(完整版)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明
《等腰三角形》 讲义
《等腰三角形》讲义一、等腰三角形的定义在几何图形中，等腰三角形是一种特殊的三角形。
它是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边则称为底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的定义是我们认识和研究它的基础。
通过明确其定义，我们能够准确地判断一个三角形是否为等腰三角形，为后续的性质和判定的学习打下坚实的基础。
二、等腰三角形的性质1、两腰相等这是等腰三角形最基本的性质之一。
即如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两条腰长度必定相等。
2、两底角相等在等腰三角形中，两个底角的度数是相等的。
这一性质可以通过三角形内角和定理以及等腰三角形的特点进行证明。
3、三线合一等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，这被称为“三线合一”。
例如，已知一个等腰三角形 ABC，AB ＝ AC，AD 是角平分线。
因为 AB ＝ AC，所以角 B ＝角 C。
又因为 AD 是角平分线，所以角BAD ＝角 CAD。
在三角形 ABD 和三角形 ACD 中，AB ＝ AC，角BAD ＝角 CAD，AD ＝ AD（公共边），所以三角形 ABD 全等于三角形 ACD（SAS）。
从而可以得出 BD ＝ CD，AD 垂直于 BC。
这就证明了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。
4、等腰三角形是轴对称图形对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边上的中线）所在的直线。
三、等腰三角形的判定1、定义法如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2、等角对等边如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
例如，在三角形 ABC 中，角 B ＝角 C，要证明 AB ＝ AC。
我们可以作角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D。
因为角 BAD ＝角 CAD，角B ＝角 C，AD ＝ AD（公共边），所以三角形 ABD 全等于三角形ACD（AAS），从而得出 AB ＝ AC。
等腰三角形问题综合专项练习(解析版)
等腰三角形问题综合专项练习（解析版）一、单选题1．等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于（ ）A ．腰上的高B ．腰上的中线C ．底角的平分线D ．顶角的平分线【标准答案】A【思路点拨】画出图形，利用等积法证明可得等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．【精准解析】解：如图：中，，为上任意一点，，，垂足ABC ∆AB AC =D BC DE AB ⊥DF AC ⊥为、，于，连接AD ，E F CG AB ⊥G ，ED AB ⊥ ；12ABD S AB ED ∆∴=A ，DF AC ⊥ ；12ACD S AC DF ∆∴=⋅，CG AB ⊥ ；12ABC S AB CG ∆∴=⋅∵111222AB CG AB ED AC DF=+A A A 又，AB AC = ．CG DE DF ∴=+等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，∴故选：．A【名师指路】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等积法证明垂线段之间的关系．2．（2021·广东白云·八年级期末）如图，∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，则下列结论正确的有（ ）①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE ；④CD ＝BE．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【标准答案】D【思路点拨】由∠ABE ＝∠ACD ，∠E BC ＝∠DC B ，可得出∠ABC ＝∠ACB ，再利用等角对等边可得出AB ＝AC ，可判断①；由∠A ＝∠A ，AB ＝AC 及∠ABE ＝∠ACD ，可证出△ABE ≌△ACD （ASA ），再利用全等三角形的性质可得出AD ＝AE ，CD ＝BE ，可判断②④；由AB ＝AC ，AD ＝AE ，可得出BD ＝CE 可判断③即可．【精准解析】解：∵∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，∴∠ABE +∠EBC ＝∠ACD +∠DCB ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，结论①正确；在△ABE 和△ACD 中，，A A AB ACABE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AD ＝AE ，CD ＝BE ，结论②④正确；∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，∴BD ＝CE ，结论③正确．∴正确的结论有4个．故选择：D ．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021·广东高州·八年级期中）如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BE 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，则下列结论中，①∠ABE ＝∠ACD ；②BE ＝CD ；③OC ＝OB ；④CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③④【标准答案】C【思路点拨】由AB =AC 得∠AB C =∠ACB ，由两个平分条件，则可得∠ABE =∠ACD ，即①成立；且∠OBC =∠OCB ，从而可得OC =OB ，即③正确；易证△ABE ≌△ACD ，BE =CD ，故可得②正确；由AB =AC 得∠ABC =∠ACB ，由两个平分条件，则可得∠OBC =∠OCB ，从而可得OC =OB ，即③正确；若④成立，则可得△ABC 是等边三角形，显然与已知矛盾．【精准解析】∵AB =AC∴∠ABC =∠ACBBE 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线∴∠ABE =∠OBC =，∠ACD =∠OCB = 12ABC 12ACB ∴∠ABE =∠ACD =∠OBC =∠OCB即①成立∵∠OBC =∠OCB∴OC =OB即③正确在△ABE 和△ACD 中A A AB ACABE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACD (ASA )∴BE =CD即②正确若④成立，则∠ABC +∠OCB =90゜∵∠ABE =∠OBC =∠OCB∴∠ABE =∠OBC =∠OCB =30゜∴∠ABC =2∠ABE =60゜∵AB =AC∴△ABC 是等边三角形显然与已知△ABC 是等腰三角形矛盾故④错误所以正确的结论为①②③故选：C ．【名师指路】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定等知识，熟练运用三角形全等的判定与性质是本题的关键．4．（2021·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD =BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ．下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =120°；③△ADF 是等腰三角形；④，其中正确的结论是12FGAG =（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④【标准答案】A【思路点拨】根据等边三角形的性质可得AB =AC ，∠BAC =∠B =60°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△CAD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE =CD ，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ACD =∠BAE ，求出∠CAF +∠ACD =60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC =120°，判定②正确；求出∠ADF ＞60°，∠FAD ＜60°，∠AFD =60°，判定△ADF 不是等腰三角形；求出∠AFG =60°，再求出∠FAG =30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得FG =AF ，然后判断④．12【精准解析】解：在等边△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =∠B =60°，在△ABE 和△CAD 中，，60AB AC BAC B AD BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CAD （SAS ），∴AE =CD ，故①正确；∵∠ACD =∠BAE ，∴∠CAF +∠ACD =∠CAF +∠BCE =∠BAC =60°，在△ACF 中，∠AFC =180°﹣（∠CAF +∠ACD ）=180°﹣60°=120°，故②正确；∵∠FAD ＜∠BAC ，∠BAC =∠B =60°，∴∠ADF ＞60°，∠FAD ＜60°，∠AFD =60°，∴△ADF 不是等腰三角形，故③错误；∵∠AFG =180°﹣∠AFC =180°﹣120°=60°，AG ⊥CD ，∴∠FAG =90°﹣60°=30°，∴FG =AF ，∴，故④错误，12FG AF =综上所述，正确的有①②．故选：A ．【名师指路】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键．5．（2021·广东·西关外国语学校八年级期中）如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，AE，AC与CD，BD分别交于点F、G．连接GF，下列结论：①AE＝BD；②AG＝DF；③GF∥BE，④CF＝GF，其中正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【标准答案】C【思路点拨】根据等边三角形性质，利用SAS证明△BCD≌△ACE，可证结论①；证明△DGC≌△EFC，得△GFC是等边三角形，则CF＝FG，可得结论④；∠GFC＝60°，根据∠GFC ＝∠DCE＝60°，所以GF∥BE，可得结论③；由CG＝CF，AC≠DC，可知：AC−CG≠DC−CF，即AG≠DF，可得结论②．【精准解析】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴AE＝BD，故①正确；∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠DCE＝60°，由①得△BCD≌△ACE，∴∠GDC＝∠AEC，∵DC＝EC，∴△DGC≌△EFC，∴CF＝CG，∴△GFC是等边三角形，∴CF ＝FG ，∠GFC ＝60°，∴∠GFC ＝∠DCE ＝60°，∴GF ∥BE ，故③④正确；∵CG ＝CF ，而AC 与CD 不相等，所以AG 与DF 不相等，故②不正确；正确的有：①③④，一共3个，故选：C ．【名师指路】本题考查了全等三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定，属于常考点型，难度适中；准确地在图形中找到全等三角形并进行证明是本题的关键．6．（2021·广东·南山实验教育集团南海中学八年级开学考试）如图，，点45AOB ∠=︒、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动M N OA OB 6MN =OMN A 12P MN 点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动P OA 1P P OB 2P P NM 时，的面积最小值为（ ）12OPP AA ．B ．C ．D ．681218【标准答案】B【思路点拨】连接OP ，过点O 作OH ⊥MN 交NM 的延长线于点H ．利用三角形的面积公式求出OH ，再证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，OP 最小时，△OP 1P 2的面积最小．【精准解析】连接OP ，过点O 作OH ⊥MN 交NM 的延长线于点H ，如图∵，MN =61122OMN S MN OH =⨯=△∴OH =4∵点关于对称的点为，点关于对称点为P OA 1P P OB 2P ∴∠AOP 1=∠AOP ，∠BOP 2=∠BOP ，OP =OP 1=OP 2∵∠AOB =45°∴∠P 1OP 2=2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°∴△OP 1P 2是等腰直角三角形∴当OP 1最小，△OP 1P 2的面积最小根据垂线段最短知，OP 的最小值为线段OH 的长，即为4∴△OP 1P 2的面积最小值为14482⨯⨯=故选：B ．【名师指路】本题考查了轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，关键是证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，把求面积的最小值转化为线段的最小值，也体现了数学上的转化思想．7．（2021·广东实验中学越秀学校八年级期中）如图所示，，点是60AOB ∠=︒P 内一定点，并且，点、分别是射线，上异于点的动点，AOB ∠2OP =M N OA OB O 当的周长取最小值时，点到线段的距离为（ ）PMN A O MNA ．1B ．2C ．4D ．1．5【标准答案】A【思路点拨】分别作点P 关于OB 和OA 的对称点P '和P ''，连接OP '、OP ''、P 'P ''，则P 'P ''与OB 的交点为点N '，P 'P ''与OA 的交点为点M '，连接PN '、PM '，则此时P 'P ''的值即为△PMN的周长的最小值，过点O 作OC ⊥P 'P ''于点C ，求得∠OP 'P ''的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案．【精准解析】解：分别作点P 关于O B 和OA 的对称点P '和P ''，连接OP '、OP ''、P 'P ''，则P 'P ''与OB 的交点为点N '，P 'P ''与OA 的交点为点M '，连接PN '、PM '，则此时P 'P ''的值即为△PMN 的周长的最小值，过点O 作OC ⊥P 'P ''于点C ，如图所示：由对称性可知OP ＝OP '＝OP ''，∵∠AOB ＝60°，∴∠P 'OP ''＝2×60°＝120°，∴∠OP 'P ''＝∠OP ''P '＝30°，∵OP ＝2，OC ⊥P 'P ''，∴OC ＝OP '＝1．12故选：A ．【名师指路】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．8．（2021·广东·深圳市高级中学八年级开学考试）如图，在ABC 中，BD 、CE 分别A 是∠ABC 和∠ACB 的平分线，AM ⊥CE 于P ，交BC 于M ，AN ⊥BD 于Q ，交BC 于N ，∠BAC ＝110°，AB ＝6，AC ＝5，MN ＝2，结论①AP ＝MP ；②BC ＝9；③∠MAN ＝30°； ④AM ＝AN ．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【标准答案】C【思路点拨】先证明ACP ≌MCP ，根据全等三角形的性质得到AP ＝MP ，判断①；再证明ABQ A A A ≌NBQ ，根据全等三角形的性质得到CM ＝AC ＝5，BN ＝AB ＝6，结合图形计算，判A 断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【精准解析】解：∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACP ＝∠NCP ，∵AM ⊥CE ，∴，90CPA CPM ∠=∠=︒在ACP 和MCP 中，A A ，ACP MCP CP CP CPA CPM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ACP ≌MCP （ASA ），A A ∴AP ＝MP ，∠CMA ＝∠CAM ，①结论正确；∵ACP ≌MCP ，A A ∴CM ＝AC ＝5，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABQ ＝∠NBQ ，∵AN ⊥BD ，∴，90BQA BQN ∠=∠=︒在ABQ 和NBQ 中，A A ，ABQ NBQ BQ BQBQA BQN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABQ ≌NBQ （ASA ），A A ∴BN ＝AB ＝6，∠BNA ＝∠BAN ，∴BC ＝BN +CM ﹣MN ＝5+6﹣2＝9，②结论正确；∵∠BAC ＝110°，∴∠MAC +∠BAN ﹣∠MAN ＝110°，∵∠CMA ＝∠CAM ，∠BNA ＝∠BAN ，∴∠CMA+∠BNA﹣∠MAN＝110°，A又∵在AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③结论错误；④∵AB＝6，AC＝5，∴AB≠AC，∴∠ABC≠∠ACB，∵∠ABC＋2∠ANM＝180°，∠ACC＋2∠AMN＝180°，∴180°－2∠ANM≠180°－2∠AMN，∴∠AMN≠∠ANM，∴AM≠AN，④结论错误，∴正确的结论有①②，故选：C．【名师指路】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，也考查了等腰三角形的判定．9．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学八年级开学考试）如图，D是AB边上的中点，A将ABC沿过D点的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B＝50°，则∠BDF的大小为（）A．50°B．80°C．90°D．100°【标准答案】B【思路点拨】由折叠的性质，即可求得AD＝DF，又由D是AB边上的中点，即可得DB＝DF，根据等边对等角的性质，即可求得∠DFB＝∠B＝50°，再由三角形的内角和定理，即可求得∠BDF的度数．【精准解析】解：∵折叠，∴AD ＝DF ，∵D 是AB 边上的中点，∴AD ＝BD ，∴BD ＝DF ，∵∠B ＝50°，∴∠DFB ＝∠B ＝50°，∴∠BDF ＝180°﹣∠B ﹣∠DFB ＝80°．故选：B ．【名师指路】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．10．（2021·广东·东莞市沙田瑞风实验学校八年级期中）如图，在中，ABC ∆AB BC =，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD =AB ．下列结论中，正确的个数是（） ①∠1=∠EFD ；②BE =EC ；③BF =DF =CD ；④FD BC//A ．B ．C ．D ．1234【标准答案】C【思路点拨】根据等腰直角三角形的“三合一”性质、角平分线的性质、全等三角形ABC 的性质对以下选项进行一一验证即可．ADF ABF ∆≅∆【精准解析】解：在中，，，，ABC ∆AB BC =AB BC ⊥BE AC ⊥；AE CE BE ∴==故②正确；在和中，ADF ∆ABF ∆，()12AD AB AF AF ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩公共边，()ADF ABF SAS ∴∆≅∆，ADF ABF ∴∠=∠，,AB BC AB BC ⊥= 为等腰直角三角形，ABC ∴A ，BE AC ⊥ ，90CEB AEB ∴∠=∠=︒，45ABF CBE ∴∠=∠=︒45ADF ABF ∴∠=∠=︒，45C ∠=︒ ，45ADF ABE ∴∠=∠=︒，45ADF C ∴∠=∠=︒（同位角相等，两直线平行），//DF BC ∴故④正确；，ADF ABF ∆≅∆ （全等三角形的对应边相等）．DF BF ∴=又，，//DF BC BE EC =，EF DF ∴=，CD BF DF ∴==故③正确；，，．45EAB ∠=︒ 12∠=∠1122.52EAB ∴∠=∠=︒又，//DF BC ，45EFD EBC ∴∠=∠=︒；1EFD ∴∠≠∠故①错误；综上所述，正确的说法有②③④三种；故选：C ．【名师指路】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是充分利用了等腰三角形的“三合一”的性质．二、填空题11．（2021·广东·广州市第十六中学八年级开学考试）已知等腰中，一腰上ABC A AC 的中线将的周长分成和两部分，则这个三角形的腰长和底边长分BD ABC A 9cm 15cm 别为_______．【标准答案】10cm ，4cm【思路点拨】将腰长与腰长的一半分为9cm 和15cm 两种情况，分别求出腰长，再求出底边，然后根据三角形的任意两边之和不能大于第三边进行判断即可.【精准解析】解：设腰长为x cm ，腰长与腰长的一半是9cm 时，x +x =9，12解得x =6，所以，底边=15﹣×6=12，12∵6+6=12，∴6cm 、6cm 、12cm 不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm 时，x +x =15，12解得x =10，所以，底边=9﹣×10=4，12所以，三角形的三边为10cm 、10cm 、4cm ，能组成三角形，故答案为： 10cm ， 4cm ．【名师指路】本题主要考查了中线的定义以及三角形两边之和不能大于第三边，正确理解等腰三角形以及中线的定义并熟练掌握三角形的两边之和不能大于第三边是解答本题的关键.12．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学八年级期末）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =36°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =36°，DE 交线段AC 于点E ，点D 在运动过程中，若△ADE 是等腰三角形，则∠BDA 的度数为_________．【标准答案】72°或108°【思路点拨】利用外角的性质判断出，分类讨论当时和AED ADE ≠∠∠AED DAE =∠时，两种情况，利外角的性质和角的等量代换运算即可．36ADE DAE ==︒∠∠【精准解析】解：∵AB AC=∴36B C ∠=∠=︒∵36AED EDC C EDC =+=+︒∠∠∠∠∴AED ADE≠∠∠∴当时，则AED DAE =∠180180367222ADE AED DAE ︒-︒-︒====︒∠∠∴7236108ADB DAE C =+=︒+︒=︒∠∠∠当时，则36ADE DAE ==︒∠∠363672ADB DAE C =+=︒+︒=︒∠∠∠故答案为：或72︒108︒【名师指路】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，外角的性质，灵活运用外角的性质是解题的关键．13．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，△ABC 的面积为12，AB ＝AC ，BC ＝4，AC 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 边于点E ，F ，若点D 为BC 边的中点，点P 为线段EF 上一动点，则△PCD 周长的最小值为 ___．【标准答案】8【思路点拨】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角AD ABC ∆D BC AD BC ⊥形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线AD EF AC C的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．EF A AD CP PD +【精准解析】解：连接，AD是等腰三角形，点是边的中点，ABC ∆ D BC ，AD BC ∴⊥，1141222ABC S BC AD AD ∆∴==⨯⨯=A 解得：，6AD =是线段的垂直平分线，EF AC 点关于直线的对称点为点，∴C EF A 的长为的最小值，AD ∴CP PD +的周长最短．CDP ∴∆11()6462822CP PD CD AD BC =++=+=+⨯=+=故答案为：8．【名师指路】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角-形三线合一的性质．14．（2021·广东·广州市越秀区育才实验学校八年级期中）△ABC 中，AB ＝AC ＝12厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，若点Q 的运动速度为 ___米/秒，△BPD 能够与△CQP 全等．【标准答案】3或4.5．【思路点拨】根据等腰三角形的性质得出∠B ＝∠C ，根据全等三角形的判定得出两种情况：①BD ＝CP ，BP ＝CQ ，②BD ＝CQ ，BP ＝PC ，设运动时间为t 秒，列出方程，再求出答案即可．【精准解析】解：设运动时间为t 秒，∵AB ＝12厘米，点D 为AB 的中点，∴BD ＝AB ＝6（cm ），12∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴要使，△BPD 能够与△CQP 全等，有两种情况：①BD ＝CP ，BP ＝CQ ，8﹣3t ＝6，解得：t ＝，23∴CQ ＝BP ＝3×＝2，23∴点Q 的运动速度为2÷＝3（厘米/秒）；23②BD ＝CQ ，BP ＝PC ，∵BC ＝8厘米，∴BP ＝CP ＝BC ＝4（厘米），12即3t ＝4，解得：t ＝，43∴CQ ＝BD ＝6厘米，∴点Q 的运动速度为6÷＝4.5（厘米/秒），43故答案为：3或4.5．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．15．（2020·广东·广州外国语学校附属学校八年级期末）已知：如图，△ABC 是等边三角形，延长AC 到E ，C 为线段AE 上的一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ,OC ．以下五个结论：①AD=BE ；②AP=BO ；③PQ//AE ；④∠AOB=60°；⑤OC 平分∠AOE ；结论正确的有_________（把你认为正确的序号都填上）【标准答案】①③④⑤【思路点拨】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD △BCE ，根据全等≅三角形对应边相等可得AD=BE ，所以①正确；由△ACD △BCE 得∠CAD=∠CBE ，加上∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC ，得到△ACP ≅△BCQ （ASA ），所以AP=BO ，故②错误；≅根据△ACP △BCQ ，再根据PC=QC ，推出△PCQ 是等边三角形，又由∠ACB=∠≅CPQ ，根据内错角相等，两直线平行，故③正确；利用等边三角形的性质，BC //DE ，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO ，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正确；根据三角形面积公式求出CN=CM ，根据角平分线性质即可判断⑤.【精准解析】①∵正三角形ABC 和正三角形CDE ，∴BC=AC ，DE=DC=CE ，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，，=∠=∠⎨⎪=⎧⎪⎩AC BC ACD BCE DC CE ∴△ACD △BCE （SAS ），≅∴AD=BE ；故①正确.②∵△ACD △BCE （已证），≅∴∠CAD=∠CBE ，∵∠BCA=∠DCE=60°（已证），∴=60°，180602∠=︒-⨯︒BCQ ∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP 和△BCQ 中，，=∠=∠∠⎧⎪⎨⎩=∠⎪AC BC CAD CBE ACB BCQ ∴△ACP △BCQ （ASA ），≅∴AP=BO ，故②错误.③∵△ACP △BCQ （已证），≅∴PC=QC ，∴△PCQ 是等边三角形.∴∠CPQ=60°，∴∠ACB=∠CPQ ，∴PQ//AE ，故③正确.④∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，在正三角形CDE 中，∠DEC =60°=∠BCD ，∴ BC//DE ，∴∠CBE=∠DEO ，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正确.⑤过C 作于M ，于N ，CM BE ⊥CN AD⊥∵△ACD △BCE ，≅∴，BE=AD ，∆∆=BCE ACD S S ∴1122⨯⨯=⨯⨯，BE CM AD CN ∴CM=CN ，∴OC 平分∠AOE ，故⑤正确；故答案为①③④⑤.【名师指路】本题主要考查了三角形的证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定、等边三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的判定.16．（2020·广东福田·八年级期中）如图，已知等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面结论：①∠APO=∠ACO ；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO ；④AO+AP=AC ；其中正确的有________.(填上所有正确结论的序号)【标准答案】①②③④【思路点拨】连接，证明，利用等腰三角形的性质可判断结论①；由线段垂直平分线的OB OP OB =性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO 与∠DCO 的和等于30°，再证明是等边三角形，可判断结论②，③；, 在线段AC POC ∆上截取AE=AP ，连接PE ，证明△APO ≌△EPC 可判断结论④．【精准解析】解：如图，连接,OB∵AD ⊥BC ，,AB AC =是的中垂线，，AD ∴BC A ABC CB =∠∠,OB OC ∴=,OBC OCB ∴∠=∠,ABO ACO ∴∠=∠,OP OC = ,OP OB ∴=,OBP OPB ∴∠=∠ 即结论①正确；,APO ACO ∠=∠ 连接BO ，如图1所示：,120,AB AC BAC =∠=︒30,ABC ACB ∴∠=∠=︒由,APO ACO ∠=∠30,APO DCO ACO DCO ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒1803030120,OPC OCP ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒60,POC ∠=︒,OP OC = 是等边三角形，POC ∴∆60,PCO ∴∠=︒ 60603090,PCB APO PCO DCO APO DBO ABO ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠+∠=︒+︒=︒即结论②正确；是等边三角形，POC ∆,PC PO ∴=即结论③正确；在线段AC 上截取AE=AP ，连接PE ，如图所示：∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，∴∠CAP=60°，∴△APE 是等边三角形，∴AP=EP ，又∵△OPC 是等边三角形，∴OP=CP ，又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，∴∠APO=∠EPC ，在△APO 和△EPC 中，， AP EP APO EPC OP CP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△APO ≌△EPC （SAS ），∴AO=EC ，又∵AC=AE+EC ，AE=AP ，∴AC=AO+AP ， 即结论④正确；综合所述，①，②，③，④都正确，故答案为：①，②，③，④．【名师指路】本题综合考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角的和差，线段的和差，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建等腰三角形，等边三角形，全等三角形．17．（2020·广东·广州市育才中学八年级期中）如图，在等腰中，ABC ∆是的高，分别是上一动点，则 5AB AC AD ==，ABC ∆4,3,AD BD E F ==、AB AD 、的最小值为__________．BF EF+【标准答案】245【思路点拨】利用等腰三角形的对称性找到点B 的对称点C ，连接CE ，当CE ⊥AB 时，线段的和最小，再运用等面积法求CE 的长度即可．【精准解析】如图所示：点B 关于AD 的对称点是点C ，∴BF ＝CF ，∴BF ＋EF ＝CF ＋EF ＝CE ，当CE ⊥AB 时，线段的长度有最小值，利用△ABC 面积的两种表示方法，得：，11BC AD=AB CE 22⋅⋅∵BC ＝2BD ＝6，AD ＝4，AB ＝5，∴，1164=5CE 22⨯⨯⨯⋅解得：．24CE=5【名师指路】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用等面积法求线段长度是解题的关键．18．（2021·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，已知∠AOB ＝a ，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B ＝B 1A 2，连接A 2B 2，…，按此规律，记∠A 2B 1B 2＝θ1，∠A 3B 2B 3＝θ2，…，∠A n +1B n B n +1＝θn ，则θ2021﹣θ2020的值为__．【标准答案】．20211802α︒-【思路点拨】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 1B 1O ，再根据平角等于180°列式用α表示出θ1，再用θ1表示出θ2，并求出θ2﹣θ1，依此类推求出θ3﹣θ2，…，θ2021﹣θ2020，即可得解．【精准解析】解：∵OA 1＝OB 1，∠AOB ＝α，∴∠A 1B 1O ＝（180°﹣α）．12∴（180°﹣α）+θ1＝180°．12∴θ1＝．o 1802α+∵B 1B 2＝B 1A 2，∠A 2B 1B 2＝θ1，∴，o 12211802A B B θ-=∠∵o2212=180A B B θ+∠∴，o o 12180=1802θθ-+整理得：，o 2540=4αθ+∴．o o o 21540180180==424αααθθ++---同理可求：，o o 231801260==28θαθ++∴o o o 321260540180==848αααθθ++---•••以此类推， o 202120202021180=2αθθ--故答案为：．o 20211802α-【名师指路】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键在于能够准确找到规律求解.19．（2021·广东·广州市培正中学八年级期中）如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【标准答案】12⎛ ⎝【思路点拨】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可．【精准解析】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D 点作x 轴的垂线交于x 2处，∵△OAB 是等边三角形，且OA =2，∴在Rt △AD x 2中，∠DA x 2=60°，AD =1，∴，212Ax =2Dx =故D 点的坐标为，即P 3;32⎛ ⎝32⎛ ⎝第4秒结束时P 点运动到了点B 的位置，同理过B 点向x 轴作垂线恰好交于点C ，在Rt △OBC 中，∠BOC =60°，，,2OB =1OC =，BC故B 点的坐标为（1P 4（1第5秒结束时P 点运动到了线段OB 的中点E 的位置，根据点D 即可得出E 点的坐标为，即 P 5；12⎛ ⎝12⎛ ⎝第6秒结束时运动到了点O 的位置，所以P 6的坐标为P 6（0，0）；第7秒结束时P 点的坐标为P 7（1，0），与P 1相同；……由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环，∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为，12⎛ ⎝故答案为：．12⎛ ⎝【名师指路】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．20．（2020·广东·广州大学附属中学八年级期中）在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是边BC 上一点，连接AD ，若∠BAD ＋3∠CAD ＝90°，DC ＝a ，BD ＝b ，则AB ＝________. （用含a ，b 的式子表示）【标准答案】2a+b.【思路点拨】延长BC 至点E ，使CE=CD=a ，连接AE ，利用∠BAD ＋3∠CAD ＝90°，∠CAB+∠B ＝90°，证得∠B=2∠CAD ，再利用CE=CD,AC ⊥CD,证得△AED 是等腰三角形，推出∠E=∠EAB,由此得到AB=EB=2a+b.【精准解析】如图，延长BC 至点E ，使CE=CD ，连接AE ，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，AC⊥CD,∵∠BAD＋3∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD=∠BAC,∴∠B=2∠CAD,∵CE=CD,AC⊥CD,∴AC垂直平分ED,∴AE=AD,即△AED是等腰三角形，∴∠EAC=∠CAD,∴∠EAD=2∠CAD=∠B,∴∠EAB=∠B+∠BAD,∵∠E=∠ADE=∠B+∠BAD,∴∠E=∠EAB,∴AB=EB,∵EB=EC+CD+BD=a+a+b=2a+b，∴AB=2a+b.故填：2a+b.【名师指路】此题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，延长BC至点E，使CE=CD是关键的辅助线，由此将直角三角形转化为等腰三角形来证明.三、解答题21．（2020·广东·龙华新区实验学校八年级期中）解答下列问题：（1）模型建立：如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C 位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为_________（用含a，b的式子表示）；（2）模型运用：如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）灵活运用：如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．【标准答案】（1）a＋b；（2）①见解析；②13；（3）6＋【思路点拨】（1）根据点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到CD=AC，EC=CB，∠ACD=∠BCE=60°，推出△DCB≌△ACE，根据全等三角形的性质得到AE=BD；②由于线段AE长的最大值=线段BD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）如图3中，连接BN，将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，易知PA AN长的最大值=线段BP长的最大值，当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值，由此即可解决问题．【精准解析】解：（1）∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC＋AB＝a ＋b，故答案为：a＋b；（2）①证明：如图2中，∵△ACD 与△BCE 是等边三角形，∴CD ＝AC ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCB ＝∠ACE ，在△CBD 与△CEA 中，，CD CA DCB ACE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBD ≌△CEA （SAS ），∴AE ＝BD ；②∵线段AE 长的最大值＝线段BD 的最大值，由（1）知，当线段BD 的长取得最大值时，点D 在BA 的延长线上，∴最大值为AD ＋AB ＝3＋10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN 绕着点M 顺时针旋转90°得到△PBM ，连接AP ，则△APM 是等腰直角三角形，∴MA ＝MP ＝2，BP ＝AN ，∴PA ＝，∵AB ＝6，∴线段AN 长的最大值＝线段BP 长的最大值，∴当P 在线段BA 的延长线时，线段BP 取得最大值＝AB ＋AP ＝6＋【名师指路】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及旋转的性质的综合应用．注意等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．22．（2021·广东·广州市真光中学八年级期中）如图，等边中，，关于轴ABC ∆A B y 对称，交轴负半轴于点，．AD AC ⊥y D ()0,6C （1）如图1，求点坐标；D （2）如图2，为轴负半轴上任一点，以为边作等边，的延长线交E x CE CEF ∆FA y 轴于点，求的长；G OG （3）如图3，在（1）的条件下，以为顶点作的角，它的两边分别与、交D 60︒CA BC 于点和，连接．探究线段、、之间的关系，并子以证明．M N MN AM MN NB【标准答案】（1）；（2）6；（3），证明详见解析()0,2D -MN NB AM =+【思路点拨】(1)先证∠ACO ＝30°，在Rr △ACO 中由勾股定理求出AC 的长，再在Rt △ACD 中求出CD 的长，即可求出OD 的长，进步写出点D 坐标；(2)证△FCA9≌△ECB ，求出∠GAO ＝60°，再证△CAO2△GAO ，即可得到OG ＝OC ＝6；(3)如图3，延长MA 至点H ，使AH ＝BN ，连接BD ，先证△DAH ≌△DBN ，再证△DMI ≌△DMN ，即可推出AM+BN ＝MN.【精准解析】（1）(1)△ABC 为等边三角形，A ，B 关于y 轴对称，C(0，6),∵6CO AB CO ⊥，＝，∴1302AO BO ACO BCO ACB ∠∠∠︒＝，＝＝＝在中设则，Rt ACO A AO x ＝，2AC x ＝∵，222AO CO AC =＋∴，()222x 2x =＋6解得，取正值)，∴AO AC ∵AD AC ⊥∴在中，设则，Rt ADC A AD a ＝，2CD a ＝∵222AD AC CD +=(()222a 2a +=解得，(取正值)a 4＝∴，=4=8AD CD ，∴，=2OD CDCO =﹣∴；()0,2D -（2）、均为等边三角形CEF DABC ∆，，CE CF ∴=AC BC =60ECF ACB ∠=∠=︒，即ECF ECA ACB ECA ∴∠+∠=∠+∠FCA ECB∠=∠在和中FCA ∆ECB ∆FC EC FCA ECBAC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FCA ECB SAS \D @D 60FAC EBC \Ð=Ð=°18060GAB CAB FAC \Ð=°-Ð-Ð=°，平分30AGC ACG \Ð=Ð=°AO CAG∠．6OG OC \==（3），证明如下：MN NB AM =+如图，延长至点，使，连接、，NB H BH AM =DH BD由题意得：，AD BD =BD BC⊥在和中AMD ∆BHD ∆90AM BH MAD HBD AD BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()AMD BHD SAS \D@D ，DM DH \=MAD HDBÐ=Ð，60ACB ∠=︒ 90MAD HBD Ð=Ð=°120ADB \Ð=°又60MDN Ð=°60MDA NDB \Ð+Ð=°，即60HDB NDB \Ð+Ð=°60HDN Ð=°在和中MDN ∆HDN ∆60MD HD MDN HDN DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()MDN HDN SAS \D@D MN HN\=HN NB BH NB AM=+=+ ．MN NB AM \=+【名师指路】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，解题关键是证线段的和差关系时会用截长补短的作方法.23．（2021·广东·佛山市南海石门实验中学八年级月考）如图，在中，ABC A ，平分线交于点，点为上一动点，过作直线2ACB B ∠=∠BAC ∠AO BC D H AO H 于，分别交直线、、于点、、．l AO ⊥H AB AC BC N E M（1）当直线经过点时（如图2），求证：；l C BN CD （2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；M BC CE CD （3）请直接写出、和之间的数量关系．BN CE CD 【标准答案】（1）见解析；（2）CD=2CE ，证明见解析；（3）当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ；当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ；当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN ．【思路点拨】（1）连接ND ，先由已知条件证明DN=DC ，再证明BN=DN 即可；（2）当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE ，过点C 作CN'⊥AO 交AB 于N'．过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ，再证明△BNM ≌△CGM 问题得证；（3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M 在线段BC 上时；②当点M 在BC 的延长线上时；③当点M 在CB 的延长线上时；由（2）即可得出结论．【精准解析】（1）证明：连接ND ，如图2所示：∵AO 平分∠B AC ，∴∠BAD=∠CAD ，∵直线l ⊥AO 于H ，。
等腰三角形判定教案(2024)
例题二：已知两角和夹边求第三角
题目描述：已知等腰三角形DEF中，DE = DF，∠D = 90°，∠E = 45°，求∠F的度数。
解题步骤
解题思路：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理 ，可以求出第三角的度数。
1. 根据等腰三角形的性质，得出∠E = ∠F。
2. 利用三角形内角和定理，即∠D + ∠E + ∠F = 180° ，求出∠F的度数。
02
解题思路：综合运用等腰三角形的性质和判定方法，先判 断三角形的形状，再求出其面积。
05
2. 利用等边三角形的面积公式S = (√3/4)a²（其中a为边 长），求出△GHI的面积。
03
解题步骤
2024/1/29
06
总结：本题综合考察了对等腰三角形性质和判定方法的应 用能力，需要灵活运用所学知识进行判断和计算。
三角形。
2024/1/29
13
判定定理二：两角相等且夹边相等
01
定理内容
如果一个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的边也相等，那么这
个三角形是等腰三角形。
02
证明方法
可以通过作辅助线，将三角形划分为两个全等的三角形，从而证明两腰
相等。
2024/1/29
03
应用举例
在几何题目中，如果已知一个三角形有两个角相等，并且这两个角所夹
02
3. 如图，在△ABC中，AB = AC ，D是BC的中点，DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F．求证：DE = DF．
24
小组讨论与交流
01
02
分组方式
按座位就近分组，每组4-6人 。
讨论内容
围绕自主练习题目展开讨论， 分享解题思路和方法。
人教版初中数学八年级上册第12章全等三角形综合应用题解析
原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！GEAC FB A BD C 全等三角形综合应用经典题解析1、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C.2、如图，AP 平分∠EAF ，PC ⊥AE 于点C ，PB ⊥AF 于点B ，AP 交BC 于点H ． 求证：AP·BC=2AB·PB.3、已知：如图，DC ∥AB ，且DC=AE ，E 为AB 的中点，(1)求证：△AED ≌△EBC ． (2)除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．4、如图，在△ABC 中，BG=CG ，∠ACG=∠ABG ，求证：AG ⊥BC ．5、如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BP ＝CP ，求证：AP ＝DP.6、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF.7、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB. 求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN.8、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长.9、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠BAF=∠EAF.10、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C.AB CD AEC O B P C AD FA NEM BA BCPE H CF DABE ABC G原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！CA EB D F11、已知：AD 平分∠BAC ，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC.12、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.13、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上，求证：BC=AB+DC.14、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD+BD=BC.15、如图所示，AB ∥CD ，在AB 、CD 、BC 上各有一点E 、F 、P ，且BE ＝CF ，P 是BC的中点，试说明三点E 、F 、P 恰好在一条直线上.16、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC -AB=2BE.18、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．19、已知：如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证：AE ＝AF.20、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60º，AD+BC=AB=CD=2，求该四边形的面积.C AB D E B DC C B A DE DABCA FB E D C1 2 AB EC C F DP•A EB ••C原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！P DA CB21、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠BDC=30°，求∠DBC的度数.22、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC ＞AB ，求证：PC -PB ＜AC -AB.23、如图，P 是∠MAN 平分线上一点，PB ⊥AM 于点B ，点C 、D 分别在AM 、AN 上，∠ACP+∠ADP=180°，若AB=3cm ，求AC+AD 的长.24、如图在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE ，求证：MD=MN.25、如图，已知B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F. 求证：(1)AE=BD ；(2)GF ∥BE.26、如图，△ABC 中，AB=AC ，点E 在AB 上，点F 在AC 延长线上，BE=CF ，连接EF ，交BC 于点D ，求证：DE=DF.27、如图，∠AOB=30°，OA=1，OB=3，点M 、N 分别为∠AOB 两边上的动点，求AN+NM+MB 的最小值.28、已知等边△ABC 内一点M ，AM=1，BM=3，CM=2，求∠AMC.29、如图，四边形ABCD 中AB ∥CD ，AB≠CD ，BD=AC ，求证：AD=BC.30、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF ＝2CD ．A B D C AD ACMB AD BCEA M EAFA D EB CN A C MP B原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！M DC ENE A BM D CN31、在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC,直线MN 经过点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD+BE. (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明； 若不成立，说明理由.32、求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高.33、如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，E 、F 分别是CA 、CB 边上的点且AE=2CE ，将BF=2CF ，△ECF 绕点C 逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN ，连接AM ，BN ．(1)求证：AM=BN ；(2)当MA ∥CN 时，若AC=3，求AM 的长．34、如图，在长方形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向长方内部折叠，当点A 的对应点A1恰落在∠BCD 的平分线上时，求CA1的长.【提示：若a·b =0，则a =0或b =0】35、如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点 E ，与CD 相交于点F ，点H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .(1)求证：BF=AC ； (2)求证：CE=0.5BF ；(3)CE 与BG 存在怎样的数量关系？试证明你的结论.36、如右图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上，(1)若AB=4，BC=8， 求重合部分△EBD 的面积；(2)若CD=2，∠ADB=30°，求DE 的长．37、正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ，将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF ，BF ，如图。
等腰三角形一条性质的多种证明与拓展
等腰三角形一条性质的多种证明与拓展龚天芝【摘要】等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点P是边BC 上任意一点,PE ⊥AB,PF⊥AC,CD⊥AB,垂足分别是E、F、D. 求证:PE+PF=CD.【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2012(000)002【总页数】2页(P84,88)【作者】龚天芝【作者单位】河南省漯河市外语中学【正文语种】中文等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.已知：如图1，在△AB C中，AB＝AC，点P是边BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、F、D.求证： PE＋PF＝CD.证法1（面积法）：故等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.证法2（截长法）：在CD上截取DG=EP，连接PG，如图2.因为CD⊥AB，PE⊥AB，所以四边形DEPG是矩形，所以∠DGP=90°.因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB.因为GP//DE，所以∠GPC＝∠B.所以∠ACB＝∠GPC，又因为PC＝CP，∠PGC＝∠CFP=90°.所以△CGP≌△PFC，所以PF＝CG.所以PE＋PF＝DG＋GC＝CD.证法3（补短法）：延长EP到G，使EG=DC，连接CG，如图3.因为CD⊥AB，PE⊥AB，所以四边形DEGC是矩形，所以∠G=90°.因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB，因为GC//DE，所以∠GCP＝∠B.所以∠ACB＝∠GCP，又因为PC＝PC，∠G＝∠CFP=90°.所以△CGP≌△CFP，所以PF＝PG.所以PE＋PF＝EG＝CD.（过点P作PG⊥CD，垂足为G，可得矩形DEPG，如图2，以下证法同方法2，可使问题得证；过C作直线EP的垂线，垂足为G，可得矩形DEGC，如图3，以下证法同方法3，可使问题得证.）证法4（利用三角形相似）：因为PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，如图1.所以∠BEP＝∠BDC=∠CFP＝90°.因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB.所以△BEP∽△BDC∽△CFP.拓展1.如果P在BC（或CB）的延长线上，如图4，有下列结论：|PE－PF|＝CD.（证明方法同上，过程略）即：等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离差等于一腰上的高.拓展2.如果把等腰三角形变为等边三角形，又有如下结论：已知等边△ABC和点P，P到△ABC的三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h.（1）当点P在△ABC的一边BC上时，如图5，此时h3＝0，则h1＋h2＋h3＝h. 即：等边三角形边上一点到三边的距离和等于等边三角形的高.（2）当点P为△ABC内任意一点时，如图6，结论h1＋h2＋h3＝h仍成立. 即：等边三角形内任意一点到三边的距离和等于等边三角形的高.由此可知，在等边三角形ΔABC中，设O为其中心，O到一边的距离为r3，显然h=3r3，就有结论h1+h2+h3=3r3（3）当点P在△ABC外部时，如图7，可得h1＋h2-h3＝h.（证明方法同上，过程略）拓展3.如果把等边三角形变为正方形、正五边形，正n边形时，又有如下结论：若点P为正边形ABCD内任一点，点O为正方形的中心，O到一边的距离为r4，P点到AB、BC、CD、DA各边的距离为h1，h2，h3，h4，则h1+h2+h3+h4=4r4.若点P为正五边形ABCDE内任一点，点O为正五边形的中心，O到一边的距离为r5，P到AB、BC、CD、DE、EA各边的距离为h1，h2，h3，h4，h5，则h1+h2+h3+h4+h5=5r5.若点P是正n边形内任一点，O是正n边形的中心，点O到一边的距离为rn，点P到各边的距离分别为h1，h2，h3，…，hn，则h1+h2+h3+…+hn=nrn.（证明略）中考链接例1（2009辽宁朝阳）如图8，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC=2，则DE+DF=_______.解析：由等边三角形的性质可知“等边三角形一边上任意一点到其他两边的距离和等于等边三角形的高”，可求得例2 （2011山东聊城）如图9，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）.解析：由矩形的性质得OA=OD，即△AOD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知，点P到AC和BD的距离和为等腰△AOD 一腰上高的长.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=5，因此可得Rt△ABD斜边BD上的高（即等腰△AOD腰OD 上高）为故选A.例3（2011年佳木斯）如图10，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B 落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.解析：（1）由∠D=∠B′=90°，∠AED=∠CEB′，AD=CB′，可证△CEB′≌△AED.（2）由题意易证△ACE是等腰三角形，因此根据等腰三角形的性质可知PG+PH=AD.在Rt△ADE由勾股定理得AD=4，即PG+PH=4.例4 （2011年河北省）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图11-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B.（1）在图11-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想.（2）当三角尺沿AC方向平移到图11-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想.（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图11-3所示的位置（点F 在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）解析：（1）BF=CG. 在△ABF和△ACG中，由∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，可证△ABF≌△ACG（AAS），故BF=CG.（2）根据等腰三角形的性质“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上高的长.”可证DE+DF=CG.（3）仍然成立.。
等腰三角形性质
等腰三角形性质一、等腰三角形性质1、等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）。
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（等腰三角形三线合一）。
3、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7、一般的等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8、等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。
9、等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
二、等腰三角形定义至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
三、等腰三角形判定方法定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
(完整版)等腰三角形三线合一专题练习[1]
等腰三角形三线合一专题训练1例1 如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。
求BC=AB+DC 。
变 1 如图，AB // CD，/ A = 90° AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是AD 边中点。
求证：CE丄BE。
变2：如图，四边形ABCD中，AD / BC, E是CD上一点，且AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证：AE丄BE; (2)求证：E是CD的中点；(3)求证：AD+BC=AB.A n变3:\ ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、AC 于M、N，求证：（1）DM = DN。
A⑵若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
|\/|⑴已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF , EF交BC于点D .求证：DE=DF .⑵已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点，PC L AB于D, PEL AC于E, ?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？变1若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为（）A 17B 22C 17 或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律1 1例1.在△ ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= —/ ACB BD与CE相交于点0,如图，/ B0C勺大小2 2与/A的大小有什么关系？1 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ BOC WZ A大小关系如何？3 31 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与Z A大小关系如何?n n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC —腰上的中线BD?各这个等腰三角形周长分成15和6两部分,利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断△ PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD^^ ABC的高，AB=AC △ ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。
“等腰三角形的性质”崔思友
“等腰三角形的性质”教学设计及反思黑龙江省肇源县福兴中学：崔思友教学案例一、背景分析本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》八年级上册第十四章“轴对称”的一个内容。
因为等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有性质外，还有许多特殊的性质，由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛。
而等腰三角形的许多特殊的性质。
又和它是轴对称图形有关，所以“等腰三角形的性质”是学生在学习轴对称的基础上开展的一个探究性学习的内容。
本节课教师从已学过的轴对称的知识入手，针对八年级学生具有好强、好胜、好奇的心理特点，让学生通过画图、折纸、度量或实验等活动，探索、发现几何结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式，在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理、证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形的证明有机地整合。
二、设计理念《数学课程标准》中指出：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆。
动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
数学学习活动应是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
本节课的目标是让学生把实验几何与论证几何有机结合，鼓励学生进行自主探索与合作交流，培养学生的直觉思维、创造性思维和逻辑思维能力。
根据《数学课程标准》的具体目标，结合我校学生的实际情况，改变数学课程过于注重知识传授的倾向，关注学生的学习兴趣，变“苦学”为“乐学”，帮助学生形成积极主动的学习态度，实施开放式教学，给学生提供充分从事数学活动的机会，让学生主动参与学习活动，在课堂活动中感悟知识的生成，发展与变化的过程，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。
三、教学目标1、知识与技能（1）经历获得知识的过程，并通过实验、操作、观察、分析、想象、探索、掌握等腰三角形的性质。
等腰三角形典型例题
等腰三角形典型例题【例1】如图所示，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数。
ACB D思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理。
解：∵AB=CD（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）同理：∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA设∠B为X0，则∠C=X0，∠BAD=X0∴∠ADC=2X0，∠CAD=2X0在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=1800∴X+2X+2X=180∴X=36答：∠B的度数为360注：用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。
练习1：如图所示，在△ABC中，D是AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=290，则∠A=__＿练习2：如图在△ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求△ABC 各角的度数？【例2】如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC 。
求证：AO ⊥BC思路点拨：要证AO ⊥BC ，即证AO是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO 是顶角的平分线即可。
B证明：延长AO 交BC 于DAB=AC （已知） 在△ABO 和△ACO 中 OB=OC （已知） AO=AO（公共边） ∴△ABO ≌△ACO （SSS ） ∴∠BAO=∠CAO即∠BAD=∠CAD （全等三角形的对应角相等）∴AD ⊥BC ，即AO ⊥BC （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）评注：本题用两次全等也可达到目的.。
练习：如图所示，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE 求证：BD=CE【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上C的高。
思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程。
等腰三角形高公式
等腰三角形高公式等腰三角形高公式是指通过等腰三角形的底边和顶点，可以计算出等腰三角形的高的公式。
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在解决等腰三角形相关问题时，我们经常需要计算出等腰三角形的高。
下面将详细介绍等腰三角形高公式的推导和应用。
首先，我们来推导等腰三角形高公式。
设等腰三角形的两个等边长为a，底边长为b，顶点为B。
我们需要求解等腰三角形的高AC。
假设高AC与底边b的交点为D，连接BD。
根据等腰三角形的性质，我们知道∠ADB = ∠BDA。
由于∠ADB与∠BDA互为对角，根据三角形内角和定理，我们可以得到∠ADB + ∠BDA + ∠BAD = 180°。
由于∠ADB与∠BDA相等，所以2∠ADB + ∠BAD = 180°。
又因为∠ADB与∠BDA互为对角，所以BD为直径的外接圆中，∠ADB是其中一个锐角。
根据直角三角形的性质，BD为直径的外接圆上的弧AC的度数为2∠ADB。
所以2∠ADB = AC所对的弧的度数。
而根据同弧度相等的性质，我们可以得到∠BAD所对的弧AC的度数也等于2∠ADB。
所以∠BAD所对的弧AC的度数等于AC所对的弧的度数，即∠BAD = AC所对的弧AC的度数。
由于∠BAD = 180° - 2∠ADB，所以∠BAD所对的弧AC的度数也为180° - 2∠ADB。
又因为AC所对的弧AC的度数等于2∠ADB，所以180° - 2∠ADB = 2∠ADB。
解方程可得∠ADB = 180° / 3 = 60°。
由于∠ADB = 60°，所以等腰三角形的顶角∠BAD也为60°。
由于三角形内角和为180°，所以∠ABC = ∠ACB = (180° - 60°) / 2 = 60°。
所以等腰三角形ABC是一个等边三角形。
根据等边三角形的性质，我们可以得知等腰三角形ABC的高AC与底边b平分顶角∠BAD。
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等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一
腰上的高证明
例一：如图所示,已知△ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一点,PD⊥AB于点D，PE⊥AC 点E，若△ABC的面积为14。
问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，
请说明理由。
解：三角形ABC的面积为14，所以PD+PE的值为定值。
由已知：AB=AC=8，S(△ABC)=14，得
S(△ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=14
1/2*8*(PD+PE)=14
PD+PE=14/4=3.5
即 PD+PE=3.5
这道题得出的结论是：等腰三角形底边上任一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。
结论虽简单，我们又应当如何证明呢？
关于这道题的证明方法有很多种。
求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。
已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意点D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC 求证： DE＋DF＝BH
证法一：
连接AD
则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2
而△ABC的面积＝BH*AC/2
所以：DE＋DF＝BH
即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二：
作DG⊥BH，垂足为G
因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH＝DF
因为AB＝AC
所以∠EBD＝∠C
因为GD//AC
所以∠GDB＝∠C
所以∠EBD＝∠GDB
又因为BD＝BD
所以△BDE≌△DBG（ASA）
所以DE＝BG
所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH
证法三：
提示：
过B作直线DF的垂线，垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用三角函数也能进行证明
如果D在BC或CB的延长线上，有下列结论：|DE－DF|＝BH
问题：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。
证明的方法与上面的方法类似。
这是两条很有用的性质。
如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的
如图，已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC三边AB\AC\BC(或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，三角形ABC的高为h。
解答提示：
如图，过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H，作HQ⊥AG
先证明PD＋PE＝HQ
（见：）
而HQ＝AN，FP＝MN
所以PD＋PE－PF
＝AN－PF
＝AM＋MN－PF
＝AM
即h1＋h2－h3＝h
另外一个变式问题：
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F。
（1）当∠A＝30°时，求证：PE+PF＝BC
（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明：如果不正确，请说明理由。
腰长5厘米底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe=
解：
作底边BC上的高AM，设腰上的高＝h，连接PA
因为AB＝AC＝5，BC＝6
所以BM＝CM＝3
所以根据勾股定理得AM＝4
因为S△ABC＝BC*AM/2＝AB*h/2＝12
所以h＝24/5
因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP
＝AB*PD/2＋AC*PE/2
所以5*PD/2＋5*PE/2＝12
所以PD＋PE＝24/5
如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。
解：
设AC、BD交于O，作AE⊥BD，PM⊥AC，PN⊥BD，连接OP 因为AB＝8，BC＝AD＝15
所以根据勾股定理得BD＝17
因为S△ABC＝AB*AD/2＝AE*BD/2
所以可得AE＝120/17
因为四边形ABCD是矩形
所以OA＝OD
因为S△OAD＝S△OPA＋S△OPD
＝OA*PM/2＋OD*PN/2
＝（PM＋PN）*OD/2
S△OAD＝AE*OD/2
所以PM＋PN＝AE＝120/17。