长沙一中2023届高三月考试卷五数学
2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考卷数学
长沙市一中2024届高三月考试卷(四)学满分：150分得 分一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a ∈M}, 则集合M∩N 等于A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2}2.已知平面向量AB=(-1,2), 则与AB 方向相同的单位向量是3.第19届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择 A 餐厅或者B 餐厅就 餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天 去A 餐厅的概率为0.7;如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的 概率为0.5,运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为 A.0.75 B.0.6 C.0.55 D.0.45部分图象如图所示，下列说法不正确的是 A. 函数y=f(x) 的图象关于点)对称B. 函 数 y=f(x) 的图象关于直线 对称C. 函数y=f(x) 单调递减D.该图象向右平移个单位可得y=2sin 2x 的图象5.若与y 轴相切的圆C 与直线 也相切，且圆C 经过点P(2,√ 3),则圆C 的半径为A.1B. 或 D.16.若函数f(x)= a ⁴+b¹(a>0,b>0,a≠1,b ≠1)是偶函数，则的最小值为数 时量：120分钟密 封 线 内 不 要 答 题班 级 姓 名学 校学 号C7. 已知函数f(x)=kx, ,g(x)=e*, 若f(x),g(x) 图象上分别存在点M,N 关于直线y=x 对称，则实数k 的取值范围为C.8.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AP=AB=4, 侧棱PA⊥ 底面ABCD,T 是CD的中点，Q 是△PAC 内的动点，TQ⊥BP,则 Q 的轨迹长为A.√2B.√3C.2√2D.2√3二、选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩第0行第1行第2行第3行第4行第5行第n行II 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是A. 由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想C+1=C;-¹+CB.由“第n 行所有数之和为2””猜想：C +C,+C? 十…十C,=2”C. 第20行中，第10个数最大D.第15行中，第7个数与第8个数的比为7:910.设等比数列{an}的公比为q, 其前n 项和为S,, 前n 项积为T,, 且a₁>1,a₆a₇>1, ,则下列结论正确的是A.0<q<1B.0<a₇ag<1C.S, 的最大值为S₇D.T, 的最大值为T₆11.如图，等边三角形ABC 的边长为4 ,E 为边AB 的中点，ED⊥AC 于D. 将△ADE 沿DE翻折至△A₁DE 的位置，连接A₁C. 那么在翻C折过程中，下列说法当中正确的是A.DELA₁C数学试题(一中版)第2页(共8页)C. 存在某个位置，使A₁E⊥BED. 在线段A₁C上，存在点M 满,使BM 为定值12. 已知双曲线C:x²—y²=2, 点M 为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 两点，则下列说法正确的是A. 双曲线的离心率为√2B.存在点M, 使得四边形OAMB 为正方形C.直线AB,OM 的斜率之积为2D. 存在点M, 使得 |MA|+|MB|=√3三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.已知角θ的终边过点A(4,a), 且,则tan θ=14.已知圆台的上、下底面直径分别为2和4,高为1,则该圆台外接球的表面积为15.设F为抛物线y=8x的焦点，A,B,C为该抛物线上不同的三点，若FA+FB+FC=OF,O 为坐标原点，则|FA|+|FBl+|FCl=16.函数f(x)=sin 2xcos²x的值域为四、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)在平面四边形ABCD 中，,∠ADC,BC=4.(1)若△ABC 的面积为2 √3,求AC;(2)若AD=3√3, ,求tan ∠ACD.某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为9:11,评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”,并将部分评价结果整理如下表所示.评价性别喜欢不喜欢合计男性15女性合计50 100(1)根据所给数据，完成上面的2×2列联表；依据α=0.005的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系?(2)电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，按比例分层抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为,评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为X, 求X 的分布列及数学期望.α0.010 0.005 0.001Xa 6.635 7.879 10.828事已知等差数列{an}的前n 项和为S,,a₁=-5,a₂为整数，且S,≥S₃(1)求{an}的通项公式；(2)设数列{b,}满足b,=(-1)"a,an+1, 且数列{b,}前 n 项和为Tn,若T,≥tn²对n∈N”恒成立，求实数t的取值范围.如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为B 2.M,N 分别为B₁D₁与C₁D 上的点，且MNL B₁D₁,MN⊥C₁D,(1)求证：MN//A₁C,(2)求平面B₁DM 与平面DMN 的夹角的余弦值.已知经过点)的椭圆C₁ 的上焦点与抛物线C₂:x²=2py(p>0) 焦点重合，过椭圆C₁上一动点Q 作抛物线C₂的两条切线，切点分别为A,B.(1)求C₁和C₂的方程；(2)当Q 在椭圆C₁位于x 轴下方的曲线上运动时，试求△QAB 面积的最大值.(1)若k=2, 判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)若x>1 时，f(x)>0 恒成立.(i)求实数k 的取值范围；。
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长沙市一中201X 届高三月考试卷(五)数 学(理科)时量：120分钟 满分：150分(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是( )A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为( ) A.1 B.16 C.81 D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为( )A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是( )A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为( )A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝ 2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.2 5 B.4 5 C.3 5 D. 5x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( )A.16B.320C.11120D.215二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是 . 10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是 个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是 .12.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝ .13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 .14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为 ；若a ＝3，则△ABC 的面积为 . 15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ ；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1， a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.18.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)是否存在k∈N*，使得b k－a k∈(0,1)？请说明理由.19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.20.(本小题满分13分)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a n}满足：a1＝f(1)＋1，f(12a n＋1－12a n)＋f(12a n＋1＋12a n)＝0.设S n＝a21a22＋a22a23＋a23a24＋…＋a2n－1a2n＋a2n a2n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b n}满足：b2n＝g(12n)，T n为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小.21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).数 学(理科) 答 案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9. f(x)＝x 12 .10. 1 个. 11. (28,57] .12. －1 . 13 [0,4] . 14934. .15 2m －3 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)解：(1)每次取到一只次品的概率P 1＝C 13C 112＝14，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P ＝C 23(14)2·(1－14)＝964.(5分) (2)依题知X 的可能取值为0、1、2、3.(6分) 且P(X ＝0)＝912＝34，P(X ＝1)＝312×911＝944，P(X ＝2)＝312×211×910＝9220，P(X ＝3)＝312×211×110×99＝1220.(8分)则X 的分布列如下表：(10分)EX ＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.(12分)17.(本小题满分12分)解：(1)∵f(x)＝2sin ωx(cos ωx·cos π6－sin ωx·sin π6)＋12(2分)＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋12＝32sin 2ωx －12(1－cos 2ωx)＋12＝sin (2ωx ＋π6).(5分) 又f(x)的最小正周期T ＝2π2ω＝4π，则ω＝14.(6分)(2)由2b cos A ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理可得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A＋C).又A ＋B ＋C ＝π，则2sin B cos A ＝sin B.(8分)而sin B≠0，则cos A ＝12.又A ∈(0，π)，故A ＝π3.(10分)由(1)f(x)＝sin (x 2＋π6)，从而f(A)＝sin (π3×12＋π6)＝sin π3＝32.(12分)18.(本小题满分12分)解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *).①n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *).②①－②得2n －1a n ＝8，解得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1，所以a n ＝24－n (n ∈N *).(4分)由题意b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，所以b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *).(8分)(2)b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增，且f (4)＝1，所以k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1.又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，所以，不存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1).(12分)19.(本小题满分13分)解：(1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10].(4分) (2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a )＝(11－x )(17＋2a －3x ). 由L ′(x )＝0，得x ＝[7,10]或x ＝17＋2a3.(6分)因为1≤a ≤3，所以193≤17＋2a 3≤233.①当193≤17＋2a3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以[L (x )]max ＝L (7)＝16(4－a ).(9分)②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，[L (x )]max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3.(12分)即当1≤a ≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元.当2<a ≤3时，则每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元.(13分)20.(本小题满分13分)解：(1)当x ，y ∈(0，＋∞)时，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1得f (1)＝2f (1)，得f (1)＝0，所以a 1＝f (1)＋1＝1.(1分) 因为f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n )＝0，所以f (14a 2n ＋1－14a 2n)＝0＝f (1).又因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以14a 2n ＋1－14a 2n ＝1，即1a 2n ＋1－1a 2n ＝4，(3分)所以数列{1a 2n }是以1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n ＝4n －3，所以a n ＝14n －3 .∵a 2n a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14[14n －3－14n ＋1]， ∴S n ＝14[11－15＋15－19＋…＋14n －3－14n ＋1]＝14[1－14n ＋1].(5分)(2)由于任意x ，y ∈R 都有g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，则g (2x )＝2g (x )＋2x 2， ∴g (1)＝2g (12)＋2·(12)2＝2[2g (14)＋2·(14)2]＋12＝22g (14)＋122＋12＝22[2g (123)＋2·(123)2]＋122＋12＝23g (123)＋123＋122＋12＝…＝2n g (12n )＋12n ＋12n －1＋12n －2＋…＋122＋12＝1，∴g (12n )＝122n ，即b 2n ＝122n . 又b n >0，∴b n ＝12n ，(9分)∴T n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n ，又4S n ＝1－14n ＋1.当n ＝1,2,3,4时，4n ＋1>2n ，∴4S n >T n ；(10分)当n ≥5时，2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C nn>1＋2n ＋2n (n －1)2＝1＋n 2＋n . 而n 2＋n ＋1－(4n ＋1)＝n 2－3n ＝n (n －3)>0，故4S n <T n .(13分)(用数学归纳法证明参照计分)21.(本小题满分13分)解：(1)f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，设曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，又由题设知log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1)>0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3x 20+2ax 0+b=-8 ①∴存在实数b 使得 -4<x 0<-1 ② 有解，(3分)x 30+ax 20+bx 0>0 ③由①得b ＝－8－3x 0－2ax 0，代入③得－2x 20－ax 0－8<0， ∴由 2x 20+ax 0+8>0 有解，-4< x 0<-1得2×(－4)2＋a ×(－4)＋8>0或2×(－1)2＋a ×(－1)＋8>0， ∴a <10或a <10，∴a <10.(5分) (2)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x＋(ln x －1)(e x)′＋1＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝(1x＋ln x －1)e x ＋1.(6分)设h (x )＝1x ＋ln x －1.则h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0.h (x )为增函数，因此h (x )在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即1x ＋ln x －1≥0.当x 0∈[1，e]时，e x 0>0，1x 0＋ln x 0－1≥0，∴g ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1)e x 0＋1≥1>0.(8分)曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解. 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解.故不存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直.(9分) (3)证明：令h (x )＝ln(1＋x )x ，x ≥1，由h ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2，又令p (x )＝x1＋x －ln(1＋x )，x ≥0，∴p ′(x )＝1(1＋x )2－11＋x ＝－x (1＋x )2≤0， ∴p (x )在[0，＋∞)上单调递减， ∴当x >0时，有p (x )<p (0)＝0， ∴当x ≥1时，有h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递减，(11分) ∴当1≤x <y 时，有ln(1＋x )x >ln(1＋y )y，∴y ln(1＋x )>x ln(1＋y )，∴(1＋x )y >(1＋y )x ，∴当x ，y ∈N ，且x <y 时，F (x ，y )>F (y ，x ).(13分)。
湖南省长沙市第一中学高三数学第五次月考 理 新人教A版
湖南省长沙市第一中学高三数学第五次月考 理 新人教A 版【会员独享】时量：120分钟 满分：150分(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是( )A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为( ) A.1 B.16 C.81 D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为( )A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋a x ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是( )A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为( )A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝ 2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.2 5 B.4 5 C.3 5 D. 5x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( )A.16B.320C.11120D.215二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是 . 10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是 个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是 .12.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝ .13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 .14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为 ；若a ＝3，则△ABC 的面积为 . 15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ ；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1， a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.18.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n 对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)是否存在k∈N*，使得b k－a k∈(0,1)？请说明理由.19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.20.(本小题满分13分)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a n}满足：a1＝f(1)＋1，f(12a n＋1－12a n)＋f(12a n＋1＋12a n)＝0.设S n＝a21a22＋a22a23＋a23a24＋…＋a2n－1a2n＋a2n a2n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b n}满足：b2n＝g(12n)，T n为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小.21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).数 学(理科) 答 案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是(A)A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为(C) A.1 B.16 C.81 D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为(D)A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋a x ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是(C)A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为(B)A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝ 2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.2 5 B.4 5 C.3 5 D. 5解：∵1<log 45<2，∴f (log 45)＝f (log 45＋2)＝f (log 480)＝2log 480＝4 5.x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是(C) A.(0,1) B.(－1,0) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)解：约束条件对应的平面区域如下图，而直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于点A (1,3)，此时取最大值，故a >1.8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为(D)A.16B.320C.11120D.215解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为A 22A 33＝12个.当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是4.此时共有2个波浪数.故所求概率P ＝12＋2＋2A 55＝215.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案ACDCBBCD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是 f(x)＝x 12 .10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是 1 个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是 (28,57] .解：当输出k ＝2时，应满足 2x+1≤115，解得28<x ≤57.2(2x+1)+1>11512.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝ －1 .解：由已知a 1＝2，a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，可知{a n }是周期为3的周期数列，则a 12＝a 3×4＝a 3＝－1.13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值范围是 [0,4] .解：|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )及a ≠0得f (x )≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，而|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则f (x )≤2，从而|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为 π6 ；若a ＝3，则△ABC 的面积为 934 . 解：由a MA ＋b MB ＋33c MC ＝a MA ＋b MB ＋33c (－MA －MB )＝(a －33c )MA ＋(b －33c )MB ＝0. 又MA 与MB 不共线，则a ＝33c ＝b ，由余弦定理可求得cos A ＝32，故A ＝π6. 又S △＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ 5 ；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 2m －3 .解：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L (A )＝5.②不妨设数列{a n }是递增等差数列可知a 1<a 2<a 3<…<a m ，则a 1＋a 2<a 1＋a 3<…<a 1＋a m <a 2＋a m <…<a m －1＋a m ，故a i ＋a j (1≤i <j ≤m )中至少有2m －3个不同的数.又据等差数列的性质：当i ＋j ≤m 时，a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1； 当i ＋j >m 时，a i ＋a j ＝a i ＋j －m ＋a m ，因此每个和a i ＋a j (1≤i <j ≤m )等于a 1＋a k (2≤k ≤m )中一个， 或者等于a l ＋a m (2≤l ≤m －1)中的一个.故L (A )＝2m －3.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.解：(1)每次取到一只次品的概率P 1＝C 13C 112＝14，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P ＝C 23(14)2·(1－14)＝964.(5分) (2)依题知X 的可能取值为0、1、2、3.(6分) 且P(X ＝0)＝912＝34，P(X ＝1)＝312×911＝944，P(X ＝2)＝312×211×910＝9220，P(X ＝3)＝312×211×110×99＝1220.(8分)则X 的分布列如下表：(10分)EX ＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.(12分)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.解：(1)∵f(x)＝2sin ωx(cos ωx·cos π6－sin ωx·sin π6)＋12(2分)＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋12＝32sin 2ωx －12(1－cos 2ωx)＋12＝sin (2ωx ＋π6).(5分)又f(x)的最小正周期T ＝2π2ω＝4π，则ω＝14.(6分)(2)由2b cos A ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理可得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A ＋C).又A ＋B ＋C ＝π，则2sin B cos A ＝sin B.(8分)而sin B≠0，则cos A ＝12.又A ∈(0，π)，故A ＝π3.(10分)由(1)f(x)＝sin (x 2＋π6)，从而f(A)＝sin (π3×12＋π6)＝sin π3＝32.(12分)18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相等，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1)？请说明理由.解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *).① n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *).②①－②得2n －1a n ＝8，解得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1， 所以a n ＝24－n (n ∈N *).(4分)由题意b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，所以b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *).(8分)(2)b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增，且f (4)＝1，所以k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1.又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，所以，不存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1).(12分)19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.解：(1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10].(4分) (2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a ) ＝(11－x )(17＋2a －3x ). 由L ′(x )＝0，得x ＝11[7,10]或x ＝17＋2a3.(6分)因为1≤a ≤3，所以193≤17＋2a 3≤233.①当193≤17＋2a3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以[L (x )]max ＝L (7)＝16(4－a ).(9分)②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，[L (x )]max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3.(12分)即当1≤a ≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元.当2<a ≤3时，则每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元.(13分)20.(本小题满分13分)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x ，y ∈(0，＋∞)都有：f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，数列{a n }满足：a 1＝f (1)＋1，f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n)＝0.设S n ＝a 21a 22＋a 22a 23＋a 23a 24＋…＋a 2n －1a 2n ＋a 2n a 2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式，并求S n 关于n 的表达式；(2)设函数g (x )对任意x 、y 都有：g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，若g (1)＝1，正项数列{b n }满足：b 2n ＝g (12n )，T n 为数列{b n }的前n 项和，试比较4S n 与T n 的大小. 解：(1)当x ，y ∈(0，＋∞)时，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1得f (1)＝2f (1)，得f (1)＝0，所以a 1＝f (1)＋1＝1.(1分) 因为f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n )＝0，所以f (14a 2n ＋1－14a 2n)＝0＝f (1).又因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以14a 2n ＋1－14a 2n ＝1，即1a 2n ＋1－1a 2n ＝4，(3分)所以数列{1a 2n }是以1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n ＝4n －3，所以a n ＝14n －3 . ∵a 2n a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14[14n －3－14n ＋1]， ∴S n ＝14[11－15＋15－19＋…＋14n －3－14n ＋1]＝14[1－14n ＋1].(5分)(2)由于任意x ，y ∈R 都有g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，则g (2x )＝2g (x )＋2x 2， ∴g (1)＝2g (12)＋2·(12)2＝2[2g (14)＋2·(14)2]＋12＝22g (14)＋122＋12＝22[2g (123)＋2·(123)2]＋122＋12＝23g (123)＋123＋122＋12＝…＝2n g (12n )＋12n ＋12n －1＋12n －2＋…＋122＋12＝1，∴g (12n )＝122n ，即b 2n ＝122n . 又b n >0，∴b n ＝12n ，(9分)∴T n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n ，又4S n ＝1－14n ＋1.当n ＝1,2,3,4时，4n ＋1>2n ，∴4S n >T n ；(10分)当n ≥5时，2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n>1＋2n ＋2n (n －1)2＝1＋n 2＋n . 而n 2＋n ＋1－(4n ＋1)＝n 2－3n ＝n (n －3)>0，故4S n <T n .(13分) (用数学归纳法证明参照计分)21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).解：(1)f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，设曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，又由题设知log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1)>0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3x 20+2ax 0+b=-8 ①∴存在实数b 使得 -4<x 0<-1 ② 有解，(3分)x 30+ax 20+bx 0>0 ③由①得b ＝－8－3x 20－2ax 0，代入③得－2x 20－ax 0－8<0， ∴由 2x 20+ax 0+8>0 有解，-4< x 0<-1得2×(－4)2＋a ×(－4)＋8>0或2×(－1)2＋a ×(－1)＋8>0， ∴a <10或a <10，∴a <10.(5分)(2)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x ＋(ln x －1)(e x )′＋1＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝(1x ＋ln x －1)e x ＋1.(6分)设h (x )＝1x ＋ln x －1.则h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0.h (x )为增函数，因此h (x )在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即1x ＋ln x －1≥0.当x 0∈[1，e]时，e x 0>0，1x 0＋ln x 0－1≥0，∴g ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1)e x 0＋1≥1>0.(8分)曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解. 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解.故不存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直.(9分)(3)证明：令h (x )＝ln(1＋x )x ，x ≥1，由h ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2，又令p (x )＝x1＋x －ln(1＋x )，x ≥0，∴p ′(x )＝1(1＋x )2－11＋x ＝－x(1＋x )2≤0，∴p (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴当x >0时，有p (x )<p (0)＝0，∴当x ≥1时，有h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递减，(11分)∴当1≤x <y 时，有ln(1＋x )x >ln(1＋y )y ，∴y ln(1＋x )>x ln(1＋y )，∴(1＋x )y >(1＋y )x ，∴当x ，y ∈N ，且x <y 时，F (x ，y )>F (y ，x ).(13分)。
湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学试题(1
一、单选题二、多选题1. 已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 已知四棱锥，底面为矩形，点在平面上的射影为的中点.若，，，则四棱锥的表面积等于（）A．B．C．D．3.在等比数列中，，，则（ ）A．B．C．D ．114. 若复数z 满足，则（ ）A．B ．1C．D ．25. 某种产品的广告支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系，与的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（ ）．245683040607080A ．1.6B ．8.4C ．11.6D ．7.46.已知向量，，若，则（ ）A．B．C．D．7. 已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C ．2D．8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学三、填空题9. 已知双曲线（，）的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线l 与C 的上支交于点P ，垂足为A，且，O 为坐标原点，则（ ）A ．双曲线C的渐近线方程为B ．双曲线C的离心率为C ．三角形的面积为D ．直线l 被以为直径的圆截得的弦长为10. 如图是2010-2019年这十年我国硕士研究生报考人数统计图，则下列说法正确的是（）A ．2010年以来我国硕士研究生报考人数逐年增多B ．这十年中硕士研究生报考人数的极差超过150万人C ．这十年中，2019年硕士研究生报考人数增速最快D ．这十年中硕士研究生报考人数增速最快的三年分别是2019年，2018年，2017年11. 如图，在三棱锥中，⊥，，D 为AB 的中点，且为等边三角形，，，则下列判断正确的是（）A ．平面SBCB ．平面⊥平面SAC C．D．12. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移是个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数是奇函数B ．函数的一个对称中心是C ．若，则D ．函数的一个对称中心是13.设复数，满足，，则__________．14. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，则________；若，，点P 是的中点，点M ，N 分别在线段，上，，，则的面积为________.15. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码四、解答题头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深与时间之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．时刻水深m时刻水深m时刻水深m0：00 5.09：18 2.518：36 5.03：067.512：24 5.021：42 2.56：125.015：307.524：004.016. （本小题满分１2分） 已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （１） 若c=5，求sin ∠A 的值；（２） 若∠A 为钝角，求c 的取值范围；17. 已知椭圆Γ：的左､右焦点分别为，，点在Γ上，动直线l 交Γ于B ，C 两点，且与y 轴交于点D .当直线l 经过点时，四边形的周长为8.(1)求Γ的标准方程；(2)若是的垂心，求.18. 生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标，，，，，元件甲81240328元件乙71840296（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的 前提下（1）记为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（2）求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率．19. 已知点，动点到直线的距离与动点到点的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作任一直线交曲线于，两点，过点作的垂线交直线于点，求证：平分线段.20. 黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片金黄、体形梭长，尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称．为研究黄河鲤早期生长发育的规律，丰富黄河鲤早期养殖经验，某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第天的观测值（单位：），其中，．根据以往的统计资料，该组数据可以用Logistic 曲线拟合模型或Logistic 非线性回归模型进行统计分析，其中a ，b ，u 为参数．基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图：(1)你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明：(2)假定，且黄河鲤仔鱼的体长与天数具有很强的相关关系．现对数据进行初步处理，得到如下统计量的值：，，，，，，其中，，根据（1）的判断结果及给定数据，求关于的经验回归方程，并预测第22天时仔鱼的体长（结果精确到小数点后2位）．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：．21. 第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕．2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表．了解不了解合计男生60200女生110200合计(1)完成列联表，并判断有超过多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法、从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取2人进行面对面交流，求“男、女生各抽到一名”的概率．附表：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828附：．。
2025届长沙市一中高三数学上学期11月考试卷
2025届长沙市一中高三数学上学期11月考试卷时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数z 满足1i34i z +=-，则z =（）A.5B.25C.5D.22.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则345a a a ++等于（）A.12B.15C.18D.213.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A .(1,0)B.(1,0)-C.1(0,)16-D.1(0,164.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A.πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.5πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A.10km /sB.20km /sC.80km /s 3D.40km /s6.若83cos 5αβ+=，63sin 5αβ=，则()cos αβ+的值为（）A.54-B.4C.4-D.47.如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.498.设n S 为数列的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A.{}20,21-B.{}20,20-C.{}29,11- D.{}20,19-二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线EF 与11D B 为异面直线B.直线1D E 与1DC 所成的角为60oC.1D F AD⊥ D.//EF 平面11CDD C 10.已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A .12l l ⊥ B.直线1l 与圆O 相切C.直线2l 与圆O 截得弦长为D.OQ 11.已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）A.23b ac>B.若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23b x a=-C.1313x x t t +<+D.222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.13.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上的投影向量为14a - ，则ab + 为______.14.如图，已知四面体ABCD 的体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A =.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且ABC V a 的值.16.设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．18.已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.19.已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.。
湖南省长沙市一中高三数学第五次月考(理科)
高三月考试卷（五）理 科 数 学命题：长沙市一中高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设b a ,是非零向量，则“||||b a b a -=+”是“b a ⊥”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件2．函数122)(log 1)(+-=+=x x g x x f 与在同一直角坐标系下的图象大致是 （ ）3．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分I 、II 、III 、Ⅳ（不包含边界）。
设21n m +=，且点P 落在第III 部分，则实数m ，n 满足 （ ）A ．00n ＞m ＞，B ．00n ＜m ＞，C ．00n ＞m ＜，D ．00n ＜m ＜，4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是 （ ） A ．]2,0(πB ． )2,0(πC ． ]3,0(πD ． ]4,0(π5．若动圆的圆心在的抛物线y x 122=上，且与直线t+3=0相切，则此圆恒过定点 （ ）A ．（0，－3）B ．（0，3）C ．（0，2）D ．（0，6）6．各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若14,23==n n S S ，则n S 4等于 （ ） A ．16B ．26C ．30D ．807．已知函数x x f ωsin )(=在[0，4π]上单调递增，且在这个区间上的最大值为23，则实数ω 的一个值可以是 （ ） A ．32B ．34 C ．38 D ．310 8．能够使圆014222=++-+y x y x 恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的 一个值为 （ ） A ．5B ．53C ．2D ．39．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-)0()1()0(12)(x x f x x f x ，若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．]0,(-∞ B ．]1,(-∞ C ．]1,0[D ．[)+∞,010．设M 是ABC ∆内一点，且32=⋅，BAC ∠=30°.定义),,()(p n m M f =，其中p n m 、、分别是ABC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积.若),,21()(y x P f =，则yx 41+的最小值是 （ ）A ．18B ．16D ．9D ．8选择题答题卡二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卷中对应题号的横线上） 11．已知的值是则)4tan(,53)sin(),,2(ππππα+=-∈a a . 12．不等式01||2<--x x 的解集是 .13．已知2)21(,105302-+⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-y x y y x y x 则的最大值是 8 。
湖南省长沙市一中高三月考数学(文科)试卷(五)有答案
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．因为 是虚数单位，复数 ，则 的共轭复数是（）
A． B． C． D．
3．某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
5．在 中， ， ， 是 边上的高，则 （）
A． B． C． D．
6．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有3次落在直线上 ，则判断框中可填写的条件是（）
A． B． C． D．
7．定义在 上的函数 满足 ， ，且 时， ，则
（）
A． B． C．1D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
9．“珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（［注释］三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量．）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）
平面 ，又 平面 ，故 ．
当 时，得 ．
， ， ．
四边形 为正方形，故 ．
又 、 平面 ，且 ，故 平面 ．
湖南省长沙市第一中学高三第五次月考(数学文)新人教A.doc
长沙市一中201X 届高三月考试卷(五)数 学(文科)(考试范围：集合、逻辑用语、函数、导数、三角函数、 平面向量与复数、数列、不等式、概率统计、立体几何)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p ：“x ∈R ，x 2＋1>0”；命题q ：“x ∈R ，sin x ＝2”则下列判断正确的是 ( )A.p 或q 为真，非p 为真B. p 或q 为真，非p 为假C.p 且q 为真， 非p 为真D.p 且q 为真，非p 为假 2.要得到一个奇函数，只需将函数f (x )＝sin(x －π3)的图象( )A.向右平移π6个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向左平移π3个单位3.函数f (x )＝2x －3x的零点所在区间为 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列判断正确的是 ( )A. x 甲>x 乙， 且乙比甲成绩稳定B. x 甲>x 乙，且甲比乙成绩稳定C.x 甲<x 乙， 且乙比甲成绩稳定D.x 甲<x 乙， 且甲比乙成绩稳定5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ( )A.36B.4 3C.433D.836.设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，则以下判断不正确．．．的是 ( )A.若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βB.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC.若α⊥β，α∩β＝n ，m α，m ⊥n ，则m ⊥βD.若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥β7.下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13B.－13C.53D.－538.已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D.不存在 选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.函数y ＝2－x ＋log 3(1＋x)的定义域为 .10.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为.11.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B ＝π3，a ＝3，c ＝2，则△ABC 的面积为______.12.若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于 . 13.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，异面直线BD 与B ′C 所成角为 ；直线A ′C与平面ABCD 所成角的正弦值为 .x-y ≥014.满足约束条件 x+y ≤2 的点P (x ，y )所在区域的面积等于 .x+2y ≥215.若函数y ＝f (x )(x ∈D )同时满足下列条件：(1)f (x )在D 内为单调函数；(2)f (x )的值域为D 的子集，则称此函数为D 内的“保值函数”.已知函数f (x )＝a x ＋b －3ln a，g (x )＝ax 2＋b .①当a ＝2时，f (x )＝a x ＋b －3ln a 是[0，＋∞)内的“保值函数”，则b 的最小值为 ；②当－1≤a ≤1，且a ≠0，－1≤b ≤1时，g (x )＝ax 2＋b 是[0,1]内的“保值函数”的概率为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2).(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间.17. (本小题满分12分)为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)(1)求a ，b ，c 的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD. (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD.19. (本小题满分13分)某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋500(单位：万元).(1)求利润函数p (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)在经济学中，定义函数f (x )的边际函数Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x ).求边际利润函数Mp (x )，并求Mp (x )单调递减时x 的取值范围；试说明Mp (x )单调递减在本题中的实际意义是什么？(参考公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)20.(本小题满分13分)已知点列B 1(1，b 1)，B 2(2，b 2)，…，B n (n ，b n )，…(n ∈N )顺次为抛物线y ＝14x 2上的点，过点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线交x 轴于点A n (a n,0)，点C n (c n,0)在x 轴上，且点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形.(1)求数列{a n }，{c n }的通项公式；(2)是否存在n 使等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，若有，请求出n ；若没有，请说明理由.(3)设数列{1a n ·(32＋c n )}的前n 项和为S n ，求证：23≤S n <43.21.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )，点A (s ，f (s ))，B (t ，f (t )).(1)若a ＝0，b ＝3，函数f (x )在(t ，t ＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围；(2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0对任意的x ∈[12，＋∞)恒成立，求b 的取值范围；(3)若0<a <b ，函数f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取得极值，且a ＋b <23，O 是坐标原点，证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.数 学(文科)答案 选择题答题卡二、.9. (－1,2] .10. 0.30 11. 32 .12. 135° . 13 33 .14. 13 .15.① 2 ；②14. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)解：(1)∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45，又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝35， (2分)∴sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425，(6分)(2)f (x )＝56×35sin2x －12cos2x ＝22sin(2x －π4)，(9分)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .(11分)∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π＋3π8]，k ∈Z .(12分)17. (本小题满分12分)解：(1)由表可知抽取比例为16，故a ＝4，b ＝24，c ＝2. (4分)(2)设“动漫”4人分别为：A 1，A 2，A 3，A 4；“话剧”2人分别为：B 1，B 2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)， (B 1，B 2)共15个， (8分)其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)共8个， (10分)所以这2人分别来自这两个社团的概率P ＝815. (12分)18. (本小题满分12分)解：(1)证明：连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点 故在△CPA 中， EF//PA ， (3分) 且平面PAD ，平面PAD ，∴EF ∥平面PAD. (6分)(2)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， 又CD ⊥AD ，所以，CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA ， (9分) 又PA ＝PD ＝22AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形， 且∠APD ＝π2， 即P A ⊥PD ， (11分)又CD ∩PD ＝D ， ∴P A ⊥平面PCD . (12分)19. (本小题满分13分)解：(1)p (x )＝R (x )－C (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3－460x －500 ＝－10x 3＋45x 2＋3240x －500，(x ∈N ，1≤x ≤20) (3分)(2)p ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)， (6分)∴当0<x <12时，p ′(x )＞0，当x ＜12时，p ′(x )＜0.∴x ＝12时，p (x )有最大值. 即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大. (8分) (3)∵Mp (x )＝p (x ＋1)－p (x )＝－10(x ＋1)3＋45(x ＋1)2＋3240(x ＋1)－500－(－10x 3＋45x 2＋3240x －500) ＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305，(x ∈N *,1≤x ≤19)所以，当x ≥1时，Mp (x )单调递减，x 的取值范围为[1,19]，且x ∈N . (11分) Mp (x )是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.(13分)20.(本小题满分13分)解：(1)∵y ＝14x 2，∴y ′＝x 2， y ′|x ＝n ＝n 2， 则点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线方程为：y －n 24＝n 2(x －n )，令y ＝0，则x ＝n 2，即a n ＝n2；(3分)∵点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形，则：a n ＋c n ＝2n ，∴c n ＝2n －a n ＝3n 2(5分)(2)若等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，则|A n C n |＝2b nn ＝n 22n ＝2，∴存在n ＝ 2，使等腰三角形A 2B 2C 2为直角三角形 (9分)(3)∵1a n ·(32＋c n )＝1n 2(32＋3n 2)＝134n (n ＋1)＝43(1n －1n ＋1)(11分) ∴S n ＝43(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝43(1－1n ＋1)<43又1－1n ＋1随n 的增大而增大，∴当n ＝1时S n 的最小值为：43(1－11＋1)＝23，∴23≤S n <43(13分)21.(本小题满分13分)解：(1)当a ＝0，b ＝3时f (x )＝x 3－3x 2，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，∴f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， (2分) 所以f (x )在0和2处分别达到极大和极小，由已知有t <0且t ＋3>2，因而t 的取值范围是(－1,0). (4分) (2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0即x 2－bx ＋ln x ＋1≥0可化为x ＋ln x x ＋1x ≥b ，记g (x )＝x ＋ln x x ＋1x (x ≥12)，则g ′(x )＝1＋1－ln x x 2－1x 2＝x 2－ln xx 2.(6分)记m (x )＝x 2－ln x ，则m ′(x )＝2x －1x ，∴m (x )在(12，22)上递减，在(22，＋∞)上递增.∴m (x )≥m (22)＝12－ln 22>0 从而g ′(x )>0，∴g (x )在[12，＋∞)上递增因此g (x )min ＝g (12)＝52－2ln2≥b ，故b ≤52－2ln2. (9分)(3)假设OA ⊥OB ，即OA ·OB ＝(s ，f (s ))·(t ，f (t ))＝st ＋f (s )f (t )＝0 故(s －a )(s －b )(t －a )(t －b )＝－1，[st －(s ＋t )a ＋a 2][st －(s ＋t )b ＋b 2]＝－1 由s ，t 为f ′(x )＝0的两根可得，s ＋t ＝23(a ＋b )，st ＝ab3，(0<a <b )从而有ab (a －b )2＝9 (11分) (a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ＝9ab＋4ab ≥236＝12即a ＋b ≥23，这与a ＋b <23矛盾.故直线OA 与直线OB 不可能垂直. (13分)。
湖南省长沙一中高三上学期第五次月考理科数学
长沙市一中-高三第五次月考理科数学一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．设全集U = R ，集合M = {x | x ＞1}，N = { x | | x |＞1}，则下列关系正确的是（ ）A ．M = PB ．M NC ．N MD ．(CUM)∩N = φ【答案】B2．等差数列{}n a 中，若a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 20，则a 3 = （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】由等差数列的性质将已知等式化为5a 3 = 20，∴a 3 = 4，∴选A ． 3．已知向量a = (3，4)，b = (sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan α= （ ）A ．34B ．–34C ．43D ．–43【答案】A4．若函数f (x ) = 122log x 的值域是[– 1，1]，则f – 1 (x )的值域是（ ）A ．[– 1，1]B ．22] C ．[12，2]D ．（–∞，2]∪[2，+∞）【解析】即求原函数的定义域，由– 1≤122log x ≤12⇒≤x 2B ． 5．已知两条不同轴直线l 1和l 2及平面α，则直线l 1∥l 2的一个充分条件是（ ）A ．l 1∥α且l 2∥αB ．l 1、l 2和平面α所成角相等C ．l 1∥α且l 2 αD ．l 1⊥α且l 2⊥α【答案】D6．若点P 到定点（0，10）与到定直线y =185的距离之比是53，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．221926x y +=B ．221926y x +=C ．2213664x y -=D ．2213664y x -=⊂≠⊂≠ ⊂≠【解析】根据双曲线的定义知，P 点的轨迹是焦点在y 轴上的双曲线，∴选D ． 7．若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且A ＜B ＜C (C ≠2π)则下列结论中正确的是（ A ） A ．sin A ＜sin CB ．cot A ＜cot CC ．tan A ＜tan CD ．cos A ＜cos C【解析】∵A ＜C ∴a ＜c ∴sin sin C cA a=＞1 ∴sin C ＞sin A ． 8．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ）A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB = AC ，DB = DC ，则AD = BC D ．若AB = AC ，DB = DC ，则AD ⊥BC【解析】A 、B 都正确，在D 中，取BC 中点M ，易证BC ⊥平面AMD ， ∴BC ⊥AB ，∴选C ．9．设a ＞0，b ＞0，且a 2 + b 2 = a + b ，则a + b 的最大值是（ ）A ．12 B ．14C ．2D ．1 【解析】C ∵2ab ≤2()2a b + ∴a + b = a 2 + b 2 = (a + b )2 – 2ab ≥ (a + b )2 –2()2a b +即 (a + b )2 ≤ 2 (a + b ) 又a ＞0，b ＞0 ∴a + b ＞0 ∴a + b ≤2 ∴选C ． 10．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM （ ）A ．与AC 、MN 均垂直相交B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与MN ，AC 均不垂直【解析】由三垂定理可证OM ⊥AC ，由勾股定理逆定理可证OM ⊥MN ，∴选A ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．若直线ax + y – 1 = 0与直线4x + (a – 5) y – 2 = 0垂直，则实数a 的值等于 1 ．【解析】由已知4a + 1×(a – 5) = 0 ∴a = 1． 12．设函数f (x ) = a –|x | (a ＞0且a ≠1)若f (2) = 4，则a =12，f (–2)与f (1)的大小关系是 f (–2) ＞f A BCDA B CDD 1C 1B 1A 1M N O·· ·(1) ．【解析】由f (2) = a –2 = 4，解得a = 12，∴f (x ) = 2|x | ∴f (–2) = 4＞2 = f (1)． 13．不查表求值2cos10sin 20cos 20︒-︒︒3．【解析】原式 =2cos(3020)sin 203cos 203cos 20︒-︒-︒︒==︒14．已知空间四边形ABCD 中，AB = CD = 3，E 、F 分别为BC 、AD 上的点，且12BE AF EC FD ==，EF 7AB 和CD 所成的角的大小是 60° ．【解析】作FH ∥AB 交BD 于H ，则12BH AF HD FD ==，∴HF DHAB BD=， ∴HF = 23AB = 2，在△HEF 中1cos 2EHF ∠=-，∴∠EHF 的补角60°为AB 、CD 所成角．15．对任意x ∈R ，若关于x 的不等式ax 2 – |x + 1| + 2a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是31[)++∞．【解析】原不等式化为a ≥2|1|2x x ++恒成立，令f (x ) = 2|1|2x x ++则a ≥max ()f x 令t = x + 1则，f (x ) = g (t ) =2||23t t t -+①当t = 0时，g (0) = 0；②当t ＞0时，max31()(3)g t g +== ③当t ＜0时，max 31()(3)g t g -=-=，∴max ()f x =max 31()g t +=，∴a 31+． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数f (x ) = a (22sin sin 2xx +) + b ． （1）当a = 1时，求f (x )的单调递减区间；（2）当a ＜0时，f (x )在[0，π]上的值域是[2，3]，求a ，b 的值． 【解析】（1）当a = 1时， f (x ) = 22sin sin 2x x ++ b = sin cos 12)14x x b x b π-++=-++……2分 由2k π+32242x k ππππ≤-≤+得372244k x k ππππ+≤≤+，∴f (x )的递减区间是[372,244k k ππππ++]（k ∈Z ）．……5分 A F DE· ·（2）f (x 2sin()4a x ab π-++，∵x ∈[0，π]，∴3444x πππ-≤-≤，∴2sin()14x π≤-≤……8分 ∵a ＜02()a a b f x b ++≤≤ ∵f (x ) 的值域是[2，3]2 + a + b = 2且b = 3 ∴a = 12b = 3．……10分 17．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC = 90°，AB = a ， AD = 3a ，且∠ADC = arc sin5P A ⊥平面ABCD ，P A = a ． （1）求二面角P —CD —A 的大小； （2）求点D 到平面PBC 的距离．【解析】（1）作AG ⊥CD 于G ，连结PG ∵P A ⊥底面BCDA ，∴PG ⊥CD (三垂线定理)∴∠PGA 是二面角P —CD —A 的平面角．……2分 ∵AG = AD sin ∠ADC 35a ，tan ∠PGA = PAAG 5∴∠PGA = arc tan53．即所求二面角的大小为arc tan 53．……6分 （2）∵AD ∥BC ∴AD ∥面PBC ．∴AD 上任意一点到平面PBC 的距离，就是点D 到平面PBC 的距离．作AH ⊥PB 于H ．∵P A ⊥面BCDA ∴P A ⊥BC 又∵BC ⊥AB ∴BC ⊥平面P AB ∴BC ⊥AH ． ∵PB ∩BC = B ∴AH ⊥平面PBC ．即AH 为A 到平面PBC 的距离．……10分 ∵△P AB 为等腰直角三角形．∴AH =22a ． ∴点D 到平面PBC 2a ．……12分 BCD PAB CD GPHA18．（本小题满分12分）已知抛物线顶点在原点，焦点F 是圆x 2 + y 2 – 4x + 3 = 0的圆心． （1）求抛物线的标准方程；（2）若存在过圆心F 的直线l 与抛物线及圆顺次交于A 、B 、C 、D ，且使|AB |、2|BC |、|CD |成等差数列；求直线l 的方程．【解析】∵圆方程化为(x – 2)2 + y 2 = 1，∴圆心F （2，0）（1）∵抛物线顶点在原点、焦点为（2，0），……1分 ∴抛物线标准方程为y 2 = 8x ．……3分（2）依题意： |AB | + |CD | = 4|BC | = 8，|AD | = |AB | + |BC | + |CD | = 8 + 2 = 10．① 当l 的斜率不存在时，l ⊥x 轴，此时|AD | = 2p = 8，不合题意；……5分②当l 的斜率存在时，设l 的方程为y = k (x – 2)，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩消y 得2222(48)4k x k x k -++= 0 ……8分∴x 1 + x 2 = 2248k k +由抛物线的定义知|AD | = |AF | + |DF | = x 1 + x 2 + p =2248k k ++ 4 = 28k+ 8∴28k + 8 = 10解得k = ±2．∴l 的方程为y = ±2（x – 2）．……12分 19．（本小题满分13分）用一块长为a ，宽为b (a ＞b )的矩形木块，在二面角为θ (0＜θ＜π)的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面，两边与墙面贴紧，另一边与地面贴紧)，试问怎样围才能使储物仓的容积最大？并求出这个最大值．【解析】（1）若使矩形木板长边贴紧地面，即AB = CD = a ，AD = BC = b ，设P A = x ，PB = y ，则a 2 = x 2 + y 2 – 2xy cos θ≥2xy – 2xy cos θ．∴xy ≤22(1cos )a θ- (当且仅当x = y 时取等号) ．……5分yxDABC F Ol· ABCD QPθ这时容积V 1 = (12xy sin θ)·b ≤2sin 4(1cos )a b θθ- = 14a 2b cot 2θ．……8分（2）若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy ≤22(1cos )b θ-．这时容积V 2 = (12xysin θ)·a ≤14ab 2 cot 2θ ∵a ＞b ＞0，cot 2θ＞0 ∴V 1＞V 2．……12分 【答案】当矩形木板的长边紧贴地面，且所围储物仓的底面是以a 为底的等腰三角形时，储物仓的容积最大，最大值为14a 2b cot 2θ．……13分 20．（本小题13分）已知数列{a n }的前n 项和S n = 2a n – 3×2n + 4 (n ∈N *) （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）设T n 为数列{S n – 4}的前n 项和，试比较T n 与14的大小． 【解析】（1）由a 1 = S 1 = 2a 1 – 3×2 + 4得a 1 = 2，……1分由已知，得S n + 1 – S n = 2 (a n + 1 – a n ) – (2n + 1 – 2n ) 即a n + 1 = 2a n + 3×2n 两边同除以2n + 1得113222n n n n a a ++=+即113222n n n n a a ++-= ∴数列{2n na }是以12a = 1为首项，32为公差的等差数列．……4分 ∴2n na = 1 + (n – 1) ×32 即a n = (32n – 12)2n ，n ∈N *．……6分 （2）∵S n – 4 = 2a n – 3×2n = (3n – 4)·2n ．∴T n = –1×2 + 2·22 + 5·23 + …+ (3n – 4)·2n ① 2T n = –1×22 + 2×23 + … + (3n – 7)·2n + (3n – 4)·2n + 1 ② ① – ②得 –T n = –2 + 3(22 + 23 + …+2n ) – (3n – 4)·2n + 1= –2 + 3×212(21)21n --- – (3n – 4)·2n + 1 = –14 + (14 – 6n )·2n ……10分∴T n = 14 – (14 – 6n )·2n ．∵当n = 1，2时，14 – 6n ＞0 ∴T n ＜14．当n ≥3时，14 – 6n ＞0 ∴T n ＞14．……13分21．已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左准线恰为抛物线E ：y 2 = 16x 的准线，直线l ：x + 2y – 4 = 0与椭圆相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）如果椭圆C 的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 的直线与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与椭圆C 的右准线分别交于N 、M 两点，求证：四边形MNPQ 的对角线的交点是定点．【解析】（1）由题知抛物线y 2 = 16x 的准线方程为x = – 4，这也是椭圆的左准线方程． 设椭圆22221x y a b +=的右焦点为F (c ，0)，其中c =22a b -，则24a c =，即a 2 = 4c ．①由2222240,1,x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22222411616()10y y a b a a +-+-=．由于直线x + 2y – 4 = 0与椭圆C 相切，所以 2222222221641164116()4()(1)4()0a a b a a b a b ∆=--+-=+-=． 即4b 2 + a 2 – 16 = 0，所以4(a 2 – c 2) + a 2 – 16 = 0， 整理得5a 2 –4c 2 – 16 = 0． ②将①代入②得5×4c – 4c 2 – 16 = 0，即c 2 – 5c + 4 = 0，解得c = 1或4． 由于c ＜a ＜24a c =． 所以c = 1．所以a 2 = 4，b 2 = 3．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．……5分（2）由（1）知，A (–2，0)，F (1，0)，椭圆的右准线方程为x = 4．根据椭圆的对称性，当直线PQ ⊥x 轴时，四边形MNPQ 是等腰梯形，对角线PM 、QN 的交点在x 轴上．此时，直线PQ 的方程为x = 1． 由221,431,x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得3,21.y x ⎧=±⎪⎨⎪=⎩ 不妨取P (1，32)，Q (1，–32)， 故直线AP 的方程为y =1(2)2x +， 将x = 4代入，得N (4，3)，所以直线QN 的方程为33322141y x ++=--． 令y = 0，得x = 2，即直线QN 与x 轴的交点为R (2，0)， 此点恰为椭圆的右顶点．……8分下面只要证明，在一般情况下Q 、N 、R 三点共线即可．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (4，y 3)，M (4，y 4)，直线PQ 的方程为x = my + 1．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得2213()04324m my y ++-=．所以121222324,114343m y y y y m m +=-=-++．因为A (–2，0)，P (x 1，y 1)，N (4，y 3)三点共线， 所以11(2,)AP x y =+与3(42,)AN y =+共线， 所以(x 1 + 2)y 3 = 6y 1，即y 3 =11116623y y x my =++． 由于23222(4,),(2,)QN x y y QR x y =--=--，所以22322322(4)()()(2)(2)2x y y y x y x y -----=--=322(12)2y my y +-- =112122211646()(1)233y my y y y my y my my -+⋅--=++ =2213142(46)03114343m m my m m -⋅+⋅=+++． 所以QN 、QR 共线，即Q 、N 、R 三点共线．、……12分 同理可证，P 、M 、R 三点共线．所以，四边形MNPQ 的对角线的交点是定点，此定点恰为椭圆的右顶点．……13分。
湖南省长沙一中高三上学期月考数学试卷(理科)(五)有答案
3)(1,]0-．下列命题中，为真命题的是（，使得0e xM4M N4N25414满 20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△2112e 的取值范围是（C ．1(9,+∞][,)1+∞．已知向量,a b 满足||2a =，()3a b a -=-，则向量b 在a 方向上的投影为)0,0()ax x e a b b=->>的图象在处的切线与圆x218100中，sin (a b =co )s C ，sin sin (cos B C +0,π(C ∈又cos sin B B =0,π()B ∈又π4B =又∵BDC S =△ABDC =四边形2B，(3,)5∥又HF AC则(1,,0),(0,,1),11,(BQ t EQ t AF =-=-=-设平面BQE 的法向量为(,,)n x y z =，则由0n BQ =，且0n EQ =，得，则(,1,)n t t =，∥平面BEQ ，则须(,1,n AF t t =上存在一点1(0,3Q 的法向量为(,n x y =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则(1,1,1)n =11153333113339,n n ++<>=为锐二面角，所以其余弦值为533331211211(MA MBy y kx k x x ++==+MA ⊥MB ，即MD ⊥ME ．2211121111111|||1||1||22||k MA MB k k k k k +=++-=得22480()1k x k x +-=．121|4)|)k +．湖南省长沙一中高三上学期月考数学试卷（理科）（五）解析1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（3-4i）z=1+2i，得=，∴．2．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥-1或x≤-3，即A=（-∞，-3]∪[-1，+∞），由B中不等式变形得：2x<1=20，即x<0，∴B=（-∞，0），则A∩B=（-∞，-3]∪[-1，0），3．【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2-x+1≥0，则D正确；4．【分析】在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c⇔sinA<sinB<sinC⇔sin2A<sin2B<sin2C⇔1-2sin2A>1-2sin2B>1-2sin2C⇔“cos2A>cos2B>cos2C”．∴在△ABC中，“A<B<C”是“cos2A>cos2B>cos2C”的充要条件．5．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．6．【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k-5即可得到．【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n= a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k-5=5分钟，即m=5．7．【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①可得sin（x+α）=cos（-x+β）=sin（x+-β），…②，选项代入验证，所以C正确．8．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2-x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2-x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，9．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△ABC故黄豆落在△APC内的概率为，10．【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【解答】解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．11．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5-c，（c<5），运用三角形的三边关系求得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m-n=2a2，即有a1=5+c，a2=5-c，（c<5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c>10，可得c>，即有<c<5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1<<4，则有>．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．12．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m<1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m<1，当m=1时，t=-2，此时由m2+m-2=0得m=1或m=-2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=-2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）<0即可，即1+1+t<0，则t<-2，综上t≤-2，13．【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．【解答】解：∵n=10sinxdx=-10cosx=-10（cos-cos0）=10，∴展开式中通项T r+1=••=（-1）r••，令5-=0，解得r=6，∴展开式中的常数项为T6+1=（-1）6•==210．14．【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos<>，再代入投影公式计算．【解答】解：∵=4，（）=-=-3，∴=1，∴cos<>==，∴在方向上的投影为||cos<>=．15．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=-令x=0，则f′（0）=-又f（0）=-，则切线方程为y+=-，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a>0，b>0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．16．【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：-=-，于是=-=3-．由，a2<1，a3<1，a4>1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N*，，∴=，可得：-=-，∴=---…-=-=3-．∵a 2==，a 3==，a 4==>1，∴n ≥4时，∈（0，1），∴3-∈（2，3）．∴的整数部分是2．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC 2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD ，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC 面积的最大值．中，sin (a b =)C ，… sin cos C C +0,π(C ∈又cos sin B B =0,π()B ∈又π4B =．又∵BDC S =△ABDC =四边形4418995%100km/h （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 2\(3,)5B ，又HF AC ∥∴EF ⊥平面（Ⅱ）以则(1,,0),(0,,1),11,(BQ t EQ t AF =-=-=-设平面BQE 的法向量为(,,)n x y z =，则由0n BQ =，且0n EQ =，得，则(,1,)n t t =，∥平面BEQ ，则须(,1,n AF t t =上存在一点1(0,3Q 的法向量为(,n x y =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则(1,1,1)n =111553333113339,n n ++<>=21211211(MA MBy y kx k x x ++==+MA ⊥MB ，即MD ⊥ME ．2211121111111|||1||1||22||k MA MB k k k k k +=++-=得22480()1k x k x +-=． 121|4)|)k +．21．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g （x ）的导数，构造函数u （x ）=xe x-2m ，求出M ，N 的表达式，构造函数h （x ）=xlnx+-（ln2+1）-1，根据函数的单调性证出结论．222m x -．【分析】（）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=-t，又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，可得结论．π。
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长沙一中2023届高三月考试卷五数学
2023届长沙一中高三月考数学试卷：
一、选择题（每小题2分，共50分）
1.在等腰直角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则该三角形的周长是( )
A. a+b+c
B.2(a+b)
C.2(a+c)
D.2(b+c)
2.已知不等式组{x＞2或x≤2}的解集是[-∞，3]，则不等式组{x＞1或x≤1}的解集是（）
A.[-∞，2]
B.[-∞，3]
C.[-∞，1]
D.[1，3]
3.已知函数f(x)=|2x+1|,则f(-4)的值是（）
A.7
B.-5
C.-1
D.5
4.设a,b,c>0,且a≠c,则下列不等式正确的是（）
A.ac＞b²
B.bc＞a²
C.ac＞b³
D.bc＞a³
二、填空题（每小题2分，共20分）
5.若z∈C不是共轭复数，则z的共轭复数为_______
6.下列命题中，为真命题的是________
A. 若x＞0，则x²＞x；
B. x＞0，x²＜x；
C. 若x＞0，则x²＞0；
D. x＞0，x²＜0.
三、解答题（每小题15分，共90分）
7. 已知平面向量a=(3,4)，b=(2,3),求a+b的模和a-b的夹角。
解：a+b=(3+2,4+3)=(5,7)，所以|a+b|=√(5²+7²)=√74；
由余弦定理，
|a-b|²=|a|²+|b|²-2|a||b|cos<a,b>
=25+9-2×5×3cos<a,b>
所以|a-b|=√[25+9-30cos<a,b>]
又有cos<a,b>= a ·b/|a||b|
即cos<a,b>= (3×2+4×3)/√(25+9)=2/√34
所以|a-b|=√[25+9-60/√34]=√31
因此，a+b的模等于√74，a-b的夹角等于arccos(2/√34)，即a-b的夹角等于arccos(0.589)＝67.05°。