数学中的整体思想

昌黎县第三中学 张丽艳
整体思想概述：
整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式 子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联， 进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法. 从整体出发的处理方法，体现了一种着眼全局、通盘 考虑的整体观念. 中学数学中，整体思想的应用广泛. 运用整体思想方法的三部曲：（１）从整体出发，高 瞻远瞩地统帅局部；（２）通过对局部的研究，酝酿 总体解决的方案；（３）回到整体，实现解决整个问 题的总目标. 整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程 （组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、 整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都 是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
第二十八章一元二次方程
解一元二次方程的方法中的因式 分解法运用的是整体思想。 教材九年级上39页例5：
（1） 3( x 1)2 2( x 1) (2) ( x 5)2 49
分析：把（x-1)与(x+5)当做整体，移项 后，方程（1）可用提公因式法，方程 （2）可用平方差公式。
第二十九章 相似形
1、如图，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝ 2∠ACD，试说明∠A与∠D之间的关系.
评注：本例应用整体思想得到∠A与∠D之间的 关系，主要应用三角形的内角，三角形内角和 定理结合整体思想进行说理.
第十四章
分式
整体代入在分式化简求值中的妙用
1、已知 x 2 3x 1 0 求下列各式的值： ⑴ x 1 x
2 2 2 2
2
2
四、整体合并法
计算4(x＋y)＋3(x＋y)＋2(x－y)－3(x－y). [思路分析]本题按照常规解法是先去括号,再 合并同类项.但这样做比较麻烦,若把x＋y,x－ y各看作一个“整体”先行合并,再去括号,就 方便快捷多了. 解:原式＝(4＋3)(x＋y)＋(2－3)(x－y)＝7(x＋ y)－(x－y)＝7x＋7y－x＋y＝6x＋8y. [规律总结]括号内所含内容相同的多项式运算, 可将括号看作一个“整体”先行合并,再去括 号,可简化运算.
分析 ：同样要把３ｘ－２看做一个整体， 因为它的绝对值等于１，所以３ｘ－２ ＝±１， 从而可以求出方程的解.
2、求代数式的值----整体代入法 （1）代数式x2 +x+3的值为7，则代数式2x2 +2x －3的值为___________ 分析：若用常规方法求代数式的值，必须由条 2 件求出x的值，而目前并不能由x +x+3=7求出x 的值，但可以考虑用整体代入处理，把x2 +x=7 －3=4整体代入求值，这样将十分简捷。
解：因为x +x+3=7，所以x +x=4，所以2 x +2x 2 －3=2（x +x）－3=2×4－3=5
2
2
2
（2）若x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则 x+y+z=__________ 分析：若想由条件求出的值，再代入代数式计 算，则无法求出结果，若用“整体代入”法尝 试，将会出现柳暗花明又一村的现象。
五、整体去括号
化简
2x y 2xy 3x y 2(3x y 2xy) 4xy
2 2 2



2

[思路分析] 受一个“－”号影响,应变号; 受 两个“－”号影响,不变号;
[规律总结]在含有多重括号的运算式中,括号里的项 是否变号,只与该项以及该项所在的各层括号前面的 “－”号有关,而与其前面的“＋”号无关.因此只 要从外向里逐层确定影响该项的“－”号的个数就 可整体去括号.当某项受奇数个“－”号影响时该项 变号,受偶数个“－”号影响时该项不变号.
第九章 二元一次方程组
一、巧用“整体思想”妙解方程组---整体代 入或整体加减 x 1 例1、解方程组 ： 3 2 y
2( x 1) y 11
析解：由①得 把 x 1 看成一个整体，代入②得 到 2 6 y y 11 x 5 从而得到原方 解得 y 1 ，再代入①得到： 程组的解为 ： x 5
[
当变形转化,再整体代入,是经常使用的一种方法.
规律总结]把计算式中的某部分看作整体或先作适
二、整体转化法
计算(3a＋2b－c＋5)(3a－2b＋c＋5) [思路分析]将(3a＋5)看成相同的项,将(2b－c) 看成相反的项,问题就转化平方差公式,计算起 来就方便了. 2 2 2 2 2 ( 3 a 5 ) ( 2 b c ) 9 a 30 a 25 4 b 4 bc c 解:原式＝
二、整体思想在应用题中的应用
有甲、乙、丙三种商品，若甲购得3件、乙购得7件、丙购得1件共需315 元；若购得甲4件、乙10件、丙1件共需420元，现购得甲、乙、丙各1件， 共需多少元？ 解：设购甲、乙、丙1件分别需要x元、y元、z元，由题意得： 3x+7y+z=315 4x+10y+z=420
此题方程个数少于未知数，若按常规思考，则望题兴叹，不可能把x、y、 z都出来，但深思慎虑，原来题目要求的只是x+y+z的值，并非要把x、y、 z分别求出来，于是对方程组作如下变形 ① ×3-② ×2，得到x+y+z=145 本例若直接设未知数，很难列出等量关系，故采用间接设法，它虽改变 了解题的角度，但体现了“整体处理”的思想。
解：因为x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15 所以（x+2y+3z）+（4x+3y+2z）=25 所以 5x+5y+5z =25 所以 x+y+z =5
2 x （3）如果 +x-1=0,那么代数式 x +2 x -7的值。 分析：由题可知，若采用一般方法解方程求， 目前来说不可能且十分繁琐，但通过观察发 现，故可把看作一个整体，由条件式给出 的 值，尔后整体代入即可． 2 解：由题意，得x +x＝１ 3 3 2 2 2 x +2 x -7＝x ＋ x ＋ x －７ 2 2 ＝ｘ（ x ＋ｘ）＋ x －7 2 ＝ｘ＋ x －７ ＝１－７ ＝－６
单元整体思想在教学中的应用
把相似三角形的三条判定定理作为 一般三角形相似的判定方法整体学习， 使学生对相似三角形判定方法在短期 内形成完整的认知结构，有利于学生 面对选择时，作出正确、合理的判断， 有利于领悟学习知识时所应考虑的方 式与策略。
第十五章 轴对称
• 轴对称和轴对称图形的联系体现了整体思 想。 • 把成轴对称的两个图形看成一个整体就是 轴对称图形。 • 例：观察下图中各组图形，其中成轴对称的为________
（只写序号）。
•
第十六章 勾股定理
利用勾股定理求面积中的整体思想 例：如图，已知Rt△ABC的周长为2+ 6 ， 其中斜边为2，求这个三角形的面积。
2
3
第六章 整式的加减
一、整体代入法 已知x＝2m＋1,y＝1－2m,计算 2( x y)2 ( y x)2 ( x y)( y x) 的值。 [思路分析]本题注意到x＋y,x－y的值都很简单,而原式 用(x＋y),(x－y)表示也很容易,用整体代入法. 解:∵x＝2m＋1,y＝1－2m. ∴x＋y＝2,x－y＝4m. 2 2 2 m ∴原式＝ ( x y) ＋(x＋y)(x－y)＝(4m) ＋2×4m＝16 ＋8m.
分析：若要直接求出a与b的值，要用二次方程求解较 繁。但由联想到运用整体思想（将ab视为一个整体）， 问题便可顺利获解。 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 即 又由已知得 所以 解得 所以
第十七章 实数
观察全局，就是从全局上对已知条件进 行观察分析，综合考察，从而得出解决问题 途径。 例：若实数满足 y 2003 2x 3 2004 3 2x 2 则xy 从全局看，式子要有意义，实数需满足 3 2 x 3 0 ，解得x= ，进一步得到y =2 2
[规律总结]将整式运算中的相同(或相反)的部 分作为整体进行转化,可使问题简易获解.
三、整体加减法
已知 4x 3 y 7,3x 2 y 19, 求 14x 2 y 的值. [思路分析]所给条件式中的两个未知数,难以 求出各自的值后代入求值,因此可通过整体加 减的方法求出待求式的值. 解:将已知两式左右两边分别相加,两边再同 乘以2得52. [规律总结]对所给条件式难以或无法直接求出 各自的值,则可以通过变换条件式,整体求出待 求式的值.
y 1
例2、解方程组： 96%x 64% y 2800 92%
解析：此例若用“正宗”的代入或加减，往往会使解题过 程复杂冗长，运算量大，稍有疏忽便会前功尽弃，若能根 据方程组的具体特点，灵活运用“整体思想”这一方法与 技巧，可使问题化繁为简，迅捷获解。先把方程②化简整 24x 16y 2800 23 ③ 注意到方程组的常数项之间的关 理得， 系，将方程①整体代入③，消去常数2800，得到之间的 倍数关系，从而很容易求出方程组的解。 将方程①整体代入③，消去常数2800，得到 24x 16y ( x y) 23 y =350 整理 x 7 y 代入①消去x得到：
二、整式乘法中的整体思想
3 3 2 2 mx 3 , my 4 , 已知 求 m x m y 的值。
分析： 这道题从已知条件出发都求不出 ｘ，ｙ，ｍ的值，但整体利用己知条件就 迎刃而解了.由幂的逆运算可知：
(mx) (my) 3 4 43
3 2 3 2
第十一章 三角形
x y 2800
所以原方程组的解为：
x =2450 y =350
例3、解方程组
2006x 2005y 6017
2005x 2006y 6016