数学中的整体思想共32页
高中学生数学解题中整体思想的应用
高中学生数学解题中整体思想的应用高中数学是我们在高中学习阶段必须学习的主要课程之一，同时，也是高考必考学科。
为了提高我们的数学解题水平，合理地运用整体思想解决数学问题就显得十分必要。
标签：高中数学解题整体思想应用一、前言高中数学题对于我们来说具有难度大、涉及知识点多等特点，同时，也是对我们逻辑思维能力与知识掌握水平的考查。
因此，合理地运用整体思想，才能发挥我们所学知识的价值，提高解题准确性。
二、高中生运用整体思想解题的价值分析所谓的整体思想就是在数学题的解题过程当中，把比较模糊的细节进行暂时的忽略，通过对整体的分析和考虑得出问题结论。
在高中数学解题过程中，整体思想是一種灵活而重要的解题思想。
在高中数学解题中，身为学生的我们要合理地运用整体思想解决复杂数学问题，这有助于提高我们自身对数学知识的理解、运用水平，改善数学解题效率与准确性。
同时，还有助于提高我们学习、运用数学知识的自信心。
除此之外，整体思想还可以在方程、几何证明等问题中使用，是攻克数学难题的利器[1]。
三、高中学生数学解题中整体思想的合理应用所谓整体思想，顾名思义，就是将某个算式或者字母组合看成一个整体，然后利用等量代换、构造图形等方式快速、有效地解决问题，提高解题速度与准确性。
（一）高中数学整体思想应用时的等量变化法整体思想等量变换法是解决高中数学难题常用的方法，其主要内容就是通过对原题中已知条件与问题的研究，把问题量和条件关系量等使用已知条件进行代换求解。
例如，已知sinx+siny=22，试问cosx+cosy的取值范围应该是多少？分析：在此题的解答中，第一步应该分析已知条件和求解问题之间的变量关系，然后，在将cosx+cosy通过等量代换的方式，带入已知条件。
解：设cosx+cosy=μ因为sinx+siny=22，所以（sinx+siny）2=sin2x+sin2y+2sinx·siny=12①因为cosx+cosy=μ，所以μ2=（cosx+cosy）2=cos2x+cos2y+2cosx·cosy②经整理①+②可得：12+μ=sin2x+sin2y+2sinx·siny+cos2x+cos2y+2cosx·cosy=2cos（x-y）+2，等价于μ2-32=2cos（x-y）因为，cosθ最小值为-1，因此，2cos（x-y）最小值为-2，最大值为2；等价于-2≤co s（x-y）≤2所以，-2≤μ2-32≤2经整理：-142≤μ≤142，等价于-142≤cosx+cosy≤142。
第2讲-整体思想在初中数学中的应用
第二讲：整体思想在初中数学中的应用【写在前面】整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．【例题精讲】一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ）A.6B.6-C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx ++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为 解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b cd++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d-++=+=-+=+例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 【巩固练习】1、已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则的值为 ( )A ．18B ．12C ．9D ．7分析：如果根据题意直接求出x 再代入到中求值将非常麻烦，特别是x 为一个无理数．考虑到由题意3x 2－4x=3成立，而3x 2－4x 是的3倍，所以可以将看作一个整体，则．此题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解2、先化简，再求值，其中a 满足a 2－2a －1=0．【分析】对分式进行化简结果为，如果把a 求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把a 2－2a 看成一个整体，则由已知可得a 2－2a=1，所以原式=．=解：原式=，当a 2－2a=1时，原式==3、已知114a b -=，则2227a a b b a b a b ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：∵ab ≠0.∴将2227a ab ba b ab---+的分子与分母都除以 得，2463x x -+2463x x -+243x x -243x x-2461673x x -+=+=222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷⎪--+-⎝⎭212a a -212a a -()()()222214421224222a a a a a a a a a a aa a a ⎛⎫+-----÷== ⎪⎪------⎝⎭212a a -11222b 2272()72()7a ab b a a b ab b a-----===-+⨯+-+（）说明：本题也可以将条件变形为()b a -=，即()a b -=，再整体代入求解．222272()7a ab b a b aba b ab a b ab----===-+-+4、已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，()a b b c -=-=，()c a -=，所以原式222a b c ab bc ac ++---2221()()()2⎡⎤=++=⎣⎦说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133k <+<，解得3655k -<<例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n+=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作． 解：11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程 22523423x x x x+-=+分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为54y y-=，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21xy x =-，从而将方程变形为15322y y +=，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元．依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果． 【巩固练习】1、已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的． 解：将方程组的两式相加，得：33()x y +=，所以()x y +=，从而0()3<<，解得()()k <<2、已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为 分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n +=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为()()x y =⎧⎨=⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作． 解： ()()x y =⎧⎨=⎩说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．3、解方程 22523423x x x x+-=+分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为，即2450y y --=，解得1y =，2y =，所以223x x +=或223x x +=，从而解得1x =，2x =，3x =，4x =，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21xy x =-，从而将方程变形为，再转化为一元二次方程 来求解．原方程的解为对于形如2()5011x x x x +-=--这样的方程只要设1xy x =-，从而将方程变形为一元二次方程 来求解，原方程的解为 。
辽宁省沈阳市大东区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
辽宁省沈阳市大东区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若a ＞b ，则下列各式中一定成立的是( ) A ．a ＋2＜b ＋2B ．a －2＜b －2C ．2a ＞2bD ．－2a ＞－2b3．若2,3mn m n =--=，则22m n mn -代数式的值是( ) A ．6-B ．5-C ．1D ．64．在四边形ABCD 中，AB=CD ，要判定此四边形是平行四边形，还需要满足的条件是 ( ) A ．∠A+∠C=180° B ．∠B+∠D=180° C ．∠A+∠B=180°D ．∠A+∠D=180°5．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 边上的中点，若OE=2，AD=5，则□ABCD 的周长为( )A ．9B ．16C ．18D ．206．下列命题的逆命题是真命题的是( ) A ．等边三角形是等腰三角形 B ．若22ac bc >，则a b > C ．成中心对称的两个图形全等 D ．有两边相等的三角形是等腰三角形7．如图，直线2y x =-+与y ax b =+（0a ≠且a ，b 为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x 的不等式2x ax b -+≥+的解集为（ ）A ．x≥﹣1B ．x≥3C ．x≤﹣1D ．x≤38．如图，ABC ∆是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为( )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°9．关于x 的分式方程 2x m x +-＋32mx-＝4的解为正实数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣4 B ．m ＜4 C ．m ＜4且m ≠1D ．m ＜4且m ≠210．2020年5月以来，各地根据疫情防控工作需要，对重点人群进行核酸检测．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测15人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%．若设甲队每小时检测x 人，根据题意，可列方程为（ ） A ．600500(110%)15x x =⨯-- B ．600500(110%)15x x ⨯-=- C ．600500(110%)15x x=⨯-- D ．600500(110%)15x x⨯-=- 11．如图是某个几何体的三视图，该几何体是( )A ．三棱柱B ．三棱锥C ．圆锥D ．圆柱12．关于x 的一元二次方程2420x x ++=的根的情况是( ) A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个相等的实数根13．小明抛一枚硬币100次，其中有60次正面朝上，则反面朝上的频率是（ ） A ．0.6B ．6C ．0.4D ．414．某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．()236148x -= B ．()236148x += C ．()23614836x -=-D ．248(1)36x -=15．如图，1l ∠2l ∠3l ，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知32AB BC =，则DEDF 的值为（ ）A ．32B ．23C ．25D ．3516．用配方法解一元二次方程29190x x -+=，配方后的方程为（ ） A ．29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．29524x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()2962x -=D ．()2962x +=17．书架上放着两本散文和一本数学书，小明从中随机抽取一本，抽到数学书的概率是（ ） A ．1B ．12C ．23D ．1318．如果反比例函数的图象经过点P （﹣3，﹣1），那么这个反比例函数的表达式为（ ） A ．y ＝3xB ．y ＝﹣3xC ．y ＝13xD ．y ＝﹣13x19．如图，下列选项中不能判定∠ACD ∠∠ABC 的是（ ）A ．∠ACD ＝∠B B ．∠ADC ＝∠ACB C ．AC 2＝AD •AB D ．BC 2＝BD •AB20．如图，在∠ABC 中，∠ABC ＝90°，AC ＝18，BC ＝14，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，BE ，点M 在CB 的延长线上，连接DM ，若∠MDB ＝∠A ，则四边形DMBE 的周长为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．40二、填空题 21．已知点()2,3A x -与()4,5B x y +-关于原点对称，则xy 的值是________________．22．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．23．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，15B ∠=︒，3AC =，AB 的垂直平分线l 交BC 于点D，连接AD，则BC的长为__________．24．当x_________时，分式12x-有意义；当x=_________时，分式211xx--值为0．25．如图，在ABC∆中，AD是角平分线，DE AB⊥于点E，ABC∆的面积为15，6AB=，3DE=，则AC的长是__________．26．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，则这个正多边形的边数为__________．27．已知13xy=，则x yy+的值为_____．28．若反比例函数y＝5kx-的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是_____．29．两个相似三角形对应边上的高的比是2：3，那么这两个三角形面积的比是_____．30．关于x的一元二次方程22(1)620k x x k k-+++-=有一个根是0，则k的值是________31．线段AB、CD在平面直角坐标系中的网格位置，如图所示，O为坐标原点，A、B、C、D均在格点上，线段AB、CD是位似图形，位似中心的坐标是__________．32．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AE＝13AD，将∠ABE沿BE折叠后得到∠GBE，延长BG 交CD 于F 点，若F 为CD 中点，则BC 的长为 _____．三、解答题 33．已知三角形ABC ，用尺规求作一点P 使PB =PC ，且点P 到AB ，BC 的距离相等(不写作法，保留痕迹)34．解不等式组：533183x x x x -≤+⎧⎪+⎨>-⎪⎩35．如图，DE 是ABC ∆的中位线，延长DE 到F ，使EF DE =，连接BF ． 求证：BF DC =．36．如图所示，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD AC =，DE AB ⊥交BC 于点E ，若28B ∠=︒，求AEC ∠大小．37．解方程2533322x x x x --+=--． 38．先化简，再求值：22214244a a a a a aaa +--⎛⎫+÷⎪--+⎝⎭，其中2a = 39．先阅读下列材料，再解答下列问题分解因式：()22()1a b a b +-++将：将a b +看成整体，设M a b =+，则原式2221(1)M M M =-+=- 再将M 换原，得原式()21a b =+-上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解： （1）()2232(23)a b a b +-+（2）()2232(3)1n n n n ++++40．某单位计划从商店购买同一种品牌的钢笔和笔记本，已知购买一支钢笔比购买一个笔记本多用20元，若用1500元购买钢笔和用600元购买笔记本，则购买钢笔的数量是购买笔记本数量的一半．（1）求购买一支钢笔、一个笔记本各需要多少元？（2）经商谈，商店给予优惠，优惠方式是每购买一支钢笔赠送一个笔记本；如果此单位需要笔记本的数量是钢笔数量的3倍还少6个，且购买钢笔和笔记本的总费用不超过1020元，那么最多可购买多少支钢笔？41．如图，在∠ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．（1）求证：AB=CF ；（2）连接DE ，若AD=2AB ，求证：DE∠AF ． 42．解方程： x 2﹣2x ﹣3＝0．43．如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长DA ，BC ，使得AE ＝CF ，连接BE ，DF ．（1）求证：∠ABE ∠∠CDF ；（2）连接BD ，若∠1＝32°，∠ADB ＝22°，请直接写出当∠ABE ＝ °时，四边形BFDE 是菱形．44．有四张大小、质地都相同的不透明卡片，上面分别标有数字1，2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，洗匀后从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后再从中任意抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率．45．如图，在∠ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ． （1）求证：AF ：FD ＝AD ：DB ；（2）若AB ＝30，AD ：BD ＝2：1，请直接写出DF 的长．46．列方程解下列应用题：沈阳的冬天比较冷，某店销售的充电暖宝热销，每个暖宝售价为80元，每星期可卖出300个，为了促销，该店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个．已知该款暖宝每个成本为60元，在顾客得到实惠的前提下，该店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为多少元？ 47．一次函数y ＝k 1x +b 和反比例函数y ＝2k x的图象的相交于A （2，3），B （﹣3，m ），与x 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）请直接写出m 的值为 ，反比例函数y ＝2k x的表达式为 ； （2）观察图象，请直接写出k 1x +b ﹣2k x＞0的解集； （3）求∠AOB 的面积．48．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边的延长线上一点，连接DE ，且∠EDC ＝30°，以DE 为斜边作等腰Rt∠DEF ，直角边EF 的延长线交BD 于点M ，连接AF ． （1）请直接写出∠ADF ＝ 度； （2）求证：∠DAF ∠∠DBE ；（3）请直接写出EMBE的值．49．如图，正方形ABCD的边长是6，E，F分别是直线BC，直线CD上的动点，当点E在直线BC上运动时，始终保持AE∠EF．（1）求证：Rt∠ABE∠Rt∠ECF；（2）当点E在边BC上，四边形ABCF的面积等于20时，求BE的长；（3）当点E在直线BC上时，∠AEF和∠CEF能相似吗？若不能，说明理由，若能请直接写出此时BE的长．50．如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝6，AB＝8，如图2，矩形ABCD沿OB所在射线方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从点A出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）当t＝5时，请直接写出点D，P的坐标；（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出∠PBD的面积S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围；（3）当点P在线段AB或线段BC上运动时，过点P作PE∠x轴，垂足为E，当∠PEO 与∠BCD相似时，请直接写出相应的t值．参考答案：1．D【解析】【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念逐项判断即可．【详解】A 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；D 、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，掌握它们的概念是关键．2．C【解析】【详解】已知a >b ，A. a +2>b +2，故A 选项错误；B. a −2>b −2，故B 选项错误；C. 2a ＞2b ，故C 选项正确； D. −2a <−2b ，故D 选项错误．故选C.3．A【解析】【分析】将代数式进行适当的变形，然后将已知条件代入其中计算即可；【详解】由题可得()22m n nm mn m n -=-，∠2,3mn m n =--=，∠原式=()-23=-6⨯．故答案先A ．【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确根据条件化简计算是关键．4．D【解析】【分析】根据平行四边形的判定选择合适的条件即可；【详解】因为四边形ABCD 中，AB=CD ，可知是一组对边相等，当∠A+∠D=180°时，AB CD ∥，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结果；故答案为D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解是解题的关键．5．C【解析】【分析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA=OC ；又因为点E 是BC 的中点，所以OE 是△ABC 的中位线，由OE=2，即可求得AB=4，继而可得出▱ABCD 的周长【详解】解：∠四边形ABCD 是平行四边形，∠OA=OC ；又∠点E 是BC 的中点，∠BE=CE ，∠AB=2OE=2×2=4故▱ABCD 的周长=2（AB+AD ）=18故选C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．6．D【解析】【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、不等式的性质、中心对称的性质等进行判断．【详解】A 、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误；B 、逆命题是：如果a ＞b ，则ac 2＞bc 2，是假命题，故本选项错误；C 、逆命题为：全等的两个图形成中心对称，是假命题，故本选项错误；D 、逆命题为：等腰三角形是有两边相等的三角形，故本选项正确；故选：D【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，并熟悉课本中的性质定理．7．D【解析】【详解】试题分析：从图象得到，当x≤3时，2y x =-+的图象对应的点在函数y ax b =+的图象上面，∠不等式2x ax b -+≥+的解集为x≤3．故选D ．考点：一次函数与一元一次不等式．8．A【解析】【分析】利用等边三角形三边相等，结合已知BC=BD ，易证ABD ∆、CBD ∆都是等腰三角形，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得BCD ∠的度数.【详解】ABC ∆是等边三角形，BC AC AB ∴==， 又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒00000018018020206080CBD BAD BDA ABC∴∠=-∠-∠-∠=---=,BC BD =,11(180)(18080)5022BCE CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒, 故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键.9．C【解析】【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．【详解】 解：2x m x +-＋32m x-＝4 方程两边同乘（x−2）得，x ＋m−3m ＝4x−8，解得，x ＝8-23m 由题意得，8-23m >0且8-23m ≠2 解得，m ＜4，且m≠1实数m 的取值范围是：m ＜4且m≠1．故选：C ．【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．【解析】【分析】由题可知：甲队检测600人需要的时间为600x ，乙队检测500人所用的时间50015x - ，再根据甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%建立等量关系即可．【详解】解：由题可知：甲队检测600人需要的时间为600x ，乙队检测500人所用的时间50015x -，根据甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%建立方程：600500(110%)15x x =⨯-- 故答案选：A【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题关键．11．A【解析】【详解】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选A ．12．C【解析】【分析】根据判别式公式，求这个一元二次方程的判别式，根据正负情况即可得到答案．【详解】根据题意得：∠＝42−4×1×2＝16−8＝8>0，∠该方程有两个不相等的实数根，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．13．C【分析】先求出反面朝上的频数，然后根据频率=频数÷总数求解即可【详解】解：∠小明抛一枚硬币100次，其中有60次正面朝上，∠小明抛一枚硬币100次，其中有40次反面朝上，∠反面朝上的频率=40÷100=0.4，故选C ．【点睛】本题主要考查了根据频数求频率，解题的关键在于能够熟练掌握频率=频数÷总数． 14．B【解析】【分析】由该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】依题意得：()236148x +=．故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．D【解析】【详解】试题分析：∠1l ∠2l ∠3l ，32AB BC =，∠DE DF =AB AC =332+=35，故选D ． 考点：平行线分线段成比例．16．A【解析】【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得到答案.∠29190x x -+=，∠2919x x -=-， 则2818191944x x -+=-+， 即29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】此题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的计算方法是解题的关键.17．D【解析】【分析】根据概率公式求解即可．【详解】∠书架上放着两本散文和一本数学书，小明从中随机抽取一本， ∠1()=3P 抽到数学书． 故选：D ．【点睛】本题考查随机事件的概率，某事件发生的概率等于某事件发生的结果数与总结果数之比，掌握概率公式的运用是解题的关键．18．A【解析】【分析】根据点P 的坐标，利用待定系数法即可得．【详解】 解：设这个反比例函数的表达式为(0)k y k x=≠， 由题意，将点(3,1)P --代入得：3(1)3k =-⨯-=， 则这个反比例函数的表达式为3y x=，【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．19．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A.∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；B.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；C.∵AC2＝AD•AB，∴AC AB AD AC=，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；D.∵BC2＝BD•AB，∴BC AB BD BC=，添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意．故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理的内容是解此题的关键．20．C【解析】【分析】由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=12BC，根据平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明∠MBD∠∠EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE 的周长为2DE +2MD =BC +AC ，即可得答案．【详解】∠D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠AE =CE ，AD =BD ，DE 为∠ABC 的中位线，∠DE //BC ，DE =12BC ，∠∠ABC ＝90°，∠∠ADE =∠ABC =90°，在∠MBD 和∠EDA 中，90MDB A BD AD MBD ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∠∠MBD ∠∠EDA ，∠MD =AE ，DE =MB ，∠DE //MB ，∠四边形DMBE 是平行四边形，∠MD =BE ，∠AC ＝18，BC ＝14，∠四边形DMBE 的周长=2DE +2MD =BC +AC =18+14=32．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．21．-2【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质求出x ，y 的值，进而求出答案．【详解】∠点A （2x -，3）与点B （4x +，5y -）关于原点对称，∠240x x -++=，350y +-=，∠1x =-，2y =，∠122xy =-⨯=-．【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质，根据与原点对称的点的坐标特点（纵坐标，横坐标都互为相反数）得出x ，y 的值是解题关键．22．5.【解析】【详解】设这个多边形是n 边形，由题意得，(n-2) ×180°=540°,解之得，n =5.23．6+6【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质定理得AD =BD ，从而有∠DAB =∠B =15゜，由三角形外角性质可得∠ADC =30゜，由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得AD 与CD 的长，最后可求得BC 的长．【详解】∠直线l 是线段AB 的垂直平分线∠AD =BD∠∠DAB =∠B =15゜∠∠ADC =∠DAB +∠B =30゜∠90C ∠=︒，3AC =∠AD =2AC =6∠BD =AD =6由勾股定理得：CD =∠6BC BD CD =+=+故答案为：6+【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练运用这些知识是关键．24． ≠2 −1【解析】【分析】根据分式的定义，分母不为零则分式有意义，分式的分子为零而分母不为零，则分式的值为零．【详解】当20x -≠时，即2x ≠时，分式12x -有意义； 由题意，210x -=，即1x =±但当x =1时，分母x -1=1-1=0∠1x =-；故答案为：2≠；−1【点睛】本题考查了分式的意义及分式值为零的条件，特别要注意的是：分式的分母不能为零． 25．4【解析】【分析】过点D 作DF ∠AC 于点F ，则由角平分线的性质定理可得DF =DE =3，再由ABC ABD ACD S S S =+即可求得AC 的长．【详解】如图，过点D 作DF ∠AC 于点F∠DE ∠AB ，DF ∠AC ，AD 平分∠BAC∠DF =DE =3∠ABC ABD ACD SS S =+=15，AB =6 ∠111522AB DE AC DF ⨯+⨯= 即116331522AC ⨯⨯+⨯⨯= 解得：AC =4故答案为：4【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，面积的计算，关键是作垂线便于角平分线性质定理的运用．26．9【解析】【分析】设正多边形的外角为x 度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数．【详解】设正多边形的外角为x 度，则内角为(5x −60)度由题意得：560180x x +-=解得：40x =则正多边形的边数为：360÷40=9即这个正多边形的边数为9故答案为：9【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角．27．43##113【解析】【分析】先用含x 的代数式表示y ，然后代入比例式进行计算即可得解．【详解】解：∠13 xy=∠y=3x，∠x yy+=344333x x xx x+==．故答案为：43．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是用含x的代数式表示y．28．k＞5【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质，当5−k＜0时，图象分别位于第二、四象限，即可解得答案．【详解】解：∠反比例函数y＝5kx-的图象分布在第二、四象限，∠5−k＜0，解得k＞5，故答案为：k＞5．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象与比例系数之间的关系是解题的关键．29．49：##4 9【解析】【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【详解】解：∠相似三角形对应高的比等于相似比，∠两三角形的相似比为2：3，∠两三角形的面积比为4：9．故答案为：4：9或49． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．30．-2【解析】【分析】把0x =代入方程计算，检验即可求出k 的值．【详解】把0x =代入方程得：220k k +-=，()()120k k -+=，可得10k -=或20k +=，解得：1k =或2k =-，当1k =时，10k -=，此时方程不是一元二次方程，舍去；则k 的值为2-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．31．(0，0)或(143，4) 【解析】【分析】分∠点A 和点C 为对应点，点B 和点D 为对应点；∠点A 和点D 为对应点，点B 和点C 为对应点两种情况，根据位似中心的概念解答．【详解】解：∠当点A 和点C 为对应点，点B 和点D 为对应点时，延长CA 、BD 交于点O ，则位似中心的坐标是（0，0），∠当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时，连接AD、BC交于点P，则点P为位似中心，∠线段AB、CD是位似图形，∠AB∠CD，∠∠PAB∠∠PDC，∠12AP ABPD CD==，即152APAP=-，∠AP53 =，∠位似中心点P的坐标是(533+，4)，即(143，4)，综上所述，位似中心点的坐标是(0，0)或(143，4)，故答案为：(0，0)或(143，4)．【点睛】本题考查了位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．32．【解析】【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明△BCF∠∠HDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC=DH，由折叠的性质得出∠A=∠BGE=90°，AE=EG，设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，得出EH=5x，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案．【详解】解：延长BF 交AD 的延长线于点H ，∠四边形ABCD 是矩形，∠AD =BC ，AD ∠BC ，∠A =∠BCF =90°，∠∠H =∠CBF ，在△BCF 和△HDF 中，CBF H BCF DFH CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BCF ∠∠HDF （AAS ），∠BC =DH ，∠将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，∠∠A =∠BGE =90°，AE =EG ，∠∠EGH =90°，∠AE =13AD ， ∠设AE =EG =x ，则AD =BC =DH =3x ，∠ED =2x ，∠EH =ED +DH =5x ，在Rt △EGH 中，sin∠H =155EG x EH x ==， ∠sin∠CBF =15CF BF =， ∠AB =CD =4，F 为CD 中点，∠CF =2， ∠215BF =， ∠BF =10，经检验，符合题意，∠BC故答案为：．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．33．作图见解析．【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质即可用尺规作图求作点P ．【详解】如图，点P 即为所求．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质．34．22x -<≤．【解析】【分析】先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【详解】解不等式5331x x -≤+得：2x ≤， 解不等式83x x +>-得：2x >-， 所以原不等式组的解集是22x -<≤．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． 35．见解析【分析】由已知条件可得DF =AB 及DF ∠AB ，从而可得四边形ABFD 为平行四边形，则问题解决．【详解】∠DE 是ABC ∆的中位线∠DE ∠AB ，12DE AB =，AD =DC ∠DF ∠AB∠EF =DE∠DF =AB∠四边形ABFD 为平行四边形∠AD =BF∠BF =DC【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质定理，掌握它们是解答本题的关键．当然本题也可以用三角形全等的知识来解决．36．59゜【解析】【分析】由已知条件及角平分线的判定定理可得EA 平分∠CED ，再由三角形外角定理得∠CED 的度数，从而可求得∠AEC 的大小．【详解】∠90C ∠=︒∠AC ∠CB∠DE AB ⊥，AD AC =∠EA 平分∠CED 即12AEC CED ∠=∠ ∠DE ∠AB∠∠EDB =90゜∠∠CED =∠EDB +∠B =90゜+28゜=118゜∠∠AEC =59゜【点睛】本题考查了角平分线的判定定理及三角形外角的性质，关键是角平分线性质定理的运用；当然本题也可以证明∠AEC ∠∠AED 来计算．37．x =4【解析】【分析】根据解分式方程的步骤：去分母，求出整式方程的解，检验，得出结论．【详解】 解：2533322x x x x --+=--， 去分母：2x －5+3(x －2)＝3x －3，去括号：2x －5+3x －6＝3x －3，移项，合并：2x ＝8，系数化为1：x ＝4，经检验，x ＝4是原分式方程的解．【点睛】本题考查解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，注意一定要进行检验． 38．21(2)a -，12 【解析】【分析】利用分式的混合运算法则，先将括号内的分母分解因式、通分加法运算，再进行除法运算化简原式，再代入a 值计算即可．【详解】解：原式=2214(2)(2)a a a a a a a -⎛⎫+--+÷ ⎪-⎝⎭=2(2)(2)(1)(2)4a a a a a a a a +-+-⋅-- =24(2)4a a a a a -⋅-- =21(2)a -将2a =代入，则原式12==． 【点睛】本题考查分式的化简求值、因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握分式的混合运算法则是解答的关键．39．（1）5()()a b a b +-；（2）()2231n n ++． 【解析】【分析】（1）将“32a b +”和“23a b +”看成整体，令32a b A +=，23a b B +=，则原式22A B =-，利用平方差公式分解后，再将“A”、“B”还原，化简即可；（2）将“23n n +” 看成整体，令23n n M +=，利用完全平方公式分解后，再将“M”还原，即可．【详解】（1）令32a b A +=，23a b B +=，原式22A B =-()()A B A B =+-，将“A”、“B”还原，得：原式()()32233223a b a b a b a b =++++--(55)()a b a b =+-5()()a b a b =+-；（2）令23n n M +=，则原式=2(2)1(1)M M M ++=+，将“M”还原，得：原式=()2231n n ++． 【点睛】本题考查了因式分解－公式法，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握换元和整体思想解决问题的方法．40．（1）25，5；（2）30．【解析】【分析】（1）设购买一个笔记本需要x元，则购买一支钢笔需要（x+20）元，根据数量=总价÷单价结合用1500元购买钢笔的数量是用600元购买笔记本数量的一半，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m支钢笔，则购买（3m-6）个笔记本，根据总价=单价×数量结合总费用不超过1020元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】解：（1）设购买一个笔记本需要x元，则购买一支钢笔需要（x+20）元，依题意，得：2×150060020x x=+，解得：x＝5，经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意，∠x+20＝25．答：购买一支钢笔需要25元，购买一个笔记本需要5元．（2）设购买m支钢笔，则购买（3m﹣6）个笔记本，依题意，得：25m+5（3m﹣6﹣m）≤1020，解得：m≤30．答：最多可购买30支钢笔．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．41．详见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明AB=CF可通过∠AEB∠∠FEC证得，利用平行四边形ABCD的性质不难证明；（2）由平行四边形ABCD的性质可得AB=CD，由∠AEB∠∠FEC可得AB=CF，所以DF=2CF=2AB，所以AD=DF，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED∠AF .试题解析：（1）∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB∠DF，∠∠BAE =∠F ，∠E 是BC 的中点，∠BE =CE ，在∠AEB 和∠FEC 中，BAE F AEB FEC BE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AEB ∠∠FEC （AAS ），∠AB =CF ；（2）∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AB =CD ，∠AB =CF ，DF =DC +CF ，∠DF =2CF ，∠DF =2AB ，∠AD =2AB ，∠AD =DF ，∠∠AEB ∠∠FEC ，∠AE =EF ，∠ED ∠AF .点睛：掌握全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质. 42．x 1＝﹣1，x 2＝3【解析】【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x 2﹣2x ﹣3＝0，（x +1）（x ﹣3）＝0，x +1=0或x ﹣3＝0，x 1＝﹣1，x 2＝3．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．43．（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE ∠∠CDF ；（2）通过证明BE =DE ，可得结论．【详解】证明：（1）∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AB =CD ，∠BAD =∠BCD ，∠∠1=∠DCF ，在△ABE 和△CDF 中，1AE CF DCF AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠CDF （SAS ）；（2）当∠ABE =10°时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：∠∠ABE ∠∠CDF ，∠BE =DF ，AE =CF ，∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AD =BC ，∠AD +AE =BC +CF ，∠BF =DE ，∠四边形BFDE 是平行四边形，∠∠1=32°，∠ADB =22°，∠∠ABD =∠1-∠ADB =10°，∠∠ABE =12°，∠∠DBE =22°，∠∠DBE =∠ADB =22°，∠BE =DE ，∠平行四边形BFDE 是菱形，。
数学中的整体思想
整体思想概述：
整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式 子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联， 进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法. 从整体出发的处理方法，体现了一种着眼全局、通盘 考虑的整体观念. 中学数学中，整体思想的应用广泛. 运用整体思想方法的三部曲：（１）从整体出发，高 瞻远瞩地统帅局部；（２）通过对局部的研究，酝酿 总体解决的方案；（３）回到整体，实现解决整个问 题的总目标. 整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程 （组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、 整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都 是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
第二十八章一元二次方程
解一元二次方程的方法中的因式 分解法运用的是整体思想。 教材九年级上39页例5：
（1） 3( x 1)2 2( x 1) (2) ( x 5)2 49
分析：把（x-1)与(x+5)当做整体，移项 后，方程（1）可用提公因式法，方程 （2）可用平方差公式。
第二十九章 相似形
1、如图，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝ 2∠ACD，试说明∠A与∠D之间的关系.
评注：本例应用整体思想得到∠A与∠D之间的 关系，主要应用三角形的内角，三角形内角和 定理结合整体思想进行说理.
第十四章
分式
整体代入在分式化简求值中的妙用
1、已知 x 2 3x 1 0 求下列各式的值： ⑴ x 1 x
2 2 2 2
2
2
四、整体合并法
计算4(x＋y)＋3(x＋y)＋2(x－y)－3(x－y). [思路分析]本题按照常规解法是先去括号,再 合并同类项.但这样做比较麻烦,若把x＋y,x－ y各看作一个“整体”先行合并,再去括号,就 方便快捷多了. 解:原式＝(4＋3)(x＋y)＋(2－3)(x－y)＝7(x＋ y)－(x－y)＝7x＋7y－x＋y＝6x＋8y. [规律总结]括号内所含内容相同的多项式运算, 可将括号看作一个“整体”先行合并,再去括 号,可简化运算.
部编数学七年级上册专题2.5整式中的整体思想(强化)(解析版)含答案
专题2.5 整式中的整体思想【例题精讲】【例1】已知12x y -=，则(2)x y --+的结果是( )A ．32-B ．112C ．72D ．72-【解答】解：12x y -=Q ，12y x \-=-，(2)x y \--+1(2)2=--1.5=-，故选：A ．【例2】已知232a a +=，则2391a a ++的值为 7 ．【解答】解：232a a +=Q ，2391a a \++23(3)1a a =++321=´+61=+7=．故答案为：7．【例3】当1x =时，代数式23ax bx ++的值为1，当1x =-时，代数式23ax bx --的值为( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-【解答】解：当1x =时，代数式为31a b ++=，即2a b +=-，则当1x =-时，代数式为3235a b +-=--=-．故选：D ．【例4】已知23a b -=，25b c -=-，10c d -=，则多项式223a b d +-的值为( )【解答】解：232510a b b c c d -=ìï-=-íï-=î①②③，①+②，得2a c -=-，2c a \=+④，把④代入③，得210a d +-=，8a d \-=，2216a d \-=⑤．②+③，得25b d -=⑥，⑤+⑥，得22321a b d +-=．故选：A ．【例5】若x ，y 二者满足等式2222x x y y -=-，且12xy =，则式子2222()2020x xy y x y ++-++的值为( )A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【解答】解：2222x x y y -=-Q ，12xy =22220x x y y \-+-=，21xy =．2222()2020x xy y x y \++-++222222020x xy y x y =++--+222222020x x y y xy =-+-++．012020=++2021=．故选：C ．【题组训练】一．选择题（共42小题）1．已知231a a +=，则代数式2261a a +-的值为( )【解答】解：231a a +=Q ，222612(3)12111a a a a \+-=+-=´-=．故选：B ．2．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为( )A ．18B ．12C ．9D ．7【解答】解：23669x x -+=Q ，2363x x \-=，221x x \-=，226167x x \-+=+=．故选：D ．3．当2x =时，代数式37ax bx +-的值等于19-，那么当2x =-时，这个代数式的值为( )A ．5B ．19C ．31-D ．19-【解答】解：2x =Q 时，代数式37ax bx +-的值等于19-，把2x =代入得：82719a b +-=-8212a b \+=-根据题意把2x =-代入37ax bx +-得：827a b ---(82)7a b =-+-(12)7=---5=故选：A ．4．代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：2346x x -+Q 的值为9，23469x x \-+=，2343x x \-=，2413x x \-=，\2461653x x -+=-+=．故选：D ．5．已知代数式2x y +的值是3，则代数式241x y ++的值是( )A ．1B ．4C ．7D ．不能确定【解答】解：23x y +=Q ，2412(2)1x y x y \++=++，231=´+，61=+，7=．故选：C ．6．若8x y +=，6y z +=，2220x z -=，则x y z ++的值为( )A ．10B ．12C ．14D ．20【解答】解：8x y +=Q ，6y z +=，14x y y z \+++=，则214x y z ++=，2x y y z +--=，则2x z -=，22()()20x z x z x z -=-+=Q ，10x z \+=，21014y \+=，解得：2y =，则10212x y z ++=+=．故选：B ．7．若2X Y +=，3Z Y -=-，则X Z +的值等于( )A ．5B ．1C ．1-D ．5-【解答】解：2X Y +=Q ，3Z Y -=-，231X Y Z Y X Z \++-=+=-=-．故选：C ．8．已知100m n -=，1x y +=-，则代数式()()x n m y ----的值是( )A ．101-B ．99-C ．99D ．101【解答】解：100m n -=Q ，1x y +=-，()()x n m y \----x n m y=-++()()x y m n =++-1100=-+99=．故选：C ．9．若代数式23x x +的值为5，则代数式2269x x +-的值是( )A ．10B ．1C ．4-D ．8-【解答】解：235x x +=Q ，2269x x \+-22(3)9x x =+-259=´-1=．故选：B ．10．若2320x x --=，则2262020x x -+的值为( )A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【解答】解：2320x x --=Q ，232x x \-=，2262020x x \-+22(3)2020x x =-+222020=´+2024=，故选：D ．11．当2x =时，整式31ax bx +-的值等于100-，那么当2x =-时，整式31ax bx +-的值为( )A ．100B ．100-C ．98D ．98-【解答】解：Q 当2x =时，整式31ax bx +-的值为100-，821100a b \+-=-，即8299a b +=-，则当2x =-时，原式82199198a b =---=-=．故选：C ．12．若223m m +=，则2481m m +-的值是( )A ．11B ．8C ．7D ．12【解答】解：223m m +=Q ，224814(2)143111m m m m \+-=+-=´-=．故选：A ．13．如果多项式235a b -+=，则多项式642(b a -+= )A ．7B ．8-C ．12D ．12-【解答】解：235a b -+=Q ，6422(23)225212b a a b \-+=-++=´+=．故选：C ．14．已知32a b -=，则代数式627a b --的值为( )A ．3-B ．3C ．11-D ．5-【解答】解：32a b -=Q ，627a b \--2(3)7a b =--227=´-47=-3=-．故选：A ．15．已知232a b -=，则569a b -+的值是( )A ．0B ．2C ．1-D ．1【解答】解：2?32a b =Q ，\原式5?3(2?3)5321a b ==-´=-．故选：C ．16．若20x y +-=，则代数式8x y --+的值是( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解答】解：20x y +-=Q ，2x y \+=，8x y \--+()8x y =-++28=-+6=，故选：C ．17．若231a b -=，则代数式146a b +-的值为( )A ．1-B ．1C ．2D ．3【解答】解：231a b -=Q ，14612(23)a b a b \+-=+-121=+´12=+3=，故选：D ．18．若22350x x +-=，则代数式2469x x --+的值是( )A ．4B ．5C ．1-D ．14【解答】解：22350x x +-=Q ，2235x x \+=，224692(23)92591x x x x \--+=-++=-´+=-．故选：C ．19．若3270x y --=，则646x y --的值为( )A ．20B ．8C ．8-D ．20-【解答】解：3270x y --=Q ，327x y \-=，6462(32)62761468x y x y \--=--=´-=-=．故选：B ．20．已知22x y -=，则代数式362014x y -+的值是( )A ．2016B ．2018C ．2020D ．2021【解答】解：22x y -=Q ，\原式3(2)20143220142020x y =-+=´+=，故选：C ．21．若23a b +=，则代数式24a b +的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：23a b +=Q ，\原式2(2)236a b =+=´=，故选：D ．22．若23m n -=．则代数式842m n +-的值为( )A ．14B ．11C ．5D ．2【解答】解：23m n -=Q ，84282(2)82314m n m n \+-=+-=+´=，故选：A ．23．已知23120x x --=，则2395x x -++的值是( )A ．31B ．31-C ．41D ．41-【解答】解：23120x x --=Q ，2312x x \-=，223953(3)5312531x x x x \-++=--+=-´+=-，故选：B ．24．若221m m +=，则2483m m +-的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：221m m +=Q ，2483m m \+-24(2)3m m =+-413=´-1=．故选：D ．25．当1x =时，代数式23ax bx ++的值为1，当1x =-时，代数式23ax bx --的值为( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-【解答】解：当1x =时，代数式为31a b ++=，即2a b +=-，则当1x =-时，代数式为3235a b +-=--=-．故选：D ．26．已知221a a -=．则2364a a -+的值为( )A ．1-B ．1C ．2-D ．5【解答】解：221a a -=Q ，\原式23(2)4a a =--+34=-+1=．故选：B ．27．若当1x =时，多项式23a bx cx dx +++的值是8，且当1x =-该多项式值为0，则a c +的值是( )A ．4B ．8C ．16D ．无法确定【解答】解：Q 当1x =时，多项式23a bx cx dx +++的值是8，且当1x =-该多项式值为0，\代入得：8a b c ++=，0a b c d -+-=，两式相加得：228a c +=，两边都除以2得：4a c +=，故选：A ．28．若代数式22x y -+的值是5，则代数式241x y -+的值是( )A ．4B ．7C ．5D ．不能确定【解答】解：225x y -+=Q ，23x y \-=，241x y \-+2(2)1x y =-+231=´+61=+7=．故选：B ．29．已知代数式2x y +的值是3，则124x y --的值是( )A ．2-B ．4-C ．5-D ．6-【解答】解：Q 代数式2x y +的值是3，12412(2)1235x y x y \--=-+=-´=-．故选：C ．30．已知3a b -=，则64()(b a --= )A ．12-B ．18C ．18-D ．12【解答】解：3a b -=Q ，64()b a \--64()a b =+-643=+´612=+18=．故选：B ．31．当1x =时，代数式31px qx ++的值是2020-，则当1x =-时，代数式31px qx ++的值是( )A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【解答】解：1x =Q 时，代数式31px qx ++的值是2020-，\把1x =代入31px qx ++得，12020p q ++=-，2021p q \+=-，2021p q \--=，把1x =-代入31px qx ++得，1p q --+20211=+2022=，故选：D ．32．已知260a b +-=，那么代数式182a b ++的值是( )A ．14B ．11C ．5D ．2【解答】解：260a b +-=Q ，1302a b \+-=，\原式1311112a b =+-+=，故选：B ．33．已知2x y +=，则2211122x xy y ++-的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：2211122x xy y ++-221(2)12x xy y =++-21()12x y =+-．2x y +=Q ，\原式21212=´-21=-1=．故选：A ．34．如果代数式2a b -的值为4，那么代数式423b a --的值等于( )A ．11-B ．7-C ．7D ．1【解答】解：24a b -=Q ，24b a \-=-，423b a \--2(2)3b a =--2(4)3=´--83=--11=-，故选：A ．35．已知23x y -=，则代数式624x y -+的值为( )A ．0B ．1-C ．3-D ．3【解答】解：23x y -=Q ，62462(2)623660x y x y \-+=--=-´=-=故选：A ．36．当2x =时，整式31ax bx +-的值等于19-，那么当2x =-时，整式31ax bx +-的值为( )A ．19B ．19-C ．17D ．17-【解答】解：Q 当2x =时，整式31ax bx +-的值为19-，82119a b \+-=-，即8218a b +=-，则当2x =-时，原式82118117a b =---=-=．故选：C ．37．若代数式23a a -的值是4，则213522a a --的值是( )A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-【解答】解：Q 代数式23a a -的值为4，234a a \-=，\213522a a --21(3)52a a =--1452=´-25=-3=-．故选：B ．38．已知2a b -=，12a c -=，则代数式29()3()4b c b c -+-+的值是()A ．32-B ．32C ．0D ．94【解答】解：2a b -=Q ，12a c -=，\两式左右分别相减，得32b c -=-，29()3()4b c b c \-+-+2339()3()224=-+´-+999424=-+0=．故选：C ．39．如果代数式22x x +的值为5，那么代数式2243x x +-的值等于( )A ．2B ．5C ．7D ．13【解答】解：225x x +=Q ，2243x x \+-，22(2)3x x =+-253=´-103=-7=．故选：C ．40．若代数式28x y -+的值为18，则代数式364x y -+的值为( )A ．30B ．26-C ．30-D ．34【解答】解：2818x y -+=Q ，210x y \-=，3643(2)4310434x y x y \-+=-+=´+=故选：D ．41．当4x =时，多项式7533ax bx cx ++-的值为4-，则当4x =-时，该多项式的值为( )A ．4B ．3-C ．2-D ．答案不确定【解答】解：方法1：当4x =时，7533ax bx cx ++-163841024643a b c =++-4=-，所以163841024641a b c ++=-，当4x =-时，7533ax bx cx ++-163841024643a b c =----(16384102464)3a b c =-++-13=-2=-．方法2：当4x =时，7533ax bx cx ++-7532223a b c =++-4=-，所以7532221a b c ++=-，当4x =-时，7533ax bx cx ++-7532223a b c =----753(222)3a b c =-++-13=-2=-．故选：C ．42．已知代数式21x x -+的值为9，则2331x x --的值为( )A ．23B ．26-C ．23-D ．26【解答】解：223313()1x x x x --=--，219x x -+=Q ，28x x \-=，将28x x -=代入23()1x x --中可得38123´-=．故选：A ．二．填空题（共18小题）43．已知541x y z -=+=+，代数式222()()()y x z x y z -+-+-的值为 126 ．【解答】解：541x y z -=+=+Q ，6z x \-=-，9y x -=-，3y z -=-，把6z x -=-，9y x -=-，3y z -=-代入222()()()81369126y x z x y z -+-+-=++=，故答案为：126．44．若3mn m =+，则3310m mn -+= 1 ．【解答】解：原式33103()10m mn m mn =-+=-+，3mn m =+Q ，3m mn \-=-，\原式3(3)101=´-+=，故答案为：1．45．若2210a a --=，则2365a a -++= 2． ．【解答】解：2210a a --=Q ，221a a \-=，\原式23(2)5a a =--+315=-´+35=-+2=．故答案为：2．46．若25x y -=，则824x y -+= 2- ．【解答】解：25x y -=Q ，2410x y \-+=-，8248102x y \-+=-=-，故答案为：2-．47．已知232a a +=，则2391a a ++的值为 7 ．【解答】解：232a a +=Q ，2391a a \++23(3)1a a =++321=´+61=+7=．故答案为：7．48．若多项式2237x x ++的值为10，则多项式2697x x +-的值为 2 ．【解答】解：由题意得：2233x x +=226973(23)72x x x x +-=+-=．49．已知2230m m --=，则23()3(6)m m m --+= 9- ．【解答】解：原式233183m m m=---23618m m =--，2230m m --=Q ，223m m \-=，\原式23(2)18m m =--3318=´-918=-9=-，故答案为：9-．50．已知2m n -=，5mn =-，则3()(3)mn n mn m ---的值为 4- ．【解答】解：原式333mn n mn m=--+332m n mn =-+，2m n -=Q ，5mn =-，\原式3()2m n mn=-+322(5)=´+´-610=-4=-，故答案为：4-．51．如果2x =-，12y =，那么代数式221(43)3()3x xy x xy ---的值是 6 ．【解答】解：原式22433x xy x xy=--+22x xy =-，当2x =-，12y =时，原式21(2)2(2)4262=--´-´=+=，故答案为：6．52．已知21m n -=，则22(2)(1)m m m n +-+-= 2 ．【解答】解：21m n -=Q ，\原式2221m m m n =+--+21m n =-+11=+2=．故答案为：2．53．若3mn m =+，则23510mn m mn +-+= 1 ．【解答】解：原式3310mn m =-++，把3mn m =+代入得：原式393101m m =--++=，故答案为：154．已知10a b -=-，3c d +=，则()()a d b c +--= 7- ．【解答】解：当10a b -=-、3c d +=时，原式a d b c=+-+a b c d=-++103=-+7=-，故答案为：7-．55．已知1xy =，12x y +=，那么代数式(43)y xy x y ---的值等于 1 ．【解答】解：1xy =Q ，12x y +=，\原式434()211y xy x y x y xy =-++=+-=-=，故答案为：156．若235m mn +=，则2253(93)m mn mn m ---+= 10 ．【解答】解：235m mn +=Q ，\原式22225393262(3)10m mn mn m m mn m mn =-+-=+=+=，故答案为：1057．如果代数式2238a b -++的值为1，那么代数式2462a b -+的值等于 16 ．【解答】解：2238a b -++Q 的值为1，22381a b \-++=，2237a b \-+=-，2462a b \-+22(23)2a b =--++2(7)2=-´-+142=+16=故答案为：16．58．若多项式223x x +的值为 5 ，则2697x x ++= 22 ．【解答】解：2235x x +=Q ，2697x x \++23(23)7x x =++357=´+157=+22=故答案为： 22 ．59．已知210a b -+=，则代数式241a b --的值为 3- ．【解答】解：210a b -+=Q ，21a b \-=-，241a b \--2(2)1a b =--2(1)1=´--21=--3=-故答案为：3-．60．已知233a b -=-，则546a b -+= 11 ．【解答】解：233a b -=-Q ，546a b\-+52(23)a b =--52(3)=-´-56=+11=故答案为：11．。
整体思想在初中数学中的应用-最新教育文档
整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及严重性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。
初中一年级数学下册因式分解五十题
因式分解一．解答题（共50小题）1．分解因式：（1）a2b﹣b3；（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣92．分解因式：（Ⅰ）3mx﹣6my；（Ⅱ）y3+6y2+9y．3．因式分解：（1）4x2﹣9（2）﹣3x2+6xy﹣3y24．分解因式：（1）5mx2﹣10mxy+5my2（2）4（a﹣b）2﹣（a+b）2．5．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．6．分解因式：（1）a3﹣2a2+a；（2）（3x+y）2﹣（x﹣3y）2．7．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．8．如图，在一个大圆盘中有4个相同的小圆盘，已知大、小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5π cm2．求大、小圆盘的半径．9．因式分解：ab2﹣4ab+4a．10．仔细阅读下面例题，解答问题；例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．11．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周长．12．因式分解（1）2x3y﹣8xy（2）﹣x3+2x2﹣x．13．因式分解：（1）a3﹣16a；（2）﹣x2+x﹣14．因式分解（1）x3﹣x；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．15．分解因式：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（3）16（a﹣b）2﹣9（a+b）216．分解因式：（1）2x2﹣8y2（2）a3﹣8a2+16a17．分解因式：x3﹣x18．（1）计算：（2）因式分解：4ax2﹣4ax+a19．阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3=（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12=（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．20．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填序号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．21．因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）22．分解因式：2x2+4x+2．23．分解因式：x2y2﹣x2+y2﹣1．24．若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0．探索△ABC 的形状，并说明理由．25．分解因式：ab﹣a3b．26．【阅读材料】对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．于是有：a2+2ab﹣8b2=a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2=（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2=（a+b）2﹣9b2=[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]=（a+4b）（a﹣2b）我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．【应用材料】（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①m2+6m+8；②a4+a2b2+b427．因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．28．因式分解：2a3﹣8a2+8a．29．分解因式：（1）x3﹣4xy2（2）（a+2）（a﹣2）+3a30．分解因式：（1）a3b﹣ab3（2）x2﹣x﹣631．将下列各式因式分解：（1）x2﹣9（2）﹣3ma2+12ma﹣9m（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．32．因式分解：x3﹣4x．33．因式分解：3x﹣12x3和﹣2m+4m2﹣2m3．34．因式分解：（1）3a（a﹣2b）+6b（2b﹣a）（2）（x2+4y2）2﹣16x2y235．分解因式：（1）（x﹣4）（x+1）+3x；（2）4ab2﹣4a2b﹣b336．分解因式：（1）a3b﹣ab（2）﹣3x2+6xy﹣3y237．分解因式：（1）2m2n﹣8mn2（2）9a2b﹣6ab2+b338．分解因式：（1）x3﹣x；（2）2ax2﹣12ax+18a．39．因式分解：（1）ax2+2a2x+a3（2）（x+9）（x﹣1）﹣8x40．将下列各式因式分解：（1）2a2﹣6a（2）9（a+b）2﹣6（a+b）+1．41．因式分解：（1）9﹣y2+x2﹣6x（2）（m2﹣2m）2﹣2（m2﹣2m）﹣3．42．因式分解：（1）x3﹣16x（2）2x2﹣12x+18．43．对下列多项式进行分解因式：（1）（x﹣y）2+16（y﹣x）．（2）1﹣a2﹣b2﹣2ab．44．已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：（1）x2y+xy2（2）x2+y245．因式分解：（1）x2+2xy2+2y4；（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；（3）a（a2﹣1）﹣a2+1；（4）（a+1）（a﹣1）﹣8．46．分解因式：（1）2x2﹣4xy+2y2（2）m2（m﹣n）+（n﹣m）47．将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc48．因式分解（1）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）（2）x2﹣y2+4x﹣2y+349．将下列各式因式分解：（1）x2﹣9（2）﹣3ma2+12ma﹣9m（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．50．已知ab=5，a﹣2b=3，求代数式a3b﹣4a2b2+4ab3的值．因式分解参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．分解因式：（1）a2b﹣b3；（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣9【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）；（2）原式=﹣[（x2+2）2﹣6（x2+2）+9]=﹣（x2﹣1）2=﹣（x+1）2（x﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．分解因式：（Ⅰ）3mx﹣6my；（Ⅱ）y3+6y2+9y．【分析】（Ⅰ）提取公因式3m即可得；（Ⅱ）先提取公因式y，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：（Ⅰ）原式=3m（x﹣2y）；（Ⅱ）原式=y（y2+6y+9）=y（y+3）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．3．因式分解：（1）4x2﹣9（2）﹣3x2+6xy﹣3y2【分析】（1）利用完全平方公式分解可得；（2）先提取公因式﹣3，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：（1）原式=（2x）2﹣32=（2x+3）（2x﹣3）；（2）原式=﹣3（x2﹣2xy+y2）=﹣3（x﹣y）2．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的基本步骤和完全平方公式、平方差公式及公因式的确定．4．分解因式：（1）5mx2﹣10mxy+5my2（2）4（a﹣b）2﹣（a+b）2．【分析】（1）首先提公因式5m，再利用完全平方公式进行分解即可；（2）直接利用平方差进行分解即可．【解答】解：（1）原式=5m（x2﹣2xy+y2）=5m（x﹣y）2．（2）原式=[2（a﹣b）]2﹣（a+b）2=[2（a﹣b）+（a+b）][2（a﹣b）﹣（a+b）]=（3a﹣b）（a﹣3b）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．5．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）（2分）则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）∴（6分）解得：a=4，k=20（8分）故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．6．分解因式：（1）a3﹣2a2+a；（2）（3x+y）2﹣（x﹣3y）2．【分析】（1）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解可得；（2）先利用平方差公式分解，整理后再分别提取公因式2即可得．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣2a+1）=a（a﹣1）2；（2）原式=[（3x+y）+（x﹣3y）][（3x+y）﹣（x﹣3y）]=（4x﹣2y）（2x+4y）=4（2x﹣y）（x+2y）．【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．7．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．【解答】解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29，∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+20=49，∵m+n＞0，∴m+n=7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．【点评】此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．8．如图，在一个大圆盘中有4个相同的小圆盘，已知大、小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5π cm2．求大、小圆盘的半径．【分析】设大、小圆盘的半径分别是R cm，r cm，根据面积可得πR2﹣4πr2=5π，然后化简可得R2﹣4r2=5，分解可得（R+2r）（R﹣2r）=5，根据R，r都是整数，可得，再求出整数解即可．【解答】解：设大、小圆盘的半径分别是R cm，r cm，由题意可得，πR2﹣4πr2=5π，所以R2﹣4r2=5，所以（R+2r）（R﹣2r）=5，因为R，r都是整数，所以，解得，答：大、小圆盘的半径分别是3 cm，1 cm．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，关键是正确确定方程组的整数解．9．因式分解：ab2﹣4ab+4a．【分析】首先提公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣4b+4）=a（b﹣2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．10．仔细阅读下面例题，解答问题；例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．【分析】首先设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），继而可得方程组，解此方程即可求得答案．【解答】解：设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），则3x2+5x﹣m=3x2+（3n﹣1）x﹣n，∴，解得：n=2，m=2，∴另一个因式为（x+2），m的值为2．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意理解题意，结合题意求解是关键．11．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周长．【分析】先对含a、b的方程配方，利用非负数的和为0，求出a、b，再求周长．【解答】解：∵a2+b2﹣4a﹣8b+20=0∴a2﹣4a+4+b2﹣8b+16=0∴（a﹣2）2+（b﹣4）2=0，又∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0∴a﹣2=0，b﹣4=0，∴a=2，b=4，∴△ABC的周长为a+b+c=2+4+3=9．答：△ABC的周长为9．【点评】本题考查了三角形周长的计算、完全平方式及非负数的和为0．解决本题的关键是把方程转化为含a、b的完全平方式．12．因式分解（1）2x3y﹣8xy（2）﹣x3+2x2﹣x．【分析】（1）先提取公因式2xy，再利用平方差公式分解可得；（2）先提取公因式﹣x，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：（1）原式=2xy（x2﹣4）=2xy（x+2）（x﹣2）；（2）原式=﹣2x（x2﹣2x+1）=﹣2x（x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．因式分解：（1）a3﹣16a；（2）﹣x2+x﹣【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a3﹣16a=a（a2﹣16）=a（a+4）（a﹣4）；（2）﹣x2+x﹣=﹣（x2﹣x+）=﹣（x﹣）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14．因式分解（1）x3﹣x；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．【分析】（1）原式提取x，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1）；（2）原式=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．分解因式：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）（3）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2【分析】（1）首先提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接利用提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式即可；（3）直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3=﹣y（﹣4xy+4x2+y2）=﹣y（2x﹣y）2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）=（x﹣y）（9a2﹣4b2）=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）；（3）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2=[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]=（7a﹣b）（a﹣7b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．16．分解因式：（1）2x2﹣8y2（2）a3﹣8a2+16a【分析】（1）原式提取公因式2，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=2（x2﹣4y2）=2（x+2y）（x﹣2y）；（2）原式=a（a2﹣8a+16）=a（a﹣4）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．分解因式：x3﹣x【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．18．（1）计算：（2）因式分解：4ax2﹣4ax+a【分析】（1）先计算立方根、算术平方根、绝对值，再计算乘法，最后计算加减可得．（2）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：（1）原式==；（2）原式=a（4x2﹣4x+1）=a（2x﹣1）2．【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．19．阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3=（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12=（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得；（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．【解答】解：（1）x2﹣6x+8=（x﹣2）（x﹣4）；（2）①令A=x﹣y，则原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3），所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3=（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②令B=m2+2m，则原式=B（B﹣2）﹣3=B2﹣2B﹣3=（B+1）（B﹣3），所以原式=（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）=（m+1）2（m﹣1）（m+3）．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．20．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的C（填序号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果（x﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）这个结果没有分解到最后，原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；故答案为：否，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1=（x2﹣2x+1）2=（x﹣1）4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．21．因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2；（2）原式=（x﹣y）（9a2﹣4b2）=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．分解因式：2x2+4x+2．【分析】提公因式后利用完全平方式公式分解因式即可；【解答】解：2x2+4x+2=2（x2+2x+1）=2（x+1）2【点评】本题考查因式分解，因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，解题的关键是根据题目特点，正确寻找方法．23．分解因式：x2y2﹣x2+y2﹣1．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=x2（y2﹣1）+y2﹣1=（y2﹣1）（x2+1）=（y+1）（y﹣1）（x2+1）．【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．24．若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0．探索△ABC 的形状，并说明理由．【分析】直接利用因式分解法将原式变形，进而得出a，b，c的关系，进而得出答案．【解答】解：△ABC是等边三角形，理由：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a=b=c，∴△ABC的形状是等边三角形．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．25．分解因式：ab﹣a3b．【分析】先提取公因式ab，再利用平方差公式分解可得．【解答】解：原式=ab（1﹣a2）=ab （1+a）（1﹣a）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．26．【阅读材料】对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．于是有：a2+2ab﹣8b2=a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2=（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2=（a+b）2﹣9b2=[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]=（a+4b）（a﹣2b）我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．【应用材料】（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①m2+6m+8；②a4+a2b2+b4【分析】（1）根据解题步骤及因式分解的步骤解答即可的；（2）①将原式变形为m2+6m+9﹣1=（m+3）2﹣12分解可得；②将原式变形为a4+2a2b2+b4﹣a2b2=（a2+b2）2﹣（ab）2再进一步分解可得．【解答】解：（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式．故答案为：公式；（2）①m2+6m+8=m2+6m+9﹣1=（m+3）2﹣12=（m+3+1）（m+3﹣1）=（m+4）（m+2）；②a4+a2b2+b4=a4+2a2b2+b4﹣a2b2=（a2+b2）2﹣（ab）2=（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步骤．27．因式分解：（1）x2﹣4（2）ax2﹣4axy+4ay2．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=（x+2）（x﹣2）；（2）原式=a（x2﹣4xy+4y2）=a（x﹣2y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．28．因式分解：2a3﹣8a2+8a．【分析】运用提公因式法与公式法，把2a3﹣8a2+8a分解因式即可．【解答】解：2a3﹣8a2+8a=2a（a2﹣4a+4）=2a（a﹣2）2【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，要熟练掌握．29．分解因式：（1）x3﹣4xy2（2）（a+2）（a﹣2）+3a【分析】（1）提公因式后利用平方差公式分解因式即可；（2）展开后利用十字相乘法分解因式即可；【解答】解：（1）原式=x（x﹣2y）（x+2y）（2）原式=a2+3a﹣4=（a+4）（a﹣1）【点评】本题考查因式分解，因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，解题的关键是根据题目特点，正确寻找方法．30．分解因式：（1）a3b﹣ab3（2）x2﹣x﹣6【分析】（1）先提取公因式ab，再利用平方差公式分解可得；（2）利用十字相乘法分解可得．【解答】解：（1）原式=ab（a2﹣b2）=ab（a+b）（a﹣b）；（2）x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．31．将下列各式因式分解：（1）x2﹣9（2）﹣3ma2+12ma﹣9m（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式整理后，利用完全平方公式分解即可；（4）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）x2﹣9=（x+3）（x﹣3）；（2）﹣3ma2+12ma﹣9m=﹣3m（a2﹣4a+3）=﹣3m（a﹣1）（a﹣3）；（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）=4x2﹣12xy+9y2=（2x﹣3y）2；（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3=（a+2b）2+2（a+2b）+1=（a+2b+1）2．是解本题的关键．32．因式分解：x3﹣4x．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．33．因式分解：3x﹣12x3和﹣2m+4m2﹣2m3．【分析】3x﹣12x3先提取公因式3x，再利用平方差公式分解可得；﹣2m+4m2﹣2m3先提取公因式﹣2m，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：3x﹣12x3=﹣3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；﹣2m+4m2﹣2m3=﹣2m（m2﹣2m+1）=﹣2m（m﹣1）2．【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．34．因式分解：（1）3a（a﹣2b）+6b（2b﹣a）（2）（x2+4y2）2﹣16x2y2【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=3a（a﹣2b）﹣6b（a﹣2b）=3（a﹣2b）（a﹣2b）=3（a﹣2b）2；（2）原式=（x2+4y2）2﹣（4xy）2=（x2+4y2﹣4xy）（x2+4y2+4xy）=（x﹣2y）2（x+2y）2．是解本题的关键．35．分解因式：（1）（x﹣4）（x+1）+3x；（2）4ab2﹣4a2b﹣b3【分析】（1）先去括号、合并同类项，再利用平方差公式分解可得；（2）先提取公因式﹣b，再利用完全平方公式分解可得．【解答】解：（1）原式=x2﹣3x﹣4+3x=x2﹣4=（x+2）（x﹣2）；（2）原式=﹣b（4a2﹣4ab+b2）=﹣b（2a﹣b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．36．分解因式：（1）a3b﹣ab（2）﹣3x2+6xy﹣3y2【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a3b﹣ab=ab（a2﹣1）=ab（a+1）（a﹣1）；（2）﹣3x2+6xy﹣3y2=﹣3（x2﹣2xy+y2）=﹣3（x﹣y）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．37．分解因式：（1）2m2n﹣8mn2（2）9a2b﹣6ab2+b3【分析】（1）提公因式即可；（2）提公因式后利用完全平方公式分解因式即可；【解答】解：（1）2m2n﹣8mn2=2mn（m﹣4n）（2）9a2b﹣6ab2+b3=b（b2﹣6ba+9a2）=b（b﹣3a）2【点评】本题考查因式分解，因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，解题的关键是根据题目特点，正确寻找方法．38．分解因式：（1）x3﹣x；（2）2ax2﹣12ax+18a．【分析】（1）原式提取x，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取2a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1）；（2）原式=2a（x2﹣6x+9）=2a（x﹣3）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．39．因式分解：（1）ax2+2a2x+a3（2）（x+9）（x﹣1）﹣8x【分析】（1）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式整理后，利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（x2+2ax+a2）=a（x+a）2；（2）原式=x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．40．将下列各式因式分解：（1）2a2﹣6a（2）9（a+b）2﹣6（a+b）+1．【分析】（1）提取公因式2a即可得；（2）利用完全平方公式分解即可得．【解答】解：（1）原式=2a（a﹣3）；（2）原式=[3（a+b）﹣1]2=（3a+3b﹣1）2．【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．41．因式分解：（1）9﹣y2+x2﹣6x（2）（m2﹣2m）2﹣2（m2﹣2m）﹣3．【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；（2）先根据十字相乘法进行分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：（1）原式=（x2﹣6x+9）﹣y2=（x﹣3）2﹣y2=（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）；（2）原式=（m2﹣2m﹣3）（m2﹣2m+1）=（m﹣3）（m+1）（m﹣1）2．【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法：十字相乘法和公式法是解题的关键．42．因式分解：（1）x3﹣16x（2）2x2﹣12x+18．【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣16）=x（x+4）（x﹣4）；（2）原式=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．对下列多项式进行分解因式：（1）（x﹣y）2+16（y﹣x）．（2）1﹣a2﹣b2﹣2ab．【分析】（1）首先把多项式变为（x﹣y）2﹣16（x﹣y），再提公因式x﹣y即可；（2）把后三项放在括号里，括号前面加“﹣”，利用完全平方公式进行分解，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：（1）原式=（x﹣y）2﹣16（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y﹣16）；（2）原式=1﹣（a2+b2+2ab）=1﹣（a+b）2=（1+a+b）（1﹣a﹣b）．【点评】此题主要考查了分解因式，关键是掌握分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．44．已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：（1）x2y+xy2（2）x2+y2【分析】（1）将x+y、xy的值代入原式=xy（x+y），计算可得；（2）将x+y、xy的值代入原式=（x+y）2﹣2xy，计算可得．【解答】解：（1）当x+y=6、xy=4时，原式=xy（x+y）=4×6=24；（2）当x+y=6、xy=4时，原式=（x+y）2﹣2xy=62﹣2×4=36﹣8=28．【点评】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握因式分解和完全平方公式及整体代入思想的运用．45．因式分解：（1）x2+2xy2+2y4；（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；（3）a（a2﹣1）﹣a2+1；（4）（a+1）（a﹣1）﹣8．【分析】（1）先提取公因式，再利用公式法求解可得；（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解；（3）先提取公因式a2﹣1，再分解可得；（4）先去括号、合并，再利用平方差公式分解可得．【解答】解：（1）原式=（x2+4xy2+y4）=（x+2y2）2；（2）原式=（2bc+b2+c2）（2bc﹣b2﹣c2）=﹣（b+c）2（b﹣c）2；（3）原式=a（a2﹣1）﹣（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1）﹣（a+1）（a﹣1）=（a+1）（a﹣1）2；（4）原式=a2﹣1﹣8=a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的能力．46．分解因式：（1）2x2﹣4xy+2y2（2）m2（m﹣n）+（n﹣m）【分析】（1）先提取公因式2，再利用完全平方公式分解可得；（2）先提取公因式m﹣n，再利用平方差公式分解可得．【解答】解：（1）原式=2（x2﹣2xy+y2）=2（x﹣y）2；（2）原式=（m﹣n）（m2﹣1）=（m﹣n）（m+1）（m﹣1）．【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤﹣﹣先提取公因式，再利用公式法分解．47．将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc【分析】（1）提取公因式4x即可得；（2）先提取公因式3x2，再利用公式法分解可得；（3）利用分组分解法，将a2﹣ab、ac﹣bc分别作为一组提取公因式后，再分解可得．【解答】解：（1）原式=4x（2x﹣y）；（2）原式=3x2（x2+2xy+y2）=3x2（x+y）2；（3）原式=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c）．【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法和分组分解法因式分解．48．因式分解（1）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）（2）x2﹣y2+4x﹣2y+3【分析】（1）首先提公因式a﹣1，再利用平方差进行分解即可；（2）首先把式子变为（x2+4x+4）﹣（y2+2y+1），然后再利用完全平方公式进行分解，再次利用平方差进行分解即可．【解答】解：（1）原式=x2（a﹣1）﹣y2（a﹣1），=（a﹣1）（x2﹣y2），=（a﹣1）（x+y）（x﹣y）；（2）原式=（x2+4x+4）﹣（y2+2y+1），=（x+2）2﹣（y+1）2，=（x+2+y+1）（x+2﹣y﹣1），=（x+y+3）（x﹣y+1）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式和提公因式法分解因式，关键是掌握完全平方公式和平方差公式．49．将下列各式因式分解：（1）x2﹣9。
集合中的数学思想整体思想
这个故事很好地体现了“正难则反”的思想．人们习惯的思维方式是正向思 维，即从条件入手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决．但有些数学问题， 若直接从正面分析，可能思路受阻，或者即使有思路，实施起来却也困难重重， 这时不妨突破思维定势而从反面入手，则可能出其不意，收获奇效．
例 1 已知集合 A = {x | ax2 + 3x + 2 = 0} 中至多有一个元素，则实数 a 的取值范围是.
PM
分类讨论思想
分类讨论是解决含参问题的最一般方法，学生务必熟练掌握。下面是利用分 类讨论解决含参问题的一般步骤：
（1）明确讨论对象．对于含参问题，我们通常是把范围未知（待求）的那 个字母当成参数，即将其当作讨论对象．
（2）确立分类标准．分类标准是我们进行分类讨论的依据。若欲对一实际 问题确立最佳的分类标准，需要我们根据对象的特征发现其中潜在的界线，而所 谓界线其实是一个特殊位置，通常表现出来就是临界条件，我们的分类标准往往 在此之上确立．这里需要注意的是，对某个具体问题我们可能确立不同的分类标 准，据此展开的讨论就可能产生不同的效果，这个非常简便，而那个却异常繁琐， 甚至难以求解。所以确立最佳的分类标准就显得尤为重要，而这往往也是分类讨 论的难点．