高二数学 概率与统计 (1)

高二数学 概率与统计考试要求1．统计（1）随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性．② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． （2）总体估计① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释． ④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． （3）变量的相关性① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． ② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 不要求记忆线性回归方程系数公式()()()1122211,n n i i i i i i i i i i x y nx y x x y y b a y bx x nx x x-------===---∑∑∑∑用最小二乘法求线性回归方程系数公式：7．概率（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．② 了解两个互斥事件的概率加法公式． （2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． （3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义．1．课本概念与定理详解(1)随机抽样①简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体数较少． ②系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．③分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成．(2)众数、中位数、平均数①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．在直方图中取频率为0.5处的频数。

③平均数：样本数据的算术平均数． (3)线性回归方程线性回归方程为y ^＝bx ＋a ，一定过样本中心点(x ，y )．2．活用的公式与结论 (1)直方图的三个有用结论①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(2)方差与标准差方差：s 2＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差：s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].(3)概率中的公式及相关结论 ①古典概型的概率公式P (A )＝m n ＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.②几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).③互斥事件与对立事件一次试验中不能同时发生的两个事件为互斥事件，在每一次试验中，两事件不会同时发生，并且一定有一个发生为对立事件．(4)线性相关系数r①当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关．②|r |越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，|r |越接近于0，两个变量的线性相关关系越弱；通常用|r |≥0.75时，认为两个变量间存在较强的线性相关关系．(5)独立性检验 ①2×2列联表设两个变量A ，B ，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2，变量B ：B 1，B 2，则2×2列联表如下：②K 2的计算公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )．③注意两个分类变量A 和B 是否有关系的判断方法3．易错易混点(1)混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．(2)回归直线方程中一次项系数为b ^，常数项为a ^，注意b 的几何意义．(3)解决一般的独立性检验问题，首先由所给2×2列联表确定a ，b ，c ，d ，n 的值，然后根据统计量K 2的计算公式确定K 2的值，最后根据所求值确定有多大的把握判定两个变量有关联．教材变式教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“源泉”，是高考试题的重要知识载体.纵观高考试卷中的概率统计试题，大多数试题源于教材，特别是大多数客观题是从课本上的练习题或习题改编的，即使是解答题，也是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用.复习阶段应该按《考试说明》对本部分内容的要求，以课本的例、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果。

当然，如果再做一些经典的高考试题，对考生的复习也是很有效的. 对于这部分知识，还应当重视概率统计的应用功能。

它的实际应用性是备考时应当着力思考的.应用题的考查，加大了对学生阅读能力的要求，对题目的准确理解，找到数学模型，是解答题目的关键.应该把近几年各地高考及模拟题归类分析，强化训练.变式1 (必修3，P 60探究改编)为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样解析：选C.因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样．变式2学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为( )A ．100B ．1 000C ．90D ．900解析：选A.支出在[50,60)元的频率为1－(0.1＋0.24＋0.36)＝0.3.∴样本容量n ＝300.3＝100. 变式3将线段CD 分成三段，则这三段能组成三角形的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.18解析：选C. 设线段CD 长度为1，分成的三段分别为x ，y,1－x －y ，则x －y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0<x <10<y <10<1－x －y <1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x ＋y <10<x <10<y <1.若这三段能组成三角形，则还需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y x ＋(1－x －y )>y y ＋(1－x －y )>x ，即⎩⎪⎨⎪⎧12<x ＋y <10<y <120<x <12作出可行域如图所示，由几何概型知所求概率P ＝S △MNP S △OAB ＝1812＝14.变式4(必修3，P 127例3改编)同时掷两枚质地均匀的骰子，其点数之和大于10的概率是________．解析：记：“点数之和大于10”为事件A .在同时掷两枚骰子出现的基本事件n ＝6×6＝36个．其中事件A 包含了(5,6)，(6,5)，(6,6)共3个．由古典概型知P (A )＝336＝112.变式5海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2. (2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为： A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有： {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.变式6 某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据.(1)①求回归方程y ＝b x ＋a ，(其中已算出b ＝－20)． ②谈谈商品定价对市场的影响．(2)估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线．若该产品的成本为4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？解：(1)①依题意：x ＝16(8＋8.2＋8.6＋8.8＋8.4＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.又b ^＝－20，∴a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250∴回归直线的方程为y ^＝－20x ＋250②由于b ^＝－20<0，则x ，y 负相关，故随定价的增加，销量不断降低． (2)设科研所所得利润为W ，设定价为x∴W ＝(x －4.5)(－20x ＋250)＝－20x 2＋340x －1 125，∴当x ＝34040＝8.5时，W max ＝320.故当定价为8.5元时，W 取得最大值．变式7 (选修1－2，P 16T 1改编)某县职工运动会将在本县一中运动场隆重召开，为了搞好接待工作，组委会在一中招募了12名男志愿者和18名女志愿者，调查发现，这30名志愿者的身高如下：(单位：cm)若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)完成2×2列联表，由以上统计量判断是否有97.5%的把握认为“高个子”与性别有关．(2)用分层抽样的方法从“高个子”中抽取6人，若从这6个中选2人求他们至少有一名能担任礼仪小姐的概率．参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：P (K 2≥5.024)≈0.025. 解：(1)由题意得2×2K 2＝30×(112－16)212×18×12×18≈5.926，由于5.926>5.024，所以有97.5%的把握认为“高个子”与性别有关．(2)由(1)可知，分层抽样后，男高个子有4人，记为A 、B 、C 、D ，女高个子有2人，记为a ，b .从这6个人中选2个．共有15种选法，至少有1人能担任礼仪小姐的方法有ab 、aA 、aB 、aC ，aD ，ba ，bB ，bC ，bD 共9种，故其概率为P ＝915＝35.复习关注概率与统计部分是高中文科数学一个重要的知识板块、在原教材的基础上变化后，有更强的实用性和整体性，也是高考考查考生应用意识的重要载体，已经成为近年来新课标高考的一大热点与亮点。