《自动控制原理》线性定常系统的状态观测器
2018华中科技大学829《自动控制原理》考试大纲
2018华中科技大学硕士研究生入学考试《自动控制原理》考试大纲科目名称：自动控制原理(含经典控制理论、现代控制理论)代码：829第一部分考试说明一．考试性质《自动控制原理》是为我校招收控制科学与工程专业硕士研究生设置的考试科目。
它的评价标准是高等学校优秀毕业生能达到良好及以上水平，以保证被录取者具有较扎实的专业基础。
二．考试形式与试卷结构（一）答卷方式：闭卷，笔试；（二）答题时间：180分钟。
（三）题型：计算题、简答题、选择题第二部分考查要点（一）自动控制的一般概念1．自动控制和自动控制系统的基本概念，负反馈控制的原理；2．控制系统的组成与分类；3．根据实际系统的工作原理画控制系统的方块图。
（二）控制系统的数学模型1．控制系统微分方程的建立，拉氏变换求解微分方程。
2．传递函数的概念、定义和性质。
3．控制系统的结构图，结构图的等效变换。
4．控制系统的信号流图，结构图与信号流图间的关系，由梅逊公式求系统的传递函数。
（三）线性系统的时域分析1．稳定性的概念，系统稳定的充要条件，Routh稳定判据。
2．稳态性能分析（1）稳态误差的概念，根据定义求取误差传递函数，由终值定理计算稳态误差；（2）静态误差系数和动态误差系数，系统型别与静态误差系数，影响稳态误差的因素。
3．动态性能分析（1）一阶系统特征参数与动态性能指标间的关系；（2）典型二阶系统的特征参数与性能指标的关系；（3）附加闭环零极点对系统动态性能的影响；（4）主导极点的概念，用此概念分析高阶系统。
（四）线性系统的根轨迹法1．根轨迹的概念，根轨迹方程，幅值条件和相角条件。
2．绘制根轨迹的基本规则。
3．0o根轨迹。
非最小相位系统的根轨迹及正反馈系统的根轨迹的画法。
4． 等效开环传递函数的概念，参数根轨迹。
5． 用根轨迹分析系统的性能。
（五）线性系统的频域分析1． 频率特性的定义，幅频特性与相频特性。
2． 用频率特性的概念分析系统的稳态响应。
3． 频率特性的几何表示方法。
自动控制原理线性定常系统的反馈结构及状态观测器教学PPT
状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦 控制等方面具有很多的应用。
１、极点可配置的条件 １）利用状态反馈的极点可配置条件
定理5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控 证明： （1）充分性
u v Kx
通过反馈构成的闭环系统
x (A- BK)x Bv
是渐近稳定的，即（A-BK）的特征值均有负实部，则称系统 实现了状态反馈镇定。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
证明：由于系统 {A, B} 不完全可控，则有可控性结构分解
vu
B
_
xI x S
A
F
y
C
x (A- BK)x Bv
如果 FC K 输出反馈等价于状态反馈
2、反馈结构对系统性能的影响
x (A- BK)x Bv
x (A- HC)x Bu
x (A- BFC)x Bv
状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可 控性、可观测性、稳定性、响应特性等。
0 0 1 P 0 1 12
1 18 144
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0u
0 72 18 1
0 0 0 1
x 1 6
0
x
0u
0 1 -12 0
系统的特征多项式 det[sI A] s3 18s2 72 s
希望特征多项式 a *(s) (s 1)(s 2 )(s 3 ) s3 4s2 6s 4
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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自动控制原理 (2)
4、系统运动稳定性判据。
一十一、线性反馈系统的时间域综合
1、状态反馈和输出反馈；
2、极点配置的设计方法；
3、状态观测器的设计；
4、基于状态观测器的状态反馈系统。
考试总分：150分考试时间：3小时考试方式：笔试
考试题型：分析计算题（150分）
参考书目（材料）
《自动控制原理》，刘胜编著，哈尔滨工程大学出版社，2015年。
《线性系统理论》，陆军等编著，科学出版社，2019年。
2、线性定常系统的运动分析、状态转移阵、脉冲响应阵；
3、线性系统的能控性和能观性判别方法。
九、线性定常系统的坐标变换
1、线性系统状态空间描述在坐标变换下的特性；
2、对偶性原理；
3、线性定常系统能控规范形和能观测规范形；
4、线性系统的结构分解。
一十、李雅普诺夫稳定性分析
1、内部稳定性和外部稳定性；
2、李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念；
3、控制系统稳态误差分析及其计算方法。
三、线性系统的根轨迹法
1．掌握根轨迹定义、根轨迹方程及绘制根轨迹的基本规则；
2．运用根轨迹法分析控制系统。
四、线性系统的频域分析法
1、线性系统频率响应物理意义及其描述方法；
2、典型环节的频率响应(幅相曲线与对数频率特性曲线)；
3、开环系统及闭环系统的频率响应的绘制；
七、线性离散控制系统的分析与校正
1、线性离散控制系统的基本概念、基本定理及数学描述；
2、线性离散控制系统的稳定性分析；
3、线性离散控制系统的暂态、稳态、误差分析；
4、线性离散控制系统的数字校正。
八、线性系统的状态空间描述
1、线性时不变系统状态空间描述和输入输出描述，组合系统的状态空间描述，实现和最小实现；
自动控制原理胡寿松著科学出版社课后答案
自动控制原理 (胡寿松著) 科学出版社课后答案《自动控制原理》是胡寿松编著的一本关于自动控制原理的教材。
本书系统地介绍了自动控制的基本原理、方法和技术，适用于自动化、电气、机械等相关专业的本科生和研究生学习使用。
本书一共分为十一章，包括控制系统基础、传递函数与系统的时域特性、系统的频域特性、稳定性分析、根轨迹法、频率响应法、校正器设计、状态空间法、观测器设计、控制系统设计以及非线性系统控制等内容。
每一章都有相应的习题，用于检测学生对所学知识的掌握情况。
第一章：控制系统基础1. 控制系统的定义和分类。
控制系统是指通过对被控对象进行测量和判断，从而对被控对象进行控制的一种系统。
根据被控对象的特性和控制方式的不同，控制系统可以分为连续控制系统和离散控制系统。
2. 控制系统的基本组成。
控制系统由被控对象、测量元件、判断元件、执行元件和反馈元件组成。
3. 控制系统的基本特性。
控制系统的基本特性包括稳定性、灵敏度、精度和动态性能等。
第二章：传递函数与系统的时域特性1. 传递函数的定义和性质。
传递函数是描述控制系统输入和输出之间关系的函数。
传递函数具有线性性、时不变性和因果性等性质。
2. 系统的时域特性。
系统的时域特性包括阶跃响应、冲击响应和频率响应等。
第三章：系统的频域特性1. 频域特性的概念。
频域特性是指系统对不同频率的输入信号的响应情况。
2. 振荡特性的判据。
系统振荡的判据是极点的实部为零和虚部不为零。
第四章：稳定性分析1. 稳定性的定义。
稳定性是指系统在无穷远时间内对于有限输入的响应趋于有限。
2. 稳定性的判据。
稳定性的判据包括判别函数法、根轨迹法和Nyquist稳定判据等。
第五章：根轨迹法1. 根轨迹的概念和性质。
根轨迹是描述传递函数极点随参数变化而运动轨迹的图形。
2. 根轨迹的绘制方法。
根轨迹的绘制方法包括定性法和定量法。
第六章：频率响应法1. 频率响应的概念和性质。
频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应情况。
自动控制原理 前置课程
自动控制原理前置课程自动控制原理是电气工程、自动化及相关专业的一门重要课程，它涉及到系统建模、稳定性分析、控制器设计等多个方面。
在学习自动控制原理之前，需要掌握一系列的前置课程，以便更好地理解和应用自动控制原理。
一、自动控制原理概述自动控制原理主要研究如何实现自动化控制，通过对系统的建模、分析和控制，使系统在不同条件下达到预期性能。
这门课程的核心内容包括线性系统、非线性系统、稳定性分析、状态观测器、状态反馈控制器等。
学习自动控制原理，可以更好地理解和应用控制系统，提高工程实践能力。
二、前置课程分析1.数学基础课程：自动控制原理涉及大量的数学知识，如微积分、线性代数、概率论等。
掌握这些数学基础知识，有助于理解自动控制原理中的建模、分析和控制器设计等环节。
2.物理基础课程：自动控制原理中的很多概念和原理都与物理学密切相关，如力学、电磁学等。
学习这些物理课程，可以加深对自动控制原理的理解，提高解决实际问题的能力。
3.电气工程相关课程：如电路原理、信号与系统、电力电子技术等。
这些课程为自动控制原理提供了实际应用背景，学习这些课程可以更好地将自动控制原理应用于实际工程中。
三、自动控制原理的应用领域自动控制原理在众多领域都有广泛的应用，如工业控制系统、机器人控制、飞行器控制、交通运输系统控制等。
学习自动控制原理，不仅可以提高理论水平，还能为实际工程应用奠定基础。
四、学习自动控制原理的方法与建议1.注重理论联系实际：在学习过程中，要关注理论知识与实际工程应用的结合，通过实例加深对自动控制原理的理解。
2.加强数学基础：数学知识是学习自动控制原理的基础，要重视数学课程的学习，提高自己的数学素养。
3.多做练习题：通过做习题，检验自己对自动控制原理的理解和掌握程度，及时发现并弥补自己的知识盲点。
4.参加学术活动：积极参加相关学术活动，与同行交流自动控制原理的最新研究成果和应用经验，拓宽自己的视野。
5.动手实践：在实际项目中应用自动控制原理，提高自己的实际操作能力和解决问题的能力。
第5章状态反馈控制器及状态观测器
极点配置定理： 线性（连续或离散）多变量系统能任 意配置极点的充分必要条件是，该系统状态完全能控。
27
极点配置的方法：
一、采用状态反馈 (Ⅰ)定理：线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全 部极点的充要条件是：此被控系统状态完全能控。 (Ⅱ)方法： 单输入单输出线性定常系统的状态方程为：
& x=Ax+Bu
u 若线性反馈控制律为：
= v - Kx
28
按指定极点配置设计状态反馈增益阵的基本方法： 选择状态反馈增益矩阵使系统的特征多项式 det[λI − ( A − bK )]
* f (λ ) ，即 等于期望的特征多项式
det[λI − ( A − bK )] = f * (λ )
按指定极点配置设计状态反馈增益阵的基本步骤 (1)判断系统能控性 (2)求能控标准型的变换矩阵P
n −1 L SC = ⎡ b Ab A b⎤ ⎣ ⎦ −1 = L 0 0 1 P S [ ] 1 C
⎡ P ⎤ 1 ⎢ PA ⎥ P=⎢ 1 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ n −1 ⎥ ⎣P ⎦ 1A
29
3）求出被控对象的特征多项式
f (λ ) = det[ λI − A] = λn + an−1λn−1 + L + a1λ + a0
⎡0 2 ⎤ rank[ B AB] = rank ⎢ =2=n ⎥ ⎣1 1 ⎦ ⎡C ⎤ ⎡1 2 ⎤ rank ⎢ ⎥ = rank ⎢ =2=n ⎥ ⎣CA⎦ ⎣7 4 ⎦
开环系统为状态能控又能观的。 2. 经状态反馈u=v-Kx后的闭环系统的状态方程为
⎡1 2 ⎤ ⎡0 ⎤ x ′ = ( A − BK ) x + Bv = ⎢ x + ⎢ ⎥v ⎥ ⎣0 0 ⎦ ⎣1 ⎦
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A
BK − HC
x
x −
xˆ
+
B0 v
（9-243a）
y = C
0x
x −
xˆ
（9-243b）
由于线性变换后系统传递函数矩阵具有不变性，由式(9-282)可导
出系统传递函数矩阵
G(s) = C
0sI
−
(
A− 0
BK
)
− BK −1 B
sI − ( A − HC)
0
（9-244）
利用分块矩阵求逆公式
（9-247）
的传递函数矩阵。这说明复合系统与状态反馈子系统具有相同的传
递特性，与观测器部分无关，可用估值状态 xˆ 代替真实状态 x 作为
反馈。2n维复合系统导出了(n n) 传递矩阵，这是由于 (x − xˆ) 的不
可控造成的。
由于线性变换后特征值具有不变性，由式(9-243)易导出其特征值 满足关系式
x1
尽快逼
近 x1 。用降维状态观测器实现状态反馈的原理结构图如图9—35所
示。由图可得降维状态观测器动态方程
x1 = A11 x1 + v − H (zˆ − z), zˆ = A21 x1
(9—342)
式中H为(n − q) q 矩阵。
图9—35 用降维观测器实现状态反馈原理结构图 分离定理同样适用于降维状态观测器(证明略)。
9-7 线性定常系统的状态观测器
一、引言 ➢被控系统可控时可以利用状态反馈任意配置闭环极点 ➢实现状态反馈的条件之一：状态变量可以用传感器测量
➢问题：不能用传感器测量时 怎么办？
➢ 实现状态反馈的条件之二：所有状态变量可以由 u, y 观测
➢ 状态观测器：用已知的输入和可测量的输出观测或构造状态 又称状态估计器，状态重构器
统，有q个输出变量可直接由传感器测得,对应的有q个状态变量便
无需观测器作出估计，只需估(n计− q) 个状态变量，称(n 为− q) 维
状态观测器。它是一(n个− q) 维子系统，结构比较简单，其动态
方程可由被控系统的线性变换导出。
1. (n-q)维子系统动态方程的建立
设可观测被控系统动态方程为
•
x = Ax + Bu, y = Cx
性。
定理9—7 若被控系统 (A, B,C)可观测，则其状态可用形如
•
xˆ = Axˆ + Bu − HC(xˆ − x) = ( A − HC)xˆ + Bu + Hy
(9-236)
的全维状态观测器给出估值，其中矩阵H按任意配置极点的需要来
选择，以决定状态误差衰减的速率。
选择H阵参数时，应注意防止数值过大带来的实现困难，如饱和效
反馈。
图9-26 状态观测器及其实现状态反馈结构图
二．全维状态观测器分析设计*
由图9-26可列出全维状态观测器动态方程 ．
•
xˆ = Axˆ + Bu − H ( yˆ − y), yˆ = Cxˆ
(9-231)
故有
•
xˆ = Axˆ + Bu − HC(xˆ − x) = ( A − HC)xˆ + Bu + Hy
sI − ( A − BK )
− BK
= sI − ( A − BK ) • sI − ( A − HC)
0
sI − ( A − HC)
（9-248）
该式表明复合系统特征值是由状态反馈子系统和全维状态观测器的
特征值组合而成，且两部分特征值相互独立，彼此不受影响，因而
状态反馈矩阵K和输出反馈矩阵H可根据各自的要求来独立进行设计，
统输出矩阵。由于被控对象可观测，其中部分状态变量仍是可观测
的，故 ( A11 , A21 ) 仍是可观测对。
2. (n-q)维状态观测器的构成及分析设计
与全维状态观测器的构成方法相同，先构造式(9—341)的模拟
系统，利用状态观测器输出z与 zˆ 之差，通过反馈矩阵H负反馈至 x1
处来任意配置降维观测器极点，使 zˆ 尽快逼近Z，从而使
器存在条件。
由式(9-232)与式(9-229)可得
其解为
••
x− xˆ = ( A − HC)(x − xˆ)
（9-234）
x(t) − xˆ(t) = e(A−HC)(t−t0 ) x(t0 ) − xˆ(t0 )
（9-235）
显见当 xˆ(t0 ) = x(t0 )时，恒有 x(t) = xˆ(t) ，所引入的输出反馈并不起
故复合系统动态方程为
x•• xˆ
=
A HC
− BK x B A − BK − HCxˆ + Bv
（9-240a）
y = C
0
x xˆ
（9-240b）
不用状态估值 xˆ ，而用状态误差 (x − xˆ), 将会使分析研究更加直观
方便。由式(9—238)和式(9—239)可得
••
x− xˆ = ( A − HC)(x − xˆ)
(9-232)
式中 (A − HC)称为观测器系统矩阵。观测器分析设计的关键问题是
能否在任何初始条件下，即尽管 xˆ(t0 )与x(t0 ) 不同，但总能保证
lim(xˆ(t) − x(t)) = 0
(9-233)
t →
成立。只有满足式(9-233)，状态反馈系统才能正常工作，式(9-
231)所示系统才能作为实际的状态观测器，故式(9-233)称为观测
按以上设计方法构成的 维观测器，称为龙伯格观测器。 图9—36 变换后的龙伯格观测器结构图
由于式中u为已知及 y 可测得，故v可看作 (n − q) 维子系统的输入
向量。令
•
z = y− A22 y − B 2u
（9－340）
z可看作 (n − q) 维子系统的输出向量，于是 (n − q)维子系统动态方
程为
•
x1 = A11 x1 + v, z = A21 x1
（9－341）
式中x1 为(n − q) 维子状态向量，A11为该子系统状态阵，A21为该子系
故有下述分离定理。
定理9-8(分离定理) 若被控系统 ( A, B,C)可控可观测，用状
态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可
分别独立进行，即K和H阵的设计可分别独立进行。
五．降维状态观测器及其设计*
通常,输出变量是由状态变量的线性组合构成，若能设法经过线
性变换，使输出变量仅含单个独立的状态变量，则对于q维输出系
（9－331）
x 为把
分解为
x1和
x
2两部分，其中x
是q个直接由输出测得的状态变
2
量，引入非奇异线性变换
x = Q −1 x
（9－332）
其中
（n−q）行
D
Qnn
=
C
n行 q行
（9－333）
c为(q n)矩阵，D是使 Q非奇异的任意的 (n q) n矩阵。变换后Βιβλιοθήκη 被控系统动态方程为•
x = Ax + Bu,
问题：如何消除或减小 (xˆ − x) ，以便更好地用 xˆ 实现状态反馈？
分析：(xˆ − x)的存在必定导致 ( yˆ − y)的存在，而被控系统的输出量总
是可以用传感器测量的，于是可根据一般反馈控制原理，将 ( yˆ − y)
•
负反馈至 xˆ 处，控制 (yˆ − y) 尽快逼近于零，从而使 (xˆ − x) 尽快逼
应、噪声加剧等，通常希望观测器响应速度比状态反馈系统的响应
速度要快些。
例9-22 ver6p487 设被控对象传递函数为
Y (s) =
2
U (s) (s + 1)(s + 2)
试设计全维状态观测器，将极点配置在－10，－10。 解 被控对象的传递函数为
Y(s) =
2
=2
U (s) (s + 1)(s + 2) s 2 + 3s + 2
为此需要对引入观测器的状态反馈系统作进一步分析。整个系统
的结构图如图9-26所示，是一个2n维的复合系统，其中
u = v − Kxˆ
（9-237）
状态反馈子系统动态方程为
•
x = Ax + Bu = Ax − BKxˆ + Bv, y = Cx
全维状态观测器动态方程为
（9-238）
•
xˆ = Axˆ + Bu − H ( yˆ − y) = ( A − BK − HC)xˆ + HCx + Bv (9-239)
(9-241)
该式与u,v无关，即 (x, xˆ) 是不可控的，不管施加什么样的控制信
号，状态误差总会衰到零，这正是所希望的，是状态观测器所具有
的重要性质。
对式(9-240)引入非奇异线性变换
则有
x xˆ
=
In
I
n
0 x
−
I
n
x
−
xˆ
（9-242）
•
•
x
x−
• xˆ
=
A
− BK 0
➢ 用状态观测器实现的状态反馈方框图：
？？
➢ 问题：1，如何观测（估计）状态 ？ 2，部分状态可用传感器测量 …？ 3，实际应用时：模型有误差（失配） 4，实际应用时：有不可测干扰 …? …?
➢全维状态观测器 当状态观测器估计的状态向量维数等于被控
对象状态向量的维数时，称为全维状态观测器。
➢降维状态观测器 当状态观测器估计的状态向量的维数小于被
根据传递函数可直接写出系统的可控标准型
•