特殊值法解数学客观题
巧借特殊值法,妙解高考真题
２０２３年８月上半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀巧借特殊值法,妙解高考真题◉张家港高级中学㊀黄㊀轶㊀㊀摘要:巧妙利用特殊值法,借助特殊值的选取,有时可以更加简捷地求解客观题．本文中结合２０２２年高考真题,剖析特殊值法的巧妙应用,总结特殊值法的解题技巧与规律．关键词:高考;特殊值;客观题;函数;三角;不等式㊀㊀特殊值法破解数学客观题,有其特殊的优势与美妙的体验,它是数学基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动经验等 四基 落实并上升到一定高度的特殊 产物 ,是特殊与一般思维的升华．特别在解决一些函数或方程㊁数列㊁三角函数或不等式等的选择题时,利用特殊值法,解题过程简洁明了,很好地提升解题速度与解题效益．下面结合２０２２年高考数学真题中一些客观题特殊值法的合理选用与巧妙应用加以剖析．１巧判函数图象例１㊀(２０２２年高考数学全国甲卷理科 ５)函数y ＝(３x －３－x)c o s x 在区间－π２,π２éëêêùûúú的图象大致为(㊀㊀)．A．㊀㊀B ．C ．D．分析:解决此类题的常用思维就是先根据函数的解析式判定函数的奇偶性,再借助特殊值的选取合理排除错误的选项．而此题两次利用函数特殊值的选取,即可将不满足函数值取值情况的图象完美地排除,实现巧妙判定函数图象的目的．解析:选取特殊值x ＝１,可得f (１)＝(３１－３－１)c o s １＞０,由此排除选项C ,D ;再选取特殊值x ＝－１,得f (－１)＝(３－１－３１) c o s (－１)＜０,由此排除选项B ．故选择答案:A ．点评:巧妙选取特殊值来判断函数或方程所对应的函数图象问题,将特殊值所对应的函数值情况与点的位置特征加以联系与对比,排除不合理的图象选项．对于单选题,在利用特殊值法巧判函数或方程所对应的函数图象问题时,经常要多次利用特殊值的巧妙选取来合理排除,直到剩下最后一个正确答案为止．２判定函数关系式例２㊀(２０２２年高考数学北京卷 ４)已知函数f (x )＝１１＋２x,则对任意实数x ,有(㊀㊀)．A．f (－x )＋f (x )＝０㊀B ．f (－x )－f (x )＝０C ．f (－x )＋f (x )＝１D．f (－x )－f (x )＝１３分析:解决此类题的常用思维就是利用题设给出的函数关系式,结合选项中对应函数关系式代入,通过指数运算与变形来转化与验证,进而得以正确判定．而此题选取特殊值加以验证即可正确判定,从而减少数学运算量,这也是一种不错的技巧方法．解析:由函数f (x )＝１１＋２x,选取特殊值x ＝０,可得f (０)＝１１＋２０＝１２,代入各选项中进行验证,选项B ,C 成立;又选取特殊值x ＝１,可得f (１)＝１１＋２１＝１３,f (－１)＝１１＋２－１＝２３,只有选项C 成立．故选择答案:C ．点评:在判定一些复杂函数关系式的成立问题时,为避免复杂的逻辑推理与繁杂的数学运算,经常借助一些特殊值的选取,代入函数关系式加以化简与求值,可以很好地优化解题过程,同时对于函数关系式的判定更加直接㊁有效．３４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年８月上半月㊀㊀㊀３求解相应函数值例３㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 ６)角α,β满足s i n (α＋β)＋c o s (α＋β)＝２２c o s (α＋π４)s i n β,则(㊀㊀)．A．t a n (α＋β)＝１B ．t a n (α＋β)＝－１C ．t a n (α－β)＝１D．t a n (α－β)＝－１分析:解决此类题的常用思维就是利用三角恒等变换公式对题设的三角函数方程加以变形与转化,进而结合化简的结果来分析与求解对应的三角函数值问题．而此题结合两次特殊值的选取,即可合理排除不满足条件的选取,简化公式变形与推理过程,优化数学运算．解析:s i n (α＋β)＋c o s (α＋β)＝２２c o s (α＋π４)s i n β．①选取特殊值β＝０,代入①式,得s i n α＋c o s α＝０,即t a n α＝－１;再将β＝０分别代入四个选项,由此可以排除选项A ,C ．选取特殊值α＝０,代入①式,可得s i n β－c o s β＝０,即t a n β＝１;再将α＝０分别代入四个选项进行验证,由此可以排除选项B ．故选择答案:D ．点评:这里很好地通过三角函数关系式中角的变化以及对应选项中的三角函数值不变的特征,利用两次特殊值的选取,结合选项中的三角函数值进行排除．借助特殊值法处理相关数学问题时,有时一次特殊值的选取不能直接达到目的,可以进行第二次特殊值的选取,直至剩下最后一个选项为止．４确定参数取值范围例４㊀(２０２２年高考数学浙江卷 ９)已知a ,b ɪR ,若对任意x ɪR ,a |x －b |＋|x －４|－|２x －５|ȡ０,则(㊀㊀)．A．a ɤ１,b ȡ３B ．a ɤ１,b ɤ３C ．a ȡ１,b ȡ３D．a ȡ１,b ɤ３分析:解决此类题的常用思维就是绝对值不等式的函数图象化处理思维㊁参数的分类讨论思维等,过程复杂,讨论繁多．而此题利用特殊值的选取,代入题设的绝对值不等式加以化简,利用含参不等式恒成立的条件确定参数的取值情况,结合各选项中的参数取值范围即可验证与确定．解析:选取特殊值x ＝４,由a |x －b |＋|x －４|－|２x －５|ȡ０,可得a |４－b |－３ȡ０．显然a ʂ０且b ʂ４,观察各选项可知,只有a ȡ１,b ɤ３符合这个结论．故选择答案:D ．点评:借助含参绝对值不等式中特殊值的选取,简化不等式,减少变量,借助不等式恒成立等相关知识确定相关参数的取值情况,再结合选项合理验证．在具体借助特殊值法确定参数取值范围的问题时,经常不能直接得到对应参数的取值范围,而是借助选项中参数不同取值范围加以验证与判断,合理排除,巧妙确定．５判断不等式成立例５㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 １２)(多选题)对任意x ,y ,x ２＋y ２－x y ＝１,则(㊀㊀)．A．x ＋y ɤ１B ．x ＋y ȡ－２C ．x ２＋y ２ɤ２D．x ２＋y ２ȡ１分析:解决此类题的常用思维就是不等式思维㊁配方思维或换元思维等,利用条件中的二元方程,结合基本不等式㊁完全平方公式或三角换元等方法来处理,解题过程较为繁琐．而此题利用特殊值法,根据满足二元方程条件下的特殊值的两次合理选取,即可正确排除对应的选项来达到正确判断的目的,简单快捷．解析:选取特殊值x ＝y ＝１,其满足方程x ２＋y ２－x y ＝１,则有x ＋y ＝２ɤ１不成立,故选项A 错误;再选取特殊值x ＝－y ＝３３,其满足方程x ２＋y ２－x y ＝１,则有x ２＋y ２＝２３ȡ１不成立,故选项D 错误;根据多选题 至少有两个选项是正确 的特征,故选择答案:B C ．点评:利用特殊值法破解一些数学的综合与创新问题时,有一定的 秒杀 效果,但要注意一般 可遇而不可求 ,不具有可推广性与普及性．如果一定要花大量时间去配凑特殊值,往往得不偿失．这里借助二元方程的结构特征,可以快速选取相应的特殊值来验证,综合多选题的特征,当确定其中两个选项为错误时,则另外两个选项肯定是正确答案．巧借特殊值法,可以在很大程度上简化繁杂的逻辑推理过程与复杂的数学运算过程,但也不能盲目任意选取特殊值,要吻合数学问题中特殊与一般思维之间的联系与转化,才能达到正确使用特殊值法的目的．巧妙借助特殊值法,能很好降低知识复杂层次,弱化基础知识难度,强化数学思想方法,优化数学解题过程,提升数学解题效益,节省宝贵考试时间,真正达到小题小做 小题巧做 小题快做 等良好解题效益．Z４４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
打草惊蛇与数学解题
三十六计之十三—打草惊蛇与数学解题—谈特殊化在解题中的作用江苏省苏州工业园区第二高级中学（215121）耿道永三十六计之十三—打草惊蛇，其原典为：疑以叩实，察而后动；复者，阴之媒也。
其译为：有怀疑就应弄清实情，等情况侦察清楚后再行动；反复侦察，是了解敌情，发现暗藏敌人的手段。
在数学解题中，对于难以解决的问题，我们可以“打草惊蛇”，利用特殊化探求问题的结果或探索问题的解决途径(把蛇引出来)。
为了说明特殊化思想，先看下面一场比赛。
两人做在长方形桌旁，相继轮流往桌上放一枚同样大小的硬币，条件是硬币一定要平放在桌面上，不能使后放的硬币压在先前的硬币上，这样继续下去，最后桌面上只剩下一个位置时谁放下最后一枚，谁就算胜了。
问先放的人有没有必胜的策略？在考虑解决这个问题时，先去考虑它的特殊情形—如果这个桌子小到只能放下一枚硬币，那么先放者必然获胜。
然后设想桌子变大，把问题一般化：由于长方形桌子有对称中心，先放者只需将第一枚硬币放在对称中心，后放者放一枚，他就相应地在关于对称中心对称地位置放一枚。
如此这样下去，先放者必胜。
像这种思考问题的方法称为特殊化。
一． 在客观题中的作用1．1 取特殊值例1 函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）。
解析 对x 取特殊值，如取x=2，则|ln2||21|y e =--＝2－1＝1，排除C;再取x=12,1|ln |21|1|2y e =--=32,排除A,B.故选D. 评述 取特殊值要注意其简捷性及其代表性。
如本题中的2代表了大于1的情况，12代表了小于1的情形。
1.2考虑特殊图形例2 （2005年全国高考湖南卷）设P 是△APC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积， λ1＝ABc PBC S S ∆∆，λ2＝ABC PCA S S ∆∆，λ3＝ABCPAB S S ∆∆，定义f (P)=( λ1, λ2, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，61），则（ ） A 、点Q 在△GAB 内 B 、点Q 在△GBC 内C 、点Q 在△GCABD 、点Q 与点G 重合解析 不妨取△ABC 为正三角形，由定义：当Q 与G 重合时，λ1=31≠21, 排除D ；当Q 在△GBC 内时，λ1=QBCABc S S ∆∆<GBC ABc S S ∆∆=31≠21,排除B 。
2023届高考二轮总复习课件数学(理)第2讲 高考客观题速解技巧
研究来判断一般规律,从而“小题小做”或“小题巧做”.
2.当题目的已知条件中含有某些不确定的量时,可针对题目中变化的不定
量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图
形、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出
(1-e )
)
答案 (1)C
(2)D
(3)A
解析 (1)因为α是第二象限角,所以cos α<0,sin α>0,tan α<0,故选项ABC都错,
故选C.
(2)由题意可知,a·
b=|a|·
|b|cos
对于 A,(a+2b)·
b=a·
b+2b
1
60°= .
2
5
= ≠0,不符合题意;
2
解析法
例 4(1)(2022·陕西榆林二模)已知||=| |=2,||=1,则|+3|=(
A.2
B.4
C. 10
D. 15
(2)(2022·山东济宁一模)在边长为6的菱形ABCD中,A=
π
3
,现将△ABD沿
BD折起,当三棱锥A-BCD的体积最大时,三棱锥A-BCD的外接球的表面积
A.cos α>0
B.sin α<0
C.sin 2α<0
D.tan α>0
)
(2)(2020·全国Ⅱ·文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b
垂直的是(
)
A.a+2b B.2a+b
C.a-2b D.2a-b
e + 1
巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学
㊀㊀㊀解题技巧与方法１５５㊀数学学习与研究㊀２０２２ １３巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学Һ李文彬㊀（宿迁市钟吾初级中学，江苏㊀宿迁㊀２２３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学是一门重要课程，通过学习有助于培养逻辑思维能力，激发出创新意识．初三数学内容多，而且学生面临着中考压力，为了能取得更高分数，在学习中要加强练习，特别是解题能力要增强．本文先介绍特殊与一般思想，再对初三数学客观题解法教学展开探讨，以不断提高学生解题能力，形成良好思维模式．ʌ关键词ɔ初三数学；特殊与一般思想；客观题；解法教学在现有教学环境下，学生已经形成了固有思维模式，知识灵活运用能力较低．在解答数学题时，对运用所学的公式㊁定理㊁法则等，缺乏深入了解．教师应发挥出特殊与一般思想的作用，对学生进行正确引导，提高对知识的认知水平，有效转变思维方式．教师应对特殊与一般思想进行研究，融入教学中去，提高学生的学习能力．一㊁特殊与一般思想人们在认识一种新事物的时候，往往都是从个例开始的，随着时间推移，在认识过程中总结出了经验和规律，层次也由浅到深㊁由现象到本质，这个过程被称之为由特殊到一般的过程．形成了正确认识后，用所得理论去解决实际中遇到的问题，这个过程被称之为由一般到特殊的认知过程．从特殊到一般再从一般到特殊的反复认知，是人们认识世界的基本过程之一，对于数学课程而言，一般到特殊的认知过程就是解决数学问题时所应用到的特殊与一般思想．数学具有严密性㊁精确性的特点，其中计算在数学学习中占据着重要位置，用于解决遇到的问题．从本质上来看，数学学习的过程是从特殊到一般再从一般到特殊的反复认知，从中总结出经验，促进知识内化吸收，增强自身数学素养［１］．二㊁初三数学客观题解法教学基本现状初三数学客观题类型较多，涉及所学的知识内容．教师为了让学生可以对题目正确解答，一般会传授技巧，学生只需要根据要求去解题就可以，不仅速度快，而且效率特别高，大部分学生都可以接受并运用．但是这种教学方法也存在弊端，学生对教师依赖性较强，形成了思维定式，很难进行转变．为了让学生掌握某一类题的解答方法，会花费大量时间去反复练习，当出现这类题时，学生可以很好地解答．但是思维方式会受到限制，缺乏灵活性，当题目形式发生变化时就不知如何去应对．现有的初三数学客观题解法教学方式可以取得一定成效，但还不是很完善，在很多方面都存在不足，所以要进一步完善，不断提升教学水平．特殊与一般这一数学思想在数学教学中的应用，能够有效改善传统客观题教学困境，培养学生的数学思维，提高其知识应用能力，为学生后续数学学习奠定基础．三㊁特殊与一般思想运用于初三数学客观题解法教学的意义特殊与一般思想是初中数学的六大重要数学思想之一，一般包含着特殊，特殊属于一般，在这一理论依据前提下，可以帮助学生更好地解题，大大提升了正确率．运用特殊与一般思想可以让学生思维更加灵活，从多个角度来认识知识，打破思维定式的限制．初三学生思维活跃㊁想象力丰富，特殊与一般思想符合他们的认知特点，发现知识间存在的联系和规律，有效用于学习中去，解题会变得更加轻松．数学思想是教学的核心，教师在课堂上不仅要传授知识，更要让学生学习数学思想，有助于增强数学素养，形成正确的认识．随着教学改革的深入，特殊与一般思想成为人们关注的焦点，和数学数学客观题解法教学有效融合［２］．意识到特殊与一般思想在数学教学中应用的价值，根据实际情况创新教学方法．四㊁巧用特殊与一般思想在初三数学客观题的解题教学中的对策结合当前初三数学客观题类型来看，教师在教学活动中渗透该数学思想时，可以结合实况，根据不同题型采取不同教学方法，开展针对性教学．笔者结合自身多年工作经验，通过以下内容详细论述特殊与一般思想在初三数学客观题的解题教学中的对策．（一）字母类选择题，可对字母赋特殊值求解例１㊀若在某数轴上，Ｐ，Ｑ分别表示实数ａ，ｂ，能得出下列哪项结论（㊀㊀）．图１Ａ．ａ＋ｂ＞０Ｂ．ａｂ＞０Ｃ．ａ－ｂ＞０Ｄ．｜ａ｜－｜ｂ｜＞０一般解法：对数轴进行观察，可以得知ａ＜－１，０＜ｂ＜１．之All Rights Reserved.㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５６数学学习与研究㊀２０２２ １３所以得出这一结论，主要依据是不等式性质和绝对值定义．特殊解法：通过图中信息可了解ａ＜－１，０＜ｂ＜１，我们可以对ａ和ｂ进行取值，分别为－１．５和０．５，得到ａ＋ｂ＝－１＜０，ａ－ｂ＝－２＜０，｜ａ｜－｜ｂ｜＝１＞０，ａｂ＝－０．７５＜０．所以选Ｄ．结论１㊀对于需要依靠数轴㊁图形来判断结果的客观题，可以根据题意取特殊点，前提是要在参数合理范围内，常见的特殊点有对称轴㊁交点㊁中间点等，而后开展验证工作．例２㊀（２ｘ）２化简后是（㊀㊀）．Ａ．ｘ４Ｂ．２ｘ２Ｃ．４ｘ２Ｄ．４ｘ一般解法：（２ｘ）２＝４ｘ２，所以选Ｃ．特殊解法：可以采用取特殊值的方式，将其代入算式进行验证，此时取ｘ＝１，可以先排除Ａ和Ｂ，取ｘ＝－１，排除Ｄ，正确答案是Ｃ．结论２㊀针对化简问题，因为属于恒等变形，可以采用代入特殊值的方法来进行验证取舍从而得出正确答案．例３㊀若直线ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１经过点（ｍ，ｎ＋３）和（ｍ＋１，２ｎ－１），而且０＜ｋ＜２，则ｎ的值可以是（㊀㊀）．Ａ．３Ｂ．４Ｃ．５Ｄ．６一般解法：根据已知可得ｎ＋３＝ｋｍ＋ｋ＋１①，２ｎ－１＝ｋ（ｍ＋１）＋ｋ＋１②，②－①得ｋ＝ｎ－４，又因为０＜ｋ＜２，所以０＜ｎ－４＜２，所以４＜ｎ＜６，正确答案是Ｃ．特殊解法：由题意可知，ｋ位于区间（０，２），基于此，我们取ｋ值为１，那么直线化成ｙ＝ｘ＋２，将其代入各选项中一一验证，得到只有选项Ｃ符合要求，因此本题选Ｃ．结论３㊀由上题我们可得出，当一道题目中存在多个参数，我们在思考的时候要从受限参数出发，取特殊值后将其代入题目验证，查看其是否满足题目要求［３］．（二）判断型或探索条件型的问题用特殊值断定例４㊀已知点Ａ（－１，ｍ），Ｂ（１，ｍ），Ｃ（２，ｍ＋１）在同一个函数图像上，这个函数图像可以是（㊀㊀）．一般解法：由题意可知Ａ（－１，ｍ），Ｂ（１，ｍ）属于关于ｙ轴的对称点，由右侧的Ｂ（１，ｍ），Ｃ（２，ｍ＋１）两点可知，ｙ随着ｘ的增大而增大，所以选Ｃ．特殊解法：取ｍ＝１，画出Ａ，Ｂ，Ｃ三点，对选项中的图像进行对比，最接近的是Ｃ项．结论４㊀对于含有参数的图像判断（定性）问题，可以通过对参数取特殊值，找到对应函数模型．例５㊀已知关于ｘ的一元二次方程（ａ＋１）ｘ２＋２ｂｘ＋（ａ＋１）＝０有两个相等的实数根，下列判断正确的是（㊀㊀）．Ａ．１一定不是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根Ｂ．０一定不是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根Ｃ．１和－１都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根Ｄ．１和－１不都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根一般解法：根据方程有两个相等的实数根可得出Δ＝０，进而得出ｂ＝ａ＋１或ｂ＝－（ａ＋１）．当ｂ＝ａ＋１时，－１是方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根；当ｂ＝－（ａ＋１）时，１是方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根．再结合ａ＋１ʂ－（ａ＋１），可以得出１和－１不都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根，所以选Ｄ．特殊解法：通过观察，可以想到常见方程ｘ２＋２ｘ＋１＝０，满足Δ＝０，可以知道，对于方程（ａ＋１）ｘ２＋２ｂｘ＋（ａ＋１）＝０，当ａ＝０，ｂ＝１（或者－１）时，都和题意相符，这时可以将方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０转化为ｘ２＋ｘ＝０，一根为０，另一根为１（或者－１），选项Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ是错误的，所以选Ｄ．结论５㊀在解决一元二次方程的根的问题时，明确参数满足条件后进行观察，提取出题设成立的特定条件，代入选项就可以解出答案［４］．（三） 任意点 问题做特殊化处理例６㊀如图２所示，点Ａ，Ｂ是双曲线ｙ＝６ｘ上的点，分别过Ａ，Ｂ作ｘ轴和ｙ轴的垂线段，如果图中阴影部分的面积为２，则矩形ＡＣＤＦ和矩形ＢＤＧＥ的面积的和为（㊀㊀）．图２一般解法：因为点Ａ，Ｂ是双曲线ｙ＝６ｘ上的点，所以ｘｙ＝６，Ｓ矩形ＡＣＯＧ＝Ｓ矩形ＢＥＯＦ＝６．因为Ｓ阴影ＤＧＯＦ＝２，所以Ｓ矩形ＡＣＤＦ＋Ｓ矩形ＢＤＧＥ＝６＋６－２－２＝８．特殊解法：根据阴影部分的面积是２，可设点Ａ横坐标为１，点Ｂ纵坐标为２，分别代入双曲线方程ｙ＝６ｘ求解．结论６㊀对于特定曲线上的动点有关的面积问题，可以根据其限制条件，进行赋值．All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１５７㊀数学学习与研究㊀２０２２１３㊀图３例７㊀如图３所示，直线ｙ＝ｘ＋ｍ与双曲线ｙ＝３ｘ相交于Ａ，Ｂ两点，ＢＣʊｘ轴，ＡＣʊｙ轴，则әＡＢＣ面积的最小值为（㊀㊀）．一般解法：可设Ａａ，３ａ()，Ｂｂ，３ｂ()，将ｙ＝ｘ＋ｍ代入ｙ＝３ｘ，整理得ｘ２＋ｍｘ－３＝０，依据根和系数的关系得出ａ＋ｂ＝－ｍ，ａｂ＝－３，那么（ａ－ｂ）２＝（ａ＋ｂ）２－４ａｂ＝ｍ２＋１２．再根据三角形的面积公式得出ＳәＡＢＣ＝１２ＡＣ㊃ＢＣ＝１２ｍ２＋６，利用二次函数的性质就可以求出当ｍ＝０时，әＡＢＣ的面积有最小值６．特殊解法：由ＳәＡＢＣ＝１２ＡＣ㊃ＢＣ，借助几何直观，看出当直线ｙ＝ｘ＋ｍ经过原点（即ｍ＝０）时ＡＢ最小．依据直线解析式的特征，әＡＢＣ是等腰直角三角形，得出ＳәＡＢＣ＝１２ＡＣ２，再由勾股定理可知ＳәＡＢＣ＝１４ＡＢ２．әＡＢＣ面积的最小值为６．结论７㊀求双曲线与特殊直线（斜率固定）的交点与平行于坐标轴的直线围成的直角三角形面积最值时，要和其他知识结合起来，对问题进行转变，仔细观察图形，利用直线通过特殊点时的特殊方程来求解［５］．五㊁教学反思（一）引导学生构建知识体系作为数学课程的基本思想，特殊与一般在不少定理㊁概念中都有所体现．从数的角度理解该思想，我们都知道一次函数的一般形式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋʂ０），在该等式当中包含有无数组特殊的值．从形的角度对该思想理解，在一条直线当中，由无数个特殊的点构成．基于此，教师在教学过程中，引导学生运用该思想解题时，可以通过设直线过点的方式，构建方程组，而后对某一值特殊化，从而解决数学问题．也可以在选择题当中，通过赋特殊值的方式进行排除选择．教师在教学过程中，一定要将课程之间的知识点连接起来，关注知识点间的联系，对学生的知识体系进行分析与研究，帮助学生理清特殊与一般思想，帮助其构建良好的认知结构．在对学生讲授法则㊁概念等相关知识时，需要针对性地引导，使其能够读懂隐含的关键词，为后续分析数学问题，解决数学问题奠定基础．（二）提炼策略以此提升学生的解题能力针对初三数学客观题而言，特殊与一般思想通常能够对学生的解题有所启示，帮助学生打开未知世界的大门．教师在特殊与一般思想的解题教学中，要引导学生体会特殊化让问题变得容易这一过程，寻找解决问题的切入点，从特殊到一般，从一般到特殊，培养学生的理性思维．华罗庚曾经说过，退到最原始但是不失去重要性的地方，将简单的㊁特殊的问题搞清楚之后，从简单问题的解决过程中或者解题思路与方向，从而 进 到一般性问题上来．例如针对勾股定理逆定理的证明而言，若学生按照正常解题思路，同一法是很难想到与理解的，但是在解题过程中先通过特殊数据画一般三角形与直角三角形，然后历经拼㊁叠，最终引导学生进行一般性的证明．在整个教学活动中渗透特殊与一般思想，学生在解题过程中也能够感受到数学思维之美，进而提高学生的数学解题能力．教师在教学活动中要始终明辨，数学思想方法始终存在于知识的发生过程中，在解答初中客观数学题时，要结合学情为学生创设良好的探究环境，提供相关典型材料，在教学过程中逐渐渗透特殊与一般思想，促使学生能够将该思想贯穿整个学习过程，最终变为一种自觉行为．六㊁结㊀语综上所述，本文主要探讨了巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学．可以看出，特殊与一般思想在解决数学客观题中有着较高应用价值，是一种很好的方法，可以引导学生养成良好思维习惯，快速理解题意，对题目条件进行转化，找到正确解答方法［６］．教师在传授特殊与一般思想时，要和教学内容联系起来，让学生主动去思考，慢慢解题水平就会有所提升，对学科有更深的认知，在数学考试中有更好的表现［７］．ʌ参考文献ɔ［１］林振德．巧用 特殊与一般思想 进行初三数学客观题解法教学［Ｊ］．数理化解题研究，２０２０（２）：１６－１７．［２］黄淑红．转化与化归思想在数学解题中的应用 一般与特殊的转化［Ｊ］．数学教学通讯，２０１５（２７）：５７－５８．［３］李伟．运用 特殊与一般 数学思想解决问题的思考［Ｊ］．数理化解题研究，２０１７（９）：２－４．［４］闫湛．在大学数学教学中渗透 由特殊到一般 的思想方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（３）：１３－１４．［５］张刚．特殊与一般思想在高考数学中的应用［Ｊ］．广东教育（高中版），２０１８（６）：１９－２０．［６］叶红．特殊与一般思想［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（１）：１１８－１２１．［７］连佑平．特殊化思想在高中数学解题中的应用［Ｊ］．福建教育学院学报，２０１７（５）：５０－５３．All Rights Reserved.。
运用特殊思想,指导数学解题
运用特殊思想，指导数学解题作者：姜威来源：《课程教育研究》2017年第31期特殊化思想，就是将数学难题中普遍出现的难题用特殊情况进行解决，之后再由特殊方法解决一般问题，从整体到部分，再由部分到整体，快速准确地解决数学难题。
特殊化思想将在数学解题中起到事半功倍的效果，老师应在平时的教学中将这种思想加以渗透，提高解题效率。
笔者主要从三个特殊思想指导数学解题：验证特值，高效解题；关注最值，突破问题；善用极限，分析趋势。
一、验证特值，高效解题特殊是在一般的基础上，运用特殊方法，巧妙解决数学问题，从而得到正确的结果。
在数学解题中，如果客观题的题目中所要解的答案是一个定量或定值时，有时不需要将题目中所有的条件都用上，可以运用题目中的特殊值，划定范围，缩小题目要求，缩短计算过程，简化解题步骤，快速解出答案，有效节约时间。
例如，我在讲解高中数学“三角函数”和“等差数列”后，选取了这样一道题：已知三角形的三个边是等差数列，那么tanA/2×tanC/2的值恒为__。
这是一道填空题，不需要在卷纸上列出过程，所以就可以用特殊值这种简便的方法加以计算。
题目中知道三角形的三个边是等差数列，对三个角并没有什么要求，所以，就可以假设三角形的三个边的差为0，三角形的三个边相等，即a=b=c，那么，三角形的三个角也相等，即A=B=C=60°，并且带入题目中的式子，tan30°×tan30°为1/3，就可以得出答案。
还有另一种方法，既然题目中说三角形的三个边成等差数列，而实际中，三个边分别为3、4、5的直角三角形的三个边也为等差数列，所以可以设三个边中a=3，b=4，c=5，也得tanA/2×tanC/2也为1/3，两种特殊方法算出的结果相同。
不仅简化了计算过程，而且验证了计算结果，保证结果的准确性。
由特殊到一般贯穿人类发展的始终，在数学学习中也不例外。
通过这个题的讲解，既涉及了等差数列，又涉及了三角函数，将题目中广泛的已知用特殊值加以计算，不仅解决了数学问题，而且发现了数学真理。
运用特殊化方法解答数学客观题(之三)
为 与。 个 量 互 约， 然我 可以 据。 范 确 的 围， 我 两 变 是相 制 既 们 根 的 围 定 范 那么 们 也 根 范 来 定口 范围取 ・， ＝，， ，ｚ＋ 使函 （，。 能 据 的 围 确 的 ・ ２ ４ ，２ ｙ４ａ， 数在 。是 ＝ ｚ ＝ ＝ ）
一 … … ～ … 一 … 一 一 … … … … … … … “
．
解 时要 防止犯如 下错误 ：
求 解 ：看 看 ” “ 四个答 案 ，就 “ 出”其 中的奥妙 了： 看
１ 不讲方 法 ，盲 目验证 ． 些 同学也懂得 用选择 ． 有
【， 。） 一 ， 。） ０ ＋ 。 ｃ［２ ＋ 。 ｃ卜 ＋ ｃ【３ ＋ ，前 面的都 ５ ） 一 ， ）
．
２ 本题在排除 Ａ ． 、Ｄ 后 ，若再取 ｎ的特殊值验证
则是不 可行 的 ， 如 ： ｏ ± 例 取 ２检验 （ 因为 ２∈Ｂ， ２ 一
ｃ ，得 到 两 个 函 数 ｙ ｘ ） ＝－ １ ， 十 一 ，这 两 个 １
集 合 若满足条件则 可以排除选择其子集 ： 令 一 ．： ３ ＋
下 ，只有 一 个 交 点 ，显然 不 合 ，所 以有 ０ ａ １ ＜＜ ． （ ）不 妨 设 ０ ， ， ， ，且 ． ： Ⅲ Ｎ ） Ｘ ，则 ＭＮ １
，
＋ ｚ ｌ
一
３ １０ （ ］恒 立再 一要， ≥ 在 Ｅ０ 不 成 ．令。 一 ＋ ，
取 殊 字 验 在１。单 递 则 做 。 特 数 检 谁 （＋）调 增 会 错 因 ，。
为它们的一个单调递增 区间分别是 （，。 和 （ ／ ， ０＋。 ） 、
＋ 。 ， （ ， ） 。）在 １ ＋ 取特 殊数 字验证 其单调性很 难 区分 ，
利用特殊情况解题
以＋ｎ ＋口２ ４， ８ １ １—２０故可设 一 ４， ｎ一÷口 ０ ８则 ９ １ １
ｏ
１
若 ａ口 — ９则 ｌ ３ｌ ｌ ３２ … ＋ｌ ３ｌ一 ５６ ， ｏ ａ＋ ｏ ａ＋ ｇ ｇ ｏ ａ ｇ ０
（ ） ． （ １ Ａ） ２ （ １ Ｂ） ０ （ ８ Ｃ） （ ２ ｌｇ ５ Ｄ） ＋ ｏ 。
・
３ ・ ８
中学 数学 月 刊
２０ ０ ９年第 ６期
利 用 特 殊 情 况 解 题
张振 华 （ 东省 平度 市第二 中学 山 ２ ６４ ） ６７ ５
特殊化方法是 指由特殊情况 （ 数量或位置关
系） 求一 般结 论 ， 探 是平 时解 题 中不可 或缺 的一 种
思维 方法 ． 它来 分析 一个 复杂 问题 ， 用 对思 路 的形 成 往往具 有很 强 的启 发性 ； 用它 来解 客观 题 ， 时 有
（ ２ Ａ） ａ （ Ｂ）
厶“
（ ４ Ｃ） ａ
（ Ｄ）兰
“
分析 从一 般角 度难 以人 手 解决 ， 尝试取 故
１ ｋ ０ 故 ， 在其定义域内单调递减． ＜ ＜ ， （） 问题转化 为只需 比较 自变量 分别取 ｌ２ ，， Ｉ 时对应的函数值的大小． ｎ 显然 Ｉ ＜ １ ２ ｎ ＜ ，
ｏ 一
．
分析 题 目对 等 差 数列 ｛ 的 公 差 没有 任 ａ）
何 限制 ， 因此 ， 我们 可利用一种特殊 的等差数列 常数数列解答本题．
— —
解 因为数列 ｛ 是等差数列， 口 ＋ｎ ＋ ａ｝ 且 ｅ
１
例 ４ 在各 项均 为 正 数 的 等 比数 列 ｛ ｎ ）中 ，
例 ２ （０８年 高考全 国卷 Ⅱ 理 第 ４ ） ２０ 题 若
例析特殊值法在中考数学客观题中的应用
习题练习任务． 如“某学校举办了一次象棋比赛，在决赛 前，负责人公布了李某与王某相关成绩资料，即两人交战 记录： 李某 5 胜 6 负，王某 6 胜 5 负； 平时练习较量成绩： 李某 15 胜 3 负，王某 11 胜 5 负． 现假如要推荐一人参加 省级赛事，那么谁比较合适呢？ 为什么？”等． 在具体完成以 上课后习题练习任务过程中，初中生自然而然就可以在生活 元素的引导下进一步打开数学思维，以更加广阔的视野看 待、理解所学数学学科知识，进而在有效解决生活问题的过 程中使自身相关综合应用能力得到科学有效的锻炼．
三、设置生活化课后任务，锻炼学生知识综 合应用能力
在初中 数 学 教 育 教 学 过 程 中，各 任 课 教 师 在 对 自 己 的具体责任 进 行 定 位 时 一 定 要 清 楚 一 点，即 学 生 学 科 考 试成绩提升 固 然 重 要，但 更 要 帮 助 学 生 拥 有 运 用 数 学 知 识解决生活问题的综合能力，促使学生全面成长． 据此， 在平时运用 任 务 驱 动 法 进 行 数 学 学 科 教 学 活 动 时 ，进 入 课后作业布 置 环 节，初 中 数 学 教 师 就 可 以 适 时 为 学 生 们 设置一定的 生 活 化 习 题 作 业，给 予 学 生 充 足 的 锻 炼 提 升 机会，最终促使其数学知识综合应用能力稳步提升．
参考文献：
［1］胡苏姿． 任务驱动法在初中数学教学中的有效应 用研究［J］． 中国校外教育，2018（ 06） ： 139．
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浅谈特殊值法解数学客观题
古人云：授人以鱼，只供一饭；授人以渔，则终生受用无穷。
学知识，更要学方法。
在这里笔者谈一谈特殊值法在解数学客观题时的妙用。
所谓特殊值法，就是在某一范围内取一个特殊量，将繁杂的问题简单化，这对于解一些不需整个解题思维过程的客观题，可以收到事半功倍的效果。
在一般性的问题中，通过特殊法往往能获得解题的重要信息，发现解决问题的有效途径。
特殊值法解题的理论依据是：若对一般情形成立，则对特殊情形也成立；若某种特殊情形成立，则一般情形不一定成立；若对某种特殊情形不成立，则对一般情形也不成立。
其关键在于如何寻求特殊值。
下面举例说明：
一、取特殊数值
例1在△abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则/1+=（）
解析：取特殊数值：不妨令a=3，b=4，c=5,则△abc为直角三角形，=，=0，从而所求的值为。
例2 若a＞b＞1，p=，q=(lga+lgb)，r=lg（）,则（）
（a）r＜ p＜ q （b）p＜ q＜ r
（c）q＜ p＜ r （d）p＜ r＜ q
解析：不妨令a=100,b=10,则此时p=,q=＝lg,r= lg55=lg, 比较可知选b。
二、取特殊函数
例3已知f(x)是偶函数，xr,当x＞0时，f(x)是增函数，若x10,且|x1|f(-x2)（b）f(-x1)-f(x2)（d）-f(x1)>f(-x2)
解析：因为“f(x)是偶函数，xr,当x＞0时，f(x)是增函数”，所以可以取特殊函数，令f(x)=x2,勾勒出草图，立即可得答案为b。
例4若f(x)、g(x)分别为［-2，2］上的奇函数和偶函数，则函数y=f(x)g(x)的图像一定关于（）对称。
（a）原点（b）y轴（c）x轴（d）直线y=x
解析：令f(x)=x,g(x) =x2,立即可得结果a。
三、取特殊图形
例5 从p点引出三条两两成60度的射线pa、pb、pc，且pa=6，则a到面pbc的距离是（）
（a）（b）3（c）（d）
解析：取棱长为6的正四面体p-abc，此时正四面体的高就等于a到面pbc距离,不难算出是，故选a。
例6 平行六面体abcd-a1b1c1d1的体积为30，则四面体ab1cd1的体积为（）
（a）15（b）7.5（c）10（d）6
解析：取特殊平行六面体为正方体，则四面体ab1cd1的体积是正方体体积的三分之一，口算即得结果为c。
注：取正棱柱为特殊棱柱，取正棱锥为特殊棱锥是解立体几何选择题时常用的简便方法。
四、取特殊位置
例7 设ｐ是棱长相等的四面体ａ-bcd内任意一点，且ｐ到各个面的距离之和是一个定值，则这个定值等于（）
（a）四面体的棱长（b）四面体的斜高
（c）四面体的高（d）四面体两对棱间的距离
解法一：直接法——用体积转化法求解。
所以sacb=sbcd=sacd=sabd
va-bcd=vp-abc+vp-acd+vp-bcd+vp-abd
=s△abch1＋s△acdh2＋s△cbdh3＋s△abdh4
=s△abc(h1+h2+h3+h4)
从而有h1+h2+h3+h4＝h，故选c。
解法二：取特殊位置，将p点置于四面体的某一个顶点处，口算即得结果为c。
通过这几个例题，我们不难发现用特殊值法解客观题的一些规律：
（1）特殊值法是选取满足题干的特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊图形等代替一般，并由此运算出结果，从而达到快速准确、简明扼要地筛选出“真支”的解题效果。
（2）特殊值法比较适用于结论具有一般性的题目，尤其是适用于“对某一范围或满足某种条件的所有对象，某种属性或某种关系恒成立”这样一类以全称形式出现的命题。