第七章 生活中的轴对称120

第七章生活中的轴对称【知识导航】随风起舞的风筝、凌空翱翔的飞机、宏伟壮观的天安门城楼、美丽精巧的窗花……我们生活在图形世界中，而许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起。

本章将立足同学们已有的生活经验和数学活动的经历，从观察生活中的轴对称现象开始，直观认识并概括出轴对称的特征；逐步分析角、线段、等腰三角形等轴对称图形，并形成有关轴对称的基本性质，通过图案设计、镶边与剪纸等活动，进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵，最终通过镜面对称的学习，将“二维”的轴对称扩充到“三维”的镜面对称。

通过本章的学习，同学们经历“现实内容数学化”、“数学内容规律化”、“数学内容生活化”的数学活动过程本章的知识结构图为：第一单元轴对称图形及性质【主编讲解】当你以变换的眼光欣赏和分析生活中的现象和几何图形时，你会发现现实世界中蕴涵着无穷的数学美。

轴对称既是探索一些图形形制、认识描述物体的形状和空间位置关系的必要手段之一，又是解决现实世界中的具体问题，并进行交流的重要工具，也是进行图案设计的基本思想。

1、理解轴对称注意两方面：轴对称图形、两个图形成轴对称如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．区别：前者指的是一个具有特殊形状的图形，后者指的是两个图形的一种位置关系。

联系：如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形以对称轴为分界线，也可以看成左右两部分成轴对称关系。

因此，二者在某些条件下是相互统一的。

二者的关系了解即可，不必过多研究2、简单的轴对称图形及其性质：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（注意：这里的“距离”指的是两点间的距离）角：有一条对称轴：角的平分线所在的直线．角平分线上的点到角两边的距离相等（注意：这里的“距离”指的是点到直线的距离） 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线（或者说：顶角平分线所在的直线、底边中线所在直线、底边上的高所在直线）．由此可得等腰三角形“三线合一”。

等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线．（或者说：各角平分线所在的直线、各边中线所在直线、各边上的高所在直线）．由此可得等边三角形“三线合一”注意：对称轴指的是条直线，而三角形的角平分线、高、中线是线段，所以应加“所在的直线”等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角），这个结论在后续学习中还会进一步推理验证，它是证明两个角相等的重要方法。

3、轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．注意：关于某条直线轴对称的两个图形时全等形，但全等的两个图形不一定成轴对称 学习中要善于利用这些规律解决问题。

例1 下图是四幅美丽的图案，其中是轴对称图形是 ，对称轴分别有 条思路点拨：判断轴对称图形的关键是什么？解：轴对称图形是A 和C ，分别有5条、2条对称轴回顾反思：判断轴对称图形的关键是能否找到一条直线，使图形沿此直线对折能够重合。

此题主要考察识别轴对称图形的能力，需要同学们有一定的空间想象能力和动手操作能力例2 仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形．思路点拨：每一个图案都具备什么特征？每一个图案可以看成由哪个英文字母经过什么变换得到的？你能确定空缺位置的英文字母吗？解：回顾反思：此题是轴对称图形的具体应用，关键是认真分析所给图形的特征、发现均是轴对称图形，而且分别是由字母B 、C 、D 、F 、G 经过轴对称变换得到的，由此发现空缺位置的图案是由字母E 经过轴对称变换得到。

此题考查同学们观察图形探索规律的能力例3 如图，∠AOB 内一点P, P 1、P 2分别是P 关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于M, 交OB于N , 若P 1P 2=5cm , 则ΔPMN 的周长是（ ） 思路点拨：在轴对称中，对称点连线PP 1与对称轴OA 有什么关系？线段垂直平分线上的点具有什么性质？三角形的三边可以被转化成哪些线段？解：因为P 1、P 2分别是P 关于OA 、OB 的对称点， P 2P 1 N M P AO B所以OA 垂直平分PP 1，OB 垂直平分PP 2，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以MP 1=PM ，NP 2=PN ，所以⊿PMN 的周长=MN+PN+PM=MN+NP 2+MP 1=P 1P 2=5cm回顾反思：本题运用了轴对称的性质和线段垂直平分线的性质，通过此题可以发现线段垂直平分线性质可以帮助你进行等线段代换，从而将三角形周长转化成线段P 1P 2的长。

而这种转化的数学思想在今后的学习中会经常用到。

举一反三：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，腰AC 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，若△BCD 的周长是12cm ，BC ＝3cm ，求：腰AC 的长度。

解：因为DE 垂直平分AC ，所以AD=CD ，△BCD 的周长=CD+BD+BC= AD+BD+BC=AB+BC,所以12=AB+3，AC=AB=9例4.如图，已知P 点是∠AOB 平分线上一点，PC ⊥OA ，PD⊥OB ，垂足为C 、D ，（1）∠PCD=∠PDC 吗？ 为什么？（2）OP 是CD 的垂直平分线吗？ 为什么思路点拨：已知条件使你联想到学过的哪个结论？你能得到哪些线段相等？哪些等腰三角形？△OPC 和△OPD 是全等三角形吗？通过全等你会发现OP 与∠AOB 有什么关系？在△ODC 中说明OP 是CD 的垂直平分线，可以用到你学过的哪个结论？解：（1）因为P 点是∠AOB 平分线上一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，根据角平分线性质可得PC=PD ，根据等腰三角形等边对等角，可得∠PCD=∠PDC 。

（2）因为PC=PD ，∠PCO=∠PDO=90°，OP=OP ，所以△OPC ≌△OPD ，根据全等三角形性质可得OC=OD ，∠POC=∠POD ，根据等腰三角形三线合一可得OP 垂直平分CD回顾反思：此题是一道典型的角平分线性质、等腰三角形三线合一、全等三角形的综合应用题，不仅综合性较强，而且说理有一定难度。

解决此类问题关键是在熟练掌握基本概念、结论的基础上，充分利用已知条件，顺藤摸瓜，挖掘间接条件，推出的结论。

例5 如图，在正方形网格上有一个△ABC ，（1）作△ABC 关于直线MN 的对称图形（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC 的面积思路点拨：作一个图形关于某直线的轴对称图形关键是确定什么？轴对称的两个图形对应点连线与对称轴有什么关系？A B CD E M NN解：（1）（2）S △ABC =2523263121)1221(232=--=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯ 回顾反思：作一个图形关于某直线的轴对称图形关键是确定几个主要的对称点，而确定对称点的根据是“对应点连线被对称轴垂直平分”，所以A 点到MN 的距离等于A ˊ点到MN 的距离，以此可以确定B ˊ点和C ˊ点【拓展空间】1、轴对称解决路程最短问题某供电部门准备在输电主干线L 上连接一个分支线路同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电，分支点为M ，（1）居民小区A 、B 在主干线L 的两旁如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？能说明理由吗？（2）如果居民小区A 、B 在主干线L 的同旁，如图⑵所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？能说明理由吗？(1) (2) (3)（1）题中，A 、B 两点在直线L 的两侧，非常容易想到连结AB ，AB 与L 的交点就是所求的分支点M ，分支点开在此处总线路AM+BM 最短。

因为两点之间线段最短。

（2）题中，A 、B 两点在直线L 的同侧，如何转化为异侧呢？我们容易想到“翻转”，即“轴对称”。

作B 点关于直线L 的对称点B 1，连结AB 1交直线L 于点M ，此处即为分支点，即AM+BM 最短如何说明（2）题中AM+BM 最短？在AB 上任取一点P ，连接AP 、BP 、B 1P ，根据三角形两边和大于第三边，有PB 1+AP ＞AB 1，即，PB 1+AP ＞AM+MB 1，因为PB=PB 1，MB=MB 1据，所以PB+AP ＞AM+MB ，由于任取一点得到的路程之和都比AM+BM 大，这说明AM+BM 是最小的。

这里用到了数学的？？？？思想点拨：在解本题时，在第⑵问中也可以先画A 点的对称点A 2.L M A B M L LA B M B L A B 1 M B P2、折叠问题中的轴对称如图，△ABC 纸片沿DE 折叠，点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找。

思路点拨：折叠问题中折叠前后的部分可以看成关于折痕轴对称吗？∠A 与∠1+∠2之间没有直接的关系时，是否可以寻找它们之间的间接关系，即∠A 与哪些角有关系？∠1、∠2与哪些角有关系？ 解：因为折叠，所以△AED 与△A ˊED 关于ED 轴对称， 所以∠AED=∠A ˊED ，即∠AEA ˊ=2∠AED ， 所以∠1=180°-∠AEA ˊ=180°-2∠AED ，同理可得∠2=180°-2∠ADE ， 所以∠1+∠2=360°-2（∠AED+∠ADE ）——①式根据三角形内角和180°得∠A=180°-（∠AED+∠ADE ）——②式由①②两式得，2∠A=∠1+∠2，回顾反思：折叠问题是近几年全国各地中考的热点考题，而折叠问题可以看作是折叠前后两部分关于折痕所在的直线成轴对称，那么会出现对应角相等、对应线段相等，这是折叠所衍生出来的条件，对解决问题有极大的帮助。

所以同学们可以从轴对称的角度观察折叠问题【读书时间】奇妙的回文数佛山香贡香山佛，星岛港迎港岛星，上述对联的两句句子都分别由七个汉字组成，从左到右地顺读同从右到左地反读，结果竟然完全一样，实在是妙不可言，奥妙无穷，体现了中国文字所特有的风格与奇趣，它是古代文学家所创造的，称为回文。

与此类似，数学里也有“回文数”，它们是由左右排列对称的自然树构成的，例如88，131，100，12321等。

两个相同位数的回文数，如果各位相加时能够“就地消化”，不发生进位情况，那么其和仍是一个回文数，同理，在两个回文数相减时（规定要用大数减小数），如果不需要从上一位“借”，则其差也仍然是一个回文数，例如：56365 5775+ 12621 —2222————— —————68986 3553有趣的是，某些回文数在相加时即使要发生“进位”，但其和数却依然是个回文数，例如：3333 7777+ 8888 + 4444————— ——————12221 12221这样的回文数模式是aa ….a (共n 个a)与bb …b(共n 个b)，而且a 与b 应满足关系式a+b=11,以及1<a, b<10.假如你遇到一个不是回文数的普通数，怎样才能使它“变”成回文数呢？办法很简单，B CA E D A ’ 12只要把这个数加上它的逆序数就行了，这称为一次“操作”（或“变换”），把这种操作反复进行下去，到头来你就可以“八九不离十”地得出一个回文数，例如：7299+9927=17226，17226+62271=79497。