刚体运动习题

1、如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动，假定一滑轮质量为M ，半径为R ，滑轮轴光滑，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。

解：物体由静止开始下落，作匀变速直线运动
212mg T ma TR I MR a R βββ-=⎫
⎪⎪==⎬⎪
=⎪⎭ 22m a g m M ⇒=+
00v =， 22m
v at gt m M
==+
2、半径为R ，质量为M 的均匀圆盘能绕其水平轴转动，一细绳绕在圆盘的边缘，绳上挂质量为m 的重物，使圆盘得以转动。

（1）求圆盘的角加速度；
（2）当物体从静止出发下降距离h 时，物体和圆盘的动能各为多少？
解：（1）212mg T ma TR I MR a R βββ-=⎫
⎪⎪==⎬⎪
=⎪⎭
22,2(2)m mg a g m M m M R β⇒==++
（2） 物体作匀变速直线运动，2
2v ah =，物体的动能：
2
211222k m E mv gh m M
==+ 根据机械能守恒，圆盘的动能：212k k mM
E mgh E gh m M
=-=
+
3、一轻绳绕于半径r=的飞轮边缘，现以恒力F=98N 拉绳的一端，使飞轮由静止开始转动，已知飞轮的转动惯量20.5I Kg m =⋅，飞轮与轴承之间的摩擦不计。

求： （1）飞轮的角加速度；
（2）绳子下拉5m 时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能？
M
m R
解：2980.2
(1),39.2/0.5
F R F R I rad s I ββ⋅⨯⋅==
== 2
(2)9854901
22249044.27/0.5
k W F S J
W E Iw W W rad s
I =⋅=⨯==∆=⨯=== 4、一轻绳跨过两个质量均为m ，半径均为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 和2m 的重物，如图所示。

绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定
滑轮的转动惯量均为22
1
mr ，将由两个定滑轮以及质量
为m 和2m 的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力。

解： 122122221212
mg T ma T mg ma T r Tr mr Tr T r mr a r βββ⎫
-=⎪
⎪
-=⎪
⎪⎪
-=⎬⎪⎪
-=⎪
⎪
=⎪⎭ 118T mg ⇒=
5、长为l ，质量为m 均质细棒，可绕固定轴O （棒的一个端点），
在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。

棒原静止在水平位置，将其释放后当转过θ角时，求棒的角加速度β、角速度ω。

解：力矩：cos 2
l
M mg θ=
转动惯量：21
3
I ml =，
转动定理：3cos 2M g I l
βθ=
= 动能定理：
21sin 22
l
I mg ωθ=，3sin g l ωθ= θ
O
θ
O
A
6、如图所示，质量为M ，半径为R 的均匀圆盘可绕垂直于盘面的光滑轴O 在竖直平面内转动。

盘边A 点固定着质量为m 的质点。

若盘自静止开始下摆，当OA 从水平位置下摆θ角时，求系统的角速度和质点m 的切向加速度t a 。

解：转动惯量 221
2
I MR mR =
+ 动能定理：21sin 2I mg R ωθ=⋅ 4sin (2)m
g M m R
ωθ=⋅+
转动定理：cos mg R I θβ⋅= cos 2cos (2)mgR mg
I M m R
θβθ==+ 2cos 2t mg
a R M m
βθ==
+
7、如图所示，长为L 的匀质细杆，一端悬于O 点，自由下垂。

在O 点同时悬一单摆，摆长也是L ，摆的质量为m ，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与自由下垂的细杆作完全弹性碰撞，碰撞后单摆恰好静止。

求： （1）细棒的质量M ；（2）细棒摆动的最大角度θ。

解：（1）质点m 碰撞前速度2V gL =
碰撞过程动能守恒： 2211
22
mV I ω=
碰撞过程角动量守恒：mVL I ω= 3M m ⇒=
杆的转动惯量： 1
3
I ML = 故I!=1/3ML**2+mL**2
（2）设细杆摆动的最大角度θ，根据机械能守恒： 21(1cos )22L Mg
I θω-=，1cos 3arc θ⇒=
8、某冲床上的飞轮的转动惯量为52410I Kg m =⨯⋅，当它的转速达到每分钟30转时，它的转动动能是多少？每冲一次，其转速降为每分钟10转。

求每冲一次飞轮所做的功。

解：2
42
31122111.9710, 2.19102
2
k k E I J E I J ωω=
=⨯=
=⨯ 每冲一次飞轮所做的功412 1.7510k k W E E J =-=⨯
9、一静止的均匀细棒，长为l ，质量为M ，可绕O 轴（棒的一端）在水平面内 无摩擦转动。

一质量为m ，速度为v 设击穿后子弹的速度为v/2如图。

求：（1）棒的角速度。

（2）子弹给棒的冲量矩。

解：（1）由角动量守恒：2
v mv l m l I ω⋅=⋅+
232123
v
mv l m l
mv Ml Ml ω⋅-=
= （2）⎰=
⋅==2
23312mvl
Ml mv Ml I Mdt ω 或 22
v mvl
Mdt I mv l m
l ω==⋅-⋅=
⎰
10、一质量为0m 均质方形薄板，其边长为L ，铅直放置着，它可以自由地绕其一固定边转动。

若有一质量为m ，速度为v 的小球垂直于板面撞在板的边缘上。

设碰撞是弹性的，问碰撞结束瞬间，板的角速度和小球的速度各是多少。

板对转轴
的转动惯量为203
1
L m 。

解：由角动量守恒：1mvL mv L I ω=+，
由动能守恒：2221111
222
mv mv I ω=+
可得：L m m mv
I mL mLv m m v m m v I mL I mL v )3(62,)3()3(02
00221+=+=+-=⋅+-=ω
11、一根质量为M 长为L 的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其一端的水平轴O 转动。

开始时棒自由下垂，有一质量为m 的小球沿光滑水平平面以速度V 滚来，与棒做完全非弹性碰撞，求碰撞后棒摆过的最大角度θ。

解： 转动惯量：221
3
I ML mL =+
角动量守恒： mvL I ω=
机械能守恒：211
(1cos )(1cos )22
I mgL MgL ωθθ=-+-
()()223cos(1)32g
m v arc M m M m L θ=-++
12、如图所示，A 、B 两圆盘钉在一起，可绕过中心并与盘面垂直的水平轴转动， 圆盘A 的质量为6kg ，B 的质量为4kg 。

A 盘的半径10cm ，B 盘的半径5cm ，力F A 与F B 均为牛顿，求： （1）圆盘的角加速度；
（2）力F A 的作用点竖直向下移动5m ，圆盘的角速度和动能。

解：（1）22
2035.02
121m kg R m R m I B B A A ⋅=+=
转动力矩：A A B B M F R F R =-
228/M
rad s I
β=
= （2）50A
S
rad R θ∆=
= 222800ωβθ=⋅⋅∆=
，52.9/rad s ω== 211
0.0352*******
k E I J ω==⨯⨯=
1、半径为R 的圆盘绕通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动，若一质量为m 的小碎块从盘的边缘裂开，恰好沿铅直方向上抛，小碎块所能达到的最大高度h= 。

g
R 22
2ω 2、一飞轮以角速度ω0绕轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为I ，另一个转动惯量为3I 的静止飞轮突然被啮合到同一个轴上，啮合后整个系统的角速度ω= 。

014
ωω=
3、一长为l 的轻质细杆，两端分别固定质量为m 和2m 的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点O 且与杆垂直的水平光滑固定轴转动。

开始时杆与水平成60°角静止，释放后，此刚体系统绕O 轴转动。

系统的转动惯量I= 。

当杆转到水平位置时，刚体受到的合外力矩M= ；角加速度β= 。

l
g
mgl M ml I 32,21,432=
==
β
4、质量为m 的质点以速度v ϖ
沿一直线运动，则它对直线上任一点的角动量为 。

0
60°
m 2m
o。