率密度为Z 2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.的分布函数为Z200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰ 或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相X Y 互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域2(0,2)N 22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.Z =1）{,)}(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰22222880111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰；2221122888211()8r r red ee e ------=-=-⎰ （2）22818x y EZ E edxdyπ+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r drπθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ），今抽取容量为16的2~(,)X N μσ样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信10x =20.16s =μ区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.20:0.1H σ≤ （附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解：（1）的置信度为下的置信区间为μ1α- /2/2(((X t n X t n αα--+-0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n t α=====所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）μ （2）的拒绝域为.20:0.1H σ≤22(1)n αχχ≥- ，221515 1.6240.1S χ==⨯=20.05(15)24.996χ= 因为 ，所以接受.220.052424.996(15)χχ=<=0H 《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）专业、班级：姓名：学号：一、单项选择题(每题3分 共18分)1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B 题 号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得 分一、单项选择题(每题3分 共18分)（1）.0)(,0)(;;0)(0)();(( ).,0)(=>===A B P A P (D)B A (C)B P A P (B)B A (A)AB P B A 则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件（2）设随机变量X 其概率分布为 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4则（ ）。
概率统计期末复习题[1]..
概率统计期末复习题一、选择部分（30题）1．随机事件A 、B 、C 至少有一个不发生的事件是（ ）A. AB AC BC ++B. A B C ++C. A B C ++D. ABC ABC ABC 2.设A 、B 、C 是三个随机事件，则 事件A B C ⋃⋃表示（ ）A 三个事件恰有一个发生B 三个事件至少有一个发生C 三个事件都发生D 三个事件都不发生3.三个元件寿命分别是123,,,T T T 并联成一个系统，只要有一个元件能正常工作，系统便能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”为（ ）A 123{}T T T t ++>B 123{}T T T t >C 123{m in{}}T T T t >D 123{m ax{}}T T T t >4．将一枚硬币掷三次“三次均出现正面”的概率为（ ）A12 B 18 C 13 D 385.A 、B 是两个随机事件，已知()0.3,()0.4P A P B ==,()0.5P A B = ，()P A B = ( )A 0.7B 0.3C 0.2D 0.8 6.如果()0P AB =，则（ ）A. A 与 B 不相容B. A 与 B 不相容C.()()P A B P A -=D.()()()P A B P A P B -=- 7.设()()1P A P B +=，则（ ）A.()1P A B =B.()0P A B =C.()P A B = ()P A BD.()P A B = ()P A B 8.设A ，B 为任意两个事件，且.0()1,A B P B ⊂<<则（ ） A ()(|)P A P A B < B ()(|)P A P A B ≤ C ()(|)P A P A B > D ()(|)P A P A B ≥9.一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序的废品率是p ，第二道工序的废品率是q ，则该零件的成品率为（ ）A. 1p q --B.1pq -C.1p q pq --+ D .2p q --10.10件产品中有3件次品，从中抽出2件，至少抽到1件次品的概率是（ ） A 13B 25C715 D 81511.设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=，则A 与B 的关系是（ ） A.互不相容 B. 相互独立 C .互不独立 D .互为对立 12.设事件A 和B 满足(|)1,P A B =则（ ）A.B 是必然事件B.(|)0P B A = C .A B ⊂ D .()0P A B -=13.设随机变量X的概率密度为11()0x f x -<<=⎩其它，则常数a 取值为（ ）A aπ= B 1aπ=C 2a π=D 2a π=14.设~(0,1)X N X 的分布函数()x φ，方程2240t Xt ++=无实根的概率为（ ） A 2(2)1φ- B 2(1)1φ- C (2)φ D (2)(1)φφ- 15.设~(0,1)X U ，则方程210tXt ++=没有实根的概率为（ ）A 15B 25C 35D 4516.设X 与Y 是两个随机变量 则下列各式正确的是（ ） A ()()()E XY E X E Y =B ()()()D XY D X D Y =C ()()()E X Y E X E Y +=+D ()()()D X Y D X D Y +=+17.设随机变量X 的概率密度为201()0Ax x f x ⎧<<=⎨⎩其它，则常数A 取值为（ ）A 3B 2C 1D 1-18.设1()F x 与2()F x 分别为任意两个随机变量的分布函数，令12()()()F x aF x bF x =+ 能使()F x 为分布函数的是（ ）A 32,55a b ==B 22,33a b ==C 31,22a b ==D 13,22a b == 19.设~(,)X B n p 且() 2.4,() 1.44E X D X == 则,n p 的取值为（ ）。
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期末模拟题
一. 填空
1.一个产品须经过两道工序，每道工序产生次品的概率分别为3.0和
2.0，则一个产品出厂后是次品的概率为 。
2.设随机变量的密度函数为⎩⎨⎧=-0
)(3x e x f λ 00<≥x x ，则=λ 。
3. 已知)9,1(~N X ，则X 的标准差为 。
4. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且3
1}0{==X P ，则=λ 。
5. 设),2(~2σN X ,且2.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P
二. 选择
1.设C B A ,,为任意三个随机事件，则下列命题正确的是（ ）
)(A B A B B A -=-)( )(B A B B A =- )(
)(C )()(C B A C B A -=- )(D B A B A B A =
2.下列数组中可以作为离散型随机变量X 的分布列的有( )
)(A 2,P P (P 为任意实数) )(B 4.03.02.01.0，，，
)(C ），， 210(!
2=n n n
)(D ）〈（，11P P P - 3.设连续型随机变量X 的密度函数有）（）（x f x f =-，)x F （是X 的
分布函数，则下列成立的有（ ）
)(A )()(a F a F =- )(B )(2
1)(a F a F =
- )(C )(1)(a F a F -=- )(D )(21)(a F a F -=-
4. 掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 。
（A ）50 （B ）100 （C ）120 （D ）150
5. 有γ个球，随机地放在n 个盒子中（γ≤n），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为 。
（A ）
γγn ! （B ）γγn C r n ! （C ）n n γ! (D) n n n C γ
γ! 三. 计算
1. 某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。
2. 甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4,
(1) 求恰有2位同学不及格的概率；
(2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.
3已知连续型随机变量X 的分布函数为2
20,0(),0x x F x A Be x -≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩, 求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x
;(3) )
2P X << 4. 已知X 服从]4,0[U ，且13+=X Y ，试求Y 的密度函数。
5.一种电子管的使用寿命X 的分布密度为：⎩
⎨⎧=0/100)(2x x f 100100<≥x x ， 设某种仪器内装有三个上述电子管，求：
（1）求}
P；
{≤
≤X
150
50
（2）使用的最初150小时内只有一个电子管损坏的概率；
（3）求随机变量X的分布函数。
6. 一辆公共汽车送25名乘客到9个车站，每位乘客在每个车站都是等可能下车，并且他们下车与否相互独立，交通车只有在有人下车的站才停。
求交通车停车次数的数学期望。
7.设有两个口袋，甲中盛有1个白球9个黑球，乙中有6个白球2个黑球。
现从甲中任取2个放入乙中，求：（1）从乙中再任取一个为白球的概率；（2）如果从乙中取的是白球，则该白球是来自于甲口袋的概率是多少？
四、证明题
1.设,,
A B C任意三个事件,试证明:()()()()
+-≤
P AB P BC P B P AC。