2019年高考数学一轮复习 单元评估检测2 函数、导数及其应用 文 北师大版
2019年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1节函数及其表示课件理北师大版
[规律方法]
函数定义域问题的类型及求解策略
1已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解. 2实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解.
3抽象函数： ①若已知函数 fx 的定义域为 [a ， b] ，其复合函数 fgx 的定义域由不等式 a≤gx≤b 求出； ②若已知函数 fgx的定义域为[a，b]，则 fx的定义域为 gx在 x∈[a，b]时的 值域. ③已知 f[φx]定义域为[m， n]， 求 f[hx]定义域， 先求 φx值域[a， b]， 令 a≤hx≤b， 解出 x 即可.
)
B．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
C
2x－3≥0， [由题意知 x－3≠0，
3 解得 x≥2且 x≠3.]
3．如图 211 所示，所给图像是函数图像个
C．3 个 D．4 个 B [(1)中，当 x＞0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此(1)不是函
5．(2015· 全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ax3－2x 的图像过点(－1,4)，则 a＝________.
－2
[∵f(x)＝ax3－2x 的图像过点(－1,4)，
∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得 a＝－2.]
(对应学生用书第 9 页)
求函数的定义域
1 3 2－ ＋ 的定义域为________． 2 x＋1
x
(1)(2018· 济南一模)函数 f(x)＝
f2x (2)若函数 y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数 g(x)＝ 的定义域是________． x－1
1 2x－ ≥0， 2 (1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得 解得 x＞－1，所以函数 x＋1≠0， f(x)的定义域为(－1，＋∞)． (2)由 0≤2x≤2，得 0≤x≤1，又 x－1≠0，即 x≠1，所以 0≤x＜1，即 g(x) 的定义域为[0,1)．]
2019大一轮高考总复习文数(北师大版)阶段复习检测2 导数及其应用 Word版含解析
阶段复习检测(二)导数及其应用教师用书独具时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知集合＝{－≥}，＝{<≤}，则(∁)∩＝( )．(]．[)．[]．()解析：选由－≥，得≤或≥，即＝{≤或≥}，所以∁＝{＜＜}＝()．又＝{＜≤}＝(]，所以(∁)∩＝()．．曲线＝＋在点()处的切线方程为( )．－＋＝．－－＝．＋－＝．＋－＝解析：选′＝＋，故当＝时，′＝，故在点()处的切线方程为－＝(－)，化简整理得－－＝.．(·蚌埠一模)设>，且≠，则“函数()＝在上是增函数”是“函数()＝在上是增函数”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件．充要条件解析：选由函数()＝在上是增函数知，>；当＝时，()的定义域为(，＋∞)，不能满足()＝在上是增函数；而当＝时，()＝在上是增函数，此时()＝在上是减函数，故选．．(·贵阳月考)已知函数()的导函数为′()，且满足()＝＋，则′()＝( )．－．－．．解析：选由()＝＋，得′()＝－＋，故′()＝－′()＋，即′()＝.．(·日照模拟)设曲线＝上任一点(，)处切线斜率为()，则函数＝()的部分图像可以为( )解析：选曲线＝上任一点(，)处切线斜率为()，∴()＝，则函数＝()＝·，设()＝·，则(－)＝()，(－)＝，∴＝()为偶函数，其图像关于轴对称，排除、．令＝，得()＝.排除．故选．．若函数()＝－在区间(，＋∞)上单调递增，则的取值范围是( )．(－∞，－]．(－∞，－]．[，＋∞)．[，＋∞)解析：选由条件知′()＝－≥在(，＋∞)上恒成立，即≥在(，＋∞)上恒成立，∵>，∴<<，∴≥.．(·宝鸡模拟)已知偶函数()对∀∈满足(＋)＝(－)，且当－≤≤时，()＝(－)，则()的值为( )．．．．解析：选∵(＋)＝(－)，∴(＋)＝[－(＋)]＝(－)．又∵()为偶函数，即(－)＝()，∴(＋)＝()，则()是以为周期的周期函数，∴()＝()＝(－)＝[－(－)]＝.．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是π，且用料最省，则圆柱的底面半径为()．．．．解析：选设圆柱的底面半径为，母线长为，则＝π＝π，∴＝，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和最小．由题意，＝π＋π＝π＋π·.∴′＝π－，令′＝，得＝，则当＝时，最小．故选．．(·石家庄模拟)若＞，＞，且函数()＝－－＋在＝处有极值，若＝，则的最大值为( )．．．．解析：选∵()＝－－＋，∴′()＝－－，又∵()在＝处有极值，∴′()＝－－＝⇒＋＝，∵＞，＞，∴＋≥，∴≤，当且仅当＝＝时等号成立．．函数()的定义域是，()＝，对任意∈，()＋′()>，则不等式·()>＋的解集为( )．{<}．{>}．{<－或<<}．{<－或>}解析：选构造函数()＝·()－，因为′()＝·()＋·′()－＝[()＋′()]－>－＝，所以()＝·()－为上的增函数，又因为()＝·()－＝，所以原不等式转化为()>()，解得>.．(·长沙调研)定义在上的函数()满足()＋′()＜，()＝＋(其中为自然对数的底数)，则不等式()＞＋＋的解集为( )．(－∞，＋)．(－∞，)。
2019年高考数学一轮复习单元评估检测2第2章函数导数及其应用理北师大版_46
单元评估检测(二) 第章函数、导数及其应用
(分钟分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
．设函数()＝＋，则函数的定义域为( )
∪(，＋∞)
[答案]
．已知函数()＝则(())的值为( )
【导学号：】．－．－
．
[答案]
．设＝，＝，＝，则( )
．＜＜．＜＜
．＜＜．＜＜
[答案]
．下列函数中，在(－)内有零点且单调递增的是( )
．＝．＝－
．＝－．＝－
[答案]
．(·洛阳模拟)函数＝(＞，≠)的定义域和值域都是[]，则＋＝( )
．．
．．
[答案]
．(·珠海模拟)设函数()是定义在上的奇函数，且()＝(\\((＋)，≥，()，＜，))则((－))＝( )
．．－
．．－
[答案]
．某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
(单位：元件)应为( )
．．
．．
[答案]
．函数＝的部分图像大致为( )
[答案]．过点(－)作抛物线＝＋＋的切线，则其中一条切线为( )
．＋＋＝．－＋＝
．＋＋＝．－＋＝
[答案]
．(·郑州模拟)设函数()对≠的实数满足()－＝＋，那么()＝( )
．－))．＋
．－)) ．－(＋ )
[答案]
．若函数()＝＋＋在区间[－，](＞)上的值域为[，]，则＋＝( )
【导学号：】．．
．．
[答案]
．(·岳阳模拟)设函数＝与函数＝＋)))的图像恰有个不同的交点，则实数的取值范围为( )
∪
∪。
2019年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第5节指数与指数函数课件理北师大版
3．指数函数的图像与性质 a＞1
0＜a＜1
图像
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点 (0,1)
当 x＞0 时，y＞1；当
性质
当 x＞0 时，0＜y＜1；当 x＜0 时，y＞1
x＜0 时，0＜y＜1
在 R 上是 增函数 在 R 上是 减函数
[知识拓展] 指数函数的图像与底数大小的比较 判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令 x＝1 得到底数的值再
进行比较． 如图 2-5-1 是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图像，底数 a， b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b.
图 2-5-1
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
n (1)
an＝(n
指数幂的运算
(对应学生用书第 20 页)
化简下列各式：
(1)2350＋2－2·241－12－(0.01)0.5；
a23·b－1－12·a－12·b13
(2)
.
6 a·b5
[解] (1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1165. (2)原式＝a－13b121·a5－12b13＝a－13－12－16·b12＋13－56＝1a.
①正分数指数幂：amn＝n am(a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)；
②负分数指数幂：a－mn ＝
1
m
an
1 ＝n am (a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)；
③0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义 ． (2)有理数指数幂的运算性质 ①am·an＝ am＋n (a＞0，m，n∈Q)； ②(am)n＝ amn (a＞0，m，n∈Q)； ③(ab)m＝ ambm (a＞0，b＞0，m∈Q)．
2019高三数学(北师大版理科)一轮训练题单元质检卷二 函数 Word版含解析
单元质检卷二函数
(时间分钟满分分)
一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分)
.已知集合{()}{<},则∩()
. .()
. .
.(河南郑州、平顶山、濮阳二模,理)若 ,则()
<<<<
<<<<
.(北京海淀一模,理)若实数满足>>,则“>”是“>”的()
.充分不必要条件
.必要不充分条件
.充要条件
.既不充分也不必要条件
.已知函数()的定义域为.当<时();当≤≤时()();当>时,则()()
.已知函数()(<<),则函数()的图像大致为()
〚导学号〛.(湖南娄底二模)对于函数() (∈),选取的一组值计算()(),所得出的正确结果可能是()
和和
和和
.若方程()有解,则的最小值为()
..
.已知函数() ,则()在[π]上的零点个数为()
.已知定义在上的函数()是增加的,当时,不等式()()>()()恒成立,则实数的取值范围是()
.(∞) ...(∞)
.(河南豫南九校考评,理)若函数()(>≠)的两个零点是,则()
>
<.以上都不对。
【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第2章 函数、导数及其应
第二节 函数的单调性与最值[考纲传真] (教师用书独具)1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．(对应学生用书第10页)[基础知识填充]1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或减少的，那么称A为单调区间． 2．函数的最值[(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数，即Δx 与Δy 同号增，异号减．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．(5)f (x )＝x ＋a x(a ＞0)的单调性，如图221可知，(0，a ]减，[a ，＋∞)增，[－a ，0)减，(－∞，－a ]增．图221 [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)＜f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)所有的单调函数都有最值．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4A [y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.]3．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图像如图222所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．图222[答案] [－1,1]，[5,7]4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 5．(教材改编)已知f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 2 25 [易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.](对应学生用书第11页)(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)(2)试讨论函数f (x )＝x ＋kx(k ＞0)的单调性． (1)D [由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选D.](2)法一：(导数法)f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：(定义法)由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋k x1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)·x 1x 2－k x 1x 2.因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数图像法：x 是以图像形式给出的，x 的图像易作出，观性判断函数单调性.导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2.证明函数的单调性有定义法、导数法易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结[跟踪训练] (1)下列函数中，在区间A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x(2)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递增区间为________.【导学号：79140025】(1)D (2)(－∞，－1]，[0,1] [(1)选项A 中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D 中，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．(2)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图像如图．由图像可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数．](1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________； (2)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．(1)1 (2)2 [(1)令x －1＝t ，则t ≥0，x ＝t 2＋1，∴y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，由二次函数的性质可知，当t ≥0时，函数为增函数，∴当t ＝0时，y min ＝1. (2)法一：∵f ′(x )＝－1x －2，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立， ∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图像是将y ＝1x的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[1，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1，∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.] 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值[跟踪训练] (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值是________.【导学号：79140026】(2)(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关(1)2 (2)B [(1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.(2)法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关． 故选B.法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定．随着b 的变动，相当于图像上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图像左右移动，故函数f (x )在区间[0,1]的最大值M 和最小值m 变化，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.]已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD [根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，f (2)＞f (2.5)＞f (3)，所以b ＞a ＞c .] ◎角度2 解抽象不等式f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －，解得8<x ≤9.]◎角度3 求参数的取值范围已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． (2,3] [要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．]比较大小小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“易错警示：若函数在区间的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值跟踪训练] (1)若函数取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (log 19x )＞0的x 的集合为________．(1)D (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜13或1＜x ＜3[(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)如图，由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0， 由f (log 19x )＞0，得log 19x ＞12，或－12＜log 19x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.]。
近年年高考数学一轮复习单元评估检测2函数、导数及其应用文北师大版(2021学年)
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单元评估检测（二）函数、导数及其应用（120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题５分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１.(２017·长沙模拟）设函数f(x)=＼r(1－3x）+1，log＼ｆ（122x+1)，则函数的定义域为（ )【导学号：０0090387】A．错误!B．错误!ﻩＣ．错误!∪(0,+∞）ﻩＤ．错误!A2.已知函数f(x)＝错误!则ｆ(ｆ(4))的值为( ）ﻩ A.－１９ﻩＢ.-9ﻩ C.错误!ﻩD．9Ｃ３.(2017·太原模拟)设a=lｏg3７,b＝21.1，c＝０.83.１，则（ )ﻩＡ．b＜a<c B．a<c＜bﻩC．c<b＜aﻩD．ｃ<a＜bD４．下列函数中,在（-1,1)内有零点且单调递增的是( ）A.y＝lｏｇ２ｘB.y＝２x－1C．y＝x2－2 Ｄ.y=－ｘ3B５.(2017·洛阳模拟)函数y=a－a x(ａ＞０，a≠1)的定义域和值域都是[0，1],则logａ错误!＋ｌog a错误!=( ）ﻩA．１ﻩB．2ﻩ C.3 ﻩ D.４ﻩC6.（201７·珠海模拟)设函数f(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数，且ｆ（ｘ)＝错误!则g（f(－7))＝( )ﻩ A.3 ﻩB．-3C.２Ｄ．-２D７.某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示:销售单价(元)4５６78910日均销售量(件)400３6３2０2８０2４200１6请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价（单位：元／件)应为( )A.4 ﻩB.5。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第2章 函数、导数及其应用 第3节 函
第三节 函数的奇偶性、周期性与对称性[考纲传真] (教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(对应学生用书第13页)[基础知识填充]1．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f (x )中，f (x )和f (－x )的绝对值相等，符号相反．即f (－x )＝－f (x )，反之，满足f (－x )＝－f (x )的函数一定是奇函数．图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f (x )中，f (x )＝f (－x )，反之，满足f (－x )＝f (x )的函数一定是偶函数．2．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点的区间上的单调性相反(填“相同”“相反”)． (2)在公共定义域内①两个奇函数和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f (x )是奇函数且x ＝0处有定义，则f (0)＝0.3．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在非零常数T ，对定义域内的任意一个x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．4．函数的对称性常见的结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．特殊：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b .特殊：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)． (3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称．[知识拓展]1．函数奇偶性常用结论(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)y ＝f (x ＋a )是奇函数，则f (－x ＋a )＝－f (x ＋a )；y ＝f (x ＋a )是偶函数，则f (－x ＋a )＝f (x ＋a )．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a ＞0)． (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a (a ＞0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a ＞0)． [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13B.13 C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(教材改编)下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－xD [D 中，f (－x )＝2－x＋2x＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．]4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2B [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (8)＝f (0)＝0.]5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 12 [法一：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 法二：f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.](对应学生用书第14页)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝ln(x 2＋1＋x )； (3)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，∴f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)f (x )的定义域为R ，f (－x )＝(ln x 2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)由1－x 1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． [规律方法] 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法(2)图像法(3)性质法在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． [跟踪训练] (1)(2018·深圳二调)下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝xC ．y ＝2|x |D ．y ＝|lg x |(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(1)C (2)C [(1)由于对应函数是偶函数，可以排除选项B ，D ；对应函数在(0,1)上单调递增，可以排除选项A ；y ＝2|x |是偶函数，又在(0,1)上单调递增，选项C 正确，故选C.(2)A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．](1)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.【导学号：79140031】(2)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f x，x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值为________．(1)－2 (2)1 347 [(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.(2)∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝－1f x ＋2＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1， ∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f 1＝－1， f (4)＝－1f 2 ＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＋f (504×4＋3) ＝504⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＋3－1＝1 347.]f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝________.1 [由函数f (x )是周期为2的奇函数， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝－lg 95＝lg 59，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1.]◎角度1 单调性与奇偶性结合(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]◎角度2 奇偶性与周期性结合(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.6 [∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]◎角度3 单调性、奇偶性与周期性结合(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)(2)已知定义在实数上的偶函数f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，当x∈[0,2]时，y＝f(x)递减，下列四个命题中正确命题的序号是________．①f(2)＝0；②x＝－4是y＝f(x)图像的一条对称轴；③y＝f(x)在[8,10]单增；④f(x)是周期函数；⑤若方程f(x)＝m在[－6，－2]上有两根x1，x2，则x1＋x2＝－8.(1)D(2)①②④⑤[(1)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．(2)令x＝－2得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(2)＝0，故f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又f(x)为偶函数，y轴是f(x)的对称轴，故x＝－4是y＝f(x)的一条对称轴，由函数的对称性和周期可判断y＝f(x)在[8,10]上单调递增，因[－6，－2]为f(x)的一个周期，x＝－4为f(x)在[－6，－2]上的对称轴，故x1＋x2＝－8，因此①②④⑤正确，③错误．][跟踪训练] (1)(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 2 5，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b(2)(2018·青岛质检)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (1)＝1，则f (2 017)＝________.【导学号：79140032】A ．0B ．1C ．－1D ．－2(3)偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. (1)C (2)B (3)3 [(1)∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8， ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c . 故选C.(2)由题意得f (x ＋4)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )以8为周期，∴f (2 017)＝f (1)＝1，故选B.(3)∵函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，∴f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (3)＝f (1)＝3，又∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－1)＝f (1)＝3.]。
2019大一轮高考总复习文数(北师大版)阶段复习检测：2 导数及其应用
阶段复习检测(二) 导数及其应用教师用书独具时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1<x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝( ) A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2)D ．[1,2]解析：选C 由x 2－2x ≥0，得x ≤0或x ≥2，即P ＝{x |x ≤0或x ≥2}，所以∁R P ＝{x |0＜x ＜2}＝(0,2)．又Q ＝{x |1＜x ≤2}＝(1,2]，所以(∁R P )∩Q ＝(1,2)．2．曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．x －3y ＋2＝0 C ．3x ＋y －4＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A y ′＝2x ＋1x ，故当x ＝1时，y ′＝3，故在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，化简整理得3x －y －2＝0.3．(2018·蚌埠一模)设a >0，且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是增函数”是“函数g (x )＝x a 在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 由函数f (x )＝a x 在R 上是增函数知，a >1；当a ＝32时，g (x )的定义域为(0，＋∞)，不能满足g (x )＝x a 在R 上是增函数；而当a ＝13时，g (x )＝x 13在R 上是增函数，此时f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上是减函数，故选D ．4．(2018·贵阳月考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝f ′(1)x ＋x ，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1解析：选C 由f (x )＝f ′(1)x ＋x ，得f ′(x )＝－f ′(1)x 2＋1，故f ′(1)＝－f ′(1)＋1，即f ′(1)＝12.5．(2016·日照模拟)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图像可以为( )解析：选C 曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )， ∴g (x )＝cos x ，则函数y ＝x 2g (x )＝x 2·cos x ，设f (x )＝x 2·cos x ，则f (－x )＝f (x )，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝f (x )为偶函数，其图像关于y 轴对称，排除A 、B ．令x ＝0，得f (0)＝0.排除D ．故选C ．6．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 由条件知f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，∵x >1，∴0<1x<1，∴k ≥1.7．(2018·宝鸡模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R 满足f (2＋x )＝f (2－x )，且当－3≤x ≤0时，f (x )＝log 5(2－x )，则f (2 015)的值为( )A ．2 015B ．2C ．1D ．0解析：选C ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (4＋x )＝f [2－(2＋x )]＝f (－x )．又∵f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 015)＝f (3)＝f (－3)＝log 5[2－(－3)]＝1.8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A ．3B ．4C ．6D ．5解析：选A 设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R 2，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小．由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R .∴S ′＝2πR －54πR2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小．故选A ．9．(2018·石家庄模拟)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选D ∵f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2，∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0⇒a ＋b ＝6，∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．10．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析：选A 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.11．(2018·长沙调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )＜e ，f (0)＝e ＋2(其中e 为自然对数的底数)，则不等式e x f (x )＞e x ＋1＋2的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，e ＋2)C ．(－∞，0)∪(e ＋2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A 设g (x )＝e x f (x )－e x ＋1－2(x ∈R )，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＋1＝e x [f (x )＋f ′(x )－e]，∵f (x )＋f ′(x )＜e ，∴f (x )＋f ′(x )－e ＜0，∴g ′(x )＜0，∴y ＝g (x )在定义域上单调递减，∵f (0)＝e ＋2，∴g (0)＝e 0f (0)－e －2＝e ＋2－e －2＝0，∴g (x )＞g (0)，∴x ＜0，∴不等式的解集为(－∞，0)，故选A ．12．已知函数f (x )＝a ＋x ln x 在(0，＋∞)上有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫2eC ．⎝⎛⎭⎫－∞，2e D ．⎝⎛⎭⎫－∞，2e 解析：选B 函数f (x )＝a ＋x ln x 在(0，＋∞)上有且仅有1个零点，即y ＝－a 和g (x )＝x ln x 在(0，＋∞)只有1个交点，g ′(x )＝12x ln x ＋1x ＝1x ⎝⎛⎭⎫12ln x ＋1，令g ′(x )＞0，解得：x ＞e －2，令g ′(x )＜0，解得：0＜x ＜e －2，故g (x )在(0，e －2)单调递减，在(e －2，＋∞)单调递增，故g (x )min ＝g (e －2)＝－2e ，在(0，e －2)时，g (x )＜0，在x ≥1时，g (x )≥0，故－a ＝－2e 即a ＝2e 时，1个交点，－a ≥0即a ≤0时，1个交点，故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2018·桂林检测)如图，函数g (x )＝f (x )＋15x 2的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.解析：由图像可得P 点坐标为(5,3)，得g (5)＝3，故f (5)＝g (5)－15×52＝－2，g ′(5)＝－1且g ′(x )＝f ′(x )＋25x ，则f ′(5)＝g ′(5)－25×5＝－3，故f (5)＋f ′(5)＝－2＋(－3)＝－5.答案：－514．(2018·汕头一模)已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x ＞0恒成立，∴m ≥－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2x .令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2x ， 则当1x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1.答案：[1，＋∞)15．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700.令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 00016．(2018·临沂模拟)对于函数f (x )，如果f (x )可导，且f (x )＝f ′(x )有实数根x ，则称x 是函数f (x )的驻点．若函数g (x )＝x 2(x ＞0)，h (x )＝ln x ，φ(x )＝sin x (0＜x ＜π)的驻点分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________(用“＜”连接)．解析：由题意对于函数f (x )，如果f (x )可导，且f (x )＝f ′(x )有实数根x ，则称x 是函数f (x )的驻点．可知函数g (x )＝x 2(x ＞0)，可得2x ＝x 2，解得x 1＝2，h (x )＝ln x ，可得1x＝ln x ，如图：x 2∈(1,2)，φ(x )＝sin x (0＜x ＜π)，可得cos x ＝sin x ，解得x 3＝π4＜1，所以x 3＜x 2＜x 1.答案：x 3＜x 2＜x 1三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． 解：(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.18．(12分)(2018·佛山模拟)设l 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．(1)解：∵y ＝ln xx ，∴y ′＝1－ln x x 2，∴l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴l 的方程为y ＝x －1. (2)证明：令f (x )＝x (x －1)－ln x ，(x ＞0)，曲线C 在直线l 的下方，即f (x )＝x (x －1)－ln x ＞0， 则f ′(x )＝2x －1－1x ＝(2x ＋1)(x －1)x，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0， ∴x ∈(0,1)时，f (x )＞0，即ln xx ＜x －1；x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，即ln xx＜x －1， 即除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．19．(12分)(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)x (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求证：不等式(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立． (1)解：定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －ax2.①a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②a >0时，f (x )在(a ，＋∞)上为增函数，在 (0，a ) 上为减函数． (2)证明：方法一 ∵x ∈(1,2)，∴x ＋1>0，∴要证原不等式成立，即证ln x >2(x －1)x ＋1对∀x ∈(1,2)恒成立，令g (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1，g ′(x )＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴当x ∈(1,2)时，g (x )>g (1)＝ln 1－2(1－1)1＋1＝0，∴ln x >2(x －1)x ＋1对∀x ∈(1,2)恒成立，∴(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立． 方法二 令F (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)， F ′(x )＝ln x ＋x ＋1x －2＝ln x －x －1x .令φ(x )＝ln x －x －1x，由(1)知a ＝1时，φ(x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． ∵x ∈(1,2)，则φ(x )在(1,2)为增函数，φ(x )>φ(1)＝0，即x ∈(1,2)，F ′(x )>0，∴F (x )在(1,2)上为增函数， ∴F (x )>F (1)＝0，∴(x ＋1)ln x >2(x －1)对∀x ∈(1,2)恒成立．20．(12分)(2018·丹东模拟)已知f (x )＝－3x 22＋ln x ，g (x )＝12x 2－2ax ＋1＋ln x .(1)求函数f (x )的极值；(2)若x 0是函数g (x )的极大值点，证明：x 0ln x 0－ax 20＞－1. (1)解：f (x )定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－3x 2x ，令f ′(x )＝0得x ＝33. 列表x ⎝⎛⎭⎫0，3333 ⎝⎛⎭⎫33，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗－12－12ln 3 ↘当x ＝3时，f (x )取极大值－1－1ln 3. (2)证明：g (x )定义域是(0，＋∞)，g ′(x )＝x ＋1x －2a ＝x 2－2ax ＋1x.①若a ≤1，g ′(x )＝x ＋1x －2a ≥2－2a ≥0，g (x )单调递增无极值点，不符合题意；②若a ＞1，g ′(x )＝0即x 2－2ax ＋1＝0有两个不等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，因为x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2a ＞0，所以0＜x 1＜1＜x 2.当0＜x ＜x 1时，g ′(x )＞0，当x 1＜x ＜x 2时，g ′(x )＜0，当x ＞x 2时，g ′(x )＞0， 所以g (x )在(0，x 1)单调递增，在(x 1，x 2)单调递减，在(x 2，＋∞)单调递增．所以x 0＝x 1为函数f (x )的极大值点，且0＜x 1＜1.因为g ′(x 1)＝0，所以a ＝x 21＋12x 1.所以x 1ln x 1－ax 21＝x 1ln x 1－x 31＋x 12＝－x 312－12x 1＋x 1ln x 1，x 1∈(0,1)．令h (x )＝－x 32－12x ＋x ln x ，x ∈(0,1)，h ′(x )＝f (x )＋12.由(1)可知f (x )＋12≤f ⎝⎛⎭⎫33＋12＝－12ln 3＜0，所以h (x )在(0,1)上单调递减，故h (x )＞h (1)＝－1，原题得证．21．(12分)(2018·山西四校联考)已知函数f (x )＝1x－a ln x (a ∈R )．(1)若h (x )＝f (x )－2x ，当a ＝－3时，求h (x )的单调递减区间； (2)若函数f (x )有唯一的零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)h (x )的定义域为(0，＋∞)， h (x )＝1x －a ln x －2x ＝1x＋3ln x －2x ，h ′(x )＝－1x 2＋3x －2＝－2x 2－3x ＋1x 2＝－(2x －1)(x －1)x 2， 令h ′(x )<0，得h (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0， 12和(1，＋∞)． (2)问题等价于a ln x ＝1x有唯一的实根．显然a ≠0，则关于x 的方程x ln x ＝1a 有唯一的实根．构造函数φ(x )＝x ln x ，则φ′(x )＝1＋ln x . 令φ′(x )＝1＋ln x ＝0，得x ＝e －1.当0<x <e －1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；当x >e－1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增．所以φ(x )的极小值为φ(e －1)＝－e －1. 如图，作出函数φ(x )的大致图像，则要使方程x ln x ＝1a 有唯一的实根，只需直线y ＝1a 与曲线y ＝φ(x )有唯一的交点，则1a ＝－e －1或1a >0，解得a ＝－e 或a >0. 故实数a 的取值范围是{－e}∪(0，＋∞)．22．(12分)(2018·安顺模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋(1－a )x 3＋bx ，g (x )＝x e x －b (a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数)，且f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝⎝⎛⎭⎫1e ＋1x .(1)求实数a ，b 的值； (2)求证：f (x )≤g (x )．(1)解：∵f ′(x )＝1x＋3(1－a )x 2＋b ，∴f ′(e)＝1e＋3(1－a )e 2＋b ，且f (e)＝1＋(1－a )e 3＋b e ，又f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝⎝⎛⎭⎫1e ＋1x ， ∴切点为(e,1＋e)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1e ＋3(1－a )e 2＋b ＝1e ＋11＋(1－a )e 3＋b e ＝1＋e，解得a ＝b ＝1；(2)证明：由(1)可知f (x )＝ln x ＋x ，g (x )＝x e x －1，且f (x )的定义域为(0，＋∞)， 令F (x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋x －x e x ＋1，则F ′(x )＝1x ＋1－e x －x e x ＝1＋x x－(x ＋1)e x ＝(x ＋1)·⎝⎛⎭⎫1x －e x ， 令G (x )＝1x －e x ，可知G (x )在(0，＋∞)上为减函数，且G ⎝⎛⎭⎫12＝2－e ＞0，G (1)＝1－e ＜0，∴∃x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得G (x 0)＝0，即1x 0－e x 0＝0， 当x ∈(0，x 0)时，G (x )＞0，∴F ′(x )＞0，则F (x )为增函数； 当x ∈(x 0，＋∞)时，G (x )＜0，∴F ′(x )＜0，则F (x )为减函数． ∴F (x )≤F (x 0)＝ln x 0＋x 0－x 0e x 0＋1， 又∵1x 0－e x 0＝0，∴1x 0＝e x 0，即ln x 0＝－x 0，∴F (x 0)＝0，即F (x )≤0， ∴f (x )≤g (x )．。
2019高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第1节 函数及其表示教师用书 文 北师大版
2019高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第1节函数及其表示教师用书文北师大版[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]1．从近五年全国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的重点与热点，既有客观题，又有解答题，中高档难度．2．函数的概念、图像及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、图像是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热点．3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用是高考的重点与热点．4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合与创新．[导学心语]1．注重基础：对函数的概念、图像、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用，要熟练掌握并灵活应用.2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系．3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．第一节 函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，集合A 叫作函数的定义域；集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法． 3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．(2017·南昌一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＞0，2－x，x ≤0，则f (f (－4))＝________.4 [∵f (－4)＝24＝16，∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.]4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________. －2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.] 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N )的图像是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________.【导学号：66482021】① [由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N )的图像是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．](2)(2017·郑州模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f xx －1的定义域是________．(1)[－3,1] (2)[0,1) [(1)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．][规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．[变式训练1] (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【导学号：66482022】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．[规律方法] 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.【导学号：66482023】(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.(1)x 2－1(x ≥1) (2)23 x ＋13(x ＞0) [(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x 1x－1，得f (x )＝23 x ＋13(x ＞0)．]☞角度1(1)(2017·湖南衡阳八中一模)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9(2)(2017·东北三省四市一联)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，－x ，x ＜0，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( )A ．2 016B ．14 C ．4D ．12 016(1)C (2)C [(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.(2)当x ≥0时，有f (x ＋2 016)＝2sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0时，f (x ＋2 016)＝lg(－x )，∴f (－7 984)＝f (－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝1×4＝4.] ☞角度2 已知分段函数的函数值求参数(1)(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( )A ．1B ．1或－1 C. 3D ．3或－ 3(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1B ．78C ．34D ．12(1)D (2)D [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.] ☞角度3 解与分段函数有关的方程或不等式(1)(2017·石家庄一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1＜x ≤0，log 2x ＋，0＜x ＜1，且f (x )＝－12，则x 的值为________．(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ex －1，x <1，x，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(1)－13 (2)(－∞，8] [(1)当－1＜x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0＜x ＜1时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解，故x 的值为－13.(2)当x <1时，x －1<0，ex －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x ≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．][规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．[思想与方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行．3．求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法．4．分段函数问题要分段求解．[易错与防范]1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．用换元法求函数解析式时，应注意元的范围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域．3．在求分段函数的值f (x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果x0的范围不确定，要分类讨论．。
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2019年高考数学一轮复习 单元评估检测2 函数、导数及其应用文 北师大版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝1－3x＋1log 12x ＋，则函数的定义域为( )【导学号：00090387】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C ．19D ．9C3．(2017·太原模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜bD4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3B5．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4C6．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：/件)应为( ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5 D ．10C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为( )D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0D10．(2017·厦门模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则函数g (x )＝|a x－2|的图象可能是( )图1D11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4D12．(2017·商丘模拟)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________． (1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.－615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________.【导学号：00090388】1816．(2017·岳阳模拟)某同学在研究函数f (x )＝x 2＋1＋x 2－6x ＋10的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f (x )变形为f (x )＝x －2＋－2＋x －2＋＋2，则f (x )表示|PA |＋|PB |(如图2)，下列关于函数f (x )的描述正确的是________(填上所有正确结论的序号)图2①f (x )的图象是中心对称图形； ②f (x )的图象是轴对称图形； ③函数f (x )的值域为[13，＋∞)； ④方程f (f (x ))＝1＋10有两个解． ②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－f x ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立． (1)求F (x )的表达式．(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．(1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞) 18．(12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x 2·log 2x2. (1)求实数x 的取值范围．(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0， 得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x 2·log 2x2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14，当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2，即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(12分)(2017·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图象都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1. (1)求a ，b ，c ，d 的值．(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性． [解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x，所以⎩⎪⎨⎪⎧f＝b ＝1，f ＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1， g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝d ＝1，g ＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x －(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1， 所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x ＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)求k 的值．(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围．(3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2.(2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)． 因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增， 故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4， 所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1， 所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(12分)(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x－x e x .(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值．(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －x －ax2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－A ．②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ； 当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1； 当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1， 所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.22．(12分)(2017·石家庄模拟)设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)(a 为常数)．(1)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围． (2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2. 【导学号：00090389】[解] (1)根据题意知：f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立．即a ≥－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝－2x 2－2x ， 因为g (x )＝－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上的最大值为－4，所以a ≥－4. 经检验：当a ＝－4时，f ′(x )＝2x 2＋2x －4x ＋1＝x ＋x －x ＋1≥0，x ∈[1，＋∞)．所以a 的取值范围是[－4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根，即方程2x 2＋2x ＋a ＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根． 记g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12＞－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，g －＞0，解得0＜a ＜12.所以x 1＋x 2＝－1,2x 22＋2x 2＋a ＝0，x 2＝－12＋1－2a 2，－12＜x 2＜0. 所以f x 2x 1＝x 22－x 22＋2x 2x 2＋－1－x 2.令k (x )＝x 2－x 2＋2xx ＋－1－x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. k ′(x )＝x 2＋x2＋2ln(x ＋1)， 记p (x )＝x 2＋x2＋2ln(x ＋1)．所以p ′(x )＝2x 2＋6x ＋2＋x3，p ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，p ′(0)＝2.所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0使得p ′(x 0)＝0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0时，p ′(x )＜0； 当x ∈(x 0,0)时，p ′(x )＞0.所以k ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0上单调递减，在(x 0,0)上单调递增，因为k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－2ln 2＜0，k ′(0)＝0. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，k ′(x )＜0， 所以k (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减， 即0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2.。