广东省佛山市第一中学2015届高三10月月考数学(理)试题及答案

佛山一中2015届高三上学期数学（理科）段考试题本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x|－x 2－3x>0}，B ＝{x|x<－1}，则A ∩B ＝( )A ．{x|－3<x<－1}B ．{x|－3<x<0}C ．{x|x<－1}D ．{x|x>0} 2．函数2cos 1y x =+在下列哪个区间上为增函数A ．π[0, ]2B ．π[, π]2C ．[]0, πD ．[]π, 2π 3．已知幂函数()y f x =的图象过点11(,)28--，则2log (4)f 的值为 A ． 3 B ．4 C ．6 D ．－6 4．已知函数()12sin()cos()2f x x x ππ=++-，则()f x 是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数5．向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝A ．12B ．13C ．14D ．156．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于A ．14a ＋12bB ．23a ＋13bC ．12a ＋14bD ．13a ＋23b8．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为A. 9(,2]4-- B.[1,0]- C.(,2]-∞- D.9(,)4-+∞二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m 等于________．10．已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.11．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，已知a =4B π=， ，求b .”若破损处的条件为三角形的一个内角的大小，且答案提示b =试在横线上将条件补充完整.12．若数()f x x a =+-a =__________.13．直线2()y x m m R =+∈和圆122=+y x 交于A 、B 两点,以Ox 为始边,OA ,OB 为终边的角分别为α,β,则)sin(βα+的值为_________.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设A 、B 分别在曲线C ：⎩⎨⎧+=+=θθsin 23cos 24y x （θ为参数）和曲线21=ρ上，则||AB 的取值范围是_______15．（几何证明选讲）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，4,8PC PB ==，则OBC S ∆= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .17．（本题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。

18．（本题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，SA ⊥底面ABCD ，2AB =，1AD =， SB =，120BAD ∠= ，E 在棱SD 上.(Ⅰ) 当3SE ED =时，求证：SD ⊥ 平面AEC ； (Ⅱ) 当二面角S AC E --的大小为30时， 求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x x x -==，设函数x f ⋅=)(,若函数)(x g 的图象与)(x f 的图象关于坐标原点对称.（Ⅰ）求函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值,并求出此时x 的值； （Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，A 为锐角,若23)()(=-A g A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长．20．（本题满分14分）已知函数)0()(,ln )(>==a xax g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。

（Ⅰ）求F （x ）的单调区间；（Ⅱ）若以(]3,0)((∈=x x F y ）图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数1)12(2-++=m x a g y 的图象与)1(2x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由。

21．（本题满分14分）已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意M x f ∈)(，①方程0)(=-x x f 有实数根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ．（Ⅰ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意[]D n m ⊆,，都存在()n m x ,0∈，使得等式)()()()(0x f m n m f n f '-=-成立．试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根；（Ⅱ）对任意M x f ∈)(，且(),x a b ∈，求证：对于()f x 定义域中任意的1x ，2x ，3x ，当112<-x x ，且113<-x x 时，2)()(23<-x f x f .佛山一中2015届高三上学期数学（理科）段考参考答案(10.14)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．9．－2 10．1 11．6A π=（或712C π=） 12． 13．45-14． 515[,]2215． 185 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C = (2)分因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin C =. ……………………………………5分（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 28A C ==.……………………………………7分 因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos4C =，cos 8A =. …………………9分 所以sin sin()B AC =+sin cos cos sin A C A C =+8484=+⨯8=. ……………………………………11分 sin aA=，所以a =……………………………………12分 17．（本题满分12分） 解：（1）987,573514=⨯=，即乙厂生产的产品数量为35件。

………………………2分 （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品2,5故乙厂生产有大约235145⨯=（件）优等品……………………………………5分（3）ξ的取值为0，1，2。

……………………………………6分21123323222555331(0),(1),(2)10510C C C C P P P C C C ξξξ⨯=========…………………9分所以ξ的分布列为10分故3314012.105105E ξξ=⨯+⨯+⨯+=的均值为……………………………………12分 18．（本题满分14分）解：在ABCD 中,2,1,120AB AD BAD ==∠= ,,CA AD ∴⊥ 又SA ABCD ⊥平面……………………………………1分 ∴以A 为坐标原点，,,AC AD AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A,)C,()0,1,0D ……………………………………2分SB SA =∴=(0,3S ∴……………………………………3分(1) 3SE ED =30,4E ⎛∴⎝⎭……………………………………4分 ()30,1,,0,,4SD AE AC ⎛===⎝⎭0,0SD AE SD AC ∴⋅=⋅=S D A E C ∴⊥平面……………………………………6分(2) SAD AC ⊥ 平面,SA ⊥底面ABCD ， AC ,AE AC SA ∴⊥⊥∴S AE ∠为二面角S AC E --的平面角,即SAE ∠=30,…………………………8分此时Ｅ为SD 的中点10,2E ⎛ ⎝⎭设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =计算可得()n = …………………………11分10,,22AE ⎛= ⎝⎭cos ,n AE ∴= (13)分即直线AE 与平面CDE (14)分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得：21cos 2()sin cos 222x f x x x x x -==- 1sin(2)26x π=-+ ………………………………………………………2分 所以)62sin(21)(π---=x x g ………………………………………………3分因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx 所以当262ππ-=-x 即6π-=x 时，函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值为21.……7分（Ⅱ）由23)()(=-A g A f 得：23)62sin()62sin(1=-++-ππA A …………………8分 化简得：212cos -=A 又因为02A π<<，解得：3π=A …………………………10分由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC，解得8=bc ，……………………………………11分 又7=+c b ,所以22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+14928(1)252=-⨯⨯+= ……………………………………13分故所求边a 的长为5. …………………………………………………………………14分 20．（本题满分14分）解.(Ⅰ) F )0(ln )()()(>+=+=x x a x x g x f x )0(1)('22>-=-=x xax x a x x F …2分）上单调递增。