复数乘除法公开课优秀教案
3.2.2复数代数形式的乘除运算优秀教案
3.2.2复数代数形式的乘除运算●三维目标1．知识与技能理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念．2．过程与方法理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．3．情感、态度与价值观利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：复数代数形式的乘除法运算．难点：复数除法法则的运用．●教学建议建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则．(2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则．(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律．引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练．由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现i n运算的周期性，及其应用方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析纠正运算中出现的错误．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点) 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)3．理解共轭复数的概念．(易错点)复数的乘法1．如何规定两个复数相乘？【提示】两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？【提示】满足．(1)设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3复数的除法与共轭复数如何规定两个复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R，c＋d i≠0)相除？【提示】 z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d2. (1)z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d 为实数，c ＋d i ≠0)，z 1，z 2进行除法运算时，通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b i c ＋d i 的形式再把分子与分母都乘以c －d i化简后可得结果：ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i.(2)共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数代数形式的乘除法运算) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8iD ．8i(3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i3－2i＝________. 【思路探究】 (1)先设出复数z ＝a ＋b i ，然后运用复数相等的充要条件求出a ，b 的值．(2)直接利用复数的乘法运算法则计算． (3)先计算1＋i1－i 再乘方，且将2＋3i3－2i的分母实数化后再合并．【自主解答】 (1)设z ＝a ＋b i ，则(1－i)(a ＋b i)＝2i ，即(a ＋b )＋(b －a )i ＝2i. 根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b －a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z ＝－1＋i.故选A.(2)原式＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i 2＝－8. (3)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )5＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.法二 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )226＋(2＋3i )i(3－2i )i ＝i 6＋(2＋3i )i2＋3i＝－1＋i.【答案】 (1)A (2)A (3)－1＋i1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．2．记住以下结论可以提高运算速度 (1)(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ； (2)1－i1＋i ＝－i ，1＋i1－i ＝i ； (3)1i ＝－i.计算：(1)(1－i)2；(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)；(3)2i 2＋i.【解】(1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.(2)(－12＋32i)(32＋12i)(1＋i)＝(－34－14i＋34i＋34i2)(1＋i)＝(－34＋12i－34)(1＋i)＝(－32＋12i)(1＋i)＝－32－32i＋12i－12＝－1＋32＋1－32i.(3)2i2＋i＝2i(2－i)(2＋i)(2－i)＝2＋4i5＝25＋45i.虚数单位i的幂的周期性及其应用(1)计算：－23＋i1＋23i＋(21－i)2 013；(2)若复数z＝1＋i1－i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值．【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n的形式，然后再根据i n的值的特点计算求解．【自主解答】(1)原式＝i(1＋23i)1＋23i＋[(21－i)2]1 006·(21－i)＝i ＋(2－2i )1 006·2(1＋i )2＝i ＋i 1 006·2(1＋i )2＝－22＋2－22i(2)1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013＝1－z 2 0141－z ，而z ＝1＋i 1－i＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013＝1－i 2 0141－i ＝1－i 21－i ＝1＋i.1．要熟记i n 的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值．2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．在本例(2)中若z ＝i ，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013的值． 【解】 由题意知1＋z ＋z 2＋…＋z 2 013＝1＋i ＋i 2＋…＋i 2 013 ＝1·(1－i 2 014)1－i ＝1－i 4×503＋21－i ＝1－i 21－i ＝1＋i.∴原式＝1＋i.共轭复数的应用设z 1，z 2∈C ，A ＝z 1·z 2＋z 2·z 1，B ＝z 1·z 1＋z 2·z 2，问A 与B 是否可以比较大小？为什么？【思路探究】 设出z 1，z 2的代数形式→化简A ，B →判断A ，B 是否同为实数→结论【自主解答】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＝a－b i，z2＝c－d i，∴A＝z1·z2＋z2·z1＝(a＋b i)(c－d i)＋(c＋d i)(a－b i)＝ac－ad i＋bc i－bd i2＋ac－bc i＋ad i－bd i2＝2ac＋2bd∈R，B＝z1·z1＋z2·z2＝|z1|2＋|z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，∴A与B可以比较大小．1．z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质．2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．3．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3i z＝1＋3i，求z.【解】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i(a，b∈R)，由题意得(a＋b i)(a－b i)－3i(a－b i)＝1＋3i，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z＝－1或z＝－1＋3i.记错i 2值而致误设复数z 满足1＋2iz ＝i ，则z ＝( ) A ．－2＋i B ．－2－i C ．2－iD ．2＋i【错解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2iz ＝i ， 所以1＋2i ＝a i ＋b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ，故选D 项． 【答案】 D【错因分析】 将i 2＝－1当成i 2＝1来运算漏掉负号．【防范措施】 在进行乘除法运算时，灵活运用i 的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．【正解】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )满足1＋2iz ＝i ，所以1＋2i ＝a i －b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以z ＝2－i ，故选C 项． 【答案】 C1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.1．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i对应的点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(3,1) C ．(－1,3)D ．(3，－1)【解析】 10i 3＋i ＝10i (3－i )32＋12＝10i (3－i )10＝1＋3i ， ∴其对应点的坐标为(1,3)，选A. 【答案】 A2．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解析】 因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.【答案】 D3．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________. 【解析】 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.【答案】 －1 14．计算：(1)(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；(2)2＋3i 3－2i；(3)(2－i)2.【解】(1)法一(1－i)(－12＋32i)(1＋i)＝(－12＋32i＋12i－32i2)(1＋i)＝(3－12＋3＋12i)(1＋i)＝3－12＋3＋12i＋3－12i＋3＋12i2＝－1＋3i.法二原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i)＝(1－i2)(－12＋32i)＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.(2)2＋3i3－2i＝(2＋3i)(3＋2i)(3－2i)(3＋2i)＝(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)2＝6＋2i＋3i－65＝5i5＝i.(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i＋i2＝3－4i.。
优秀教案设计模板
优秀教案设计模板一、教学内容本节课选自《高中数学》教材第四章第四节“复数的乘除运算”。
具体内容包括复数的定义、复数的代数形式、复数的乘法法则、复数的除法法则以及复数的几何意义。
二、教学目标1. 理解并掌握复数的乘除运算，能够熟练进行相关计算。
2. 了解复数的几何意义，能够将复数与坐标系中的点对应起来。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点难点：复数的除法法则，复数的几何意义。
重点：复数的乘法法则，复数的乘除运算。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入复数的概念，如电路中的电流、信号处理等。
2. 复数的定义及代数形式复习：回顾复数的定义，引导学生用代数形式表示复数。
3. 复数的乘法法则：讲解复数乘法法则，结合例题进行讲解，让学生进行随堂练习。
4. 复数的除法法则：介绍复数除法法则，结合例题进行讲解，让学生进行随堂练习。
5. 复数的几何意义：讲解复数与坐标系中的点对应关系，引导学生通过实际操作，将复数与坐标系中的点对应起来。
六、板书设计1. 复数的定义及代数形式2. 复数的乘法法则例题：计算(3+4i)(23i)3. 复数的除法法则例题：计算(3+4i)/(23i)4. 复数的几何意义图形展示：复数与坐标系中的点对应关系七、作业设计(1) (2+3i)(45i)(2) (6+7i)/(34i)(1) 3+4i(2) 23i答案：1. (1) 7+i(2) 8/5 + 11/5 i2. 见解析。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对复数的乘除运算掌握情况较好，但部分学生对复数的几何意义理解不够深入，需要在课后加强辅导。
2. 拓展延伸：引导学生了解复数的其他运算，如加减运算，以及复数的应用，如电路分析、信号处理等领域。
重点和难点解析需要重点关注的细节包括：1. 教学内容的组织与逻辑顺序。
2. 教学目标的明确性与具体性。
《复数的乘法与除法》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】
第五章复数5.2.2复数的乘法与除法◆教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，能够运用法则求两个复数的积与商．2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．◆教学重难点◆教学重点：复数代数形式的乘、除运算法则及其运算律．教学难点：复数除法的运算法则．◆教学过程一、新课导入情境：我们知道，两个一次式相乘，有(ax+b)(cx+d)=acx2+(bc+ad)x+bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？设计意图：类比多项式的乘法运算，以及复数的加减法运算与多项式加法运算的关系，引导学生思考复数乘除法运算法则．二、新知探究问题1：类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？答案：我们规定，复数的乘法法则为：设z1=a+b i，z2=c+d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+b i)(c+d i)=ac+bc i+ad i+bdi2=ac+bc i+ad i−bd=(ac−bd)+(bc+ad)i．追问1：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？答案：通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定．追问2：当z1z2都是实数时，复数乘法的运算法则与实数乘法法则一致吗？答案：根据法则，我们发现，当b=d=0时，z1z2都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致．追问3：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？答案：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成−1，并且把实部与虚部分别合并即可．结论：两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘．设计意图：与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则．同时培养学生类比的核心素养．问题2：类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想．答案：猜想：对于任意对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律：z1∙z2=z2∙z1；结合律：(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)；分配律：z1(z2+z3)=z1∙z2+z1∙z3．证明：设z1＝a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i．(1)∵z1∙z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)iz2∙z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1−b2b1)+(b2a1+a2b1)i又a1a2−b1b2=a2a1−b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1，∴z1∙z2=z2∙z1．(2)(z1∙z2)∙z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)．=[(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i](a3+b3i)=[(a1a2−b1b2)a3+(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2−b1b2)b3]i=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，同理可得：z1∙(z2∙z3)=(a1a2a3−b1b2a3−b1a2b3−a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3−b1b2b3)i，∴(z1∙z2)∙z3=z1∙(z2∙z3)．(3) z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]=[a1(a2+a3)−b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)−a1(b2+b3)]i=(a1a2+a1a3−b1b2−b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1∙z2+z1∙z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2−b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3−b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2−b1b2+a1a3−b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a 1a 2+a 1a 3−b 1b 2−b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1∙z 2+z 1∙z 3．设计意图：引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律．培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深．想一想：计算：(1)(−2−i )(3+i )； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )． 分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算． 解：(1) (−2−i )(3+i )=−6−2i −3i −i 2=−5−5i ； (2)(1−2i )(3+4i )(−2+i )=(11−2i )(−2+i )=−20+15i ．总结：按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．问题3：如何定义复数的乘方运算呢？答案：对于复数z ，定义它的乘方z n =z ∙z ∙ … ∙z ．根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有：z m ∙z n =z m+n ，(z m )n =z mn ，(z 1∙z 2)n =z 1n ∙z 2n ．追问：i 0=1，i 1=i ，i 2=−1，i 3=−i ，…以此类推，你发现了什么规律？ 答案：i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=−1，i 4n+3=−i (n ∈N )．思考：计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明. (1)(3+2i )(3−2i )；(2)(2+i )(2−i )；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)；(4)(√3+√2i)(√3−√2i)．答案：(1)(3+2i )(3−2i )=32−6i +6i −(2i )2=9−(−4)=13； (2)(2+i )(2−i )=22−2i +2i −i 2=4−(−1)=5；(3)(−2√2−i)(−2√2+i)=(−2√2)2−2√2i +2√2i −i 2=8−(−1)=9； (4)(√3+√2i)(√3−√2i)=(√3)2−√6i +√6i −(√2i)2=3−(−2)=5．规律：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．即若z =a +b i (a ，b ∈R)，则z ∙z̅=|z |2=|z̅|2=a 2+b 2．问题4：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则．答案：我们通过引入倒数来定义复数的除法．给定复数z2，若存在复数z，使得z2∙z=1，则称z是z2的倒数，记作z=1z2．设z2=c+di≠0和z= x+yi(c，d，x，y∈R)，则z2∙z=(c+di)( x+yi)=cx−dy+ (cy+dx)i=1，所以{cx−dy=1，cy+dx=0，解得{x=cc2+d2，y=−dc2+d2．所以z2=c+di的倒数1z2=cc2+d2−dc2+d2i．（这里要求c，d不能同时为0，即z2≠0．）对任意的复数z1=a+b i(a，b∈R)和非零复数z2=c+di(c，d∈R)，规定复数的除法：z1z2=z1∙1z2，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数．因此z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(cc2+d2−dc2+d2i)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．说明：在实际计算a+bic+di时，通常把分子和分母同乘分母c+di的共轭复数c−di，化简后就得到上面的结果：a+bi c+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2−ad−bcc2+d2i．由此可见，在进行复数除法运算是，实际上是将分母“实数化”．设计意图：通过引入复数的倒数，将复数的除法转化成乘法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则．渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系．解：原式=[(−2−3i)(−1+3i)](√6+i)=(2−6i+3i−9i2)(√6+i)=(11−3i)(√6+i)=11√6+11i−3√6i−3i2=(11√6+3)+(11−3√6)i．例2 计算：(1)(1+i)4；(2)(2−i)2(2+i)2．解：(1)(1+i)4=[(1+i)2]2=(1+2i+i2)2=(2i)2=−4；(2)(2−i)2(2+i)2=[(2−i)(2+i)]2=(4+1)2=25．例3 求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，并验证x1+x2=−ba ，x1x2=ca．解：使用配方法容易得到：(x +b2a )2=b 2−4ac 4a 2．(1)若b 2−4ac ≥0，则x 1=−b+√b 2−4ac2a ，x 2=−b−√b 2−4ac2a．因此x 1+x 2=−b+√b 2−4ac2a+−b−√b 2−4ac2a=−b a，x 1x 2=−b+√b 2−4ac2a ·−b−√b 2−4ac2a=b 2−(b 2−4ac )4a 2=ca．(2)若b 2−4ac<0，则x +b 2a=±√4ac−b 24a 2i ，即x 1=−b+√4ac−b 2i2a，x 2=−b−√4ac−b 2i2a．因此x 1+x 2=−b+√4ac−b 2i2a+−b−√4ac−b 2i2a=−ba ，x 1x 2=−b+√4ac−b 2i 2a·−b−√4ac−b 2i2a=b 2+(4ac−b 2)4a 2=ca ．综上所述，一元二次方程x 2+bx +c =0(a ≠0)在复数范围内的根x 1，x 2都满足x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca．例4 证明：对任意的两个复数z 1，z 2，若z 1·z 2=0，则z 1，z 2至少有一个为0． 解：设z 1≠0，则|z 1|≠0，z 1的共轭复数z̅1≠0．将z 1·z 2=0的左右两边同时乘z̅1，得z 1·z 2·z̅1=0·z̅1，即|z̅1|2·z 2=0． 因为|z̅1|2≠0，所以z 2=0． 例5 计算：(1)−12i；(2)1+2i 2−3i ；(3)(1+i1−i )6． 解：(1)−12i=−1×(−i )2i×(−i )=i2；(2)1+2i2−3i=(1+2i )×(2+3i )(2−3i )×(2+3i )=−4+7i 13=−413+713i ； (3)(1+i 1−i)6=[(1+i )2(1−i )(1+i )]6=(2i 2)6=i 6=−1． 设计意图：在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。
复数乘法除法的教案
复数乘法除法的教案教案标题：复数乘法除法的教案一、教学目标：1. 理解复数的乘法和除法的概念；2. 掌握复数乘法和除法的计算方法；3. 能够应用复数乘法和除法解决实际问题。
二、教学准备：1. 教师准备：教师需要准备白板、黑板、彩色粉笔、复数乘法和除法的示例题目；2. 学生准备：学生需要准备笔和纸。
三、教学过程：步骤一：导入1. 教师可以通过一个简短的复习，回顾复数的概念和基本运算规则。
步骤二：引入复数乘法1. 教师通过示例，向学生解释复数乘法的概念和规则。
2. 教师可以使用白板或黑板上的示例，让学生一起完成复数乘法的计算过程。
3. 教师可以提供一些练习题，让学生在纸上进行计算，并进行批改。
步骤三：引入复数除法1. 教师通过示例，向学生解释复数除法的概念和规则。
2. 教师可以使用白板或黑板上的示例，让学生一起完成复数除法的计算过程。
3. 教师可以提供一些练习题，让学生在纸上进行计算，并进行批改。
步骤四：综合练习1. 教师提供一些综合性的练习题，包括复数乘法和除法的计算。
2. 学生独立完成练习，并互相交换答案进行批改。
3. 教师可以挑选几道题进行讲解和讨论，解答学生的疑惑。
步骤五：拓展应用1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用复数乘法和除法解决。
2. 学生独立思考并解答问题，教师可以进行讨论和引导。
四、教学评价：1. 教师可以通过观察学生的课堂表现、练习题的完成情况和回答问题的准确性来评价学生的学习情况。
2. 教师可以提供一些小测验或考试，检验学生对复数乘法和除法的掌握程度。
五、教学延伸：1. 学生可以通过自主学习和练习，进一步巩固和拓展对复数乘法和除法的理解和应用。
2. 学生可以尝试解决更复杂的实际问题，提高解决问题的能力。
六、教学反思：本教案通过引入复数乘法和除法的概念，结合示例和练习，帮助学生理解和掌握这两种运算方法。
同时，通过实际问题的应用，培养学生解决问题的能力。
教师在教学过程中要注意引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣和积极性。
复数的乘除运算教案
复数的乘除运算教案一、知识目标1.理解复数的乘法和除法的定义与规则。
2.掌握复数的乘法和除法的计算方法。
3.能够灵活应用复数的乘法和除法解决实际问题。
二、教学重难点1.掌握复数的乘法和除法的基本知识。
2.能够在解决实际问题中使用复数的乘法和除法。
三、教学过程1.复习通过复数的定义和基本运算的讲解，复习复数的加减法、共轭和模的概念和计算方法。
2.乘法(1)定义：设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，乘积为z=z1×z2=(a+bi)×(c+di)。
按照运算法则展开并进行化简，即可得到z=(ac-bd)+(bc+ad)i，这就是复数的乘法公式。
(2)计算：教师给出若干道复数乘法的例题，让学生自主练习，并在黑板上讲解解题方法和答案。
(3)注意点：在乘法中，共轭复数的乘积等于它们的模平方，即：|z1z2|=|z1|×|z2|。
3.除法(1)定义：设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，商为z=z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)。
将分子分母同时乘以共轭数的商，即可得到z=[(a+bi)×(c-di)]÷[(c+di)×(c-di)]。
按照运算法则展开并进行化简，即可得到z=[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i，这就是复数的除法公式。
(2)计算：教师给出若干道复数除法的例题，让学生自主练习，并在黑板上讲解解题方法和答案。
(3)注意点：在除法中，一个任意的非零复数的倒数是它的共轭数与模平方的商，即：1/z= z*÷|z|²。
四、实例讲解教师根据实际问题，构造一些需要使用复数乘、除法进行计算的题目，让学生实际运用所学知识计算，并提高自己的解决实际问题的能力。
五、总结反思教师对所学知识进行归纳和总结，并让学生进行合作讨论，分享自己的学习体会和感悟，以达到知识的深化和加深。
复数乘除法教案范文
复数乘除法教案范文教案：复数的乘除法教学目标：1.学生通过本节课的学习，能够掌握复数的乘除法的基本概念和运算方法；2.学生能够应用所学的知识解决实际问题。
教学重点：1.复数的乘法的概念和运算方法；2.复数的除法的概念和运算方法。
教学难点：1.复数的乘法的应用；2.复数的除法的应用。
教学准备：1.复数的乘法和除法的定义；2.复数的运算规则和性质；3.相应的习题和作业。
教学流程：步骤一：复习复习复数的基本概念和基本运算，包括复数的定义、实部与虚部、共轭复数等内容。
步骤二：复数的乘法1. 复数的乘法：设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a、b、c、d为实数，那么z1×z2=(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
2.举例说明：计算(3+2i)×(1-4i)。
步骤三：复数的除法1. 复数的除法：设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a、b、c、d为实数且z2≠0，那么z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)。
a. 首先，将复数的除法转化为乘法：z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)=(a+bi)×(c-di)÷(c+di)；b.其次，利用分子有理化的方法将复数的除法转化为分数除法。
2.举例说明：计算(5+6i)÷(3-4i)。
步骤四：实际应用1.将复数乘除法运用于实际问题的解决中，如计算电路中的复阻抗、计算电流相位等问题。
步骤五：小结总结复数的乘法和除法的基本概念和运算方法。
教学延伸：1.提供更多的实例让学生进行练习；2.引导学生应用复数乘除法解决其他实际问题。
教学评价：1.学生是否能够正确理解并应用复数的乘法和除法；2.学生是否能够解决实际问题并给出合理的答案。
教学反思：通过本节课的学习，学生能够理解和掌握复数的乘法和除法的概念和运算方法。
对于一些学生来说，这可能是一个相对较难的内容，需要进行多次的练习和巩固。
复数的乘、除运算(教学设计)
复数的乘除运算教学设计教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的核心素养。
教学重难点1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；2.难点：复数的除法运算教学过程（一）新知导入1.创设情境，生成问题两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？2.探索交流，解决问题【问题1】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复数相乘？[提示]z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.(实部相乘减去虚部相乘的差为实部，实部与另一复数虚部相乘的和为虚部）【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？[提示]满足．【问题3】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z z的共轭复数等于什么？z z是一个怎样的数？[提示]z＝a－b i，z z＝a2＋b2是一个实数．（二）复数的乘除运算1.复数的乘法运算复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等(1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3（3）例题讲解【例1】计算（3−4i）【例2】计算（1−2i）（3+4i）(−2+i)解：（3−4i）（3+4i）解：（1−2i）（3+4i）(−2+i)=3×3+3×4i −4×3i −4i×4i;=(11−2i)(−2+i);=−20+15i.=25.【变式】计算（12−5i）（12+5i）=22512+=213（三）、复数的除法运算猜想：实数的除法是乘法的逆运算，那么该如何定义复数的除法呢？试试自己猜测，复数的除法法则：(1+2i)÷(3+4i)=(1+2i)×4i +31=4i +32i 1+=4i)-4i)(3+(34i)-2i)(3+(1=22434i)-2i)(3+(1=+注：分母是虚数，怎样变成实数呢？类比“分母有理化”，分子分母同时乘以分母的共轭复数。
复数的乘除运算教案
复数的乘除运算教案复数乘除运算教案一、教学目标1. 理解复数的乘除运算的概念和规律；2. 能够进行复数的乘除运算；3. 通过实际问题的解决，培养学生的应用能力。
二、教学重点1. 复数的乘法规则；2. 复数的除法规则。
三、教学难点1. 对复数的乘除运算规则的理解和灵活运用。
四、教学准备1. 复数的定义和性质；2. 复数的乘法和除法运算规则。
五、教学过程Step 1 知识导入复习复数的概念和性质，并引导学生回顾复数的加减运算规则。
Step 2 复数的乘法规则1. 引导学生思考：如何计算两个复数的乘积？2. 让学生观察一些简单的乘法例子，并总结乘法的规律，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些乘法运算练习。
Step 3 复数的除法规则1. 引导学生思考：如何计算一个复数除以另一个复数？2. 让学生观察一些简单的除法例子，并总结除法的规律，例如：(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c - di)/(c^2 + d^2)。
3. 根据上述规律，引导学生完成一些除法运算练习。
Step 4 综合运用通过实际问题的解决，让学生灵活应用复数的乘除运算规则。
例如：问题：如果有一个复数z，满足z乘以4等于(-8 + 16i)，求z的值。
解决思路：设z = a + bi，将已知条件代入乘法规则，得到方程(a + bi) * 4 = (-8 + 16i)，然后解方程，求得z的值。
六、教学拓展引导学生思考复数的乘法和除法规则在实际生活中的应用，例如在电路分析、信号处理等领域。
七、作业布置完成教师布置的练习题，巩固所学的乘除运算规则。
八、课堂小结复习复数的乘除运算规则，并提醒学生练习和巩固所学知识。
以上是关于复数的乘除运算教案的参考内容，通过引导学生总结计算规律和应用实例，帮助学生理解复数的乘除运算规则，并通过实际问题的解决来培养学生的应用能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.2.2复数代数形式的乘除运算
【学习目标】
1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；
2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；
【重点难点】
重点：复数代数形式的除法运算. 难点：对复数除法法则的运用.
【学法指导】
复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2
i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】
1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；
2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；
3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；
4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；
5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.
【问题探究】
探究一、复数的乘法运算
引导1:乘法运算规则
设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：
=⋅21z z
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2
i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
引导2:试验证复数乘法运算律
（1）1221z z z z ⋅=⋅
（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅
（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅
点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
探究二、复数的除法运算
引导1：复数除法定义：
满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者
di c bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则：
利用()()22d c di c di c +=-+.于是将di
c bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc a
d i c di c di c di c d
++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d
++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d
c a
d bc d c bd ac 2222+-+++. 点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的
23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
【典例分析】
例1计算()()()i i i +-+-24321
引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.
点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2
i 换成－1.
例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()
21i +.
引导:按照复数乘法运算展开即可.
点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.
例3计算(12)(34)i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.
点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.
例4i
43+引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.
点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.
【目标检测】
1.复数2
2i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭
等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - 2.设复数z 满足
12i i z +=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i +
3.复数3
2321⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ）
A.i -
B.i
C.1-
4.已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.
5*.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.
(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律并把这个规律用式子表示出来.
提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.
【总结提升】
复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2
i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.
【总结反思】
知识 .
重点 .
能力与思想方法 .
【自我评价】你完成本学案的情况为( )
A.很好
B.较好
C.一般
D.较差
2011年训练试题
2．（浙江理2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1z i =+，则(1)z z +⋅= ．
3．（天津理1）i 是虚数单位，复数131i i
-=- ． 4．（四川理2）复数1
i i
-+= ．
9．（江西理1）若12i z i
+=，则复数z = ． 13．（北京理2）复数212i i -=+ ．
6．（全国新课标理1）复数212i i
+=- ． 7．（全国大纲理1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= ．
12．（广东理1）设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z = ．
14．（安徽理1）设i 是虚数单位，复数12ai i
+-为纯虚数，则实数a = ． 15．（江苏3）设复数z 满足(1)32i z i +=-+（i 是虚数单位），则z 的实部是 ．。