4刚体-例题
大学物理第四章习题解
第四章 刚体的定轴转动4–1 半径为20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径为50cm 的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作匀角加速度转动，在4s 内被动轮的角速度达到π/s 8，则主动轮在这段时间内转过了 圈。
解：被动轮边缘上一点的线速度为πm/s 45.0π8222=⨯==r ωv在4s 内主动轮的角速度为πrad/s 202.0π412111====r r v v ω主动轮的角速度为2011πrad/s 540π2==∆-=tωωα在4s 内主动轮转过圈数为20π520ππ2(π212π212121=⨯==αωN （圈）4–2绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为0ω＝5rad/s ，t ＝20s 时角速度为08.0ωω=，则飞轮的角加速度α＝ ，t ＝0到t ＝100s 时间内飞轮所转过的角度θ＝ 。
解：由于飞轮作匀变速转动，故飞轮的角加速度为20s /rad 05.020558.0-=-⨯=-=tωωα t ＝0到t ＝100s 时间内飞轮所转过的角度为rad 250100)05.0(21100521220=⨯-⨯+⨯=+=t t αωθ4–3 转动惯量是物体 量度，决定刚体的转动惯量的因素有 。
解：转动惯性大小，刚体的形状、质量分布及转轴的位置。
4–4 如图4-1，在轻杆的b 处与3b 处各系质量为2m 和m 的质点，可绕O 轴转动，则质点系的转动惯量为 。
解：由分离质点的转动惯量的定义得221i i i r m J ∆=∑=22)3(2b m mb +=211mb =4–5 一飞轮以600r/min 的转速旋转，转动惯量为·m 2，现加一恒定的制动力矩使飞轮在1s 内停止转动，则该恒定制动力矩的大小M ＝_________。
解：飞轮的角加速度为20s /rad 20160/π26000-=⨯-=-=tωωα制动力矩的大小为m N π50π)20(5.2⋅-=-⨯==αJ M负号表示力矩为阻力矩。
【大题】工科物理大作业04-刚体定轴转动
【大题】工科物理大作业04-刚体定轴转动 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN0404 刚体定轴转动班号 学号 姓名 成绩一、选择题（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）1．某刚体绕定轴作匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任一质元来说，在下列关于其法向加速度n a 和切向加速度τa 的表述中，正确的是：A ．n a 、τa 的大小均随时间变化；B ．n a 、τa 的大小均保持不变；C ．n a 的大小变化，τa 的大小保持恒定；D ．n a 的大小保持恒定，τa 大小变化。
（C ）[知识点］刚体匀变速定轴转动特征，角量与线量的关系。
[分析与题解] 刚体中任一质元的法向、切向加速度分别为 r a n 2ω=，r a τβ=当β = 恒量时，t βωω+=0 ，显然r t r a n 202)(βωω+==，其大小随时间而变，ra τβ=的大小恒定不变。
2. 两个均质圆盘A 和B ，密度分别为ρA 和ρB ，且B ρρ>A ，但两圆盘的质量和厚度相同。
若两盘对通过盘心且与盘面垂直的轴的转动惯量分别为A I 和B I ，则 A ．B I I >A； B. B I I <A ；C ．B I I =A ； D. 不能确定A I 和B I 的相对大小。
（B ）[知识点］转动惯量的计算。
[分析与题解] 设A 、B 两盘厚度为d ，半径分别为R A 和R B ，由题意，二者质量相等，即B B A A d R d R ρπρπ22=因为B A ρρ>， 所以22B A R R < 且转动惯量221mR I =，则B A I I <3．在下列关于刚体的表述中，不正确的是：A ．刚体作定轴转动时，其上各点的角速度相同，线速度不同；B ．刚体定轴转动的转动定律为βI M =，式中β,,I M 均对同一条固定轴而言的，否则该式不成立；C ．对给定的刚体而言，它的质量和形状是一定的，则其转动惯量也是唯一确定的；D ．刚体的转动动能等于刚体上各质元的动能之和。
理论力学第4章 刚体的平面运动
独立的参变量。
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xAxA(t) yAyA(t) φφ(t)
称为刚体平面运动方程
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 xA, yA, ,
平面图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
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3.平面运动分解为平移和转动
当平面图形Ｓ上的点Ａ不动时，则刚体作定轴转动， 当平面图形Ｓ上 的角 不变时，则刚体作平移。
思考: 下列运动是否可能?
V
V
v
V
V
v
V
v
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2) 加 速 度 投 影 形 式
aBaAaB n A aBA
当 0时aB n A 0
a
BA
a
n B
A
aA
[aB]AB[aA]AB
当 0 时 a B n A 0a B AB.A A a A
有[aB]A B[aA]A B
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车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
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转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
φ1 φ2
ω1 ω2 1 2
平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。
称点A为基点 平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形 一方面随基点A的平移（牵连运动），另一方面图形又绕 基点的转动（相对运动）的合成运动。
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大学物理第四章 刚体的转动部分的习题及答案
第四章 刚体的转动一、简答题：1、简述刚体定轴转动的角动量守恒定律并给出其数学表达式?答案：刚体定轴转动时，若所受合外力矩为零或不受外力矩，则刚体的角动量保持不变。
2、写出刚体绕定轴转动的转动定律文字表达与数学表达式?答案：刚体绕定轴转动的转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
表达式为：αJ M =。
3、写出刚体转动惯量的公式，并说明它由哪些因素确定?答案：dm r J V⎰=2①刚体的质量及其分布；②转轴的位置；③刚体的形状。
二、选择题1、在定轴转动中，如果合外力矩的方向与角速度的方向一致，则以下说法正确的是 ( A )A.合力矩增大时，物体角速度一定增大；B.合力矩减小时，物体角速度一定减小；C.合力矩减小时，物体角加速度不一定变小；D.合力矩增大时，物体角加速度不一定增大2、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 ( C ) A.只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关； B.取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关； C.取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置；D.只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关；3、有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动， 转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度0ω转动，此时有一质量为m 的人站住转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 ( A ) A.()2mR J J +ω B.()2Rm J J +ω C.20mR J ω D.0ω4、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。
今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的? ( A )A.角速度从小到大，角加速度从大到小．B.角速度从小到大，角加速度从小到大．C.角速度从大到小，角加速度从大到小．D.角速度从大到小，角加速度从小到大．5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度( C )A.增大B.不变C.减小 (D) 、不能确定6、在地球绕太阳中心作椭圆运动时，则地球对太阳中心的 ( B ) A.角动量守恒，动能守恒 B.角动量守恒，机械能守恒 C.角动量不守恒，机械能守恒 D.角动量守恒，动量守恒7、有两个半径相同,质量相等的细圆环A 和B ，A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀，它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为A J 和B J ，则 ( C )A.B A J J >；B.B A J J <；C.B A J J =；D.不能确定A J 、B J 哪个大。
4_刚体力学习题详解
5． 对一绕固定水平轴O匀速转动的转盘，沿图示的同一水平直线从相反方向射入两颗质量相同、速率相等的子弹，并停留在盘中，则子弹射入后转盘的角速度应[ ]
（A） ；（B） ；（C） 不变；（D） ；(E)无法确定。
答案：B
解：
，
所以
6.光滑的桌面上有一长为 ，质量为 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动，其转动惯量为 ，开始静止。桌面上有质量为 的小球，在杆的一端垂直于杆以速率 与杆相碰，发生完全非弹性碰撞，与杆粘在一起转动，则碰后这一系统的角速度为
习题四
本章习题都是围绕（角）动量守恒以及能量守恒，把过程分析清楚，正确带入公式就可以解决。
一、选择题
1．一根长为 、质量为M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向棒的中心，并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为 ，则v0的大小为[ ]
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
可先求出a，解得
， ， ，
将 ， 代入，得：
三．计算题
1一物体质量为m=20kg,沿一和水平面成30°角的斜面下滑，如图三1所示，滑动摩擦因数为 ，绳的一端系于物体上，另一端绕在匀质飞轮上，飞轮可绕中心轴转动，质量为M=10kg，半径为0.1m,求：
（1）物体的加速度。
（2） 绳中的张力。
解：对物体：
答案：（1） ；（2） 。
解：以启动前的位置为各势能的零点，启动前后应用机械能守恒定律
（1） 时，得 或
（2） 时
5．长 、质量 的匀质木棒，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有图所示。求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。
(完整版)第一章答案
第一章静力学公理和物体的受力分析思考题解答1-21-31-4 刚体上A点受力F作用，如图1-24所示，问能否在B点加一个力使刚体平衡?为什么?答：不能。
1-5 如图l-25所示结构，若力F作用在B点，系统能否平衡?若力F仍作用在B点，但可任意改变力F的方向，F在什么方向上结构能平衡?答：若力F作用在B点，系统不能平衡；F 在指向A方向上结构能平衡。
1-6 将如下问题抽象为力学模型，充分发挥你们的想象、分析和抽象能力，试画出它们的力学简图及受力图。
(1)用两根细绳将日光灯吊挂在天花板上；(2)水面上的一块浮冰；(3)一本打开的书静止于桌面上；(4)一个人坐在一只足球上。
答：（1）（2）（3）（4）1-7 图1-26中力F作用于三铰拱的铰链C处的销钉上，所有物体重量不计。
(1)试分别画出左、右两拱及销钉C的受力图；(2)若销钉C属于AC，分别画出左、右两拱的受力图；(3)若销钉C属于BC，分别画出左、右两拱的受力图。
习题b c g h i j k分离体1.分布载荷在受力分析时，不要用其合力代替2.B点约束？C 点约束？简图太简，表现不出约束类型和构件基本形状1.整体？2.没有C F3.三力汇交没表示AB三力汇交，AD二力杆。
1-31.ACE虽然三力汇交，但C、A点力的方向不确定2.没有A3．搞清楚铰链在与谁一体。
(e)1.AD是二力杆2. A三个杆件铰链3.轮的自重不计4.不一定要用三力汇交，三力汇交只有二个力的方向确定才能确定第三个力的方向。
第四章 刚体转动
第四章 刚体的转动 问题4-1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。
试问：在t ∆时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？ 解 在一定时间内，处于边缘的点，运动的路程较长，线速度较大；它们转动的角度、角速度都相等；线加速度、角加速度都为零。
考虑飞轮上任一点P ，它随飞轮绕转轴转动，设角速度为ω，飞轮半径为r 。
在t ∆内，点P 运动的路程为P P l r t ω=∆，对于任意点的角速度ω恒定，所以离轴越远的点（P r 越大）运动的路程越长。
又因为点P 的线速度P P v r ω=，即离轴越远，线速度也越大。
同理，点P 转动的角度P t θω=∆，对于飞轮上任一个点绕轴转动的角速度ω都相等，即在相等的时间内，飞轮上的点转动的角度都相等。
又角速度ω恒定，即线加速度0P Pd a r dtω==，角加速度0P d dtωα==.4-2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？解 不一定。
如图（a ）轻杆（杆长为l ）在水平面内受力1F 与2F 大小相等方向相反，合力为零，但它们相对垂直平面内通过O 点的固定轴的力矩1M F l =不为零。
如图（b ），一小球在绳拉力作用下在水平面内绕固定轴作圆周运动，小球所受的合外力通过O 点，它所受的力矩为零。
4-3 有两个飞轮，一个是木制的，周围镶上铁制的轮缘，另一个是铁制的，周围镶上木制的轮缘，若这两个飞轮的半径相同，总质量相等，以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动，哪一个飞轮的动能较大。
1F（a ） （b ）解 两飞轮的半径、质量都相同，但木制飞轮的质量重心靠近轮缘，其转动惯量要大于铁制轮缘。
飞轮的动能212k E J ω=，ω相同，转动惯量J 越大，动能越大。
即木制飞轮动能较大。
大学物理第四章-刚体的转动-习题及答案
1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法 向加速度的大小是否随时间变化？
答：当刚体作匀变速转动时,角加速度 不变。刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速
率在均匀变化，v l ，所以一定有切向加速度 at l ，其大小不变。又因该点速度的方向变化，
ω dr
（1）圆盘上半径为r、宽度为dr的同心圆环所受的摩擦力矩
为
dM
m
(
R2
2 rdr)grBiblioteka 2r 2 mgdr/
R2
负号表示摩擦力矩为阻力矩。对上式沿径向积分得圆盘所受
r dF
的总摩擦力矩大小为
M dM R 2r2mgdrdr 2 mgR
0
R2
3
（2）由于摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量 I 1 mr2 ，由角动量定理可得圆盘停止的 2
度．
解：碰撞过程满足角动量守恒：
2 3
mv0l
1 2
mv0
2 3
l
I
而
I m( 2 l)2 2m(1 l)2 2 ml2
3
33
所以
mv0l
2 3
ml 2
由此得到： 3v0 2l
2m
1 3
l
O⅓l
1 2
v
0
2 3
l
m
⅓l m v0
⅓l
15. 如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 JA＝10 kg·m2 和 JB
2
2
22
2
2
1 16
( Ld14
1 2
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2vc d dt l sin
3(sin 3 sin 2 cos 2 cos ) g ac (1 3 sin 2 ) 2 4 6 cos 3 cos N m( g ac ) m g (1 3 sin 2 ) 2
动平衡
练习14.18(p533)：
半径为a的匀质球以速度v沿水平表面作纯滚动的过程中与高度为 h<a的台阶发生非弹性碰撞。求球能翻越台阶的最小速度（假定在 碰撞点没有发生滑动）
解：碰撞前后关于A点角动量守恒：
m v0 (a h) I c0 I A
w0 a
v0
A
0 v0 / a
练习13.7(p528)：
镜框紧帖着墙站在粗糙的钉上，稍受扰动就向下倾倒。求镜框跳离钉 子时与墙所作的角。
解：
m glsin I =? m g N m ay
m glsin / I 1 2 I m gl(1 cos ) 2
2
14.10(p413) 半径为r的匀质球体在半径为R的球形碗 内作无滑动的滚动。求球在碗底附近小幅度摆动的周期。
解法二：用能量守恒求解
即
上式求导可得
解法三：关于瞬心角动量定理
14.16(p413)将半径为r的小球轻轻搁在半径为R的静止大 球的顶端，小球就向下滚动。问小球滚到何处将飞离大球。
A点竖直速度为零：
C mg vc N A
l vc sin 2 1 I c ml 2 12
vc
2 l
3gl(1 cos ) sin vc 2 1 3 sin
2 2
dvc d 3gl(1 cos ) sin 2 d 2vc 2 dt d 1 3 sin dt
例6(p341/264)：质量为m的小球以速度v在水平冰面 上运动，撞在与小球运动方向垂直的一根横木一端，并 粘附在横木上。设横木的质量为M，长度为l。忽略冰面 摩擦，求解碰撞之后系统的运动情况。刚刚发生碰撞之 后横木上有一点是瞬时静止的，问该点在何处？
解答：
Consider a simple rigid body consisting of two particles m separated by a massless （轻质）rod of length 2l. The midpoint of the rod is attached to a vertical axis（竖直轴） which rotates at angular speed w. The rod is skewed at an angle a as shown in the sketch. Please find the angular momentum of the system and the torque about the midpoint.
I A I c m a2
碰撞后机械能守恒：
h
1 I A 2 mgh 2 2 2mgh ( I c ma ) v0 a0 a I c ma (a h)
例题： 一质量为m,长为l的匀质细杆铅直地放置在光滑
的水平地面上。当杆由静止倒下时，求地面对杆端的支 撑力。
1 1 1 2 解： 2 mg (1 cos ) I c mv c 2 2 2
an y at N
mg 2l
质心加速度：
a l
跳离时，N=0, 得：
m gl2 [2(1 cos ) cos sin 2 ] g I
1 4 2 2 I m(2l ) ml 3 3 得： cos 1 / 3