《解析》河南省中原名校2017届高三上学期第一次质检数学理试卷Word版含解析

2016-2017学年河南省中原名校高三（上）第一次质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x∈R|x2+x﹣2＜0}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1）C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]2．已知命题p：f（x）=a x（a＞0且a≠1）是单调增函数：命题q：∀x∈（，），sinx＞cosx，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨￢q C．￢p∧￢q D．￢p∧q3．函数y=log（﹣x2+x+6）的单调增区间为（）A．B．C．（﹣2，3）D．4．若函数f（tanx）=cos（2x+）﹣1，则f（）=（）A．0 B．C．D．﹣25．设曲线y=x2+1在点（x，f（x））处的切线的斜率为g（x），则函数y=g（x）cosx的部分图象可以为（）A．B．C．D．6．已知f（x+1）为偶函数，且f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，a=f（2），b=f（log32），c=f（），则有（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．已知等比数列{a n}为递增数列，a2﹣2，a6﹣3为偶函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+2a的零点，若T n=a1a2…a n，则有T7=（）A．128 B．﹣128 C．128或﹣128 D．64或﹣648．已知函数f（x）=cos（x+），则要得到其导函数y=f′（x）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位9．已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=4x3+2mx2+（m﹣）x+n（m，n∈R）在R上有两个极值点，则m的取值范围为（）A．（﹣1，1）B．（1，2）C．（﹣∞，1）U（2，+∞）D．（﹣∞，1）U（1，+∞）11．已知直线y=mx与函数f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）A．（，4）B．（，+∞）C．（，5）D．（，2）12．已知直线y=a分别与函数y=e x+1和y=交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13．函数f（x）=cos2x+sinx（x∈（，π）的值域是．14．定积分（﹣x）dx=．15．给出下列命题：（1）“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件；（2）“a=2”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）为增函数”的充要条件；（3）“m=3”是“直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0相互垂直”的充要条件；（4）设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a=1．b=，则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）16．设函数f（x）=（2x﹣1）e x﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（10分）设命题p：函数y=log a﹣1[（a﹣3）x﹣1]在其定义域上为增函数，命题q：函数y=ln[（3a﹣4）x2﹣2ax+2]的定义域为R．（1）若命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知向量=（sinx，﹣cosx），=（cosx，cosx），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）在（0，π）上的单调增区间；（2）在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）=0，sin （A+C）=sinC，C=，求边a的长．19．（12分）近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为y=2x2+（15﹣4k）x+120k+8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量x=1时，总成本y=142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？20．（12分）函数f（x）=，g（x）=f（x﹣1）+1，a n=g（）+g（）+g（）+…+g（），n∈N*（1）求函数{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且h（x）=在I 上是减函数，则称y=f（x）是I上的“单反减函数”，已知f（x）=e x+x，g（x）=x+lnx+．（1）判断f（x）在（0，+∞）上是否是“单反减函数”，并说明理由；（2）若g（x）是[，+∞）上的“单反减函数”，求实数a取值范围．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax2（a∈R）．（1）若函数f（x）有极大值为﹣，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若有f（m）=f（n），m＜n，证明：m+n＞4a．2016-2017学年河南省中原名校高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2016秋•河南月考）已知集合A={x∈R|x2+x﹣2＜0}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1）C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】确定出A，B，找出A与B的交集即可【解答】解：由x2+x﹣2＜0解得﹣2＜x＜1，所以A=（﹣2，1），由≤0，解得﹣1＜x≤2，所以B=（﹣1，2]，所以A∩B=（﹣1，1），故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（2016秋•红旗区校级月考）已知命题p：f（x）=a x（a＞0且a≠1）是单调增函数：命题q：∀x∈（，），sinx＞cosx，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨￢q C．￢p∧￢q D．￢p∧q【考点】复合命题的真假．【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】命题p：f（x）=a x（a＞0且a≠1）的单调性与a的取值有关，即可判断出真假；命题q：利用三角函数的单调性即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：f（x）=a x（a＞0且a≠1）的单调性与a的取值有关，0＜a＜1时，函数f（x）单调递减，可知是假命题；命题q：∀x∈（，），sinx＞cosx，是真命题．则下列命题为真命题的是：（￢p）∧q．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2016秋•河南月考）函数y=log（﹣x2+x+6）的单调增区间为（）A．B．C．（﹣2，3）D．【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=﹣x2+x+6＞0，求得函数的定义域，且y=，本题即求函数t在（﹣2，3）上的减区间．再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=﹣x2+x+6＞0，则﹣2＜x＜3，故函数的定义域为（﹣2，3），且y=，故本题即求函数t在（﹣2，3）上的减区间．利用二次函数的性质可得t=﹣x2+x+6＞0 在定义域（﹣2，3）上的减区间为（，3），故选：A．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．4．（2016秋•河南月考）若函数f（tanx）=cos（2x+）﹣1，则f（）=（）A．0 B．C．D．﹣2【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】f（）=f（tan）=cos（）﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵f（tanx）=cos（2x+）﹣1，∴f（）=f（tan）=cos（）﹣1=cosπ﹣1=﹣1﹣1=﹣2．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数知识及函数性质的合理运用．5．（2015春•菏泽期中）设曲线y=x2+1在点（x，f（x））处的切线的斜率为g（x），则函数y=g（x）cosx的部分图象可以为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先研究函数y=g（x）cosx的奇偶性，再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定．【解答】解：g（x）=2x，g（x）•cosx=2x•cosx，g（﹣x）=﹣g（x），cos（﹣x）=cosx，∴y=g（x）cosx为奇函数，排除B、D．令x=0.1＞0．故选：A．【点评】本题主要考查了导数的运算，以及考查学生识别函数的图象的能力，属于基础题．6．（2016春•武威校级期末）已知f（x+1）为偶函数，且f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，a=f（2），b=f（log32），c=f（），则有（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数y=f（x+1）为偶函数得到f（﹣x+1）=f（x+1），可以得到函数关于x=1对称，然后利用当x≥1时，函数的单调性比较大小．【解答】解：函数y=f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），∴函数y=f（x）关于x=1对称，∵f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，∴f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，则f（2）=f（0），∵0＜＜log32，∴f（0）＜f（）＜f（log32），故a＜c＜b，故选：D．【点评】本题主要考查函数的对称性和函数的单调性之间的关系，要求熟练掌握函数函数的这些性质．7．（2016秋•河南月考）已知等比数列{a n}为递增数列，a2﹣2，a6﹣3为偶函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+2a的零点，若T n=a1a2…a n，则有T7=（）A．128 B．﹣128 C．128或﹣128 D．64或﹣64【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由偶函数的性质得f（x）=x2﹣1，由韦达定理求出，由等比数列的性质得a4==2，再由等比数列的性质能求出T7．【解答】解：∵f（x）=x2﹣（2a+1）x+2a为偶函数，∴2a+1=0，解得2a=﹣1，即f（x）=x2﹣1，∵等比数列{a n}为递增数列，a2﹣2，a6﹣3为偶函数f（x）=x2﹣1的零点，∴由韦达定理，得：，解得或（舍），∴a4==2，∵T n=a1a2…a n，∴T7=a1×a2×…×a7=．故选：A．【点评】本题考查等比数列的前7项的乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数的性质、等比数列的性质的合理运用．8．（2016秋•红旗区校级月考）已知函数f（x）=cos（x+），则要得到其导函数y=f′（x）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；转化法；导数的概念及应用；三角函数的图像与性质．【分析】先对函数求导，利用诱导公式可得y=f′（x）=cos（x++），利用三角函数平移变换的规律即可得解．【解答】解：∵f（x）=cos（x+），∴函数y=f′（x）=﹣sin（x+）=cos（x++），∴只需将函数y=f（x）的图象向左平移个单位即可得到其导函数y=f′（x）的图象．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的导数，三角函数的图象的平移，属于基础题．9．（2010•长宁区一模）已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f （n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为（）A．B．C．D．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；分类讨论．【分析】利用函数的单调性可得∴||=2，或log2n=2，当||=2时，n=，n=2，m=，经检验满足条件，当log2n=2时，n=4，m=，经检验不满足条件．【解答】解：由题意得﹣log2m=log2n，=n，函数f（x）=|log2x|在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴||=2，或log2n=2．∴当||=2时，n=，n=2，m=．此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，满足条件．当log2n=2时，n=4，m=，此时，f（x）在区间[m2，n]上的最大值为||=4，不满足条件．综上，n=2，m=．故选C．【点评】本题考查函数的单调性和特殊点，函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想．10．（2016秋•河南月考）已知函数f（x）=4x3+2mx2+（m﹣）x+n（m，n∈R）在R上有两个极值点，则m的取值范围为（）A．（﹣1，1）B．（1，2）C．（﹣∞，1）U（2，+∞）D．（﹣∞，1）U（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，问题转化为导函数f′（x）=0有2个不相等的实数根，根据二次函数的性质求出m的范围即可．【解答】解：f′（x）=12x2+4mx+m﹣，若f（x）在R上有两个极值点，则f′（x）=0有2个不相等的实数根，∴△=16m2﹣48（m﹣）＞0，解得：m＞2或m＜1，故选：C．【点评】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道基础题．11．（2016秋•河南月考）已知直线y=mx与函数f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）A．（，4）B．（，+∞）C．（，5）D．（，2）【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】做出f（x）的函数图象，判断直线与f（x）相切时的斜率即可得出m的范围．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当m≤0时，y=mx与f（x）只有一个交点，不符合题意；设直线y=kx与y=f（x）的图象相切，则方程0.5x2+1﹣kx=0只有一解，∴△=k2﹣2=0，解得k=或k=﹣（舍）．∴当m＞时，y=mx与f（x）有3个交点．故选B．【点评】本题考查了函数的零点个数与函数图象的关系，属于中档题．12．（2016秋•河南月考）已知直线y=a分别与函数y=e x+1和y=交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】常规题型；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】首先求出AB两点的坐标，后作差构造新函数h（a）=a2﹣lna+2，利用函数单调性求h（a）的最小值．【解答】解：已知直线y=a分别与函数y=e x+1和y=交于A，B两点∴e x+1=a＞0⇒x=lna﹣1；⇒x=a2+1；∴AB两点之间的距离为：a2+1﹣lna+1=a2﹣lna+2令h（a）=a2﹣lna+2h'（a）=2a﹣=由h'（a）=0，得a=∴当0＜a＜时，h'（a）＜0，h（a）单调递减；当a＞时，h'（a）＞0，h（a）单调递增；∴h（a）≥h（）=故选：D【点评】本题考查了两点之间的距离，利用导数求函数最小值问题，属中等题．二、填空题（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13．（2016秋•河南月考）函数f（x）=cos2x+sinx（x∈（，π）的值域是[1，] ．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；转化思想；配方法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】将f（x）=cos2x+sinx转化为：f（x）=﹣（sinx﹣）2+，结合题意即可求得其值域．【解答】解：由f（x）=cos2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1=﹣（sinx﹣）2+，∵x∈（，π），∴sinx∈（0，1]，可得：sinx﹣∈（﹣，]，∴可得：（sinx﹣）2∈[0，]．∴f（x）=﹣（sinx﹣）2+∈[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题考查三角函数的最值，考查三角函数间的关系，考查配方法，属于基础题．14．（2016秋•河南月考）定积分（﹣x）dx=．【考点】定积分．【专题】计算题；数形结合；定义法；导数的概念及应用．【分析】根据的定积分的几何意义，所围成的几何图形的面积是的四分之一，计算即可．【解答】解：（﹣x）dx表示如图所示的阴影部分的面积，根据定积分的几何意义可得，（﹣x）dx=π×12=，故答案为：．【点评】本题主要考查了定积分的几何意义，根据数形结合的思想，属于基础题．15．（2010•新都区校级一模）给出下列命题：（1）“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件；（2）“a=2”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）为增函数”的充要条件；（3）“m=3”是“直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0相互垂直”的充要条件；（4）设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a=1．b=，则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是（1）（4）（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用等比数列的定义以及充要条件的有关定义判断出（1）对；通过举反例判断出（2）不对；通过举反例说明（3）不对；利用三角形的正弦定理以及有关的充要条件的定义判断出（4）对．【解答】解：对于（1）若“数列{a n}为等比数列”，则}为等比数列”．所以，所以“数列{a n a n+1反之，若“数列{a n a n+1}为等比数列”成立，例如数列1，3，2，6，4，12，8…满足数列{a n a n+1}为等比数列，但数列{a n}不为等比数列所以“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件；故（1）对；对于（2），例如a=1时，f（x）在区间[2，+∞）为增函数，所以）“a=2”不是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）为增函数”的充要条件，故（2）不对；对于（3），当m=0时，两直线的方程分别为3x﹣2=0及﹣6y+5=0垂直，所以“m=3”不是“直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0相互垂直”的充要条件；故（3）不对；对于（4），因为a=1．b=，若A=30°”成立，由正弦定理得，所以，所以B=60°或120°，反之，若“B=60°”成立，由正弦定理得得，因为a＜b，所以A=30°所以A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件．故（4）对；故答案为（1）（4）．【点评】本题考查充要条件的有关定义、考查三角形中的正弦定理、两直线垂直的充要条件，属于中档题．16．（2016秋•河南月考）设函数f（x）=（2x﹣1）e x﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f （x0）＜0，则实数a的取值范围是[，1）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】常规题型；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】首先令g（x）=（2x﹣1）e x，h（x）=a（x﹣1），判断g（x）的单调性．因为存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0．即（2x0﹣1）e x＜a（x0﹣1）．所以结合图形知：【解答】解：令g（x）=（2x﹣1）e x，h（x）=a（x﹣1），∵g'（x）=（2x﹣1）e x+2e x=（2x+1）e x，∴当x＜﹣时，g'（x）＜0，则函数g（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减；当x＞﹣时，g'（x）＞0，则函数g（x）在（﹣，+∞）上单调递增；而g（﹣1）=﹣3e﹣1，g（0）=﹣1；因为存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0．即（2x0﹣1）e x＜a（x0﹣1）．所以结合图形知：即：，解得≤a＜1；故答案为：[，1）．【点评】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，同时考查了函数与方程思想、转化思想，属中等题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（10分）（2016秋•河南月考）设命题p：函数y=log a﹣1[（a﹣3）x﹣1]在其定义域上为增函数，命题q：函数y=ln[（3a﹣4）x2﹣2ax+2]的定义域为R．（1）若命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．[（a﹣3）x﹣1]在其定义域上为增函数，可得，【分析】命题p：函数y=log a﹣1或，解得a范围．命题q：函数y=ln[（3a﹣4）x2﹣2ax+2]的定义域为R，可得，解得a范围．（1）命题“p∨q”为真命题，p与q中至少有一个为真命题．（2）由命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则命题p与q一个为真一个为假．[（a﹣3）x﹣1]在其定义域上为增函数，∴，【解答】解：命题p：函数y=log a﹣1或，解得a＞3或1＜a＜2．命题q：函数y=ln[（3a﹣4）x2﹣2ax+2]的定义域为R，可得，解得2＜a＜4．（1）命题“p∨q”为真命题，∴a＞3或1＜a＜2或2＜a＜4．∴实数a的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）．（2）由命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则命题p与q一个为真一个为假．∴，或，解得1＜a＜2，或a≥4；或2＜a≤3．∴实数a的取值范围是（1，2）∪（2，3]∪[4，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•河南月考）已知向量=（sinx，﹣cosx），=（cosx，cosx），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）在（0，π）上的单调增区间；（2）在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）=0，sin （A+C）=sinC，C=，求边a的长．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算、倍角公式、和差公式可得f（x），再利用正弦函数的单调性即可得出．（2）由（1）及f（A）=0，可得sin（2A﹣）=，结合范围A∈（0，），可求A，利用正弦定理可得b=c，进而可求b，利用余弦定理即可得解a的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵向量=（sinx，﹣cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．∴f（x）=a•b=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，…2分∵x∈（0，π），∴2x﹣∈（﹣，），由2x﹣∈（﹣，），或2x﹣∈（，），解得：x∈（0，），或x ∈（，π），∴函数f（x）在（0，π）上的单调增区间为（0，），或（，π）…6分（2）∵f（A）=sin（2A﹣）﹣=0，∴sin（2A﹣）=，又∵A∈（0，），∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，可得：A=，…8分∵sin（A+C）=sinC，∴sinB=sinC，由正弦定理可得b=c，又∵c=，可得：b=3，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=32+3﹣2×=3，∴解得：a=…12分【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算、倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性、正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）（2016秋•河南月考）近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为y=2x2+（15﹣4k）x+120k+8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量x=1时，总成本y=142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式的实际应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；不等式．【分析】（1）求出除尘后的函数解析式，利用当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1；（2）求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）由题意，除尘后y=2x2+（15﹣4k）x+120k+8+kx=2x2+（15﹣3k）x+120k+8，∵当日产量x=1时，总成本y=142，代入计算得k=1；（2）由（1）y=2x2+12x+128，总利润L=48x﹣（2x2+12x+128）=36x﹣2x2﹣128，（x＞0）每吨产品的利润==36﹣2（x+）≤36﹣4=4，当且仅当x=，即x=8时取等号，∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题，考查学生的计算能力，属于中档题20．（12分）（2016秋•河南月考）函数f（x）=，g（x）=f（x﹣1）+1，a n=g（）+g（）+g（）+…+g（），n∈N*（1）求函数{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】对应思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由f（﹣x）+f（x）=0可得g（x）+g（2﹣x）=2，使用倒序相加法求出a n；（2）求出b n，利用裂项法求和．【解答】解：（1）∵f（﹣x）+f（x）=+=+=0，∴g（x）+g（2﹣x）=f（x﹣1）+1+f（1﹣x）+1=2，∵a n=g（）+g（）+g（）+…+g（），∴a n=g（）+g（）+g（）+…+g（），两式相加得2a n=2（2n﹣1），∴a n=2n﹣1．（2）b n==（﹣），∴S n=（1﹣++…+﹣）=（1﹣）=．【点评】本题考查了函数的性质，数列通项公式的求法和裂项法求和，属于中档题．21．（12分）（2016秋•河南月考）若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且h（x）=在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“单反减函数”，已知f（x）=e x+x，g（x）=x+lnx+．（1）判断f（x）在（0，+∞）上是否是“单反减函数”，并说明理由；（2）若g（x）是[，+∞）上的“单反减函数”，求实数a取值范围．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】新定义；对应思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）求函数f（x）的导数f′（x），判断f（x）在区间（0，+∞）的单调性，再令h （x）=，利用导数判断h（x）在区间（0，+∞）的单调性，即可得出结论；（2）利用导数判断g（x）在[0，+∞）的单调性，再h（x）=，利用导数判断h（x）＜0在（0，+∞）上的单调性，得出g（x）是[1，+∞）上的“单反函数”，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=e x+x，∴f′（x）=e x+1＞0，∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，设h（x）==+1，∴h′（x）=（x≥0）在区间（0，+∞）上不恒成立，∴h（x）在区间（0，+∞）上不一定是增函数，∴函数f（x）不是区间（0，+∞）上的“单反减函数”；（2）∵g（x）=x+lnx+，x＞0，∴g′（x）=1+﹣==，当x≥1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）单调递增，又h（x）==1++，h′（x）=﹣=，令m（x）=x﹣xlnx﹣4，m′（x）=1﹣1﹣lnx﹣lnx=﹣lnx，当x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）是单调递增；当x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，∴m（x）≤m（1）=﹣3，即m（x）＜0，∴h′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）是[1，+∞）上的“单反函数”，又∵g（x）是[，+∞）上的“单反函数”，∴≥1，即a≥4，所以实数a的取值范围是[4，+∞）．【点评】本题考查了利用导数判断函数在某一区间上的单调性问题，也考查了新定义的应用问题，是综合性题目．22．（12分）（2016秋•河南月考）设函数f（x）=lnx﹣ax2（a∈R）．（1）若函数f（x）有极大值为﹣，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若有f（m）=f（n），m＜n，证明：m+n＞4a．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，从而求出a的值即可；（2）构造函数g（x）=f（x）﹣f（2﹣x），0＜x≤1，根据函数的单调性得到f（m）＜f（2﹣m），又f（m）=f（n），得到f（n）＜f（2﹣m），从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2，x＞0，∴f′（x）=，a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）递增，无极大值，a＞0时，f′（x）＞0，0＜x＜，由f′（x）＜0，得：x＞，由f′（x）＞0，得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，∴f（x）的极大值是f（）=﹣ln2a﹣=﹣，解得：a=；（2）由（1）得：f（x）=lnx﹣x2在（0，1]递增，在（1，+∞）递减，构造函数g（x）=f（x）﹣f（2﹣x），0＜x≤1，g（x）=lnx﹣x2﹣[ln（2﹣x）﹣（2﹣x）2]，则g′（x）=≥0，故函数g（x）在（0，1]递增，又f（m）=f（n），m＜n，∴0＜m＜1，n＞1，∵g（1）=f（1）﹣f（2﹣1）=0，∴g（m）＜g（1）=0，即f（m）﹣f（2﹣m）＜0，∴f（m）＜f（2﹣m），又f（m）=f（n），∴f（n）＜f（2﹣m），∵n＞1，2﹣m＞1，函数f（x）在（1，+∞）递减，∴n＞2﹣m，即m+n＞2=4a．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，不等式的证明，是一道中档题．。